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控制工程基础 第5讲 控制系统的稳定性分析

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《自动控制理论教学课件》五稳定性分析

《自动控制理论教学课件》五稳定性分析

第五讲 控制系统的稳定性分析
14
几何判据-乃氏判据
1932年Nyquist稳定判据 利用开环系统乃氏图来判别闭环系统的稳定性。 优点： G（s）无法写出时，通过实验法得出开环频率曲 线，进而判别闭环系统的稳定性； 指出系统的稳定储备（相对稳定性），以及进一 步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途 径和方法。
第五讲 控制系统的稳定性分析
13
Routh 阵列第一列不全为正号，系统不稳定 变号几次，就有几个正实部的闭环极点
特殊情况： 1． Routh 阵列任意一行第一个元素为 0， 而后各元素不为 0： 用一个很小的正数ε 代替 2． Routh 阵列任意一行全为 0 用上一行元素构成辅助多项式
2019/2/1
2019/2/1
第五讲 控制系统的稳定性分析
4
系统稳定性分析的内容
系统的稳定条件 代数稳定判据 几何稳定判据 对数幅相频率特性的稳定性判据 相对稳定性
2019/2/1 第五讲 控制系统的稳定性分析 5
系统的稳定条件
设线形系统具有一个平衡点，对于该平衡点来说： 当输入 xi(t)=0，则 xo(t)=0 当干扰信号 f(t)作用与系统，其输出将偏离工作点， 在干扰信号消失瞬间 t=0,则 xo(0-)及其 xo(i) (0-)(i=1,2…)就是 xo(t)的初 始偏差（初始状态） 。 输出信号本身就是系统在初始偏差影响下的过渡过程 若系统稳定，则 xo(t)就能以足够的精确的程度恢复到原平衡工作点， 即随 t 的推移，xo(t)→0； 否则系统就不可能回到原平衡工作点
Z：闭环特征多项式在右半面的零点数（闭环极点）
P：开环特征多项式在右半面的零点数（开环极点）
即：s=(j)代入，且从－变化到＋时，G（j）逆 时针包围（-1，j0）点的次数等于开环传递函数在S平面 右半面的极点数。

5.控制系统的稳定性分析

5.控制系统的稳定性分析
i 1 i
n


(n 2 p q)

2

为了证明这个定理，我们研究一个一次式
D1 (s) s s1
因此，p个右根的总角变化量为p(-π/2)

推论：如果n次多项式D(s)的所有零点都位于复平面的 左半面，则当以s=jω代入D(s) 并命ω从0连续增大到∞
时，复数D(s)的角连续增大
arg[1 G( j)] 180

开环传递函数在原点处的每一个极点使
arg[1 G( j)] 90
5.4.3乃奎斯特稳定性判据的另一表述

令ω从－∞ → 0,相应得出的乃氏图是与 ω从0 →+∞得出的乃氏图对于实轴对称的。


(1) 当开环系统稳定时，乃氏判据可表述为：
如果对应ω＝ －∞ →+∞封闭的乃氏曲线不包围（－1，
j0）点，则系统闭环后稳定，否则不稳定。

例：以5-9为例


辅助曲线的作法：
以∞为半径，从乃氏曲线的起始端沿反时针方向，
绕过λ90°作圆。这个圆就是辅助曲线，λ是开环传
递函数中含有积分环节的个数。
(2)

例题
5.5由伯德图判断系统的稳定性
s12 2 j

s34 2 j
系统处于临界稳定
5.3.2赫尔维茨稳定性判据

根据特征方程的系数来判断稳定性的另一方法
D(s) a0 s n a1 s n1 an1 s an s 0

a0
a0 0
5.4乃奎斯特稳定判据（1932）

利用开环乃氏图判断闭环系统稳定性的一种准则。 从代数判据脱颖而出，故可说是一种几何判据。

控制工程基础：第五章系统稳定性

控制工程基础：第五章系统稳定性
∆1 = a 1 > 0
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1

