三角形中的边角关系
1、 A+B+C=π ，
2C =
2
π-(
2A +
2
B )
2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin
2
C =cos(
2
A +2
B )， cos 2
C =sin(
2
A +
2
B )， tan
2
C =cot(
2
A +
2
B )
sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ∆=
12
absinC=
12
bcsinA=
12
casinB
p=
12
（a+b+c ）
4、 正弦定理sin sin sin a b c A
B C
=
=
=2R
sinA ׃sinB ׃ sinC ׃a = b ׃ c sinA=
2a R
，sinB=2b R
，sinC=
2c R
a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC
适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+-
2
2
2
co s 2b c a
A b c
+-=
适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解)
5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ⇔∆ABC 是锐角三角形
2
c =2
a +2
b ⇔∆ABC 是直角三角形 2
c >2
a +2
b ⇔∆ABC 是钝角三角形
6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
tan
2
A tan
2
B +tan
2
B tan
2
C +tan
2
C tan
2
A =1
7*
、若三角形三内角成等差数列，则B=3
π
三边成等差数列，则0三边成等差数列，则B ≤
3
π2
2
q <<
若R t ∆ABC 三边成等差数列C=
2
π，则׃a b ׃c=3׃4׃5
若R t ∆ABC ， C=2
π三边成等比数列，则最小内角A=arcsin 2
7、 若sinA=sinB ⇔A=B ，若cosA=cosB ⇔A=B ，若tanA=tanB ⇔A=B 8、 若sin2A=sin2B ，则A=B 或A+B=
2
π
cos2A=cos2B ，则A=B
9、∆ABC 中A>B ⇔sinA>sinB ，A>B ⇔cosA即 sinA >cosB ， 但sinA > cosA 不一定成立，
⇒sinA +sinB +sinC > cosA +cosB+cosC
（2）反之，若任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，则∆ABC 是锐角三角形； （3）若某一个角的正弦大于另一个角的余弦，不一定是锐角三角形；
（4）若某一个角的余弦大于另一个角的正弦，cosA>sinB ，则∆ABC 是钝角三角形。 11、在锐角三角形中，任意一个角的正切大于另一个角的余切，
tanA>cotB ， tanA·tanB>1， tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC 练习 (1) 已知cos cos cos a b c A B
C
=
=
，则∆ABC 是 三角形。
（2）如果
co s co s a b B
A
=
，则∆ABC 是 三角形。
（3）∆ABC 中，A ׃B ׃C=1׃2׃3，则a ׃b ׃c=
(4) 如果cosAtanBtanC<0，则∆ABC 是 三角形。 （5）若sinAsinBA 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、等边三角形
D 、钝角三角形 （7）∆ABC 中，已知sin sin sin co s co s A B C A B
+=+，判定三角形的形状。
（8）∆ABC 中，已知53co s ,sin 13
5
A B ==
，求cosC
（9）已知三角形两边之和为8，其夹角为
3
π，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值。
