高考数学二轮复习阶段提升突破练(六)函数与导数文新人教A版

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

2019届高考数学二轮复习阶段提升突破练（六）理新人教A版一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2017·日照一模)“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.log2(2x-3)<1，化为0<2x-3<2，解得<x<；4x>8，即22x>23，解得x>.所以“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件.2.(2017·衡阳二模)函数f(x)=lnx+e x(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )A. B.C.(1，e)D.(e，+∞)【解析】选A.函数f(x)=lnx+e x在(0，+∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点.当x→0时，f(x)→-∞；又f=ln+=-1>0，所以函数f(x)=lnx+e x(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.3.(2017·泰安二模)函数f(x)=cosx的图象大致是( )【解题导引】先判断奇偶性，再取特殊值验证.【解析】选 C.因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又因为f(-x)=cos(-x)=-cosx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B；又x=时，f=cos>0，结合图象知C正确.【加固训练】(2017·汉中一模)函数f(x)=·sinx的图象大致形状为( )【解析】选A.因为f(x)=·sinx，所以f(-x)=·sin(-x)=-(-1)·sinx=·sinx=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除C，D；当x=2时，f(2)=·sin2<0，故排除B，故选A.4.(2017·深圳二模)设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是( )A.[-1，2]B.[-1，0]C.[1，2]D.[0，2]【解题导引】利用基本不等式，先求出当x>0时的函数最值，然后结合二次函数的性质进行讨论即可.【解析】选D.当x>0时，f(x)=x++a≥a+2=a+2，此时函数的最小值为a+2；当x≤0时，若a<0，则函数的最小值为f(a)=0，此时f(0)不是f(x)的最小值，故不满足条件；若a≥0，则要使f(0)是f(x)的最小值，则满足f(0)=a2≤a+2，即a2-a-2≤0，解得-1≤a≤2，因为a≥0，所以0≤a≤2.5.(2017·武汉一模)已知g(x)是R上的奇函数，当x<0时，g(x)=-ln(1-x)，且f(x)=若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )A.(-1，2)B.(1，2)C.(-2，-1)D.(-2，1)【解析】选D.若x>0，则-x<0，因为g(x)是R上的奇函数，所以g(x)=-g(-x)=ln(x+1)，所以f(x)=则函数f(x)是R上的增函数，所以当f(2-x2)>f(x)时，2-x2>x，解得-2<x<1.6.(2017·烟台一模)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a>0，b>0，c>0，d<0B.a>0，b>0，c<0，d<0C.a<0，b<0，c>0，d>0D.a>0，b>0，c>0，d>0【解析】选C.由函数的图象可知f(0)=d>0，排除选项A，B；函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c，当x∈(-∞，x1)，(x2，+∞)时，函数f(x)是减函数，可知a<0，排除D.故选C.【加固训练】(2017·济南二模)已知函数f(x)=x2sinx+xcosx，则其导函数f′(x)的图象大致是( )【解析】选C.因为f(x)=x2sinx+xcosx，所以f′(x)=x2cos x+cosx，所以f′(-x)=(-x)2cos(-x)+cos(-x)=x2cosx+cosx=f′(x)，所以其导函数f′(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B.又x=0时，f′(0)=1，过(0，1)点，排除D，故选C.7.(2017·泰安一模)已知函数f(x)=满足条件：对于任意x1∈R，且x1≠0，存在唯一的x2∈R且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2).当f(2a)=f(3b)成立时，则实数a+b=( )A. B.- C.+3 D.-+3【解题导引】根据条件得到f(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上单调，得a，b的关系进行求解即可.【解析】选D.若对于∀x1∈R，x1≠0，存在唯一的x2∈R，且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，所以f(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上单调，则b=3，且a<0，由f(2a)=f(3b)得f(2a)=f(9)，即2a2+3=+3=3+3，得a=-，则a+b=-+3.8.(2017·乌鲁木齐三模)已知k∈Z，关于x的不等式k(x+1)>在(0，+∞)上恒成立，则k的最小值为( )世纪金榜导学号92494303 A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 B.k>f(x)对任意x>0恒成立⇔k>f(x)max，其中f(x)=e-x·(x>0)，f′(x)=，所以f′(x)>0⇒x2+x-1<0⇒0<x<，f′(x)<0⇒x>，则f(x)max=f=，而0<<<1.又k∈Z，所以k min=1.二、填空题(每小题5分，共20分)9.(2017·菏泽一模)已知a≥ cosθdθ，则曲线f(x)=ax+ln(ax-1)在点(2，f(2))处切线的斜率的最小值为________.【解析】=×(sin-sin0)=，可得a-≥-=，f(x)=ax+ln(ax-1)的导数为f′(x)=a+·a·=a+，在点(2，f(2))处切线的斜率为k=a+=++≥2+=.当且仅当a=时，取得最小值.答案：10.若函数f(x)=x2+lnx-2mx在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________.【解析】由f(x)=x2+lnx-2mx在x∈(0，+∞)上是增函数，则f′(x)=2x+-2m≥0对x>0恒成立，所以2x+≥2m对x>0恒成立.而2x+≥2(当且仅当2x=，即x=时取等号)，所以2m≤2，m≤.答案：(-∞，)11.设函数f(x)=若f(x)恰有两个零点，则实数a的取值范围是________.【解析】令f(x)=0，解得x1=lo a，x2=a，x3=2a.因为要求函数有两个零点，所以lo a<1，a≥1，2a≥1中有且仅有2个成立.①当a≤0时，x1不存在，x2，x3不满足条件；②当a>0时，由lo a<1，得a<2.若0<a<2，则x1是函数的一个零点，又因为x2≤x3，所以x2=a<1且x3=2a≥1，即≤a<1时，函数有两个零点x1和x3；若a≥2，则x1≥1，不是函数的零点，x2，x3满足要求，是函数的零点.综上可知≤a<1或a≥2.答案：≤a<1或a≥212.