互逆命题

11.4互逆命题学习目标导航重点：1．知道命题和逆命题的相互关系，能写出一个命题的逆命题．2．知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．3．会用符号“⇒”简明地表述推理过程．难点：知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．考点:写出一个命题的逆命题并判断其假．重点难点透视教材知识点详解详解点一互逆命题（重点）(1)定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．(2)构造方法：每个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，所得的命题即为原命题的逆命题．(3)命题的组成形式：一般情况下，命题可有如下的一些形式：①如果……那么……；②若……则……；③因为……所以……．通常为标准形式，其他的都可以化为标准形式，并且“如果……”部分为命题的条件，“那么……”为命题的结论部分．(4)互逆命题的真假：延伸：如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理．【例1】写出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题：(1)同位角相等；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．解: (1)条件：两个角是同位角；结论：这两个角相等．逆命题：相等的角是同位角．(2)条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余．逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．名师点睛：给出一个命题写出客观存在的逆命题，把题设和结论进行交换的同时还要注意语句是否通顺．详解点二假命题的证明（难点）要证明一个命题为假命题，只要能举出一个满足条件而不满足结论的例子即可，这在数学上称为“举反例”．【例2】证明下列命题为假命题．(1)质数都是奇数；(2)两个互余的角不相等．分析：证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了．证明：(1)因为2是质数，且它是偶数，所以这个命题是假命题．(2)取α=45°，β=45°，则α+β=90°，而α=β且α、β互余．所以这个命题是假命题．方法归纳：证明一个命题是假命题的方法是举反倒．详解点三用“⇒”表述推理过程(重点、难点)为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条理清晰．【例3】图l1一4—2，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN∥BC，分别交AB 、AC 于点M 、N 求证：MN=BM+CN ．分析：欲证明MN=BM+CN ，只需要证明OM=BM ，ON=CN.方法归纳：(1)因为A ，所以B ，可用A “⇒”B ；(2)若C 为已知或已证，而B 与C 结合可推出D ，可按下面推理(注意“⇒”指向):方法规律聚焦类型一 逆命题的书写及逆命题的真假判断【例4】说出下列命题的逆命题，判断每个逆命题的真假，并说明理由． (1)在△ABC 中，如果∠A 是钝角，那么∠B 和∠C 是锐角． (2)平行四边形是四边形．(3)若a 2是有理数，则a 是有理数．(4)如果m >0，则m≠0．(5)四边形的内角和是360°．分析：把原命题改写成逆命题，关键是分析清楚原命题的条件与结论，然后把原命题的结论变成逆命题的条件，而把原命题的条件变成逆命题的结论．现将各题的条件与结论列表如下：解：(1)逆命题为：在△ABC 中，如果∠B 和∠C 是锐角，那么∠A 是钝角．逆命题是假命题．因为∠A 可能是锐角，也可能是直角，还有可能是钝角．(2) 逆命题为：四边形是平行四边形．逆命题是假命题．因为平行四边形是一种较为特殊的四边形，如梯形是四边形，但不是平行四边形．(3) 逆命题为：若a 是有理数，则a 2是有理数．逆命题是真命题.因为有理数平方后还是一个有理数．(4) 逆命题为：如果m≠0，则m >0．逆命题是真命题．因为一个非零实数的绝对值一定大于O ．点石成金 “⇒ ”前的是条件，“⇒ ”后的是由条件推出的结论.(5) 逆命题为：如果一个多边形的内角和是360°，那么该多边形一定是四边形．逆命题是真命题．根据多边形内角和公式：(n-2)180°=360°，得n=4，因此这是一个四边形．名师点睛：(1)一个真命题的逆命题不一定是真命题，一个假命题的逆命题不一定是假命题． (2)要说明一个命题是真命题需进行严密的逻辑推理，而说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．类型二命题的证明【例5】证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．图11．4—1分析：此为文字叙述的证明题，命题的条件是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行．已知：如图11．4—1，直线a、b、c，b∥a，c∥a，求证：b∥c．证明：作直线a、b、c的截线d．因为b∥a(已知)，所以∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)．因为c∥a(已知)，所以∠3=∠l(两直线平行，同位角相等)，所以∠2=∠3(等量代换)，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)．用符号“⇒”简明表述上述的推理过程如下：名师点睛：用“⇒”符号表述推理过程可以使证明过程变得简单明了，同时也有利于培养解答者的逻辑推理能力．综合应用探究类型三证明逆命题真假【例6】请写出“如图11．4—2，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12 BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由．图11．4—2 图11．4—3分析：命题“在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12BC”的条件是“若DE是△ABC的中位线”，结论是“BE=12BC”．将条件与结论相反，则为它的逆命题．解:逆命题：若DE=12BC，则DE是△ABC的中位线．假命题，反例如图11．4—3所示．方法归纳：在判断某个命题是真命题时，要进行说理；在判断某个命题是假命题时，举个反例就行了．常见思维误区警示易错点一叙述逆命题时出错易错点导析在由原命题写逆命题时，未进行语言加工，只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，这是出错的主要原因．【例7】写出命题“等腰三角形两个底相等”的逆命题．