同济大学《高等数学》数列的极限

-N定义：imxn=a→-1n->o0-Vε>0，N>0,使n>N时，恒有xn-a<e.-其中V:每一个或 给的；3：至少有一个或存在-几何解释：-28-a-8-a+8-X2 XI XN+1-尤N+2-当n>N时， 有的点x,都落在a-s,a+s内，-只有有限个（至多只有N个）落在其外-上页-返回
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法-例1证明i-n+-1-=1.-n->oo-xn-1=-n+-1"三-任给e>0,要xn-1<8,只要-。或2-所以，取N=,-则当n>N时，-就有-+-1-1<-即i-n -1”--1n→o-上页-返回
例2设xn=CC为常数，证明imx,=C.-证任给s>0,对于一切自然数n,-xn-C=C-C=0<ε成立 -所以，-lim x =C.-1n→oo-说明：常数列的极限等于同一常数-小结：用定义证数列极限存在时，关 是任意给-定ε>0，寻找N,但不必要求最小的N.-上页-返
2、截丈问题：-“一尺之棰，日截其半，万世不竭”-第一天截下的杖长为X1=-第二天截下的杖长总和的X,-2 2-I八-11八-第天裁下的杖长总和为X,-2是+A-Xn=1-12-→1-上页-返回
二、数列的定义-定义：按自然数1,2,3，∧编号依次排列的一列数-x称为数-列的项xn称为通项（一般项）.数列1记为xn}.-例如-2,4,8,Λ，2"， ；-{2"-111-248A2A-上页-返回
1,-1,1,Λ，-1"+1，Λ；{-1”--A;+-1-n-√3，V3+3,△，V3+V3+√Λ+3，Λ 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一-动点在数轴上依次取x1,x2,∧，xn,A·-x3x1x2北 xn-2.数列是整标函数xn=fn.-上页-返回

3
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + ⋯ + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
n −1
+ ⋯ + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
sin x 例6 求 lim . x→∞ x

1 xn − 1 < 4 10 只要n>10000即可．即从第10001项开始的以后所有项都
满足这一要求． 一般：要使
1 xn − 1 < k 10 只要n>10k 即可．即从第(10k+1)项开始的以后所有项都
满足这一要求．
对上面例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么 小，总可以找到自然数n，在这项以后的所有项与1的距 离都可以小于该数．数学上用ε 来表示一个任意小的正 数．由此得到极限的精确定义：
我们知道：两个数a 和b 的接近程度可用两数差的绝 对值来刻画．
(−1)n+1 x − 1 = 1 对数列 xn = 1 + ，n ，故只要n充分大， n n xn − 1 就充分小．例如要使
xn − 1 < 1 10 2
只要n>100即可．即从第101项开始的以后所有项都满足 这一要求；
再如，要使
3.极限的定义 定义 设数列 ( x n )n =1 ，如果存在常数a，使得对任意给
∞
定的正数ε (不论它多么小)，总存在自然数N，只要N>n, 不等式
xn − a < ε
都成立，那么称常数a 是数列 ( x n )n =1 的极限，，或则
∞
称数列 ( x n )n =1 收敛于a，记为
∞
lim xn = a,
∴ ∀ε > 0, 取δ = ε , 当 0 < x − (− 1 ) < δ , 有
从而当n>N时，有
xn = ( xn − a ) + a ≤ xn − a + a ≤ 1 + a ,
取
M = max{ x1 , x2 ,
xN ,1 + a },

3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及 是当x 时的两个无穷小,
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x 0时的无穷小,
又设是当x x 0时的无穷小,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M
当x x Байду номын сангаас时, u 为无穷小.
lim P ( x )
若Q( x 0 ) 0, 则商的法则不能应用.
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x 0 1 ( k 0,1,2,3,)

第二节 数列的极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1

则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则

]

,
当n


N时，有
n2 2n2
-1 - 5n
-
1 2

n2 1 1
lim n
2n2
5n

2
.
14
三、 收敛数列的性质
定理1（唯一性） 若数列{ xn } 收敛，则其极 限必唯一.
证
设
lim
n
xn

a,又设 lim n
xn

b，由定义知：

0, N1 , N 2 N ,
2
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2

R
正6 2n1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
当n越大时，An的面积与圆的面积的差别也就越小； 当n→∞时，内接正多边形的面积就无线接近于圆， 这就是极限的概念.
3
二、数列极限的定义
1、数列的定义
数列是整标函数: xn f (n) , n 1,2,,可表示为 {xn}：x1 , x2 , , xn , ；其中，为数列的通项 .
放大的原则： 1、使放大后的式子n 较为简单,且 n 0 (n ) ，再解不等式 n ，从而确定所要找的 N .
2、在放大过程中，为使式子简单，有时要限定n 必须大于某个正数， 并在最后确定N 的值时，考虑到这个前提条件.
12
例3 证明 lim 2n 2 . n 1 3n 3
以数列 {1 (1)n1} 为例，观察它当 n 时的变化趋势 . n
两个数的接近程度可用这两个数之差的绝对值来度量！