关于函数f(x)=xln|x|的五个命题：①f(x)在区间上是单调递增函数；②f(x)只有极小值点，没有极大值点；③f(x)>0的解集是(-1，0)∪(0，1)；④函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为x-y+1=0；⑤函数g(x)=f(x)-m最多有3个零点.其中，是真命题的有________(请把真命题的序号填在横线上).【解题导引】此题研究函数f(x)的性质，可以从解析式看到，一方面f(-x)=-f(x)，函数是奇函数；另一方面，函数是分段函数f(x)=再逐项判断即可.【解析】①是研究函数是否在上单调递增.因为当x<-时，f′(x)=ln(-x)+1>0，所以①为真命题.②是判断函数极值点.当x<0时，令f′(x)=0，得x=-，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，又因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.故函数在x=处有极小值，在x=-处有极大值，②为假命题.③根据f(x)为奇函数，f(1)=0，f=-，以及上述单调性，可画出f(x)的大致图象，判定③为假命题.④在x=1处，即点(1，0)处，切线斜率k=f′(1)=ln1+1=1，所以切线方程为y-0=1×(x-1)，即x-y-1=0，故④为假命题.⑤g(x)=f(x)-m的零点个数即方程f(x)=m的解的个数，即y=f(x)与y=m两函数图象交点的个数.画出f(x)的图象，由图可知，当m∈∪时，交点有1个；当m=-，或或0时，交点有2个；当m∈∪时，交点有3个，故⑤为真命题.综上所述，①⑤为真命题.答案：①⑤三、解答题(每小题10分，共40分)13.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为f(x)=e x-，且y=e x是增函数，y=-是增函数，所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R，且f(-x)=e-x-e x=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且是奇函数，所以f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立.⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立⇔≤对一切x∈R恒成立⇔≤0⇔t=-.即存在实数t=-，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.14.已知函数f(x)=ax-lnx+1(a∈R)，g(x)=xe1-x.(1)求函数g(x)在(0，e]上的值域.(2)是否存在实数a，对任意给定的x0∈(0，e]，在[1，e]上都存在两个不同的x i(i=1，2)，使得f(x i)=g(x0)成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为g′(x)=e1-x(1-x)，所以g(x)在(0，1]上单调递增，在(1，e]上单调递减，且g(0)=0，g(1)=1，又g(0)=0<g(e)=e2-e，所以g(x)的值域为(0，1].(2)令m=g(x)，则由(1)可得m∈(0，1]，原问题等价于：对任意的m∈(0，1]，f(x)=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f(x)在[1，e]上不可能是单调函数.因为f′(x)=a-(1≤x≤e)，∈，当a≤0时，f′(x)=a-<0，所以f(x)在[1，e]上单调递减，不合题意；当a≥1时，f′(x)>0，f(x)在[1，e]上单调递增，不合题意；当0<a≤时，f′(x)<0，f(x)在[1，e]上单调递减，不合题意；当<a<1，即1<<e时，f(x)在上单调递减；f(x)在上单调递增，由上可得a∈，此时必有f(x)的最小值小于等于0且f(1)与f(e)中较小的值应大于等于1，而由f(x)min=f=2+lna≤0，可得a≤，则a∈∅.综上，满足条件的a不存在.15.已知函数f(x)=+nlnx(m，n为常数)的图象在x=1处的切线方程为x+y-2=0.(1)判断函数f(x)的单调性.(2)已知p∈(0，1)，且f(p)=2，若对任意x∈(p，1)，任意t∈，f(x)≥t3-t2-2at+2与f(x)≤t3-t2-2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=+nlnx的定义域为(0，+∞)，因为f′(x)=-+，由条件可得f′(1)=-+n=-1，把x=1代入x+y-2=0可得y=1，所以f(1)==1，所以m=2，n=-，所以f(x)=-lnx，f′(x)=--.因为x>0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.(2)由(1)可知，f(x)在[p，1]上单调递减，所以f(x)在[p，1]上的最小值为f(1)=1，最大值为f(p)=2，所以只需t3-t2-2at+2≤1或t3-t2-2at+2≥2，即2a≥t2-t+对t∈恒成立或2a≤t2-t对t∈恒成立.令g(t)=t2-t+，则g′(t)=2t-1-==，令g′(t)=0可得t=1.而2t2+t+1>0恒成立，所以当≤t<1时，g′(t)<0，g(t)单调递减；当1<t≤2时，g′(t)>0，g(t)单调递增.所以g(t)的最大值为max，而g=-+2=，g(2)=.所以g(t)max=，得2a≥，解得a≥.又令h(t)=t2-t=-，在上单调递增，所以h(t)min=h=-，得2a≤-，解得a≤-，综上，a≤-或a≥.16.(2017·济南二模)已知函数f(x)=bx-axlnx(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y=(1-a)x平行.(1)若函数y=f(x)在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值.(2)设g(x)=，若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立，求实数a的取值范围.【解题导引】(1)求出函数的导数，得到b-a=1-a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可.(2)问题等价于x1∈[e，e2]时，有g(x)min≤成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可.【解析】f′(x)=b-a-alnx，所以f′(1)=b-a，所以b-a=1-a，b=1，所以f(x)=x-axlnx.(1)函数y=f(x)在[e，2e]上是减函数，所以f′(x)=1-a-alnx≤0在[e，2e]上恒成立，即a≥在[e，2e]上恒成立，因为h(x)=在[e，2e]上递减，所以h(x)的最大值是，所以实数a的最小值是.(2)因为g(x)==-ax，所以g′(x)=-a=-+-a，故当=即x=e2时，g′(x)max=-a，若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立，等价于x1∈[e，e2]，有g(x)min≤成立，当a≥时，g(x)在[e，e2]上递减，所以g(x)min=g(e2)=-ae2≤，故a≥-，当0<a<时，由于g′(x)在[e，e2]上递增，故g′(x)的值域是[-a，-a]，由g′(x)的单调性和值域知：存在x0∈[e，e2]，使g′(x0)=0，且满足：x∈[e，x0)，g′(x)<0，g(x)递减，x∈(x0，e2]，g′(x)>0，g(x)递增，所以g(x)min=g(x0)=-ax0≤，x0∈[e，e2]，所以a≥-≥->，与0<a<矛盾，不符合题意，综上a≥-. 【加固训练】已知函数f(x)=(x2-2x)·lnx+ax2+2.(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.