2011届徐汇区一模数学理

徐汇区2011学年第一学期高三数学区统测理科试卷20XX年学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）20XX年.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数y log2(x m) 1的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m2、若全集U x|x 1 3,x Z,A 1,2,3 ,CUB 1,3 ，则A B3、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差s2 4、已知tan(x4) 2，则tanx的值为tan2x5、根据右图所示的程序框图，输出结果i6、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数z (m ni)(n 4mi)（i是虚数单位）为实数的概率为(结果用最简分数表示) 7、若(x1n则展开式中x4项的)的展开式中前三项的系数依次成等差数列，2x2系数为8、已知函数f(x) x 1的定义域为D，值域为1,0,1,3 ，试确定这样的集合D最多有9、已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a,b,c，向量m (a,b)，p(b 2,a 2)，若m⊥p，边长c 2，角C =，则ΔABC的面积是310、已知函数f(x) logax x b(a 0,a 1)，当2 a 3 b 4时，函数f(x)的零点x0 (n,n 1)(n N)，则n11、已知各项为正数的等比数列{an}满足:a7 a6 2a5,若存在两项am、an使1，则1 4的最小值为mn*12、如图所示：ABC中，点O是BC中点。

过点O的直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N。

若AB mAM,AC nAN，则m n的值为13、设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x R，都有f(x 2) f(x 2),且当x [ 2,0]时，1x若函数g(x) f(x) loga(x 2)(a 1)在区间2,6 恰有3个不同的零点，则a 的取f(x) () 1。

上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=__________．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为__________．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=__________．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=__________．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为__________．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=__________．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为__________．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=__________．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为__________．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=__________．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是__________．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．上海市徐汇区2015届高考数学一模试卷（理科）一．填空题1．已知，则cos2θ=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．解答：解：∵，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．3．设i是虚数单位，复数z满足（2+i）•z=5，则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数的模得答案．解答：解：由（2+i）•z=5，得，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=（x＞﹣2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．解答：解：∵双曲线的标准形式为：，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：x=﹣2点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．6．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．解答：解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．7．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．8．若全集U=R，不等式的解集为A，则∁U A=[﹣1，0]．考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即＞﹣1，求得A，可得∁U A．解答：解：由不等式，可得（x+1）•﹣（﹣1）＞1，即 1+＞0，即＞﹣1，∴x＞0，或 x＜﹣1，故A=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴∁U A=[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．点评：本题主要考查行列式的运算，解分式不等式，集合的补集，体现了转化的数学思想，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直线l过点P（0，4），则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：确定直线l的方程，求出圆心C到直线的距离，再加上半径，即为C上各点到l的距离的最大值．解答：解：由题意，方向向量的直线l过点P（0，4），方程为x﹣y+4=0 圆心C到直线的距离为d==2∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半径为∴C上各点到l的距离的最大值为2+=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．10．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得．解答：解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，则E是BC的中点，，所以﹣2，所以=．故答案为：．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算．11．已知函数，将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x=x0，由条件求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，从而求得φ 的值．解答：解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x=x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即=1，求得x0=0，可得g（0）=2，即2sin（2φ+）=2，∴φ=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．12．已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则=﹣3．