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数列的极限(一个引例)

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2.1.数列极限概念

2.1.数列极限概念

lim an a 或 → a (n →∞) na
n
注: 上述定义称为“ε义
lim an a 0,
n
N N＋ , n N , 有
| an a | .
？
求实
创新
团结
奉献
n 1 例1：证明 lim . n n 1
奉献
三、数列极限 -N定义
分析： 数列{an}的极限为a ⇔ 随着n的无限增大，通项an无限接近于a ⇔ 当n充分大时，an与a的距离|an − a|可以任意小
求实
创新
团结
奉献
定义: 设 {an}为数列，a为定数，若对任给的ε >0，总存在
正整数N，使得当n>N时，有 |an − a|< ε，则称数列{an}收敛 于a，a称为{an}的极限. 记作
求实
创新
团结
奉献
例如, 当 n >N 时, 有
| an a | ,
则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有
| an a | .
也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追求 N 的 “ 最佳性 ” .
求实
创新
团结
奉献
xn
A
A
越来越 ，N越来越大！
an U (a ; ) , 即 lim an a .
n
求实
创新
团结
奉献
2
a x2 x1 x N 1
a
a
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
求实

[理学]第一、二节 数列极限的定义_OK

[理学]第一、二节 数列极限的定义_OK
o t0
故在 t0 时刻的瞬时速度为
v0 lim
tt0
s(t) s(t0 ) t t0
s(t ) t
s
4
第二节 数列极限的定义
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质
5
一、概念的引入
一尺之棰, 日截其半, 万世不竭.
1, 2
1 22
,
1 23
Hale Waihona Puke ,,1 2n
,
6
一、概念的引入
第一节 微积分中的极限方法
引例1、面积问题 引例2、瞬时速度问题
1
例1、面积问题
求 y = x2 与 x 轴、直线 x = 1 所围曲边三角形的面积 S.
y
y x2
Sn
1 n
2
1 n
2 n
2
1 n
n n
2
1 n
o
i 1x
n
1 n3
n i 1
i
2
1 n3
1 n(n 1)(2n 6
1)
n
n
若0 q 1, xn a qn 0 q n , n ln q ln , n ln ,
ln q
所以, 0,取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n 22
例5 求证 lim n a 1(a 0). n
证 任给 0, xn 1 n a 1 ,
例如,
数列
xn
n; n1
有界
数列 xn 2n. 无界
数轴上对应于有界数列的点 xn都落在闭区间 [M , M ]上.
29
2） 定理2 收敛的数列必定有界.

高等数学 第二节 数列的极限

高等数学 第二节 数列的极限
"" 表示"至少有一个" 或"存在".
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a

第二节 数列极限0

第二节 数列极限0
n→ ∞
n→ ∞
A= ± a
2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn ≤ xn+1 , 即
单调增, 单调增 又
(1+
)−1
1 − (1+ a1)L1+ ak ) (
存在
“拆项相消” 法 拆项相消” 拆项相消
刘徽(约225 – 295年) 约 年
我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《 我国古代魏末晋初的杰出数学家 他撰写的《重 九章算术》 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 π 的方法 : “ 割之弥细 , 所失弥小 割之又割 , 以至于不可割 , 所失弥小, 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“ 用近似逼近精确” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 .
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
一 、数列极限的定义
引例. 引例 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
π
n
r
无限增大时, 当 n 无限增大时 刘徽割圆术) 无限逼近 S (刘徽割圆术 , 刘徽割圆术
则 ∀ε > 0, ∃N ,当
现取正整数 K , 使
于是当 k > K 时, 有
nk >
≥N
xN
*********************
N
从而有 xn −a < ε , 由此证明 lim x = a . nk k
k→ ∞

数列极限引例与讲解

数列极限引例与讲解
这表明: 若 xn→a (n→), 则{xn}所对应的点列, 除 了前面有限个点外的所有(无穷多)点都能凝聚在点 a 的任意小邻域内, 到一定程度时, 数列{xn}中的项其变 化是很微小, 呈现出一种稳定的状态, 这种稳定的状态 就是人们所称谓的“收敛”, 也称 a 为“聚点”.
注意: 数列极限的数定列极义限引未例和给讲解出求极限的方法.
不易考虑时, 往往采用把 | xn–a | 适当放大的方法. 若 能放大到较简单的式子, 就能从一个比较简单的不等
式较容易寻找项数指标N. 放大的原则
① 放大后的式子较简单; ② 放大后的式子以0为极限. 数列极限引例和讲解
例2:设 x n 0 , 且 n l i x n m a 0 , 求 n l ix n m 证 a .
只要 n数1列极0限引0时 例和0,讲有 解0xn
1 1 , 10000
给定 0,只要 nN([1]时 ) ,有 xn1成.立
这就是“当n无限增大时, xn无限地接近于1”的实 质和精确的数学描述.
定义: 设数列{xn}, 如果存在常数a, 对于任意给定
的正数 (不论它多么小), 总存在正数N, 使得对于n>N
注①: 此极限定义习惯上称为极限的 –N定义. 它
用动态指标 和N刻画极限的实质, 用| xn–a |< 定量地 刻画了xn与a之间的距离可以任意小, 即任给 >0, 标志
着“要多小可以有多小”的要求, 用n>N表示n充分大. 这
个定义有三个要素: 10, 正数 ; 20, 正数N; 30, 不等式|xn －a|< ( n>N以后的所有xn ).
例1:
已知
xn
(1)n , (n1)2
证n l明 i m xn0.

