在方格中如何求相似的格点三角形

在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法随着计算机科学的发展，图形学已经成为一门重要的学科，日益受到广大研究者的关注。

在计算机图形学中有很多有趣的研究问题，其中之一是在连续正方形网格中绘制面积最大的格点相似三角形的基本方法。

本文主要讨论这一问题，首先介绍面积最大的格点相似三角形的定义和计算方法，其次探讨在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本方法，最后小结。

一、格点相似三角形的定义和计算方法一个格点相似三角形就是由格点组成的三角形，其定义如下：定义：一个格点相似三角形由三个格点组成，每个格点之间有一条直线相连，并且每个格点之间的距离都相等。

根据定义，一个格点相似三角形的面积可以计算出来，它等于三个格点之间的距离的平方，也就是底边的长度的平方，用公式表示为： S=a2其中，S表示三角形的面积，a表示三角形的底边长度。

二、在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法将正方形的网格分割成n行，每行有n个格子，每个格子的长度为a，最终将网格分割成均等的m个正方形小模块（m=n*n）。

那么在这样一个正方形网格中画出最大面积的格点相似三角形的最基本算法是什么呢？下面将用一个示例来说明。

假设现在要画一个面积最大的格点相似三角形，从模块（2，2）开始，分别选取模块（2，3）、模块（3，2），用它们三个模块形成的三角形就是面积最大的格点相似三角形，此时此三角形的面积为3a2。

同样的，这一算法也适用于n行n列的正方形网格，最终可以画出面积为n*(n-1)*a2的格点相似三角形。

三、小结本文介绍了在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法。

首先介绍了面积最大的格点相似三角形的定义和计算方法，然后讨论了在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本算法，最后总结了讨论的结果。

由上述讨论可知，在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本算法是每行每列选取三个格子，每个格子间连线，最终得到的三角形的面积为n*(n-1)*a2。

初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏一、比的性质：特征：比的基本性质，合比性质，等比性质 例1：已知,3==d c b a ，则ddc b b a 22+=+=（ ） 例2：如果P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则下列各等式①AB 2=AP •PB ， ②AP 2=PB •AB ，③BP 2=AP •PB ，④AP ／AB=PB ／AP 中，正确的是（ ）例3：已知k cba a cb bc a =+=+=+，则k 的值为（ ） 二、平行A 字型如图（1）DE//BC ，则△ADE ∽△ABC 特征：△ADE ∽△ABC ⇒AD AE DEAB AC BC==应用1：（求线段的长）例1． 如图（2）DE//BC,且DB=AE,若AB=5，AC=10，则AE 的长为（103） 角度：平行产生比例 DE ∥BC 51051010,103AB AC AE BD EC AE EC AE AE ⇒=∴=∴==- PB例2．如图（3）△ABC 中，BC = a 是AB 边的五等分点；1234,,,C C C C 是AC 边的五等分点，则11223344B C B C B C B C +++=（2a ）应用2：（证明比例线段）例3．如图（4），DE//BC//AF ，求证：111DE AF BC=+ 证明：分析：此题用了两个平行A 字型 在△ABC 中，DE//BC ，AD DE⇒= ①在△ABF 中，DE//AF ，DB DEAB AF⇒=② ①+②得AD DB DE DEAB BC AF+=+111()111DE BC AFDE BC AF ∴=+∴=+应用3：（证明线段相等） 例4．如图（5），一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D 、E 、F 。

求证：若AE BFEC CF=，则D 是AB 的中点。

证明：作CM//BA 与EF 交于M ，则△ADE ∽△CME//AD AEAE BF AD BFBD BFCM BD CM ECEC CF CM CFCM CF∴==∴=∴=因此,.AB AD BDAD BD CM CMD ==∴从而是的中点。

中考数学“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ）分析 先利用勾股定理求出△ABC2，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比.解 由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为122，而与△ABC它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2ABC＝2，22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）A.FB.GC.HD.OBA 图2 C D图1分析 若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解 因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .例3在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析 由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解 若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析 要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个图4 图2 图3三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC 22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2＝2， 所以AB DE ＝BC EF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .透过网格去看相似网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性，不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识，体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想，而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程，能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起，符合新课程标准的要求．在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得；（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来，特别是在研究相似问题时具有独到上午效果．一、网格与相似三角形例1．如图1，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（ ）A ．P 1处 ；B ．P 2处；C ．P 3处 ；D ．P 4处图1分析：本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题解：答案为C例2．如图2，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )。

