互逆命题与互逆定理-

互逆命题与互逆定理-华东师大版八年级数学上册教案一、引入在初中数学中，我们学习了很多命题，比如“若a=b，那么a2=b2”，又比如“对于任意的正整数a，a^2>a”等等。

其中，有一种特殊的命题，叫做“逆命题”。

逆命题指的是，对于一个给定的命题P，将其假设的条件和结论交换位置，并取反形式而得到的命题，比如“若a=b，那么a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，那么a=b 或a=-b”。

那么，如果一个命题的逆命题也成立，我们就称这两个命题互为“逆命题”，其中比较重要的是“互为逆命题的命题是等价命题”。

但是，在实际情况下，有一些命题和它的逆命题虽然都是真命题，但它们并不等价。

此时我们就需要引入“互逆定理”，来判断它们的关系。

二、教学内容1. 规律感知首先，让学生自己尝试找出一些互逆命题。

比如，“若x>5，那么x2>25”和“若x2>25，那么x>5或x<-5”就是互逆命题。

在找到互逆命题后，让学生自己分析它们之间的关系。

2. 探索任务接下来，设计一个小组探究任务，让学生自己去探索什么样的条件下能得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。

具体实施时，可以分配几个小组，要求每个小组找出两个互逆命题，并将它们的条件和结论进行比较。

然后，让学生自己汇总每组的成果，分析条件的相同点和不同点，以及结论的相同点和不同点。

最后，让学生自己总结出什么样的条件可以得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。

3. 展示交流在小组任务完成后，组织学生进行展示和交流。

让学生自己介绍自己小组的成果，以及自己对互逆命题和互逆定理的理解。

同时，其他学生可以对其进行提问和补充，以加深理解。

4. 拓展延伸为了让学生更加深入理解互逆命题和互逆定理，可以提供一些案例让学生进行分析。

比如，“若a2+b2=0，那么a=b=0”和“若a=b=0，那么a2+b2=0”就是互逆命题。

通过这些案例的分析，可以帮助学生更好地掌握互逆命题和互逆定理的应用。

数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。

数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施。

第一，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。

数学核心素养的六个方面在小学、初中、高中、本专科、研究生教育等五个阶段的内涵、学科价值和教育价值、表现等方面的要求各不相同，要仔细推敲，准确把握，切实贯穿到学科教学活动中去。

第二，研究性学习综合实践活动课程是数学学科素养培养的重要途径。

本课正在基于此，在教学设计与环节的应用上，设计都非常适合学生初学。

这一点在分层教学中也有体现。

13.5.1.互逆命题与互逆定理课时：第一课时课型：新授课编写：毕春友审核：徐轻梅学习目标1.理解互逆命题与互逆定理2.正确应用互逆命题与互逆定理自学指导说出下列命题的题设和结论：1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；5、平行四边形的对边互相平行；6、对边互相平行的四边形是平行四边形；观察上面三组命题,你发现了什么?概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的。

展示交流在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。

（1）、（2）、（3）、归纳：如果一个定理的逆命题也是，那么这两个定理叫做。

其中的一个定理叫做另一个定理的。

疑点点拨注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题注意2：所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理达标测试1、指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。

（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.（（2）、等边三角形的每个角都等于60°（3）、同旁内角互补，两直线平行.2、写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。

互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。

它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。

首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。

互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。

换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。

例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。

这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。

接下来，我们来看一下互逆定理。

互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。

互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。

例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。

互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。

它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。

通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。

总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。

通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。

13.5 互逆命题与互逆定理一、教学目标1、理解互逆命题与互逆定理的概念及互逆命题之间的关系。

2、结合具体例子，能说出一个命题的逆命题，会识别两个互逆命题，并能正确判断原命题与逆命题是真命题还是假命题。

二、教学重点、难点重点：写出一个命题的逆命题。

难点：判断逆命题的真假。

三、教学方法：启发式教学四、课时安排：1课时五、教学过程（一）、回顾(1)什么是命题？表示判断的语句叫做命题。

(2)命题分为______和______两种，每一个命题是由_______和_______两部分组成，可以写成“如果……，那么……”的形式。

(3)下列句子哪些是命题？①四边形都是菱形；②画一条曲线；③两直线平行，内错角相等；④内错角相等，两直线平行。

疑问句，祈使句，感叹句，几何作法都不是命题。

（二）新授课1、观察我们已经知道，表示判断的语句叫做命题。

命题“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”观察这两个命题的条件和结论，你发现了什么？上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置。

