11.4互逆命题2

11.4互逆命题学习目标导航重点：1．知道命题和逆命题的相互关系，能写出一个命题的逆命题．2．知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．3．会用符号“⇒”简明地表述推理过程．难点：知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．考点:写出一个命题的逆命题并判断其假．重点难点透视教材知识点详解详解点一互逆命题（重点）(1)定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．(2)构造方法：每个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，所得的命题即为原命题的逆命题．(3)命题的组成形式：一般情况下，命题可有如下的一些形式：①如果……那么……；②若……则……；③因为……所以……．通常为标准形式，其他的都可以化为标准形式，并且“如果……”部分为命题的条件，“那么……”为命题的结论部分．(4)互逆命题的真假：延伸：如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理．【例1】写出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题：(1)同位角相等；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．解: (1)条件：两个角是同位角；结论：这两个角相等．逆命题：相等的角是同位角．(2)条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余．逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．名师点睛：给出一个命题写出客观存在的逆命题，把题设和结论进行交换的同时还要注意语句是否通顺．详解点二假命题的证明（难点）要证明一个命题为假命题，只要能举出一个满足条件而不满足结论的例子即可，这在数学上称为“举反例”．【例2】证明下列命题为假命题．(1)质数都是奇数；(2)两个互余的角不相等．分析：证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了．证明：(1)因为2是质数，且它是偶数，所以这个命题是假命题．(2)取α=45°，β=45°，则α+β=90°，而α=β且α、β互余．所以这个命题是假命题．方法归纳：证明一个命题是假命题的方法是举反倒．详解点三用“⇒”表述推理过程(重点、难点)为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条理清晰．【例3】图l1一4—2，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN∥BC，分别交AB 、AC 于点M 、N 求证：MN=BM+CN ．分析：欲证明MN=BM+CN ，只需要证明OM=BM ，ON=CN.方法归纳：(1)因为A ，所以B ，可用A “⇒”B ；(2)若C 为已知或已证，而B 与C 结合可推出D ，可按下面推理(注意“⇒”指向):方法规律聚焦类型一 逆命题的书写及逆命题的真假判断【例4】说出下列命题的逆命题，判断每个逆命题的真假，并说明理由． (1)在△ABC 中，如果∠A 是钝角，那么∠B 和∠C 是锐角． (2)平行四边形是四边形．(3)若a 2是有理数，则a 是有理数．(4)如果m >0，则m≠0．(5)四边形的内角和是360°．分析：把原命题改写成逆命题，关键是分析清楚原命题的条件与结论，然后把原命题的结论变成逆命题的条件，而把原命题的条件变成逆命题的结论．现将各题的条件与结论列表如下：解：(1)逆命题为：在△ABC 中，如果∠B 和∠C 是锐角，那么∠A 是钝角．逆命题是假命题．因为∠A 可能是锐角，也可能是直角，还有可能是钝角．(2) 逆命题为：四边形是平行四边形．逆命题是假命题．因为平行四边形是一种较为特殊的四边形，如梯形是四边形，但不是平行四边形．(3) 逆命题为：若a 是有理数，则a 2是有理数．逆命题是真命题.因为有理数平方后还是一个有理数．(4) 逆命题为：如果m≠0，则m >0．逆命题是真命题．因为一个非零实数的绝对值一定大于O ．点石成金 “⇒ ”前的是条件，“⇒ ”后的是由条件推出的结论.(5) 逆命题为：如果一个多边形的内角和是360°，那么该多边形一定是四边形．逆命题是真命题．根据多边形内角和公式：(n-2)180°=360°，得n=4，因此这是一个四边形．名师点睛：(1)一个真命题的逆命题不一定是真命题，一个假命题的逆命题不一定是假命题． (2)要说明一个命题是真命题需进行严密的逻辑推理，而说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．类型二命题的证明【例5】证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．图11．4—1分析：此为文字叙述的证明题，命题的条件是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行．已知：如图11．4—1，直线a、b、c，b∥a，c∥a，求证：b∥c．证明：作直线a、b、c的截线d．因为b∥a(已知)，所以∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)．