高数(数列的极限)

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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质

（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ，证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ，当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调数列。调减少）的数列统称为单调数列调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理）定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ，从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1

《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，因此，函数的连续性可以看作是极限的一种特殊情况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具，而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜率存在，而这个切线斜率可以通过函数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数，这个常数就是函数的极限值。函数极限和数列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关，如导数、定积分等。通过数列极限，我们可以更好地理解这些概念的本质和性质。同时，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观地理解数列收敛和发散的概念。在平面坐标系中，我们可以绘制数列的图像，通过观察图像的变化趋势来理解数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的点，而发散数列的图像则会远离这个点。通过比较不同数列的图像，我们可以更好地理解数列极限的性质和特点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区间套，则该数列收敛。

高数极限概括

x 2 n 1 x2 n
• • • • •

• • • • •
x4
x2
x
1 1 0 1 x1 n 2 x3 M 1 ( 1) n 不单调, 但有界 ( 可取 M 1 ). n
n : 1 , 2 , 3 , , n , ( 4) n 1 n 1 2 3 4
1 2n 1 8
x2
1 4
x1
1 2
0
x
(3) { ( 1) n 1} : 1, 1, 1, 1, , ( 1) n 1 ,
通项 : xn ( 1) n 1.
x2n
–1
所有的偶数项
x 2 n 1
x
0 1
所有的奇数项
数列的性质
单调性
有界性
定义2
若 {xn } 满足 x1 x2 xn , 则称
如果 N 存在, 则其不唯一, 所有大于N 的正整数均可取作为N . 并且N 与有关,
可记为 N N ( ), 一般说来 , 值越小, 则
N 的值越大.
1 不等式 1 1 称为目标不等式. n
通过目标不等式来寻找 N > 0 , N = N().
n > N 描述 n .
x1 x2 x3 … xn … 0
1 2
••••• •••••
x
2 3… n … 1 n 1 3 4
n , 有界( 可取 M 1 ). n 1
(5) {2 n } : 2, 4, 8, , 2 n ,
x1 0 2
x2 … xn …
•••••
4
… 2n …
• • • • •• • • • •

高数极限概括.

(1) yn xn zn , n N (或从某一项开始) ;
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则
lim
n
xn
a
想想：如何证明夹逼定理?
因为
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
所以
0, N1 0, 当 n N1 时, | yn a | ,
正小数的 , | xn1 | 总会小于这个 , 条件是只要
n充分的大。究竟要取多大呢？下面来分析：
事实上,
|
xn
1 |
1 n
,给 1
1000
, 很小,
要
|
xn
1 |
1 n
1 1000
, 只须n>1000 即可,
也即在这个
数列中,从第1001项开始,以后各项都有|
xn
1|
1 1000
.
又给 1 , 则从第10001项开始,
10000
以后各项都有
|
xn
1 |
1 10000
.
一般,
任给
>0,
不论多么小,
要使 |
xn
1|
1 n
只须 n
1
. 因此, 从第
1
1
项开始, 以后各项都有
| xn 1| . 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,
xn会越来越接近于1.
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
如果固定 ,则似乎可以得到
{xn} 有界的结论?
定理2（有界性定理）
若数列{ xn }收敛, 则{ xn }必有界.

大一高数课件—§1.1、1.2 数列极限

A , 所以
,
0 , 正整数
K1
当 k K 1时 , x 2 k A
又 lim x 2 k 1 A , 所以 , 对以上正整数 K 2
k
当 k K 2时 , x 2k 1 A .
取 N max{ 2 K 1 , 2 K 2 1 }, 当 n N 时由以上知
xn A ,
1 n
0 lni mxnyn
2)xn
2n,
yn
1 n
2 lni mxnyn
福州大学 2020/4/21
5
(c)
若
{
x
n
}
是任意数列，而
lim
n
yn
0
问
lni mxnyn 0？
不一定
1)xn
1, 2n
yn
1 n
2)xn
2n,
yn
1 n
0 lni mxnyn 2 lni mxnyn
(d) 若
11
,
42 2
P5为
12P5
为1
4
11, 1 82
,
1 22
213
,L
,
Pn
为
限1 P 位n 为1 2 置坐12标21 2 为 14 2 1318L nllniimm(1[121 ([)11n 12214((2 )n1 n 1122 (122)当)n12121n)]n 1
时
2 3]
1 2
,
P
n的极 1 6
不一定
问 lnim（xn yn) 是否存在？
0 1 ) x n( 1 )n ,yn( 1 )n 1 lni m （xnyn)
2)xn( 1 )n,yn( 1 )n lni m（xnyn) 不存在，