2、概括一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。

命题“两直线平行，同位角相等”的条件为__________________________；结论为__________________________；因此它的逆命题为______________________。

3、做一做每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题。

写一个命题的逆命题的关键是找到原命题的条件和结论。

注：将一个命题的条件和结论交换位置写逆命题时，要添加适当的词语，使语句通顺。

例：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。

⑴如果x=y,那么x2=y2。

⑵如果a=b,那么a-b=0。

⑶如果a＞b,那么ac2＞bc2。

13.5.1.互逆命题与互逆定理学习目标：1、了解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。

2、体会数学结论在实际中的应用。

3、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。

学习重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立学习难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明导入链接1、什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？如何说明一个命题是假命题？如何说明命题是真命题？探究点1：1、逆命题在两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的__________，而第一个命题的_______是第二个命题的_______，那么这两个命题叫做_ 。

如果把其中一个命题叫做_，那么另一个命题叫做它的_。

2、互逆命题的关系原命题第一个命题题设（条件）结论逆命题第二个命题题设（条件）结论就例题来说，如果说“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等,两直线平行”为___________。

我们说两个命题叫做_________。

2练习：请学生分别写出的下列命题的逆命题并判断它是真命题、假命题。

两直线平行，同位角相等如果a b，那么22a b对顶角相等问：每个命题都有它的逆命题；但每个真命题的逆命题不一定是真命题，也说明定理的逆命题不一定是真命题；3、逆定理如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.试说出我们学过的那些定理互为逆定理探究点2：１．说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。

⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形⑶磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。

２.思考：判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题探究点3：。

互逆命题与互逆定理 知识点复习 1、了解互逆命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。

注意：一个命题为真命题，不能保证它的逆命题为真命题。

2、了解互逆定理的意义：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理称为互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。

注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。

分层递进A 层练习1、下列说法中，正确的是（ ）A 、每一个命题都有逆命题B 、每一个定理都有逆定理C 、假命题的逆命题一定是假命题D 、真命题的逆命题一定是真命题2、下列定理中，没有逆定理的是（ ）A 、两直线平行，内错角相等B 、直角三角形的两个锐角互余C 、全等三角形的周长相等D 、如果两个三角形全等，那么它们的对应边都相等3、命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 ， 它是 （填“真”或“假”）命题。

4、如图，AB 、CD 相交于点E ，现给出下列三个论断：①∠A=∠C ；②AD=CB ；③AE=CE 。

请你选择其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，构造一个命题。

（1）在构成的所有命题中，真命题有 个；（2）在构成的真命题中，请选择一个加以证明。

B 层练习5、下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（ ）A 、若a=b ，则22a b =B 、若22ma na >，则m>nC 、全等三角形的面积相等D 、全等三角形的对应边相等6、写出命题“等腰三角形两条腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假。

如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举反例说明。

C层练习7、甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、物理、化学、英语，甲老师可以教物理、化学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、物理、化学；丁老师只能教化学。

为了使每人都能胜任工作，那么教数学的是老师。

专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。

华东师大版八年级上册数学教学设计《互逆命题与互逆定理》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《互逆命题与互逆定理》一课，是在学生学习了命题与定理的基础上进行的。

本节课的主要内容是让学生理解互逆命题的概念，掌握互逆定理的证明过程，并能运用互逆定理解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习，引导学生探索互逆命题和互逆定理的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了命题与定理的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力。

但是，对于互逆命题和互逆定理的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况，采取适当的教学策略，帮助学生理解和掌握互逆命题和互逆定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解互逆命题的概念，掌握互逆定理的证明过程，能运用互逆定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探索互逆命题和互逆定理的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：互逆命题的概念，互逆定理的证明过程。

2.难点：互逆定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生主动探索互逆命题和互逆定理的规律。

2.小组合作学习：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作精神。

3.案例教学法：通过分析实际案例，帮助学生理解互逆定理的应用。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含互逆命题和互逆定理的定义、证明过程和应用实例的PPT。

2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用互逆定理解决。

3.学习材料：为学生准备相关的学习材料，以便学生在课堂上进行自主学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何利用已学的命题和定理来解决这些问题。

通过问题的讨论，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——互逆命题与互逆定理。