格点相似三角形在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以网格为背景的相似三角形问题，在中考试题中时有出现．解决格点三角形相似问题，要依据网格的特征，并结合相似三角形的有关判定方法去思考．例1（安徽省）如图1是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题:在图2中画出与△ABC相似的格点△ABC和△ABC，且△ABC与△ABC的相似121121112 2．ABC 的相似比是△ABC与△比是2，2222析解：要作与△ABC相似的三角形，首先找到△ABC的特征，AB=BC=2，∠B=90°，因为△ABC与△ABC的相似比是2，所以AB=BC=4，∠B=90°；因为△ABC与△ABC211211112112AB?BC?2，∠B=90°．所作的三角形如图2的相似比是所示．．所以22222评注：作已知三角形的相似三角形的关键是确定已知三角形的特征，根据条件找到要作三角形的对应特征．本题也可以从三边对应成比例考虑作相似三角形．DEF△ABC和4×4的正方形方格中，△，例2（台州市）如图3在1的小正方形的顶点上．的顶点都在边长为=_____；=_____°，BC（1）填空：∠ABC 是否相似，并说明你的结论．△DEFABC（2）判断△与析解：本题是一道和网格有关的相似三角形探索题．以，EBC，ABE知形察，度ABC角）（1求∠的数观图可∠=90°∠=45°所- 1 -∠ABC=90°+45°=135°；22?2?2BC?22．根据网格的特征，利用勾股定理可得（2）要判断△ABC和△DEF是否相似，则应根据三角形相似的判定方法，从对应边ABBC??2，所，以为∠ABC =∠DEF = 135°入比成例，对应角相等手．因DEEF△ABC ∽△DEF．评注：说明网格中的三角形相似，一般根据三边对应成比例，或两边对应成比例、夹角相等进行推理．、甲、乙、丙、丁、PQ，若例3（资阳市）如图4A、B、C、乙、丙、应是甲、，则点都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABCR ）丁四点中的（Ａ．甲Ｂ．乙Ｄ．丁Ｃ．丙10BC??AC，则∽△PQR，=4，要使△ABC，PQ=2析解：从已知条件可知AB BCAB?，QRPQ10210210?QR2?RQ即，通过计算可得点，可求得，所以到丙的距离为QR4 C应是点丙，选．根据相似三角形的对应边成比例计ABC△的各边的长，根据直角三角形计算出评注：QR算出的长是解决问题的关键．还有其它方法，请同学们自己探讨．- 2 -- 3 -。

例谈相似在网格中的构建与应用在近几年的各类考试中，网格背景题深受命题者的关注与青睐。

当网格作为背景时，相关格点之间便容易形成特殊的图形如正方形，直角三角形，勾股定理等知识，具有较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点。

让我们从中感受到无穷的学习动力和学习乐趣，具有极大的学习创造性和挑战性。

一、相似的判定与性质例1;（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）思路点拨与解析：借助网格，由已知的ABC △可知，最大角∠ACB=135°，故排除选项B 、C 、D 三项， 故选A 。

点评：本题主要考查在网格背景中相似三角形的判定方法，解题的关键是准确把握ABC △在网格中的特有的本质; 最大角∠ACB=135°。

当然也可利用网格背景分别计算三角形的各边，利用三边对应成比例寻找两三角形相似。

在此题中勾股定理、数形结合等思想的运用达到了极点。

例2：（2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB思路点拨：解此题的关键是要处理三角形的边与角的相关信息：B C⊥AE ，3162AC BC ==，2142DC EC ==，从而证出两三角形相似，要证EF ⊥AB ，只要证出∠DEC ＋∠A =90°，只要利用所证的两三角形相似知识即可证出。

解析：（1）∵ 3,2AC DC = 63,42BC CE == ∴ .AC BC DC CE =A .又 ∠ACB =∠DCE =90°，∴ △ACB ∽△DCE ．（2）∵ △ACB ∽△DCE ，∴ ∠ABC ＝∠DEC ．又 ∠ABC ＋∠A =90°，∴ ∠DEC ＋∠A =90°． ∴ ∠EFA =90°． ∴ EF ⊥AB ．点评：网格题能充分调动有关背景中的正方形，直角三角形，勾股定理等知识，并让学生经历了观察、思考、猜测，动手操作、自主探索发现等过程. 帮助学生找到解决问题的突破口。

利用方格纸画相似三角形陈 凤 萍江苏省泰州市智堡中学 225300数学教学改革的根本目的是让学生在学习数学的过程中主动参与，充分享受到学习数学知识的快乐,树立自信，通过动手、动脑，积极主动地探索应用，形成自己独特的思维方式，并加以应用。