因为c∥a(已知)，所以∠3=∠l(两直线平行，同位角相等)，所以∠2=∠3(等量代换)，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)．用符号“⇒”简明表述上述的推理过程如下：名师点睛：用“⇒”符号表述推理过程可以使证明过程变得简单明了，同时也有利于培养解答者的逻辑推理能力．综合应用探究类型三证明逆命题真假【例6】请写出“如图11．4—2，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12 BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由．图11．4—2 图11．4—3分析：命题“在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12BC”的条件是“若DE是△ABC的中位线”，结论是“BE=12BC”．将条件与结论相反，则为它的逆命题．解:逆命题：若DE=12BC，则DE是△ABC的中位线．假命题，反例如图11．4—3所示．方法归纳：在判断某个命题是真命题时，要进行说理；在判断某个命题是假命题时，举个反例就行了．常见思维误区警示易错点一叙述逆命题时出错易错点导析在由原命题写逆命题时，未进行语言加工，只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，这是出错的主要原因．【例7】写出命题“等腰三角形两个底相等”的逆命题．错解：两个底角相等的三角形是等腰三角形.纠错秘方：在改写逆命题时，要把握逆命题和原命题的关系，特别注意某些概念内在的先后顺序．正解：有两个角相等的三角形是等腰三角形.易错点二对命题的条件和结论表述不清在叙进命题时,有些命题的条件和结论不是很明显，很容易混淆，从而出现错误．【例8】写出“命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．错解：逆命题为：如果对应边相等，那么它是全等三角形．纠错秘方：在由原命题写它的逆命题时，未进行语言加工,只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，因为对应边是针对两个三角形而言，所以“对应边相等”应改为“两个三角形的对应边相等”．正解：逆命题为：如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形．知识方法归纳快乐测试经典基础题1．“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是 ( ) A．对角线互相平分的是平行四边形B．互相平分的是平行四边形的对角线C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．如果是平行四边形的对角线，那么互相平分【C 提示：A答案差一个主语“四边形”，B,D两答案原命题的题设与结论没有弄清．】2．下列命题的逆命题为真命题的是 ( ) A．对顶角相等B．等边三角形是锐角三角形C．若x>y，则x2>y2D．能被5整除的数，它的末位数字是5【D 提示：A答案相等的角不一定是对顶角；B锐角三角形不一定是等边三角形；C当x、y是负数时,若x2>y2，则x<y．】3．下列定理有逆定理的是 ( ) A．对顶角相等B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．正方形的四个角都是直角【B 提示：A、C、D三个命题的逆命题都是假命题．】4．每一个命题都 (填“有”或“没有”)它的逆命题．【有】5．原命题成立，它的逆命题 (填“一定”或“不一定”)成立．【不一定】6．“如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形全等”是命题．它的逆命题是．【假，全等三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等】7.判断下列命题的真假．(1)同位角相等；(2)9的平方根是3；(3)同角的余角相等；(4)三个连续自然数的积是6的倍数．解：(1)(2)假命题，(3)(4)真命题．点拨：根据定义，同位角是两条直线被第三条直线所截形成的位置相同的角，只有当这两条直线平行时才相等，故“同位角相等”是假命题．9的平方根是±3，因为(±3)2=9．故9的平方根有两个，故“9的平方根是3”是假命题．同角的余角都等于90°减这个同角，故是真命题．三个连续自然数中必有一个是2的倍数和3的倍数，故它们的积是6的倍数，故是真命题．8.指出下列命题中的互逆命题．(1)直角都相等；(2)同位角相等，两直线平行；(3)如果a+b>0，那么a>0，b>0；(4)两直线平行，同位角相等；(5)相等的角都是直角；(6)如果a>0，b>0，那么ab>0．分析：互逆命题的两个命题的条件与结论正好互换．因此分别说出各个命题的条件和结论，比较一下则易判断它们是否互为逆命题．解：(1)与(5)、(2)与(4)名师点睛：(3)与(6)不是互逆命题．由于(3)的条件不是(6)的结论．另外(5)虽然是假命题，但它条件和结论与(1)的条件和结论正好互换，因此是互逆的．10.【章末】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．(1)若ac2>bc2,则a>b；(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若ab=0．则a=0．分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下即可．