(2)当a>0时，设函数g(x)=f(x)-x-2，且函数g(x)有且仅有一个零点，若e-2<x<e，g(x)≤m，求m的取值范围.【解析】(1)当a=-1时，f(x)=(x2-2x)lnx-x2+2，定义域为(0，+∞)，f′(x)=(2x-2)lnx+(x-2)-2x.所以f′(1)=-3，又f(1)=1，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x+y-4=0.(2)令g(x)=f(x)-x-2=0，则(x2-2x)lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h(x)=，则h′(x)=--+=.令t(x)=1-x-2lnx，t′(x)=-1-=，因为t′(x)<0，所以t(x)在(0，+∞)上单调递减，又t(1)=h′(1)=0，所以当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以h(x)max=h(1)=1.因为a>0，所以当函数g(x)有且仅有一个零点时，a=1.当a=1时，g(x)=(x2-2x)lnx+x2-x，g′(x)=(x-1)(3+2lnx)，令g′(x)=0，得x=1或x=，又e-2<x<e，所以函数g(x)在(e-2，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，又g()=-e-3+2，g(e)=2e2-3e，g()=-e-3+2<2<2e=g(e)，所以g()<g(e)，g(x)<g(e)=2e2-3e，所以m≥2e2-3e.。

增分强化练(三十五)考点一 利用导数证明不等式(2019·乌鲁木齐质检)已知函数f (x )＝ln x ＋a x－x －2a ＋1. (1)若a ＝－2，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x ，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)<0. 解析：(1)当a ＝－2时，f (x )＝ln x －2x－x ＋5，f ′(x )＝1x ＋2x 2－1＝－x 2＋x ＋2x 2＝－(x 2－x －2)x 2＝－(x －2)(x ＋1)x2， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．(2)证明：f ′(x )＝1x －a x 2－1＝－x 2＋x －a x 2(x ＞0)，f (x )有两个极值点x 1，x 2得⎩⎪⎨⎪⎧1－4a >0x 1＋x 2＝1x 1x 2＝a，∴0<a <14，∴f (x 1)＋f (x 2)＝ln(x 1x 2)＋a (x 1＋x 2)x 1x 2－(x 1＋x 2)－4a ＋2＝ln a －4a ＋2， 令g (a )＝ln a －4a ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0<a <14，则g ′(a )＝1a －4＝1－4a a ＞0， ∴g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递增，∴g (a )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 14－1＋2＝1－ln 4＜0. ∴f (x 1)＋f (x 2)<0.考点二 利用导数解决不等式恒成立、存在性问题已知曲线f (x )＝b e x＋x 在x ＝0处的切线方程为ax －y ＋1＝0. (1)求a ，b 的值；(2)当x 2>x 1>0时，f (x 1)－f (x 2)<(x 1－x 2)(mx 1＋mx 2＋1)恒成立，某某数m 的取值X 围． 解析：(1)由f (x )＝b e x ＋x 得，f ′(x )＝b e x＋1，由题意得f ′(0)＝b e 0＋1＝a ，即b ＋1＝a ，又f (0)＝b ，∴－b ＋1＝0， 解得b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝e x＋x ，f (x 1)－f (x 2)<(x 1－x 2)(mx 1＋mx 2＋1)即为f (x 1)－mx 21－x 1<f (x 2)－mx 22－x 2，由x 2>x 1>0知，上式等价于函数φ(x )＝f (x )－ mx 2－x ＝e x －mx 2在(0，＋∞)为增函数， ∴φ′(x )＝e x－2mx ≥0，即2m ≤e xx，令h (x )＝e x x ，(x >0)，h ′(x )＝e x(x －1)x2， h ′(x )<0时，0<x <1；h ′(x )>0时，x >1；h ′(x )＝0时，x ＝1.∴h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h (x )min ＝h (1)＝e ，则2m ≤e，即m ≤e 2，所以实数m 的X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 2.考点三 利用导数研究函数的零点或方程的根(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R. (1)证明ln x ≤x －1;(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数.解析：(1)证明：令g (x )＝ln x －x ＋1，(x >0)，g (1)＝0.g ′(x )＝1x －1＝1－xx，可得x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．∴可得x ＝1时，函数g (x )取得极大值即最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)根据题意，f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x，x >0.令－2x 2＋ax 0＋1＝0，解得x 0＝a ＋a 2＋84，(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(x 0，＋∞)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f (x 0)．当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点1. 当a ＞1时，x 0＝a ＋a 2＋84>1，f (1)＝a －1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－14<0.f (2a )＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －122－12<0.∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1和区间(1,2a )上各有一个零点． 综上可得：当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点1. 当a ＞1时，函数f (x )有两个零点．。