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n （x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．13．在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．14．设集合A={（x1，x2，x3，…，x10）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A中共有310个元素，其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；从而求得．解答：解：集合A中共有310个元素；其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0的只有一个元素，|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1．故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．二．选择题15．“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．16．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N*），分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是( )A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．解答：解：∵a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C点评：本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．18．对于方程为的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是( )A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）；考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．专题：作图题；简易逻辑．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四类讨论，作出的图象，再分别对选项（1）（2）（3）判断即可．解答：解：∵，∴当x＞0，y＞0时，⇒+=1，解得y==1+；同理可得，当x＜0，y＞0时，⇒﹣+=1，整理得：y=1﹣；当x＜0，y＜0时，⇒﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0时，⇒﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出图象如下：由图可知，曲线C关于原点成中心对称，故（1）正确；曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于直线y=x与y=﹣x对称，故（2）错误；由于在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，由图可知，四边形MNPQ每一条边的边长都大于2，故（3）正确；综上所述，（1）（3）正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查曲线与方程的理解与应用，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．三．解答题19．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求k的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的概念，f（x）+f（﹣x）=0，解答即可；（2）先讨论K的取值范围，再求取值范围解答：解：（1）f（x）+f（﹣x）=（k+1）（2x+2﹣x）=0对一切的x∈R成立，所以k=﹣1．（2）若k≤0，则函数f（x）在（﹣∞，2]单调递增（舍），当k＞0时，令t=2x∈（0，4]，则函数在（0，4]上单调递减，所以，即k≥16．点评：本题主要考查奇函数的性质，单调性的定义．21．如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答：解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．22．已知椭圆γ：=1（常数a＞1）的左顶点R，点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点；（1）若P是椭圆γ上任意一点，，求m2+n2的值；（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（3a，0），求的取值范围；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，试探究△OMN 的面积是否为定值，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据A与B坐标化简已知等式，确定出P坐标，由P在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可；（2）设Q（x，y），利用平面向量数量积运算法则表示出•，配方后求出•的最大值与最小值，即可确定出•的范围；（3）根据题意，利用斜率公式得到=﹣，两边平方，整理得到x12+x22=a2，表示出三角形OMN的面积，整理后把x12+x22=a2代入得到结果为定值．解答：解：（1）∵点A（a，1），B（﹣a，1），O为坐标原点，∴=m+n=（ma﹣na，m+n），即P（ma﹣na，m+n），把P坐标代入椭圆方程得：（m﹣n）2+（m+n）2=1，即m2+n2=；（2）设Q（x，y），则•=（3a﹣x，﹣y）•（﹣a﹣x，﹣y）=（x﹣3a）（x+a）+y2=（x﹣3a）（x+a）+1﹣=x2﹣2ax+1﹣3a2=（x﹣）2﹣（﹣a≤x≤a），由a＞1，得＞a，∴当x=﹣a时，•的最大值为0；当x=a时，•的最小值为﹣4a2，则•的范围为[﹣4a2，0]；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆γ上的两个动点，满足k OM•k ON=k OA•k OB，由条件得：=﹣，平方得：x12x22=a4y12y22=（a2﹣x12）（a2﹣x22），即x12+x22=a2，∴S△OMN=|x1y2﹣x2y1|====，则△OMN的面积为定值．点评：此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{p n}为1，3，2；（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a1，a2，…，a n的序数列{p n}；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}、{c n}的通项公式分别是（n∈N*），（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调递减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）由题意可得b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜＜，解不等式可得；（3）由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得d2n﹣d2n﹣1==，同理可得d2n+1﹣d2n=﹣=，进而可得d n+1﹣d n=，可得d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•，既得答案．解答：解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1；（2）∵，∴b n+1﹣b n=，当n=1时，易得b2＞b1，当n≥2时，易得b n+1＜b n，又∵b1=，b3=3•（）3，b4=4•（）4，b4＜b1＜b3，即b2＞b3＞b1＞b4＞…＞b n，故数列{b n}的序数列为2，3，1，4，…，n，∴对于数列{c n}有2＜＜，解得4＜t＜5；（3）∵{d2n﹣1}的序数列单调递减，∴数列{d2n﹣1}单调递增，∴d2n+1﹣d2n﹣1＞0，∴（d2n+1﹣d2n）+（d2n﹣d2n﹣1）＞0，而，∴|d2n+1﹣d2n|＜|d2n﹣d2n﹣1|，∴d2n﹣d2n﹣1＞0，∴d2n﹣d2n﹣1==，①∵{d2n}的序数列单调递增，∴数列{d2n}单调递减，同理可得d2n+1﹣d2n＜0，∴d2n+1﹣d2n=﹣=，②由①②可得d n+1﹣d n=，∴d n=d1+（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（d n﹣d n﹣1）=1+﹣+…+=1+•=+•即数列{d n}的通项公式为d n=+•点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．。