错解：两个底角相等的三角形是等腰三角形.纠错秘方：在改写逆命题时，要把握逆命题和原命题的关系，特别注意某些概念内在的先后顺序．正解：有两个角相等的三角形是等腰三角形.易错点二对命题的条件和结论表述不清在叙进命题时,有些命题的条件和结论不是很明显，很容易混淆，从而出现错误．【例8】写出“命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．错解：逆命题为：如果对应边相等，那么它是全等三角形．纠错秘方：在由原命题写它的逆命题时，未进行语言加工,只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，因为对应边是针对两个三角形而言，所以“对应边相等”应改为“两个三角形的对应边相等”．正解：逆命题为：如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形．知识方法归纳快乐测试经典基础题1．“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是 ( ) A．对角线互相平分的是平行四边形B．互相平分的是平行四边形的对角线C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．如果是平行四边形的对角线，那么互相平分【C 提示：A答案差一个主语“四边形”，B,D两答案原命题的题设与结论没有弄清．】2．下列命题的逆命题为真命题的是 ( ) A．对顶角相等B．等边三角形是锐角三角形C．若x>y，则x2>y2D．能被5整除的数，它的末位数字是5【D 提示：A答案相等的角不一定是对顶角；B锐角三角形不一定是等边三角形；C当x、y是负数时,若x2>y2，则x<y．】3．下列定理有逆定理的是 ( ) A．对顶角相等B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．正方形的四个角都是直角【B 提示：A、C、D三个命题的逆命题都是假命题．】4．每一个命题都 (填“有”或“没有”)它的逆命题．【有】5．原命题成立，它的逆命题 (填“一定”或“不一定”)成立．【不一定】6．“如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形全等”是命题．它的逆命题是．【假，全等三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等】7.判断下列命题的真假．(1)同位角相等；(2)9的平方根是3；(3)同角的余角相等；(4)三个连续自然数的积是6的倍数．解：(1)(2)假命题，(3)(4)真命题．点拨：根据定义，同位角是两条直线被第三条直线所截形成的位置相同的角，只有当这两条直线平行时才相等，故“同位角相等”是假命题．9的平方根是±3，因为(±3)2=9．故9的平方根有两个，故“9的平方根是3”是假命题．同角的余角都等于90°减这个同角，故是真命题．三个连续自然数中必有一个是2的倍数和3的倍数，故它们的积是6的倍数，故是真命题．8.指出下列命题中的互逆命题．(1)直角都相等；(2)同位角相等，两直线平行；(3)如果a+b>0，那么a>0，b>0；(4)两直线平行，同位角相等；(5)相等的角都是直角；(6)如果a>0，b>0，那么ab>0．分析：互逆命题的两个命题的条件与结论正好互换．因此分别说出各个命题的条件和结论，比较一下则易判断它们是否互为逆命题．解：(1)与(5)、(2)与(4)名师点睛：(3)与(6)不是互逆命题．由于(3)的条件不是(6)的结论．另外(5)虽然是假命题，但它条件和结论与(1)的条件和结论正好互换，因此是互逆的．10.【章末】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．(1)若ac2>bc2,则a>b；(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若ab=0．则a=0．分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下即可．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例．千万不能想当然．解：(1)逆命题为：若a>b，则ac2>bc2．假命题，如c=0时，ac2=bc2．(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．真命题．(3)逆命题为：若a=0,则ab=0．真命题．点拨：真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的．而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子．9.请用“ ”符号表述下面的证明过程．已知：点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．求证：∠l=∠2．证明：因为DE∥BC，EF∥AB(已知)，所以∠1=∠DEF，∠2=∠DEF(两直线平行，内错角相等)．所以∠1=∠2(等量代换)．解：改写如下：10．写出下面命题的逆命题，并判断其真假原命题真假性逆命题真假性(1)奥巴马是美国总统(2)如果x=l，那么x(x-1)=0(3)两个三角形全等则对应边相等(4)在一个三角形中，等边对等角(5)等边三角形是等腰三角形【】能力拓展题11．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”(如图11．4—4)，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．”彬彬：“作△ABC的角平分线AD．”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．图11．4—4【 (1)只有等腰三角形具备“三线合一”性质，此题等腰三角形是求证部分，故过点A 只能作BC的垂线AD，垂足为D．(2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD =∠CAD，又因为∠B =∠C，AD = AD，所以△ABD≌△ACD，所以AB=AC．】12．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：(1)构造一个真命题，画图并给出证明；(2)构造一个假命题，举反例加以说明．【 (1)③④为条件时，此命题是真命题．如图答11．4—1所示：图答¨．4一l因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC = 180°．又因为∠BAD =∠DCB．所以∠DCB+∠ABC = 180°，所以AB∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．(2)②④为条件时，此时可以构成一梯形．】参考答案与点拨：。