高数数列极限经典例题

高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。

极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。

首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。

这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。

通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。

再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。

这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。

可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。

解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。

当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。

以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。

当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。

102高数数列的极限

4. 如何判断数列1, -1, 1, -1, , (-1)n1, 是发散的？
答：奇数项构成的子数列的极限为1，偶数项构成
的子数列的极限为-1，极限不同，故该数列发散。
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铃
内容小结
1. 数列极限的 “ e – N ” 定义及应用.
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限.
分析:
|xn-1|= |
n(-1)n-1 n
-1|=
1 n
.
对对于于ee>>00,,要要使使|x|nx-n-11||ee,,
只只要要11ee
nn
,
,
即即nne1e1
. .
N
=
1
e
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铃
lim
n
xn
=a
e
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|e
.
例例22. 证明 lim (-1)n = 0 . n (n1)2
有|xn-a|e
.
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铃
例如, 1 , 2 , 3 , , n ,
2 3 4 n1
xn
=
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
= n (-1)n-1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn = 2n (n ) 发
xn = (-1)n1 趋势不定散
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一、数列极限的定义
❖引例如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.

高数上1.3数列极限与性质

2n2 n 4 2 2 2n2 n 4 n
所以
n2 n 4 1
lim
n
2n2
n
4
2
分析:
3 n2 nn44
22n22n2 n
n4
4
1 2
3 2
3n 22n
22n2n43nn4
1 n4
这对是任一意个不>易0,取求N解=的[1绝/对]即值可不。等式，必须使用放大法
为了去掉绝对值，不妨设n>4,则有
对 ε >0, 数列点xn落入U(1, ε ) |xn-1|<ε
对于任意给定的正数 ,(这个正数可以任意小), 一定存在某一时刻N, 距离|xN1| , 而且从N以后的所有xn与1的距离|xn1|都小于 ,
当越变越小时, 始终存在时刻N, 当n>N时, 都有 |xn1|< ,
当 0 时, 距离 |xn1| →0.
,只要
n
10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,不等式 xn a 都成立,那么就称常数 a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于 a,记为
则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,

高数课件数列的极限

注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 , 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.
取
N [ 1 1] ,
2 有界性
定义对数列 xn, 若存在正数M , 使得一切自然数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界,
否则, 称为无界.
例如,
数列 xn
n; n1
有界
数列 xn
2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2 收敛的数列必定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
的项, xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn } .
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,1 4,Fra bibliotek1 8
,,
1 2n
,;
{2n } 1
{2n }
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1 }