机械控制工程基础(北京理工)第五章 控制系统的稳定性分析-PPT课件

机械控制工程基础(北京理工)第五章 控制系统的稳定性分析-PPT课件


其中： a 1 a n n 2 i b i a a 1 a n (2 i 1 ) n 1 n
1a n 1 a n (2 i 1 ) c i b b 1 i 1 1 b

按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1）， 第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。

稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离
原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在 一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平 衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统 是不稳定系统。

系统输出的一般表达：
C () t Ct () Ct () t s s s

C s s ( t ) 为稳态分量（见第二章） C t s ( t ) 为暂态分量， 稳定的概念亦可理解为： 当输入发生变化时，如果系统的输出经过一 段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该 系统是稳定的。 所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出 的暂态分量是否满足：
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据

若开环传递函数中含有 个积分环节时， 绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从 频率对应的点开始，逆时针方向用虚线 补画一条半径为无穷大，角度为90的圆 弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括 补画的虚线部分。
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据

例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数 分别为
结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，
k 系统将永远按振幅为a，频率为 的余弦波振动， m
永远不能恢复到原始静止平衡状态。
例２：
m y cy Ky f( t )
.. .
y (0 ) a ,y (0 ) 0
A m

控制工程第四版第5讲_控制系统稳定性分析.pptx

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第五章_控制系统稳定性分析 5 控制系统稳定性分析
5.1系统稳定性的基本概念 5.2系统稳定的充要条件
5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz 判据）
5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6由伯德图判断系统的稳定性 5.7控制系统的相对稳定性
sn s n 1 s n2 s
n 3
a0 a1 b1 c1 u1 v1 w1
a2 a3 b2 c2 u2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 b4 c4
s s1
2
s0
第五章_控制系统稳定性分析 其中
a1a2 a0 a3 b1 a1 a1a4 a0 a5 b2 a1 a1a6 a0 a7 b3 a1
第五章_控制系统稳定性分析
s a1 s a2 s am F s s a1 s a2 s an
F(s)有m个零点，n个极点， 在[s]平面上的C顺时针包围了其中z个 零点和p个极点， 则在[F]平面上的C’顺时针包围原点 z – p圈。
n a1 n 1 an 1 an a0 s s s 0 a0 a0 a0 a0 s s1 s s2 s sn 0
s1 , s2 ,, sn 为系统的特征根
第五章_控制系统稳定性分析
复数根与系数的关系：
a1 a s1 s2 sn ; 0 a2 a s1s2 s1s3 sn 1sn ; 0 a3 s1s2 s3 s1s2 s4 sn 2 sn 1sn ; a0 an 1 n s s s s s s n 2 n 1 n a 1 2 3 0

控制基础第五章(稳定)

控制基础第五章(稳定)
s 12
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
[例3] 已知系统特征方程为: a0 s3+ a1 s2+ a2 s+ a3 =0 试求得系统稳定的条件。 解：(1)列劳斯表 (2)根据劳斯判据，要使 s3 a0 a2 系统稳定: ①特征方程的系数a0、 s2 a1 a3 a1、 a2、 a3均大于零; a1a2 a0 a3 s1 ②由劳斯表中第一列 a1 所有元素的值大于零 s0 a3 得： a1a2 – a0a3>0
sin[(nj 1 j2 )t j ]
上式中，si 和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和复 特征根实部。 上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂 综上所述，线性定常系统稳定的充要 态项才都是衰减的，且 t → ∞时，各暂态分量都 条件是：闭环系统特征方程的所有根都具 趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应 有负实部，或者说，闭环传递函数的极点 的暂态项将是发散的，系统将不稳定 。 均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。
s n 3
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
特征方程： a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
sn
劳 斯 表
a0 a1 b1 c1 u1
s n 1 s n2 s n 3 s0
a 2 a 4 a6 b1a3 a1b2 [劳斯判据] 系统稳定的充要条件是： c1 b1 ①特征方程的各项系数大于零；② a3 a5 a7 b1a5 a1b3 劳斯表中第一列所有元素的值均大 c2 b2 b3 b1 于零。如果第一列中出现小于零的 c2 c3 b a a1b4 c3 1 7 元素，系统就不稳定，且该列中数 b1 值符号改变的次数等于系统特征方 程正实部根的数目。