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例．千万不能想当然．解：(1)逆命题为：若a>b，则ac2>bc2．假命题，如c=0时，ac2=bc2．(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．真命题．(3)逆命题为：若a=0,则ab=0．真命题．点拨：真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的．而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子．9.请用“ ”符号表述下面的证明过程．已知：点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．求证：∠l=∠2．证明：因为DE∥BC，EF∥AB(已知)，所以∠1=∠DEF，∠2=∠DEF(两直线平行，内错角相等)．所以∠1=∠2(等量代换)．解：改写如下：10．写出下面命题的逆命题，并判断其真假原命题真假性逆命题真假性(1)奥巴马是美国总统(2)如果x=l，那么x(x-1)=0(3)两个三角形全等则对应边相等(4)在一个三角形中，等边对等角(5)等边三角形是等腰三角形【】能力拓展题11．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”(如图11．4—4)，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．”彬彬：“作△ABC的角平分线AD．”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．图11．4—4【 (1)只有等腰三角形具备“三线合一”性质，此题等腰三角形是求证部分，故过点A 只能作BC的垂线AD，垂足为D．(2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD =∠CAD，又因为∠B =∠C，AD = AD，所以△ABD≌△ACD，所以AB=AC．】12．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：(1)构造一个真命题，画图并给出证明；(2)构造一个假命题，举反例加以说明．【 (1)③④为条件时，此命题是真命题．如图答11．4—1所示：图答¨．4一l因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC = 180°．又因为∠BAD =∠DCB．所以∠DCB+∠ABC = 180°，所以AB∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．(2)②④为条件时，此时可以构成一梯形．】参考答案与点拨：。

课题11.1你的判断对吗？个人主页学习目标1.经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行试验验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.学习重难点教学重点：初步体验证明说理的方法和重要性教学难点：初步体验证明说理的方法和重要性教学流程预习导航1．图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.观察:1.下图的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.2.图中有曲线吗？请在右图中把编号相同的点用线段连起来.一、新知探究：观察、思考和实验是人类发现、发明、创造的发端。

我们曾通过观察、操作、实验等探索活动，发现了许多正确的结论.难道所有的探索活动获得的结论都是正确的吗？情景1、从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币.⑴如果向杯中注水，猜一猜这时从杯子的侧面还能看到这枚硬币吗？DC BA1234567887654321合作探究⑵试一试，你看到了硬币吗？情景2装有半杯水的透明玻璃杯中，插入一根笔直的筷子，这时我们会看到什么结论呢？说明：情景1、2学生亲身经历这两个实验的全过程,体验到生活中会产生错觉；事实上，在数学中有时也会产生错觉二、例题分析：如图，是一张边长为8cm正方形纸片把它们剪成4块，按右图重新拼合，这块制片恰好能拼成一个长为13，宽为5的长方吗？与同学交流试验、观察、操作的结果，说说你的感受.说明：本例题应主要让学生自己通过分组合作共同研究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不够的，强调我们在以后的数学学习中要学会说理.三、展示交流：1.图1中的四边形是正方形吗？图2中的两条直线a、b平行吗？说说你的看法，如何验证你的结论？2．如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，图2图1ba88835555353535353另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.四、提炼总结：(一)本节课你有什么收获？(二)思考：1、要判断两条线段是否平行,仅靠观察是________的.(行或不行)2、下图中两条直线的位置关系如何?请你先观察,再用量角器度量两条直线的夹角各是多少度,然后与同学们交流,你们的结论一样吗?当堂达标1、通过观察你能肯定的是( )A.图形中线段是否相等;B.