阶段提升突破练(一) (三角函数及解三角形)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.要得到函数f(x)=2sinxcosx,x∈R的图象,只需将函数g(x)=2cos2x-1,x∈R的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选D.因为f(x)=2sinxcosx=sin2x,g(x)=2cos2x-1=cos2x,所以sin2x=cos=cos,所以f(x)可由g(x)向右平移个单位得到.2.已知函数f(x)=4(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示,若∠ABC=90°,则ω= ( )A. B. C. D.【解析】选B.根据三角函数图象的对称性可知,BC=CP=PA,又因为∠ABC=90°,所以BP是Rt △ABC斜边的中线,所以BP=BC=CP,所以△BCP是等边三角形,所以BP=4⇒BP=8,所以=2×8⇒ω=.3.在△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为角A,B,C成等差数列,所以B=,又sinC=(cosA+sinA)cosB,所以sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB,所以cosAsinB=cosAcosB,所以cosA(sinB-cosB)=0,即cosA=0或tanB=,即A=或B=,故选A.4.已知tanα=-3,tan(α-2β)=1,则tan4β的值为()A. B.- C.2 D.-2【解析】选B.因为2β=α-(α-2β),所以tan2β=tan[α-(α-2β)]===2,所以tan4β===-.5.将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为( )A. B.C. D.【解析】选 A.将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍变为y=3sin,再向右平移个单位变为y=3sin=3s in,令8x-=kπ⇒x=+,k∈Z,显然A选项,当k=0时满足.6.若α∈,且3cos2α=4sin,则sin2α的值为( )A. B.- C.- D.【解析】选C.3(cos2α-sin2α)=2(cosα-sinα),因为α∈,所以cosα-sinα≠0,所以3(cosα+sinα)=2,即cosα+sinα=,两边平方可得1+si n2α=⇒sin2α=-.7.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是各内角所对的边,若sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是( )A.b+c≤2aB.a+c≤2bC.a+b≤2cD.a2≤bc【解题导引】根据题中条件可以求出角A,结合余弦定理求出a,b,c三边的关系,选项可以看成比较大小,平方作差即可.【解析】选A.因为sin2A-cos2A=-cos2A=,且A为锐角,所以cos2A=-⇒2A=⇒A=,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos,即a2=b2+c2-bc,对于选项A,(b+c)2-4a2=b2+c2+2bc-4(b2+c2-bc)=-3b2-3c2+6bc=-3(b-c)2≤0,故选A.8.已知函数f(x)=2sin(ωx-φ)-1(ω>0,<π)的一个零点是x=,x=-是y=f(x)的图象的一条对称轴,则ω取最小值时,f(x)的单调增区间是( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解题导引】首先根据x=,x=-分别是零点和对称轴表示出ω,结合ω的X围求出其最小值,根据对称轴的取值,求出φ的值,然后再求单调增区间.【解析】选B.由条件得sin=,sin=±1,所以-φ=2kπ+或2kπ+(k∈Z).--φ=tπ+(t∈Z),所以ω=2(2k-t)±.因为ω>0,k,t∈Z,所以ωmin=,此时--φ=tπ+,t∈Z,所以φ=-tπ-π(t∈Z),因为<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin-1,由-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z),得-+3kπ≤x≤-+3kπ(k∈Z).所以f(x)的单调增区间是,k∈Z. 二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知函数f(x)=2sinxcosx-2sin2x,x∈R,则函数f(x)在上的最大值为__________.【解析】f(x)=sin2x+cos2x-1=2(sin2x+cos2x)-1=2sin-1.因为0≤x ≤,所以≤2x+≤,所以≤sin≤1,于是1≤2sin≤2,所以0≤f(x)≤1.所以当且仅当2x+=,即x=时,f(x)在上取最大值,最大值为f=1. 答案:110.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(0)的值是____________.【解析】因为T=-=π,所以T=π,所以ω=2.把代入,得2sin=2⇒π+φ=+2kπ,所以φ=-+2kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=2sin,所以f(0)=2sin=-.答案:-11.若tanα+=,α∈,则sin+2cos cos2α的值为__________. 【解题导引】首先求出tanα的值,然后结合sin2α+cos2α=1,整体转化成正切求解即可.【解析】因为tanα+=,所以3tan2α-10tanα+3=0,解得tanα=或tanα=3,又α∈,所以tanα=3,sin+2cos cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α===0.答案:012.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c且a2+b2-c2=ab,c=3,sinA+sinB=2sinAsinB,则△ABC的周长为__________.【解题导引】首先求出角C,然后将sinA+sinB=2sinAsinB两边同乘以sinC并结合正弦定理求出边的关系.【解析】由a2+b2-c2=ab及余弦定理,得cosC===,又C∈(0,π),所以C=,由sinA+sinB=2sinAsinB,得(sinA+sinB)sinC=2sinCsinAsinB,(sinA+sinB)sinC=2sin sinAsinB得(sinA+sinB)sinC=3sinAsinB,再结合正弦定理,得(a+b)c=3ab,代入c=3,得a+b=ab.再结合a2+b2-c2=ab,得(a+b)2-2ab-9=ab,得(ab)2-3ab-9=0,得2(ab)2-3ab-9=0,得(2ab+3)(ab-3)=0,解得ab=-(舍去)或ab=3.所以a+b=3,a+b+c=3+3.答案:3+3三、解答题(每小题10分,共40分)13.已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程.(2)讨论函数f(x)在上的单调性.【解析】(1)因为f(x)=sinωx-cosωx=sin,且T=π,所以ω=2.于是f(x)=sin,令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).注意到x∈,令k=0,得函数f(x)在上的单调增区间为;同理,其单调减区间为.14.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且4bsinA= a.(1)求sinB的值.(2)若a,b,c成等差数列,且公差大于0,求cosA-cosC的值.【解析】(1)由4bsinA=a,根据正弦定理得4sinBsinA=sinA,所以sinB=.(2)由已知和正弦定理以及(1)得sinA+sinC=①,设cosA-cosC=x ②,①2+②2,得2-2cos(A+C)=+x2③,又a<b<c,A<B<C,所以0<B<,cosA>cosC,故cos(A+C)=-cosB=-,代入③式得x2=,因此cosA-cosC=.15.公园里有一扇形湖面,管理部门打算在湖中建一三角形观景平台,希望面积与周长都最大.如图所示扇形AOB,圆心角AOB的大小等于,半径为2百米,在半径OA上取一点C,过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.设∠COP=θ.(1)求△POC面积S(θ)的函数表达式.(2)求S(θ)的最大值及此时θ的值.