第五章控制系统的稳定性分析

特征根的三种情况及所对应时域解： s a e at; s j sin t ,cos t ;
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)

0 c(t)

0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r


当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]

0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0

0

0

ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0

0

y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。

[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性

第五章 系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。

劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r

k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2

第五章_控制系统的稳定性分析


如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化 的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的 个数，相应的系统为不稳定。
16
【例5-1】：特征方程为：a0 s3 a1s 2 a2 s a3 0 ，试判断
稳定性。 [解]：劳斯阵为： s 3 a0
s s
2 1
a2 a3
a1
s0
a1a2 a0 a3 a1 a3
劳斯阵的组成
13
表中 b1 a1 a 2 a0 a3 a a a a a a a a , b2 1 4 0 5 , b3 1 6 0 7 a1 a1 a1
b1 a3 a1b2 b1 a5 a1b3 b1 a7 a1b4 c1 , c2 , c3 b1 b1 b1 e1 d 2 d1e2 f1 e1
i ( s ii ) i i 1 i2 2 2 s p s 2 s j 1 i 1 j i i i
aj
n2
7
y2 (t ) e
j 1
n1Leabharlann p jt i e ii t cosi 1 2 t i e ii t sin i 1 2 t
21
【例5-4】：S 6 2S 5 8S 4 12S 3 20S 2 16S 16 0 列劳斯表
S6 S5 S4 S3 S2 S
1
1 2 2 0 8 6 8 3 16
8 12 12 0 24 16 0
20 16 16 0
16 0
由上表可知，第一 列的系数均为正值， 表明该方程在S右半 平面上没有特征根。 令F(s)=0，求得两 对大小相等、符号 相反的根

第五章 控制系统的稳定性分析


第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 例 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性：S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 10 4 = 0 解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0 1 41.5 − 38.5 2.3 × 10 4 517 2.3 × 10 4 0 0
a n s n + a n −1 s n −1 + ⋯ + a 0 = 0 通过因式分解，总 对于特征方程： 通过因式分解， 对于特征方程：
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据
1) 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数， 。
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 一．代数稳定判据
不必求解系统的特征方程， 不必求解系统的特征方程 ，通过对特征方程的系数进行分析来判 断系统的稳定性的方法。 断系统的稳定性的方法。
可 以 分 解 为 一 次 因 子 和 二 次 因 子 的 乘 积 的 形 式 ， 即 ： (s+a) 和 (s2+bs+c)相乘的形式。只有 、b、c都是非零的正值时，才能得到负 相乘的形式。 都是非零的正值时， 相乘的形式 只有a、 、 都是非零的正值时 实根或具有负实部的共轭复根。所以ai>0是判定系统稳定的必要条 实根或具有负实部的共轭复根 。 所以 是判定系统稳定的必要条 但非充分条件。罗斯-赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 件，但非充分条件。罗斯 赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 要条件。 要条件。 1、罗斯（Routh）稳定判据： 、罗斯（ ）稳定判据：
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第5讲稳定性分析Lecture5 Stability Analysis
内容提纲
一、稳定性的基本概念
二、系统稳定的充要条件
三、Routh稳定性判据
四、Nyquist稳定性判据
五、Bode稳定性判据
六、相对稳定性
稳定性的概念
▪系统受到扰动，偏离平衡状态，当扰动消失后，经过充分长的时间，系统又回到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则，称该系统不稳定。

▪系统由初始状态所引起的系统响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（平衡状态），则称该系统是稳定的，否则，称该系统不稳定。

