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(1)n1 n
当n时极限的实 .
根据这一特点得到数列极限的精确定义.
定义3 设{an}为一数列，如数 果 a,对 存任 在意 常给定
正 数, 总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
an a
都成立,那么称常数a是数列{an}的极限.记作 ln i m an a.
说明：(1) 具有任意性，确定性，N 存在性与 有关;
n
无限接近0,于
则 0就是 数 (1n)列 n1 当 n时的.极 限
定义2 设{an}是一数列，a是一常数. 当n时,an无 限
接近于a, 则 a 为 称数 a n 当 n 列 时的 ,或极 称数 an限 列
收敛于a, 记作
lniman a 或 an a(n ).
反之，如果数列{an}的极限不存在，则称数列{an}发散.
1, , , ,, 23 4
n ,.an
(1)n1 n
说明： (1) 数列是以自然数为定义域的函数
anf(n)n ,N.
(2)几何上，数列看做数轴上一个动点，依次取数轴
上的点 a1,a2,,an,.
a3 a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是 极限思想在几何上的应用. 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
2
lim
n
an
a,
故存在N1 ,使当n >N1 时,
an a
b
2
a
,从而 an
a
2
b
;
同理,因
lim
n
an
b,
故存在N2,
使当n
>N2
时,有
xn
b
ba, 2
从而
an
ab. 2
取 N max N1 , N2 ,
则当n>N 时,an同时满足的不等式
an
a
2
b
和
an
a
2
b ，矛盾,
因此收敛数列的极限必唯一.
n
1 n
,
对
0,要
使 an0,
即
1 n
,
n
1
,
取N
1
,
(1)n1 当nN时,有 n
0Leabharlann ,由极限的定义知(1)n1 lim
0.
n n
例2 证 明 lim3n13. n2n1 2
证明
an a
3n 1 3 2n 1 2
1
1
4n 2 4n 2
1, 4n
对
0,
要
使3n13 2n1 2
,
从 N+1 项开始，有aana.
a 2 a
a a 2 a 1 a N 1
aN2 a 3
x
当 n N 时 ,所a 有 n 都 ( a 的 落 ,a ) 点 内 在 ,只
有限 (至 个多N 只 个 )有 落在.其外
例1 证明 lim(1)n1 0. n n
证明
an a
(1)n1 0
一、数列的极限
1.定义1 形如 a1,a2,,an, 的一列数称为数列， 数列中的每一个数叫做数列的项，
第 n 项 an叫做数列的一般项或通项.
例如,
111 1 2,4,8,,2n,;
an
1 2n
1,1,1,,(1)n1,; an (1)n1
1,2,3,, n ,; 2 3 4 n1
an
n n1
11 1 (1)n1
0
.
由极限的定义知
1
lim
n
2n
0.
说明：(1 )等比 q n(q 数 1 )的 列 极 0 . 限为
(2)用定义证明数 ，N列 与有 极关 限， 时但. 不
二、数列极限的性质
定理1(极限的唯一性) 收敛的数列极限唯一.
证明(反证法)假设
lim
n
an
a,
lim
n
an
b
,不妨设a
b.
依据极限,的 取定 b义 a, 因
an无 限 接a,近 如于 何 度 an与量 a的接近程度?
例如，数 列 (1n )n1 ,当 n 时 ,an(1n )n1无限接 0.
由于
(1)n1 1
an 0
n
, n
当n越来越大时，1 n
越来越小，从而an越来越接近于0.
例如，给定 1 , 要使1 1 , 只要 n>100即可.
100
n 100
即从101项开始都能使
an
0
1成 100
立.
给定 1 , 要 使1 1 ,只要 n>10000即可.
10000
n 10000
即从10001项开始都能使
an
0
1成 100
立.
一般地，不论给定的正数多么的小，总存在一个正整
数N, 使得当n >N时，不等式
an a
都成立.这就是数列
an
(2)不 等 an式 a刻 划 an与 了 a的 无限 ; 接
(3)数列的极限与前面的有限项无关. (4)定义简写 lniman a
0 , N 0 ,当 n N 时 ,有 a n a .
几何解释：
l n ix n m a 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 a n a 有 .
定理2(收敛数列一定有界) 收敛数列必有界.
即收 a n , M 敛 0 ,对 n 数 一 N ,有 a n 列 切 M .
证明
设
lim
n
an
a,
取
1,则N, 当n
N
时,
有 an a 1, 从而有
a 1 an a 1
取 M max x1 , x2 , , xN , a 1, a 1
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:
正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
R
…
正62n1 边形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n, S圆的面积
说明：当 n 的取值无限增大时，面积 An 无限接近 一个确定的常数 S. ——数列的极限
再如数列
(
1) n
n
1
：
当n时, (1)n1
只
要1 4n
,
n 1 ,
4
取N
1
4
,
当nN时,有3n1 2n 1
3 2
.
由极限的定义知
l
i
m3n1
3 .
n2n1 2
例3 证明ln i m21n 0.
证明
an a
1 2n
0
1 2n
,
对 0(设 1),
要使1 2n
0
, 即
1 2n
,
取 对 数 n得 ln,
ln2
取N
ln
ln2
,
当nN时,有21n
则有 xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如 (1 )n1
定理3(收敛数列的保号性)
若
lim
n
an
a ,且a
在上例中，
1
lim
n
2n
0,
(1)n1
lim
0,
n n
n lim 1. n n1
而 ( 1 ) n 1随 n 的 着 不 ,在 1 和 1 之 断,根间 增 据
极限(的 1 )n 1定 不义 存.， 在极限
问题：在极限,ln的 i m an 定 a表 义 示 n 中 当 时 ,