【解题导引】(1)根据正弦定理求出对应边长,然后利用面积公式求出.(2)根据(1)的结果展开,重新化一,转化成三角最值问题即可.【解析】(1)因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=-θ,在△POC中,由正弦定理得=,即=,所以CP=sinθ,又=,所以OC=sin.于是S(θ)=CP·OCsin=·sinθ·sin×=sinθ·sin.(2)由(1)知S(θ)=sinθ·sin=sinθ=2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ-=sin-,令2θ+=2kπ+,k∈Z,即θ=kπ+,k∈Z,因为0<θ<,所以当θ=时,S(θ)取得最大值为.16.已知a=,b=,函数f=a·b+.(1)求函数y=f图象的对称轴方程.(2)若方程f=在上的解为x1,x2,求cos的值.【解题导引】(1)根据向量的数量积,表示出f(x),并化简即可.(2)根据对称性找到x1,x2的等量关系,结合三角恒等变换知识可解.【解析】(1)f=a·b+=·+=sinx·cosx-cos2x+=sin2x-cos2x=sin,令2x-=kπ+,得x=+π,即y=f的对称轴方程为x=+π.(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知与关于x=对称,则x1+x2=,所以cos =cos=cos=cos=sin=.。

1 / 3【创优导学案】高考数学总复习 第二章 函数与导数 2-13课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 349 解析为教师用书独有) (时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知连续函数f (x )的导函数图象如图所示，则( )A ．x 1，x 2是极小值点，x 3是极大值点B ．x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点C ．x 1，x 3是极大值点，x 2是极小值点D ．x 2，x 3是极大值点，x 1是极小值点解析 B 由导函数图象可以看出，当x <x 1时，f ′(x )<0，则f (x )在(－∞，x 1)上单调递减；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，则f (x )在(x 1，x 2)上单调递增；当x 2<x <x 3时，f ′(x )<0，则f (x )在(x 2，x 3)上单调递减；当x >x 3时，f ′(x )>0，则f (x )在(x 3，＋∞)上单调递增．故x 1，x 3是函数的极小值点，x 2是函数的极大值点．2．(·西安十校联考)若函数y ＝f (x )可导，则“f ′(x )＝0有实根”是“f (x )有极值”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 A f (x )有极值⇒f ′(x )＝0有实根，反之不一定成立，故选A. 3．函数y ＝x ＋1x(－2＜x ＜0)的极大值为( )A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在解析 A y ′＝1－1x2，令y ′＝0，得x ＝－1.当－2＜x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0. ∴f (x )极大值＝f (－1)＝－2.4．(·兰州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 B f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，若f (x )有极大值和极小值，则Δ＝(2a )2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，得a >6或a <－3.5．函数f (x )＝12(e x ＋e －x)取极小值时，x 为( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在解析 C f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 当x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数．∴x ＝0时，函数f (x )取极小值．6．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子的最大容积是( )A ．134 cm 3B ．144 cm 3C ．102 cm 3D ．98 cm 3解析 B 设小正方形边长为x cm ，则盒子容积V (x )＝x (10－2x )(16－2x )＝4(x 3－13x 2＋40x )(0＜x ＜5)． ∴V ′(x )＝4(3x 2－26x ＋40)＝4(3x －20)(x －2)． 令V ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝203.但 203∉(0,5)，∴x ＝2. ∵极值点只有一个，可判断该点就是最大值点．∴当x ＝2时，V (x )最大，V (2)＝4(8－52＋80)＝144 cm 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知f (x )＝x e －x，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________. 解析 f ′(x )＝e －x－x e －x＝e －x(1－x )， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ＞1时，f ′(x )＜0；当x ＜1时，f ′(x )＞0. ∴x ＝1时，f (x )取极大值，f (1)＝1e.又∵f (－2)＝－2e 2，f (2)＝2e 2，∴M ＝1e ，m ＝－2e 2.故M －m ＝1e ＋2e 2. 【答案】 1e＋2e 28．已知实数a ＞0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32，则实数a 的值为________． 解析 令f ′(x )＝a (x －2)2＋ax ·2(x －2)＝a (x －2)·(3x －2)＝0，得x ＝2或x ＝23.2 / 3又a ＞0，∴当x＜23或x ＞2时，f ′(x )＞0；当23＜x ＜2时，f ′(x )＜0.∴x ＝23时，f (x )取极大值．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝a ·23⎝ ⎛⎭⎪⎫23－22＝32，解得a ＝27. 【答案】 279．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－6b ，令f ′(x )＝0，得x ＝±2b .若f (x )在(0,1)内有极小值，则方程正根x ＝2b 在(0,1)内，即0＜b ＜12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 三、解答题(本大题共3小题，共40分) 10．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5.(1)若曲线f (x )在点(1，f (1))的切线斜率为3，且x ＝23时，f (x )有极值，求函数f (x )解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． 解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′(1)＝3，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3，3×49＋2a ×23＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，经检验符合题意．∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23.f (x )、f ′(x )随x 的变化情况如下表：x (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值13极小值9527由此可知f (x )极大值＝f (－2)＝13，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527.又∵f (－4)＝(－4)3＋2×(－4)2－4×(－4)＋5＝－11，f (1)＝13＋2×12－4×1＋5＝4， ∴f (x )max ＝13，f (x )min ＝－11.11．(12分)(·山东高考)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解析 (1)设容器的容积为V . 由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3.又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43(20r2－r )． 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r 2－r )×3＋4πr 2c .因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r <2.由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减．3 / 3所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝320c －2.12．(16分)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x＞x 2－2ax ＋1.解析 (1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减2(1－ln 2＋a )单调递增故f (x )2处取得极小值， 极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )． (2)设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0.于是对任意x ∈R 都有g ′(x )＞0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x－x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.。

第2讲 基本初等函数、函数的应用高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <aD.c <a <b解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138， 即a <b <c .故选A. 答案 A2.(2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( ) A.a >2b B.a <2b C.a >b 2D.a <b 2解析 由指数和对数的运算性质可得 2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b . 故选B. 答案 B3.(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60B.63C.66D.69解析 因为I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53），所以当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ⇒11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e－0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e 0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C. 答案 C4.(2020·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(22，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，22) C.(－∞，0)∪(0，22) D.(－∞，0)∪(22，＋∞)解析 法一 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝f （x ）|x |恰有3个实根即可.令h (x )＝f （x ）|x |，即y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）|x |的图象有3个交点.h (x )＝f （x ）|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞0，1，x ＜0.当k ＝0时，此时y ＝|kx －2|＝2，如图①，y ＝2与h (x )＝f （x ）|x |的图象有1个交点，不满足题意；当k ＜0时，如图②，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）|x |的图象恒有3个交点，满足题意；当k ＞0时，如图③，由y ＝kx －2与y ＝x 2联立，得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＞0，得k 2－8＞0，解得k ＞22或k ＜－22(舍去)，此时y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）|x |的图象有3个交点.综上，k 的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞).故选D.法二 由法一知y ＝|kx －2|与h (x )＝f （x ）|x |的图象有3个交点，令k ＝－12，检验知符合题意，可排除选项A ，B ；令k ＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D. 答案 D考 点 整 合1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(4)log a MN ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog b a (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)(2020·百校联盟考试)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋a )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎦⎤－12，1D.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析 (1)当a >1时，y ＝1ax 是减函数，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数，且y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象过定点⎝⎛⎭⎫12，0，则选项A ，B ，C ，D 均不符合.