互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。

它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。

首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。

互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。

换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。

例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。

这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。

接下来，我们来看一下互逆定理。

互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。

互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。

例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。

互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。

它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。

通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。

总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。

通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。

互逆命题教案教案标题：互逆命题教案教学目标：1. 理解互逆命题的概念及其特点。

2. 能够判断给定的命题是否为互逆命题。

3. 能够通过逻辑推理找到互逆命题之间的关系。

教学重点：1. 互逆命题的定义和特点。

2. 判断命题是否为互逆命题的方法。

3. 通过逻辑推理找到互逆命题之间的关系。

教学准备：1. 教师准备：a. 板书：互逆命题的定义和特点。

b. 教学素材：包含多个互逆命题的例子。

c. 教学辅助工具：投影仪、计算机等。

2. 学生准备：a. 提前复习命题的基本概念和逻辑推理方法。

教学过程：Step 1：引入互逆命题的概念（5分钟）1. 教师通过引入命题的定义和特点，复习学生对命题的理解。

2. 教师提问：你们知道什么是互逆命题吗？请举一个例子。

3. 学生回答后，教师对互逆命题的概念进行解释和补充。

Step 2：互逆命题的特点与判断方法（10分钟）1. 教师通过板书，介绍互逆命题的特点。

2. 教师提供多个命题，让学生判断其是否为互逆命题，并解释判断的依据。

3. 学生进行讨论和回答，教师及时纠正和解释。

Step 3：互逆命题的关系与逻辑推理（15分钟）1. 教师通过示例，引导学生思考互逆命题之间的关系。

2. 教师提问：如果一个命题为真，那么它的互逆命题是什么？如果一个命题为假，那么它的互逆命题是什么？3. 学生进行思考和回答，教师引导学生通过逻辑推理找到互逆命题之间的关系。

Step 4：综合练习与总结（15分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生判断给定的命题是否为互逆命题，并找到它们之间的关系。

2. 学生独立完成练习，教师进行指导和解答。

3. 教师对本节课的内容进行总结，并强调互逆命题的重要性和应用。

Step 5：课堂小结与作业布置（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行小结，并强调学生在课后需要进行复习和巩固。

2. 布置作业：要求学生自行寻找互逆命题的例子，并写出其逻辑推理过程。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解互逆命题的概念及其特点，能够判断给定的命题是否为互逆命题，并能够通过逻辑推理找到互逆命题之间的关系。

13.5.1.互逆命题与互逆定理学习目标：1、了解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。

2、体会数学结论在实际中的应用。

3、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。

学习重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立学习难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明导入链接1、什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？如何说明一个命题是假命题？如何说明命题是真命题？探究点1：1、逆命题在两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的__________，而第一个命题的_______是第二个命题的_______，那么这两个命题叫做_ 。

如果把其中一个命题叫做_，那么另一个命题叫做它的_。

2、互逆命题的关系原命题第一个命题题设（条件）结论逆命题第二个命题题设（条件）结论就例题来说，如果说“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等,两直线平行”为___________。

我们说两个命题叫做_________。

2练习：请学生分别写出的下列命题的逆命题并判断它是真命题、假命题。

两直线平行，同位角相等如果a b，那么22a b对顶角相等问：每个命题都有它的逆命题；但每个真命题的逆命题不一定是真命题，也说明定理的逆命题不一定是真命题；3、逆定理如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.试说出我们学过的那些定理互为逆定理探究点2：１．说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。

⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形⑶磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。

２.思考：判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题探究点3：。

数学高中互逆命题教案设计教学目标：1.理解互逆命题的概念和性质。

2.能够根据已知互逆命题，推出相应结论。

3.掌握互逆命题的证明方法。

教学重点：1.互逆命题的概念和性质。

2.互逆命题的证明方法。

教学难点：1.理解互逆命题的概念和相关性质。

2.运用证明方法推导论证互逆命题。

教学准备：教师准备：教案、板书笔、教学PPT、实物模型等。

学生准备：书本、笔记本、课前预习材料等。

教学过程：Step 1：导入教师引入互逆命题的概念，通过一个生活实例或问题引起学生的思考和讨论，激发学生的学习兴趣。

Step 2：概念讲解教师通过PPT或者板书向学生介绍互逆命题的定义和性质，说明互逆命题之间的关系。

Step 3：示例分析教师通过一些具体的数学问题例子，让学生通过分析和讨论来理解互逆命题的含义，并引导学生学会运用互逆命题的证明方法。

Step 4：练习训练教师布置一些有关互逆命题的练习题，让学生进行实际运用，巩固所学知识。

Step 5：展示讨论学生在完成练习后，教师选取一些学生解答出色的题目进行展示和讨论，引导学生对互逆命题的理解进一步深化。

Step 6：课堂小结教师对上述内容进行总结，强调互逆命题的重要性和应用，并对下一节课内容进行预告。

Step 7：作业布置教师布置相应的作业练习题，让学生巩固所学知识，并要求按时完成并复习下节课内容。

教学反思：本节课通过生动的实例、清晰的概念讲解和练习训练，提高学生对互逆命题的理解和应用能力。

在教学中，要注重引导学生积极参与，培养他们的思维能力和解决问题的能力，提高整体课堂教学效果。