“相似三角形”的学习中利用学生的好奇心、求知欲，尝试着在方格纸上画出与已知的格点三角形相似的格点三角形，并试着探索其中的规律。

例1． 如图①所示，在6×6的方格纸上，请画出与已知⊿ABC 相似的格点三角形，想一想（1）可以画出多少种格点三角形？（2）你能找出最大的格点三角形吗？分析：先给出格点三角形的定义，如图①所示，我们把像⊿ABC 这样顶点在小正方形顶点上的三角形称为格点三角形，然后复习相似三角形的条件，可利用的方法有（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）平行线的性质等。

我们很容易画出图②中⊿111C B A 、⊿222C B A 、⊿333C B A ，其实我们想要找出与⊿ABC 相似的所有格点三角形，可以考虑从各种可能的相似比入手，由于要找出与⊿ABC 相似的三角形，从图形中可以看出AC 对应的边n n C A 只有两种，一种是格点的边，另一种则是格点的对角线，因此它们的相似比是整数或特殊的无理数。

解：如图②所示，与⊿ABC 相似的三角形（1）相似比是整数时，我们考虑⊿ABC 的最长边的对应边的长度：因为⊿ABC 的最长边为5，而方格图中最长边为72，我们只能画出5、22和53，而8054就无法画出了，所以相似比只能取1、2、3；（2）当相似比是无理数时，考虑到既可画出，又在格点上。

因为n n C A 昌方格中矩形的对角线长，有与（1）相同的原因只能图①B AC1B 3B 图②1A 3A 1C 2C 2A 2B 3C是2、22、5、10，相似比只能取2、22、5、10。