2011年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）（2011•徐汇区一模）在直角坐标平面内，如果抛物线y=﹣（x﹣1）2经过平移可以与抛物线y=﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位【考点】M41A 函数图像的几何变换M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】∵抛物线y=﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）；抛物线y=﹣x2的顶点为（0，0）；从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，∴抛物线也是如此平移的．故选C．【解答】C．【点评】本题考查抛物线的平移；用到的知识点为：抛物线的平移要看顶点的平移；只横坐标改变是左右平移．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M33E 勾股定理【难度】容易题【分析】根据勾股定理可以求出AB=5，根据三角函数的定义即可求得cosB==．故选：A．【解答】A．【点评】本题主要考查了勾股定理以及余弦函数的定义：直角三角形中邻边与斜边的比．3．（4分）（2011•徐汇区一模）下列命题不一定成立的是（）A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B．两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】判定两三角形相似的方法很多如：“HL”，“AA”，“SAS”，但“SSA”不能判定两三角形相似．则：A、“HL”可以判断两直角三角形相似，命题成立．B、满足“AA”判定法，命题成立．C、∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，∴命题不一定成立．D、满足“AA”判定法，命题成立．故选C．【解答】C．【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”，“SAS”，“HL”也可以判断两直角三角形相似；但“SSA”不一定能判断两三角形相似．4．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．ab＞0B．当x≤1时，y随x的增大而增大C．ac＞0D．方程ax2+bx+c=0有两个正实数根【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M416 函数图像的交点问题M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】由图象可知：a＜0，﹣=1，c＞0，∴b＞0．A、因为ab＜0，故本选项错误；B、由图象知：当x≤1时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C、因为ac＜0，故本选项错误；D、由图象知方程ax2+bx+c=0的根一正一负，故本选项错误．故选：B．【解答】B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程，有理数的乘法法则等知识点，能正确观察图象是解此题的关键．用了数形结合思想．5．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设=，=，用、表示，下列结果中正确的是（）A．B．﹣C．D．【考点】M334 三角形中位线定理M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】此题主要用到了三角形中位线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量==，又知题中EF为中线，所以．故选B．【解答】B．【点评】本题考查平面向量、三角形中位线定理．解决本题的关键是懂得三角形中如何用三边向量表示、三角形的中位线定理的应用．6．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，连接AE、AF、EF，那么下列结果错误的是（）A．△ABE与△EFC相似B．△ABE与△AEF相似C．△ABE与△AFD相似D．△AEF与△EFC相似【考点】M33D 直角三角形的性质和判定M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】较难题【分析】已知在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，得：AB=BC=DC=AD，BE=CE=AB=BC=DC，DC=4CF，∴CF=BE=CE，即BE=CE=2CF．在△ABE和△EFC中=，===∴△ABE与△EFC相似，∴∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+FEC=90°，∴△ABE与△AEF相似都是直角三角形∴EF2=CF2+CE2=CF2+（2CF）2=5CF2BE2=CE2=4CF2∴==∴=．AE2=AB2+BE2=（2BE）2+BE2=5BE2AB2=（2BE）2=4BE2=∴=∴△ABE与△AEF相似又△ABE与△EFC相似（已证）∴△AEF与△EFC相似．已知正方形ABCD，∴在两直角三角形ABE和△AFD中的两直角边=1，DF=3CF，BE=2CF∴==∴△ABE与△AFD不相似．所以C答案相似错误．故选：C．【解答】C．【点评】此题考查了学生对正方形性质的应用及相似三角形判定的掌握．解答此题的关键是根据已知条件所给的4对三角形是否相似确定答案．此题为中档题．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2011•徐汇区一模）如果，那么=．【考点】M33H 比例的性质【难度】容易题【分析】根据比例的性质（两内项之积等于两外项之积）解答即：∵原式的两个内项分别是a+b、5，两个外项分别是a、7，∴7a=5（a+b），即2a=5b，∴=．故答案为：．【解答】．【点评】本题主要考查了比例的基本性质：在比例式中，两内项之积等于两外项之积．8．（4分）（2011•徐汇区一模）计算：=．【考点】M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】先把cos30°=，sin45°=，cot60°=代入原式，再根据实数的运算法则进行计算得：=﹣=．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．9．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是．【考点】M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】利用求顶点坐标公式x=﹣，y=代入计算可得x=﹣=1，y==2，即顶点坐标是（1，2）．【解答】（1，2）．【点评】本题考查用公式法求二次函数的顶点坐标．做对本题的关键是记熟公式．10．（4分）（2011•徐汇区一模）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，则二次函数解析式是．【考点】M414 用待定系数法求函数关系式M416 函数图像的交点问题M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】由于抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，那么可以得到方程﹣x2+bx+c=0的两根为x=1或x=﹣3，然后利用根与系数关系得1+（﹣3）=b，1×（﹣3）=﹣c，∴b=﹣2，c=3，∴二次函数解析式是y=﹣x2﹣2x+3．