▪黄琳. 《稳定性理论》. 北京：北京大学出版社，1992
稳定性反映了系统本身固有的属性。

Lyapunov稳定性
渐近性&有界性
系统稳定的充要条件
系统的所有极点均位于复平面的左半平面。

系统特征方程的根均具有负实部。

高阶系统的瞬态响应
()()
()m
m m o m m
n n n i n n
X s b s b s b s b s b G s X s a s a s a s a s a ------+++++==+++++1
2
012112
0121 ()()()
m m m m m o n n j k nk nk j k b s b s
b s
b s b X s s s p s s ---==+++++=⋅+⋅++∏∏12
1
2
012122
1
1
1
2 ξωω()n n j
k k
o j k j k nk nk
A A
B s
C X s s s p s s ==+=+++++∑∑1
2
02
2
112ξωω()()
sin j k nk n n p t
t
o j k dk k j k x t A A e
D e
t --===+++∑∑1
2
01
1
ξωωβ乘
分解
逆变换
稳定性判据
稳定性的充要条件
代数判据
几何判据Routh判据
Hurwitz判据Nyquist判据
Bode判据
系统稳定的必要条件为特征方程各次项前面的系数均大于零。

Routh判据
系统稳定的充要条件为：
特征方程各次项前面的系数均大于零；
Routh阵列第一列元素均大于零。

1
2
12100
n
n n n n n a s a s
a s
a s a ----++++= n
s
1
n s -2n s -0
s
n a 2n a -4n a -6n a - 1n a -3n a -5n a -7n a - 3n s -1b 2b 3
b
1
c 2
c
a 12311
n n n n n a a a a a -----=452b 13211
1n n b a b a c b ---=
例子
432
8171650s s s s ++++=432
23430
s s s s ++++=4322210
s s s s ++++=6543228122016160
s s s s s s ++++++=()()()12K K G s s s s =++32220
s s s +++=
Nyquist判据
M = P -2N
M：系统闭环传递函数在复平面右半平面的极点数P：系统开环传递函数在复平面右半平面的极点数N：系统开环Nyquist曲线包围（-1，0）点的圈数（逆时针旋转为正，顺时针旋转为负）M=0，则系统稳定；M≠0，则系统不稳定。

如果开环传递函数包含λ个积分环节，则绘制开环幅相曲线后，
λ
频率再从开始，逆时针补画个半径为无穷大的圆。

0+
4
()321241
K G s s s s =+++()327241
K G s s s s =+++()()32
1241K G s s s s s =+++
Nyquist图：
正穿越——在（-1，0）点左侧逆时针穿过负实轴 负穿越——在（-1，0）点左侧顺时针穿过负实轴
N = N+ -N-
N：Nyquist曲线包围（-1，0）点的圈数
N+：正穿越次数
N-：负穿越次数
Nyquist图：
正穿越——在（-1，0）点左侧逆时针穿过负实轴
负穿越——在（-1，0）点左侧顺时针穿过负实轴
Bode图：
正穿越——幅频在0dB线以上时相频自下而上穿过-180度线 负穿越——幅频在0dB线以上时相频自上而下穿过-180度线
Bode判据
M = P -2N
M：系统闭环传递函数在复平面右半平面的极点数P：系统开环传递函数在复平面右半平面的极点数N：正穿越次数与负穿越次数之差
M=0，则系统稳定；M≠0，则系统不稳定。

相对稳定性
相对稳定性反映了系统稳定的程度，表征该特性的参数包括：
幅值裕量（度）
相位裕量（度）
从Nyquist 图读取c
ωg ω相位交界频率剪切频率
从Bode图读取
计算幅值和相位裕量()1g g K G j ω=()180g G j ω∠=- ()180c G j γω=+∠
()1c G j ω=幅值裕量：相位裕量：
例子
()23
B G s s =+()321241K G s s s s =+++()()321241K G s s s s s =+++&。