专题14 网格中画相似1．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC 相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．【答案】12##0.5【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．图①，图②，图③均是66´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在BC 上画一点D ，使ABD ACD S S =V V ；(2)在图②中，在BC 上画一点E ，使ABE S V ：2ACE S =V ：3；(3)在图③中，在ABC 内画一点F ，使ACF S △：ABF S △：2BCF S =V ：3：3．（2）在图②中，点E 即为所求；点C 下移三个单位得到点连接MN ，得到CME ∽△△32CE CM BE BN ==∴，∴ABE S V ：2ACE S =V ：3（3）在图③中，点F 即为所求．由图可知，6AC =，AB =12ABC S =∴△，∵ACF S △：ABF S △：BCF S =V 21238ACF S =´=∴△，ABF S =△【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形相似性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．3．（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH（2）①如图1，点F 为所作；理由：因为三角形的三条中线交于同一点，四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，∵E 是CD 的中点，根据三条中线交于同一点，连接BE 交AC 于P ，则点P 为三条中线的交点，作射线DP 交DP 于点F ，则点F 为BC 的中点；②如图2，找到格点D ，过A 点作AD 垂直AB ，再平移DA 得到CE ，则CE ⊥AB ，接着作MN 垂直AC ，平移MN 得到BF ，则BF ⊥AC ，BF 与CE 的交点O 为△ABC 的垂心，所以延长AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC ，AH 为所作．理由：∵ABG DAKV V ≌∴GAB ADKÐ=Ð90GAB DAK ADK DAK \Ð+Ð=Ð+Ð=°∴90BAD Ð=°∴BA AD^平移AD 至CJ ，并延长，交AB 于点E ，∴CE AB^同理作出BF AC ^，,BF CE 交于点O根据三角形三条高所在的直线交于同一点，延长AO 交BC 于点H ，则AH 即为所求．【点睛】本题考查了画相似三角形：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，也考查了三角形的重心和平行四边形的性质．4．在4*4的方格中，ABC V 的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出与ABC V 成轴对称且与ABC V 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；(2)将图2中画一个与ABC V 相似的三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）选取AC 所在的直线为对称轴作图即可；（2）保证每条边方向一致，且边长减小为原来的一半作图即可．【详解】（1）解：如下图所示，AB C ¢V 即为所求作的三角形；（答案不唯一）（2）如下图所示，DEF V 即为所求作的三角形；【点睛】本题考查轴对称作图与作相似图形，掌握两个图形关于某条直线对称的性质与相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，ABC D 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与ABC D 相似．(1)在图甲中画△111A B C ，使得△111A B C 的周长是ABC D 的周长的2倍；(2)在图乙中画出△222A B C ，使得△222A B C 的面积是ABC D 的面积的2倍．（1）A B C，即为所求；解：如图所示：△111（2）A B C，即为所求．解：如图所示：△222【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．6．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为1；2(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．（1）如图，（案不唯一）（2）如图，【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．7．如图，在74´方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使25CD AC=；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求，（2）如图2所示，△CEF即为所求，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．∵AB=2221+=5，AC=∴55225ADBD==，ABCD=∴52 AD AB BDBD CD BC===，∴△ABD∽△DCB，相似比9．如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．【答案】(1)相似，见解析(2)图见解析，面积为5【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．10．按要求作图，无需写作法：图①图②(1)如图①，已知∠AOB，OA=OB，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线．(2)如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．Q即为所求\11．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中画等腰△ABC ，使得∠CAB ＝90°；(2)在图②中画等腰△DEF ，使△ABC ∽△DEF ：1．10AB =Q ,10AC =,25BC =,5,5,10DE DF EF ===,21AB AC BC DE DF EF \===．\△ABC ∽△DEF ，且相似比为2：1．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关12．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、E 、P 、Q 、M 、N 均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB 的中点F ．(2)在图②中，画CDE V 的中位线GH ，点G 、H 分别在线段CD 、CE 上，并直接写出CGH V 与四边形DEHG 的面积比．(3)在图③中，画PQR V ，点R 在格点上，且PQR V 被线段MN 分成的两部分图形的面积比为1：3．【答案】(1)见解析(2)见解析，面积比为1：3(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点，找到,A B 之间单元网格的对角线，交AB 于点F ，则点F 即为所求；（2）根据（1）的方法找到,CD CE 的中点,G H ，连接GH ，根据相似三角形的性质即可求出CGH V 与四边形DEHG 的面积比；（3）根据（2）的结论，可知，只要MN 经过PQR V 的中位线，根据R 在网格上，找到符合题意的点R 即可求解．(1)如图①：13．如图，已知ABC V 和点O ．(2)用无刻度的直尺，在AC边上画出点P，使23PAPC=（要求保留作图痕迹，不写作法）．（2）解：如图，取网格点E、F，连接EF交AC14．如图，ABC V 是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1．(1)在图（1）中将ABC V 绕点C 逆时针旋转90°，得到CDE V ．(2)在图（2）中找格P ，使以格点P 、C 、B 为顶点的三角形与ABC V 相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点，进而顺次连接即可得出答案；（2）可找能使PCB V 是直角三角形且2PB BC =或2PC BC =的P ．(1)所作图形如下：(2)【点睛】本题考查旋转作图及相似三角形的性质，明确旋转角度、旋转中心、旋转方向是解本题的关键．15．如图是由边长为1的小正方形构成的69´网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的顶点在格点上，边BC 上的点D 也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC 的平行线DE 交AB 边于点E ，可在BC 边上画点F ，使ACF BCA ∽△△；(2)在图2中，先在边AB 找点M ，使△MDC 与△MAC 的面积相等，再在AC 上画点N ，使△CDN 的面积是△ABC 的面积的三分之一．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据格点特点画出AC 的平行线即可；根据格点特点作MA ⊥AC ，连接MC ，则△AMC16．如图，在6×7的矩形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，点A，B，C 均在格点上，按下面要求画出格点三角形．(1)在图1中，画一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等．(2)在图2中，画一个△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且点E不在边BC上．注：图1，图2在答题纸上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）运用三角形全等判定定理SSS，在网格上构造△ABD与△ABC全等．（2）△ACE与△ABC共顶点A，因此考虑两个三角形在以A为顶点的高线相等的情况下，构造3CE=BC，从而满足S△ABC＝3S△ACE．（1）解：（2）解：【点睛】本题考查三角形全等判定定理，三角形面积计算方法，找到相应的作图依据是解题关键．17．如图，在7×8的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺完成下列作图：(1)在AC上画点E，使AE=3CE；(2)在AB上画点D，使AD=CD；(3)在BC上画点F（不与B重合），使AF^BC．(4)在AB上画点P，使tan13 ACPÐ=．(2)如图，取格点,P Q，连接PQ，交AC于点M，Q=∥,AP CQ AP CQ\APM CQM∽V VAM AP\=1=MC PQ\=AM MCM，连接根据网格的特点作正方形，同理取中点1则DM是AC的垂直平分线，\=．DA DC(3)如图，方法同（2）作正方形BXYC ，作AZ ∥(4)如图，同方法（3）作正方形，作EE AC ¢^，同方法（连接1KK 交EE ¢于点S ，作射线CS 交AB 于点13,44AE AC CE AC ==Q ，1tan 3SE ACP EC \Ð==．【点睛】本题考查了网格中无刻度直尺作图，相似三角形的性质，正方形的性质，根据相似三角形的性质确定线段的长度是解题的关键．18．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意找到格点,P Q，画出线段PQ即可（1）如图所示，PQ即为所求，19．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线AC CB=．(2)如图2，在线段AB上找出点C，使:1:2\点C 即为所求，如图所示：【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．如图在5×5的网格中，△ABC 的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)在图1中画出△ABC 的中线AD ；(2)在图2中画线段CE ，点E 在AB 上，使得ACE S V ：BCE S V ＝2：3；(3)在图3中画出△ABC 的外心点O ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由题知BO =CO ，取两个格点F 、G 构造CFD BGD △≌△，即可得中点D ．（2）由ACE S V ：BCE S V ＝2：3得AE ：BE =2∶3，取格点H 、J ，构造△∽△AHE BGE ，且相似比为2∶3，即可得到E 点．（3）由O 为△ABC 的外心知O 为AB 、AC 的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O ．（1）如图1中，取格点F 、G ，连接FG 交BC 于点D ，线段AD 即为所求．（2）如图2中，取格点H 、J ，连接HJ 交AB 于点E ，线段CE 即为所求．（3）如图3中，取格点K 、L 、M 、N ，连接KL 、MN 交于点O ，则点O 为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．(1)在图1中以线段AB 为边画一个ABD △，使其与ABC V 相似，但不全等．(2)在图2中画一个EFG V ，使其与ABC V 相似，且面积为8．（2）如图，△EFG 即为所求．【点睛】本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．(1)在图①中，在线段AB 上找到一点E ，使AE BE＝23；(2)在图②中，画出一个以A 、B 、C 为顶点的三角形，且cos ∠BAC (3)在图③中，画出一个四边形ACBD ，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为12，C 、D 为格点．【答案】(1)见解析(2)见解析（2）V即为所求；如图所示，ABC（3）如图所示即为所求作【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识与性质．。