1-1 数列的极限

1-1 数列的极限

思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
找两个收敛于不同极限的子数列.
备用题
1.设 求 解： ,且 利用极限存在准则
∴数列单调递减有下界， 设 故极限存在， 则由递推公式有
故
2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn 1 , 即
单调增, 又
(1
) 1
1 (1 a1 )(1 ak )
§1.1 数列的极限
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知

n
r
当 n 无限增大时,
无限逼近 S（刘徽割圆术）。
数列的定义 按照自然数大小的次序排列起来的一组无 穷多个实数称为数列 数列中的每一个数称为项，
数列也可以看作是定义在自然数集上的函数
求下列极限
二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn a b 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
存在
“拆项相消 ”法
例如
0
0 1
2
共同性质
（要多近有多近）
⑤、⑥ 无此性质
数列极限的定义
注：
例. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
欲使 因此 , 取 则当 即 时, 就有 只要
故
例. 设
的极限为 0 . 证:
证明等比数列
欲使 亦即 因此 , 取

14.1数列极限教案一

课题：14.1 数列极限的定义（一）学习目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会用N -ε语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。

学习过程：一、引例：1 当n 无限增大时，圆的内接正n 边形周长无限趋近于圆周长2 在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无限趋近于0二、提出课题：数列的极限 考察下面的极限1 数列(1)： ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数0 2 数列(2)： ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 3 数列(3)： ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0 引导观察并小结，最后抽象出数列极限的定义：一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项n a 无限地趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或叫做数列{}n a 收敛于A.记作lim n n a A →∞=。

（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）数列(1)的极限为0，记作1010lim nn →∞=，数列(2)的极限为1，记作11lim n n n →∞=+ 数列3的极限为0，记作(1)0lim n n n →∞-= 三、例（课本上例一）判断下列数列是否有极限，如果有极限，分别写出它们的极限。

（1） 数列的通项为21n n a n+= （2） 数列的通项为(1)nn a n-= （3） 数列的通项为(1)12n n a -+= 注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n 无限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

高等数学上册 1.2 数列的极限

ln
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1

N 的存在性

数列的极限(一个引例


时，xn
a
2
b
取
N maxN1, N2,
时，xn
a
2
b
n N 时，
xn 满足的不等式矛盾，所以假设不真。
高等数学 2021/4/21
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2.收敛数列的有界性
有界性
使对一切 xn , xn M 成立，则xn有界
否则无界。
如
n2 n2
1
有界，
2n
无界
1
,
则n N 时, 有
n 1n
lim
1
n
n
思考：取
N
1
1
可不可以？
高等数学 2021/4/21
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注意 ➢ 的任意性 （1） 的作用在于衡量 xn 与 a 的接近程度，只要求 0
（2） 一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3） 也可用 2 ,3 , 2 代替，<号也可换成 号，
则 xn 发散。
a. 定义
证明数列 xn
b. 无界必发散
发散的方法：c. 找到 xn的一个发散子列
d. 找到xn 的两个有不同
极限的子列
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小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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3.数列的变化趋势——极限
观察数列
1
1 n1
n
当
n
时的变化趋势
高等数学 2021/4/21
播播放放

第二节数列的极限

第二节 数列的极限
一、引例 二、数列极限的定义 三、收敛数列的性质
第二节 数列的极限
一、引例
引例1 割圆术 求圆面积的近似值.
依次作圆内接正42n (n = 0,1,2,…)边形, 内接正方形面积, A1 表示内接正8 边形的面积, … , An 表示内接正
设 A0 表示
42n 边形的面积. 这样就得到一
lim 的的n >极极N限限时是是就00有..
n
n(111n,,11qq)n,,qq122,,1
,, qqnn ,, 1
,n
1,
n
xn
N
1.