图形中线段是否平行C.图形中线段是否相交;D.图形中线段是否垂直2、有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f.有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为，b的对面为，c 的对面为 .3.春节联欢晚会,某班组委会组织了一个有趣的活动,两个人握一次手,若每两人握手一次,则全班56个人共握几次手? n个人共握多少次手呢?4.地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个大洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲；乙：4号是亚洲，2号是大洋洲；丙：1号是亚洲，5号是非洲；丁：4号码是非洲，3号是大洋洲；戊：2号码是欧洲，5号是美洲；地理老师说：“你们每个人都认对了一半”，请问，每个号码各代表什么洲呢？学习反思：课题11．2 说理（1）个人主页学习目标经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受说理的必要性．学习重难点教学重点：感受“说理”的必要性,“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具.教学难点：感受“说理”的必要性教学流程预习导航1、如图(1)，把长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图(2)处1m宽的“曲径”。

苏科版八年级下册数学第十一章11.4互逆命题一、相关知识链接1.命题判断一件事情的句子叫做命题．这里强调了“判断”这个条件，也就是说命题是带有肯定或否定语气完整的陈述语句，其它形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．2.真、假命题命题有正确的（真命题），也有不正确的（假命题）．要注意，不一定肯定的就是真命题，否定的就是假命题．3.命题的组成命题是由题设和结论两部分组成．题设是命题的条件，结论则是命题中判断的结果．一般情况下，命题的条件是由“如果”、“若”、“已知”等字样表示，用“那么”、“则”、“求证” 等字样表示出命题的结论．二、教材知识详解(链接例1)【知识点1】互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．如，“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”与“如果两外角相等，那么这两个角是直角”就是一对互逆命题．可见每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．如，对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两外角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题．【注意】互逆命题之间的关系：（1）、根据互逆命题的概念，可知每一个命题都有逆命题。

“互逆命题”只是说明两个命题之间的关系，而两个命题的地位可以互换，它们之中可以确定其中任何一个为原命题，但是一旦确定，另一个就是它的逆命题了．（2）、命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题．原命题正确，但它的逆命题未必正确．如“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”是真命题，但它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”却是一个假命题．（3）、有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理．定理是我们用来证明的依据。

11.4 逆命题Ⅰ.核心知识点扫描1. 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题.2.判断一个命题是假命题的常用方法是举反例.Ⅱ.知识点全面突破知识点1 互逆命题（重点）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做○C 互逆命题．误区警示：逆命题是相对另一个命题(原命题)而言的，每个命题都有逆命题．【例】写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个角都是直角，那么它们相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)如果x=4，那么x =4；(5)如果△AB C ≌△A B C '''，那么BC=B C ''，AC=A C ''，∠ABC=∠A B C '''．解：(1)的逆命题：同位角相等，两直线平行，它是一个真命题；(2)的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，它是一个假命题；(3)的逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题；(4)的逆命题：如果x =4，那么x=4，它是一个假命题；(5)的逆命题：如果在△ABC 和△A B C '''中，BC=B C ''，AC=A C ''，∠ABC=∠A B C '''，那么△ABC ≌△A B C '''，它是一个假命题．