相似三角形解题方法与技巧相似三角形解题方法与技巧一、相似三角形的判定：（比照全等三角形）例1：如图，在△ABC 中，D 是AB 上任意一点，DF‖BC，延长BC 到点E 使CE=BC ，连结DE 叫AC 于点G ，求证 : AD AB =DG GE例2：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：BE 2=EF ?EG ．例3：如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是A B C D例4：在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,AF=14AD.求证：(1)△FAE ∽△EBC(2)FE ⊥EC二、常见的相似三角形的类型：（1）平行线型（2）相交线型（3）旋转型（4）母子型（5）K 形图解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．例：观察能力训练：指出下列图形中的相似三角形。

三、相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形中对应三线之比等于相似比．(3)相似三角形的周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积之比等于相似比的平方．B CBCAD EA B C例：在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AB,AC,BC 上,DE//BC,EF//AB,若△ADE 与△CEF 面积分别为9和4,求四边形DEFB 的面积。

四、如何确定对应边与对应角（1）对应角所对的边是对应边，两对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角；（3）公共角是对应角，其对边是对应边；（4）对顶角是对应角，其对边是对应边；（5）最长（短）边对应最长（短）边，最大（小）角对应最大（小）角。

相似三角形解题方法与技巧◆判定两个三角形相似的证题思路1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性：若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3a)已知一对等角 b)己知两边对应成比例c)己知一个直角 d)有等腰关系◆证明线段成比例一、“三点定形法”寻找相似三角形例1、已知:如图,ΔABC 中, CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BAAC AF AE例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB吗？说明理由。

在最近的年份间，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法受到了广泛的关注。

随着技术的发展，众多的研究者和机构着手研究这一技术，并且取得了巨大的进步。

正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的方法在工程、设计以及建筑领域都有着广泛的应用，在实现对三角形形状面积进行最优化的过程中发挥了重要的作用。

首先，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，必须先确定正方形的参数，考虑网格的大小，以及划分的粒度等。

这是为了在确定三角形的面积大小时要充分考虑到参数的变化情况。

然后，在正方形网格中选出三个点，计算出三个点的距离，再结合三角形的相似原理，以最大面积的方式画出三角形。

此外，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，还需要考虑三角形的位置，即角度和边长。

必须考虑网格的结构以及三角形的角度以及边长，确保相似三角形的准确性及面积最大化。

另外，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，在计算三角形面积时也需要考虑长方形的位置，以最大面积的方式画出长方形，有助于将最大面积的三角形面积转换为最大面积的正方形面积。

最后，在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，需要考虑三角形的形状。

由于格点是正方形，所以三角形的形状必须与正方形的形状保持一致，因此，需要调整三角形的形状，以实现最大面积的三角形。

方法包括确定正方形的参数、选出三个点、考虑三角形的位置以及角度、考虑三角形的形状等。

这些步骤的完成有助于在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形，在实现对三角形形状面积进行最优化的过程中发挥了重要作用，同时也提高了网格在工程、设计以及建筑领域的应用价值。

ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

即：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。

（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。

判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。

，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。

例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。