1


,
则当
不等证式明|
xn–0>| <0
|x
(设必定<成1)立，.
0 | | qn1 0
{{ xxnn }} 收收敛敛于于 aa，，那那么么它它的的任任一一子子数数列列也也收收敛敛，，且且极极限限
也也是是 aa ..
证明 设数列 {xnk } 是数列{xn} 的任一子数列．
由于由l定im理4x可n 知a，, 如故果一个> 0数，列有正两整个数子N列，当收敛n 于> N不时同,
n
所以，取
| | q |n1 ,
N

1

1
,
则当
注意
第二节 数列的极限
在用定义证明数列的极限时，关键是对任意给定的
要求出一个 N()，但没必要去求最小的N() . 求N()的
方法是解不等式
| xn a | ,
n N ( ) .
如果不等式 | xn a | 不易解出，可先把 | xn a | 放大
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0
xn

1 2n
,
高等数学
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2.数列的定义
按自然数 1,2, 编号依次排列的一列数 x1, x2 , , xn ,
称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，
xn 称为通项(一般项)。数列记为 xn.
如
1 2
,
1 22
,
,
1 2n
,
1

2n

一般项 1 2n
记
lim
n
xn
a
或
xn a n
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lim
n
xn

a
0, N 0, 使 n N 时，xn a
成立
例1 已知
证明数列 的极限为1.
证明
xn 1
n (1)n 1 n
0, 欲使 xn 1 成立，即使
时,有
qn1 0
高等数学
故 lim qn1 0. n
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二、收敛数列的性质
1.收敛数列极限的唯一性
定理1 收敛数列的极限唯一。
证明：（反证法）假设
及
且 ab
时，
即 a xn a
时，
即 b xn b
取
时，xn
（1）求解 xn a （2） 0 解不等式 xn a 求解出 n 满足的不等式
（3）不等式右端取整作为 N，可放大
例3 证明
证明
xn 0

1
1
n2 1 n 2n
0, 欲使
只要 1 , 即 n 1
取
N


1
2

,
则当 n
给定 1 , 由 1 1 ,
100
n 100
只要 n 100, 有
xn
1

1 100
,
给定 1 , 由 1 1 ,
1000 n 1000
只要 n 1000, 有
xn
1

1 1000
,
给定
1 10000
,由
1 n

1 10000
, 只要
n
10000,
有
xn
1

1 10000
（2） 一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3） 也可用2 ,3 , 2 代替，<号也可换成 号，
N 的相应性
（1）N 与 相关的， 越小，N 越大，但 N 不是 的函数
（2） 重要的是 N 的存在性，找到即可，但 N 不唯一
几何解释 a 2 a
x2 x1 xN 1
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3.数列的变化趋势——极限
观察数列
1
1 n1
n

当
n


时的变化趋势
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观察数列
1
1 n1
n

当
n


时的变化趋势
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,
给定


0,
只要
n

N

1
,
有
xn 1 ,
定义：设 xn为一数列，如果存在常数 a ，对于任意
给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 N ，使得当
n N 时，xn a 都成立，则称 a 是数列xn 的极限，或者称数列xn 收敛于a .
1

n

n

n

1

一般项 1 n
收敛到 0
一般项 n
1
n 1
1, 4, 9, ,n2 ,
n2
一般项 n2
发散
1, 1,1, , 1 n1 ,
1 n1 一般项 1 n1 发散
收敛数列的特性： 随 n 的无限增大，
xn 无限地接近某个常数 a
通过对演示的观察，得
当
n
无限增大时，
xn
1
1n 无限接近学语言刻划它.
两个数 a 和 b 之间的接近程度可以用两数之差的绝对值
b a 来度量， b a 越小，a 与 b 越接近.
xn
1

1 n1 1
n

1 n
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这个引例反映了数列的某种特性：
对数列 xn, 如果存在某个常数 a ，当 n 无限增大时，
xn 无限的接近这个常数 a ，则称这个数列为收敛数列，
a 称为其极限，否则称为发散数列。
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如
1, 1 , 1 , , 1 , 23 n
1, 2, 3, , n , 2 3 4 n 1

a
2
N
时,
2n
就有
xn
0
2 ,
lim n2 1 n 0.
n
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例4 设 q 1, 证明等比数列
的极限为 0.
证明 xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此，取
N

1

ln ln

q

则当 n > N
只要 n 1 即可。因此，取
n (1)n 1 成立。 故
n
N


lim
n
xn
1

,
则n N 时,
n 1n
lim

n
n
有
1
思考：取
N

1

1
可不可以？
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注意 的任意性 （1） 的作用在于衡量 xn 与 a 的接近程度，只要求 0
第一章
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
山东交通学院高等数学教研室
一、数列极限的定义
1.引例：截丈问题
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” —— 庄周
第一天截剩下的部分
x1

1 2
,
第二天截剩下的部分
x2

1 2

1 2

1 22
,
x3

1 23
,
第 n 天截剩下的部分
xn

1 2n
a xN2 x3 x
xn a 最多只有有限项落在该邻域之外
不能说由无限项在该邻域内，如 1 ,0, 1 ,0,
10 10
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注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例2 已知
证明
证明
xn 0


n
1
12
1 n 1

取
故
0, 欲使
N

1

1
,
lim
n
xn

lim
n
则当 n
1n n 12
只要
1 n 1


,
即
n

1

1.
N 时, 就有 xn 0 ,
0
也可由
xn
0

n
1
12
取N


1

1
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证明步骤：