大一高数数列的极限知识点

大一高数数列的极限知识点数列与极限是大一高等数学中的基础概念之一，对于理解数学的发展和推导过程具有重要意义。

本文将介绍大一高数中数列的概念及其与极限的关系，帮助读者更好地理解这一知识点。

一、数列的定义和性质数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

通常用a₁, a₂, a₃,..., an来表示，其中a₁为首项，a₂为第二项，an为第n项。

一个数列可以是等差数列、等比数列、递归数列等，不同的数列按照不同的规律生成。

例如，等差数列的规律是每一项与前一项的差值都相等，而等比数列的规律是每一项与前一项的比值都相等。

数列的性质包括有界性、单调性和有限性。

有界性指数列的所有项都在某一区间内，分为上有界和下有界；单调性表示数列中的项按照一定的规律递增或递减；有限性说明数列的项数是有限个。

二、数列的极限定义数列的极限是数列中的项随着项数增加而趋于的某一个确定的值。

数列的极限可以是有限值，也可以是无限值。

1. 数列极限为有限值的情况：设数列an的极限为A，即lim(n→∞) an = A。

当数列的项无论如何变化，当项数足够大时，与极限A的差值可以任意小，即对于任何ε > 0，都存在正整数N，使得当n > N时，|an - A| < ε 成立。

2. 数列极限为无穷大的情况：当数列的项随着项数增加而趋向于正无穷或负无穷时，我们说数列的极限为无穷大或负无穷大。

特别地，当数列的绝对值越来越大，且无论项数有多大，都可以找到其中某一个项，使得其绝对值大于任意给定的正数M，我们说数列的极限为正无穷大。

三、数列极限的性质1. 数列极限唯一性：如果数列an的极限存在，那么极限是唯一的。

即若lim(n→∞) an = A，lim(n→∞) an = B，则A = B。

2. 数列有界性与极限：如果数列an存在极限，那么它一定是有界的。

有界性分为上有界和下有界。

即存在正常数M，使得对于数列的所有项都有|an| ≤ M成立。

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(2). N的存在性（能找到）, N 依赖 ( N N ( ))
越小，通常正整数N 越大.
（但不是函数关系，因N不唯一）
(3). xn a 的一致性：n N 的一切 xn 成立.
(4). 0 任意、给定二重性：
只有任意（小）才能刻划出 xn “无限接近于a ”，而只有给定才能找到相应的N.
n
n
【证】
xn 1
n (1)n1 1 n
1 n
任给
0,
要 xn 1 ,
只要 1 ,
n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1
n
即lim n (1)n1 1.
n
n
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【例2】
证明：lim n
(
(1)n n 1)2
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定
0,
只要 n N ( [1])时,
有பைடு நூலகம்
xn 1 成立.
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10/29
1.【精确定义】
设{xn}为一数列, 若存在常数a , 对任给定的正数 ε(不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n >N 时，
第一天截下的杖长为
X1
1; 2
第二天截下的杖长总和
为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
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5/29
二、数列的定义
【定义】按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 , , xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为 { xn }.
【例如】 2,4,8, ,2n , ;
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
{2n } 1
{2n }
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6/29
1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
不等式 | xn -a |<ε都成立,那么就称 a是数列{xn} 的极限,或者称数列{xn} 收敛于a, 记为
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的.
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【注意】
11/29
(1). xn a 刻划了xn与a的无限接近 ;
1/29
第二节数列的极限
一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限
四、数列极限的性质
五、小结思考题
1
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一、概念的引入
【引例】
1.【割圆术】
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
2/29
单击任观意察点完开毕始观察
【问题2】 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它，描述它。
无限接近要多接近就有多接近可任意接近
“距离任意小” “绝对值任意小”
即 xn 1可任意小.
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9/29
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只要
n
100时,
15/29
【小结】用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0寻, 找N,但不必要求最小的N.
【例3】证明lim qn 0,其中q 1. n
【证】任给1 0, 若q 0, 则lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
（5）.［意义］用一个有限数，概括出一个无限变化的量(用常量研究变量)。
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2.【 ε—N 定义】
12/29
lim
n
xn
a
0,
N
0, 使n
N时,恒有 xn
a
.
Any表任意(给)
Exist表存在或至少有一个
3.【几何解释】
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
n ln , ln q
取N [ln ],
ln q
则当n N时,
就有qn 0 ,
limqn 0. —公式 n
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16/29
【补例4】
设xn
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正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2形n1的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
3/29
R
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2.【截丈问题】
公元前300年左右，中国 4/29 古代思想家墨子语：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3, , 3 3 3 ,
【注意】 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
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三、数列的极限
7/29
观察数列{1 (1)n1 }当n 时的变化趋势. n
单击观任察意结点束开始观察
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【问题1】当 n无限增大时, 是xn否无限接近于某一确 8/29
定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限.
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外. 等价解释
【思考】认为“当n>N时，有无穷多个点落在(a-ε,a+ε) 内”是等价解释，正确吗？
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13/29
【注意】数列极限的定义未给出求极限的方法.
【例1】证明 lim n (1)n1 1.
0
14/29
【证】 xn a
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1)2
1 n1
1 n
任给
0,
欲使
xn
0
,
只要 1 n
,
即n
1即可，
现取N 1, 则当n N时，有 xn 0 成立,
所以,
(1)n
lim
n
(n
1)2
0
【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）
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