xn
1

( 1) n 1
1 n

2n 2 2n 1
成立.
发散数列 1n 也可能有界， 1 n 1 ；
无界数列 (1)n 2n 一定发散；
有界数列
1 2
1
(1)n
不
一
定
收
敛
，
1 2
1
(1)n
1，但当
n
为奇数时，
1 2
1
(1)
n
0 ；当
n
为偶数时，
1 2
1
(1)n
1.
综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的
2x 1 7 ，即 m f (x) M .此处 f x 2x 1 在x 3 处有定义，且当 x 3时， f x 的极限值恰好是f 2 .
例 8 由表达式
y
f
(x)
1
x, 0, x
x 0
0
1
的确定的函数，如图 1-26 所示.
O
1
x
图21-526
当 x 0时， f (x) 1 x，则lim f (x) lim(1 x) 1.
x2 x2
求 lim f (x), lim f (x),并由此判断lim f (x) 是否存在.
x2
x2
x2
解 lim f (x) lim (2x 1) 5, lim f (x) lim (x2 1) 5，
x2
x2
x2
x2
即 f (2 ) f (2 ) 5, 由函数 f (x) 在x 2 处极限存在的充要
自变 x x0的变化过程中，函数值 f (x)无限接近于 A，就
称 A 是函数 f (x)当
x
x0
时
极
限
.
记

设数列
lim
n
xn 存在，则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
n
xn

lim
k
xn k
.
用此定理，即可说明数列 1n 的极限不存在。事
实上：
lim
n
x2n1

1,
lim
n
x2n
1,
所以，lim n
xn
不存在.
值得注意的是，对于函数，我们不能用此定理来证明
个不同的子列，使函数收敛到两个不同的值，则说明函
数在这一点无极限.
lim
n
f
(xn )
y

A
lim
xx0
f
(x).
f (x2 )
f (x4 )
A
f (xn )
f (x3 )
f (x1)
O x1 x3
xn x0
y f x
lim
n
xn

x0,
x4 x2
x
例 证明函数 f (x) sin 在x 0时极限不存在.
即： f x 在x0的某个空心邻域内有界.

局部有界的几何意义
从图中可以看出局部有界的含义：函数 f x 在 x0 处 o
的极限为 A，则存在点x0的一个空心邻域 U (x0, ), 当
点 x0 在该邻域中，对应
的函数图形在某一个带
y
A+1
y f x
形区域中，而该邻域外 A
的点所对应的函数图形， A-1
x
证令
1
1
xn 2n 1 , yn 2n ,
2

第1章函数与极限1.1 复习笔记一、映射与函数1．集合（1）集合概念集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。

常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

（2）表示集合的方法通常有以下两种：①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。

（3）常见的集合①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈且P与q互质}；⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。

（4）集合的关系①包含关系设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。

规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。

若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。

②等价关系若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。

（5）集合的运算①并、交、差a．并集设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即。

b．交集由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即。

c．差集由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即。

得: n g ( ) 取 N [ g ( )]
n 1 （ lim 用定义证明： 1） n 2 n 1 2 1 n （2） lim 2 sin 0 n n 3
lim xn a
n
0,
自然数N
lim 一般地：若数列{yn}有界， xn 0 n
小
结（二）
3.数列极限的性质： （1）唯一性 （2）有界性 （3）不等式性质 （4）有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量
4.常用的结论：
（ lim C C 1）
n
（其中C为常数）
1 （2） lim p 0, （其中p为大于零的常数） n n
（3） q n 0, 其中 q 1. lim
重要极限Ⅱ
(e 2.71828)
例4 求下列极限
1 n (1) lim(1 ) n n 2 1 ( n 2 ) 2 lim(1 ) n n 2
1 n 2 (1 ) n 2 lim n 1 2 (1 ) n 2
1 n 2 lim(1 ) e n n 2 e 1 2 1 lim(1 ) n n 2
1 n ( 2) lim(1 ) n n n1 n n n 1 lim( ) lim( ) n n n 1 n n n lim ( ) n n 1 1 1 1 n 1 n 1 1 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) n n n n1 n1 n1 1 e
n sin n! (4) lim 2 n n 1
n 1 3 n 4 ( 3) lim( ) n n
6n n (5) lim n （ n cos ） n 7 5 2

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

推论 2 (xn 的极限)a b (或 a b ) xn b(或 xn b)
定理 1 数列极限的运算法则
设 lim xn a ， lim yn b ，则
n
n
（1）
nlim( xn
yn
)
limnBiblioteka xnlimn
yn
ab
；
（2）
lim (
n
xn
yn
)
lim
n
xn
lim
n
yn
ab
；
（3）
lim
n
cxn
证明：若此数列收敛，则其极限唯一， 设 lim xn a 。
n
则对于
1 2
，N
N
，
n N 时，
恒有
xn
a
1 2
，即 xn
(a
1 2
,
a
1) 2
。
因为当n 时， xn 重复 取得 1 和-1 这两个数，而
这两个数不可能同时属于长度为 1 的开区间(a 1 , a 1) 22
内，故此数列发散。
对n N ，总有 1 1 ，但 lim ( 1 ) lim 1 0 。
nn
n n n n
性质 3 及其两个推论的条件与结论可整理成下表
特点 定理
极限的特点
项 (n N)的特点
性质 3 (xn 的极限)a b ( yn 的极限) xn yn
推论 1 (xn 的极限)a b ( yn 的极限) xn yn
在{xn}中不满足 xn 1 a 的项不过是前 N 项：
x1 ，x2 ，…，xN 。
令 M max{ x1 , x2 , , xN ,1 a } ，则n N , 有 xn M 。