从而0<a <1，此时y ＝1ax 是增函数，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是减函数，且y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象过定点⎝⎛⎭⎫12，0，只有选项D 适合. (2)∵f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为减函数，且y ＝log 12t 在(0，＋∞)上为减函数，∴t ＝x 2－ax ＋a 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，且t ＞0.因此－－a 2≤12，且⎝⎛⎭⎫122－a 2＋a ≥0，解得a ≤1且a ≥－12，则a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 答案 (1)D (2)B探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如本例(2)中易只考虑y ＝log 12t 与t ＝x 2－ax ＋a 的单调性，而忽视t ＞0恒成立的限制条件. 【训练1】 (1)(2020·天津卷)设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b(2)(2020·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3) 解析 (1)因为a ＝30.7＞30＝1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8＞30.7，c ＝log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，所以b ＞a ＞c .故选D.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3，综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3). 答案 (1)D (2)D热点二 函数的零点与方程 角度1 确定函数零点个数或范围【例2】 (1)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(1，2)D.(2，3)(2)(2020·武汉二模)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________. 解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数. f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1，2)内.(2)f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 答案 (1)C (2)2探究提高 判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2B.3C.4D.5(2)函数y ＝|log 2x |－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个.(2)函数y ＝|log 2x |－⎝⎛⎭⎫12x的零点，即方程|log 2x |－⎝⎛⎭⎫12x＝0的根，即函数y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x图象的交点，画出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，易知交点有2个.选C. 答案 (1)B (2)C角度2 根据函数的零点数形结合求参数【例3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)(2)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x ，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤54，94 B.⎝⎛⎦⎤54，94 C.⎝⎛⎦⎤54，94∪{1}D.⎣⎡⎦⎤54，94∪{1}解析 (1)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝ －x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.(2)如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象.①当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况.当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1，2)时，则a ＝94.所以0≤a ≤94.②当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况：ⅰ相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝⎛⎭⎫2，12，则a ＝1. ⅱ相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点.过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤54，94∪{1}.故选D.答案(1)C(2)D探究提高解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】(1)若函数f(x)＝|log a x|－3－x(a>0，a≠1)的两个零点是m，n，则()A.mn＝1B.mn>1C.0<mn<1D.无法判断(2)(多选题)(2020·临沂调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若x∈[0，2]，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是()A.当x∈[－2，0]时，f(x)＝2－x－1B.f(2 019)＝1C.y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称D.函数g(x)＝f(x)－log2x有3个零点解析(1)令f(x)＝0，得|log a x|＝13x，则y＝|log a x|与y＝13x的图象有2个交点，不妨设a>1，m<n，作出两函数的图象(如图)，∴13m>13n，即－log a m>log a n，∴log a(mn)<0，则0<mn<1.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，则该函数的周期为4.当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(x)＝f(－x)＝2－x－1，所以A正确.f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，所以B正确.若y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)＋f(1)＝0，但是f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＋f(1)≠0，与f(3)＋f(1)＝0矛盾，所以C错误.作出函数y＝f(x)，y ＝log 2x 的大致图象，如图.由图可得函数g (x )＝f (x )－log 2x 有3个零点，所以D 正确.故选ABD. 答案 (1)C (2)ABD 热点三 函数的实际应用【例4】 (2020·新高考山东卷)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( ) A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天解析 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38(t 2－t 1)＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2， ∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.