点拨：解题时应先分清原命题的条件和结论，再将其交换位置，但有时要适当改变形式，犹如文言文翻译文中的“意译”．知识点2反例（难点）举出一个例子来说明命题是假命题，这样的例子称为○C 反例. 特别提醒：判断假命题的方法：说明一个命题是真命题，验证个例无法保证其正确性，而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了.即举出一例满足条件，但结论却不成立的例子.【例】举反例说明下列命题是假命题：(1)如果ab>0，那么a>0，b>0；(2)相等的角是对顶角；(3)三角形的一个外角大于它的内角；解：(1)当a=-2，b=-10时，ab=(-2)×(-10)=20>0，但a ，b 都不大于0，所以该命题是假命题；(2)等腰三角形的两个底角相等，但这两个底角不是对顶角，所以该命题是假命题；(3)在钝角三角形中，与钝角相邻的外角小于这个钝角，所以该命题是假命题；点拨：举反例说明一个命题是假命题时，举例要简单明了, 所以该命题是假命题．知识点3 用“⇒”表述推理过程(重难点)为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条理清晰． 【例】如图11.4-1所示，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，垂足分别为D ，F ，∠1=∠2，求证：DG∥AB．证明：点拨：当具备推出结论的条件时，可直接使用推出符号得出结论． Ⅲ.提升点全面突破提升点1 确定一个命题的逆命题【例1】(2009，广州)已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： ．答案：菱形的两条对角线互相垂直 点拨：根据互逆命题的概念，只要将原命题的条件和结论交换，即可得原命题的逆命题．○C “⇒”前的是条件，“⇒”后的是由条件推出的结论.图11.4-1提升点2确定逆命题的真假性【例2】(2010，包头)已知下列命题：①若a>0，b>0，则a+b>0；②若a ≠b ，则a 2≠b 2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④平行四边形的对角线互相平分．其中，原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )A.lB.2 C ．3 D. 4答案：B 点拨：真命题“若a>0，b>0，则a+b>0”的逆命题“若a+b>0，则a>O ，a>0”为假命题；假命题“若a ≠b ，则a 2≠b 2”的逆命题“若a 2≠b 2，则a ≠b ”为真命题；真命题 “角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题“到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”为真命题；真命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为真命题．因此，原命题与逆命题均为真命题的个数是2． Ⅳ.综合能力养成【例1】（2010，安徽，条件探究题）如图11.4-2，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是__________________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD ＝∠AC D ；②∠BAD ＝∠CA D ；③AB ＋BD ＝AC ＋C D ；④AB －BD ＝AC －CD答案：②③④ 点拨：本题是一道条件探索题，执果索因，条件富于变化，尤其是条件③、④别具一格，联系题目条件，根据勾股定理，易知：条件③、④等价，可以相互推导，本题还可以采用反证法或全等法证明，属于较难题．②由ASA 公理，得△ABD ≌△ACD ，故AB=AC ；因为AD⊥BC ，所以AB 2－BD 2=AC 2－CD 2，可知③与④等价，即其中一个成立，另一个也成立，由：⎩⎨⎧-=-+=+CD AC BD AB CD AC BD AB ，两式相加，即得AB=AC ． 【例2】（2010，天门，开放题）如图11.4-3，点D 、E 在△ABC 的BC 边上，∠BAD =∠CAE ，要推理得出△ABE ≌△ACD ，可以补充的一个条件是 (不添加辅助线，写出一个即可).答案不唯一，如∠B=∠C ，AB=AC ，或∠ADE=∠AED等.点拨：本题思路不唯一，有条件∠BAD =∠CAE ，可知∠BAE =∠CAD ，要使△ABE ≌△ACD ，需要至少一条边相等，图11.4-2 图11.4-3容易想到AB=AC．处理这类问题的一般思路是根据结论的需要加以分析，探索所需的条件，答案往往不唯一．Ⅴ.分层实战训练A组基础训练1．（知识点1）下列说法正确的是( )A．不是每个命题都有逆命题 B．若原命题是假命题，则逆命题也是假命题C．每个命题都有逆命题 D．若原命题是真命题，则逆命题也是真命题2．（知识点1）在下列命题中，正确的是( )A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形3．（知识点1）下列命题中的真命题是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．中心对称图形都是轴对称图形C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D．等腰梯形是中心对称图形4．（知识点1）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题是．