故选B. 答案 B探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去. 2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 (2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3. 设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1R B.M 22M 1R C.33M 2M 1R D.3M 23M 1R 解析 由α＝rR 得r ＝αR ，代入M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.又3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，即3α3≈M 2M 1，所以α≈3M 23M 1， 故r ＝αR ≈3M 23M 1R . 答案 DA 级 巩固提升一、选择题1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116B.19C.18D.16解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B.答案 B2.已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <bD.b <c <a解析 由对数函数的单调性可得a ＝log 20.2<log 21＝0，由指数函数的单调性可得b ＝20.2>20＝1，0<c ＝0.20.3<0.20＝1，所以a <c <b .故选B. 答案 B3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0. 答案 D4.(2019·全国Ⅱ卷)若a >b ，则( ) A.ln(a －b )>0 B.3a <3b C.a 3－b 3>0D.|a |>|b |解析 法一 不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确. 法二 由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立， 则ln(a －b )>0不一定成立，故A 不一定成立.因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立.因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立.因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，D 项不正确. 答案 C5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1解析 设太阳的星等为m 1，天狼星的星等为m 2，则太阳与天狼星的亮度分别为E 1，E 2. 由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.答案 A6.(2020·广州模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( )A.2B.3C.4D.5解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点. 答案 A 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.答案 (1，3]∪(4，＋∞)8.已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝________.解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，因此a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，∴a ＝2b ，b 2＝2b ，又b ＞1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 29.(2020·重庆质检)已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________.解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c.依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 答案 c ＜a ＜b 三、解答题10.已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f （x ），且当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点，求实数a 的取值范围. 解 ∵偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f （x ），∴f (x －2)＝f (x －1－1)＝1f （x －1）＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2， 又x ∈[－1，0]时，f (x )＝x 2，∴x ∈[0，1]时，f (x )＝f (－x )＝x 2，从而f (x )＝x 2，x ∈[－1，1].在区间[－1，3]内函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点等价于函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1，3]内有3个交点.当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，解得3<a <5.故实数a 的取值范围为(3，5).B 级 能力突破11.(2020·贵阳质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4B.5C.6D.3解析 当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x )的图象，g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13，当t ＝13，即f (x )＝13时，g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根， 综上，g (x )共有四个零点. 答案 A12.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值. (1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2， 则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2. 由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”. (2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ， 则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”， 由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝⎛⎭⎫e －122＝e2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”. 因此，a 的值为e 2.。