5．（知识点3）如图11．4—4，现给出如下三个条件：①AB=AC，②AD=AE，③∠B=∠C，请你选择其中两个条件为题设，另外一个条件为结论，构造一个命题，在构成的所有命题中，真命题有个．图11.4-4 图11.4-56.（知识点2）举反例说明下列命题是假命题：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2) 两个锐角互余．7. （知识点3）如图11.4-5所示，EF与AB，CD分别相交于点M，N，MP平分∠BMN，NQ平分∠DNM，MP与NQ相交于点H，∠MHN=90°，求证：AB∥CD．8. （知识点3）如图11．4—6所示，AB∥CD，∠BMP=∠DN Q．求证：MP∥NQ；图11．4—6 图11．4—7 9．（知识点3）如图11．4—7，已知AB =AC ，∠A =36°，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ．有下面4个结论：①射线BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ； ④△AMD ≌ABCD ．(1)其中正确的结论是哪几个?(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明．B 组 培优训练1．（提升点2）请写出一个命题，使其是假命题而它的逆命题是真命题，命题是．2. （提升点1）○C 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题． 3．（2010，天津，开放题）如图11.4-8，已知AC FE =，BC DE =，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个．．条件，这个条件可以是 ．4．(探究题)如图11．4—9，∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E =10°．AB 与EF 平行吗？为什么？参考答案与点拨A 组 基础训练1．C 点拨：任何一个命题都有逆命题，一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，原命题的真假不能决定逆命题的真假．2．C3．C4．平面内到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.5．3点拨：共构成3个命题，3个命题都是真命题．图11.4-8 A CDBEF 图11.4-9①AC ABA A ADC AEBC B AD AE=⎫⎪∠=∠⇒∆≅∆⇒∠=∠⎬⎪=⎭；②B CAB AC AEB ADC AE ADA A∠=∠⎫⎪=⇒∆≅∆⇒=⎬⎪∠=∠⎭；③C BA A ADC AEB AC AB AD AE∠=∠⎫⎪∠=∠⇒∆≅∆⇒=⎬⎪=⎭6. 解：(1)如答图11．4—1所示，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，显然该四边形不是菱形，所以该命题是假命题．(2)当两个锐角分别为30°和40°时，这两个锐角不互余, 所以该命题是假命题．点拨：所举的反例要符合命题的条件，但不符合命题的结论的.7. 证明：点拨：本题通过题目的变换主要考查平行线的性质和判定及运用“⇒”表述推理过程的能力．8.////. AB CD BME DNMPME QNM MP NQ BMP DNQ⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⇒⎬∠=∠⎭9．解：(1)正确的结论有①②③．∠BDC=∠C⇒△BCD是等腰三角形．点拨：从题图上观察知△ADM是直角三角形，而△CBD不是直角三角形，所以两个三角形不全等，即结论④错误．而结论①②③都很容易证明是正确的结论．本题第(2)问答案不惟一．答图11．4—1B 组 培优训练1．相等的两个角是对顶角 点拨：答案不惟一．2.解：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．点拨：原命题的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半．在结论中斜边已隐含着是直角三角形，因此直接将条件和结论互换得到的逆命题“斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形．”就是以直角三角形为条件又以直角三角形为结论的一个矛盾命题．所以必须将结论中的斜边进行变换，去掉其隐含的条件，即将斜边改为一边．3．C E ∠=∠（答案不惟一，也可以是AB FD =或AD FB =）点拨：注意到要判定的三角形全等，题设给出两对边相等，缺少另一对边，或夹角对应相等，所以要证明△BDE ≌△FDE ，只需要添加AC=EF,或∠C =∠E.4．AB 与EF 平行.理由如下:过点C 作CM ∥AB ，过点D 作DN ∥AB ，如答图11．4—2．因为CM ∥AB ，所以∠B=∠BCM ．又因为∠DCM==BCD-∠BCM ，∠B=25°，∠BCD=45°，所以∠DCM=45°-25°=20°．因为DN ∥AB ，CM ∥AB ，所以DN ∥CM ，所以∠NDC=∠DCM=20°．又因为∠CDE=30°，所以∠NDE=∠CDE-∠NDC=30°-20°=10°．因为∠E=10°，所以∠E=∠NDE ，所以DN ∥EF.因为DN ∥AB ，DN ∥EF 、所以AB ∥EF ．点拨：过一点作已知直线的平行线是经常添加的辅助线. 答图11.4-2。