【解答】y=﹣x2﹣2x+3．【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．11．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB：BC=3：5，DF=16，则DE=．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】首先由已知l1∥l2∥l3，证得，又由AB：BC=3：5，AB+BC=AC，得AB：AC=3：8，又DF=16，即可求得，则DE=6．故答案为：6．【解答】6．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理．解题时要注意找准对应关系，注意数形结合思想的应用．12．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若与x轴交点为A（6，0），则由图象可知，当y＞0时，自变量x的取值范围是．【考点】M416 函数图像的交点问题M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M417 不同位置的点的坐标的特征【难度】容易题【分析】利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标（﹣2，0），再结合图象，得出函数开口向下，x轴上方部分y＞0，此时﹣2＜x＜6，故答案为：﹣2＜x＜6．【解答】﹣2＜x＜6．【点评】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题．属于中考高频考点，考生要注意掌握！13．（4分）（2011•徐汇区一模）如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，则cos∠DCB=．【考点】M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】容易题【分析】根据题意：∠DCB=∠CAB．在Rt△ABC中，易得AB=5，cos∠CAB=．故cos∠DCB=．【解答】．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．14．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥AB，交BD 于点G，交BC的延长线于点E，那么=．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】容易题【分析】四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC，∵AE⊥AB，∠ABC=60°，∴AB=AD=BE，∵AD∥BE，∴△ADG∽△EBG，∴==．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，解题时要注意比例线段的转化．15．（4分）（2011•徐汇区一模）某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡滑行了200米，则他身体下降的高度为米．【考点】M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2=2002．解得x=100，即它距离地面的垂直高度下降了100米．故答案为：100．【解答】100．【点评】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．16．（4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是米．【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到=代入数值求的=解得：CD=8米．【解答】8．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．17．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B=∠ACD，AB=6cm，AC=4cm，若S△ABC=36cm2，则△ACD的面积是cm2．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M33O 三角形面积【难度】中等题【分析】D是AB上一点且∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=∴===∵S△ABC=36cm2∴△ACD的面积是36×=16，∴△ACD的面积是16cm2．故应填：16．【解答】16．【点评】本题考查了相似三角形面积的比与相似比的关系，是相似三角形常考查的内容之一．关键是利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ACD的面积．18．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，点D为腰BC 中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为．【考点】M33E 勾股定理【难度】中等题【分析】过D点作DH⊥AB，垂足为H，∵在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，∴AB==2．∵点D为腰BC中点，∴AD==，∵DE⊥AD，∠B=45°，∴DH=HB=，∴AD2=AH•AE，∴AE===，EB=AB﹣AE=2﹣=．故答案为：．【解答】．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答关键是过D点作DH⊥AB，求出AE的长，这是此题的突破点，此题有点难度，属于中档题．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F．求证：CG2=GF•GE．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】容易题【分析】由平行四边形可得AD∥BC，AB∥CD，再由平行线分线段成比例即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD∥BC， (2)∵DC∥AB，∴， (4)∵AD∥BC，∴， (6)∴， (8)即CG2=GF•GE． (10)【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质，均属于中考常考知识点，要求考生要能够熟练掌握．20．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：如图，▱ABCD中，E是BC中点，AE交BD于点F，设=、=．（1）用x+y（x，y为实数）的形式表示；（2）先化简，再直接在图中作：．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】（1）从图中不难看到△ADF∽△EBF，由于BE=，那么或BF=．再利用向量的减法，求得向量AF．（2）先利用向量的加减法将化简，再根据实数与向量的积，画出向量，连接向量的首尾．【解答】解：（1）解一：； (5)解二：； (5)（2）=﹣，=﹣． (7) (10)【点评】本题考查平行向量、平行四边形的性质．解决本题的关键是利用相似三角形求得AF、FE，BF、FD的大小关系，理解平行向量的含义．21．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，，中线BE和AD交于点F．求：△ABC的面积以及sin∠EBC的值．【考点】M333 三角形的高、中线、角平分线M339 等腰三角形的性质和判定M33O 三角形面积M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】中等题【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由，求得CD、AD，则S△ABC=60，根据中线的性质求出DF，BF，在△BDF中求得sin∠EBC的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，且AD是中线，∴AD⊥BC，∠B=∠C． (2)∵Rt△ABD与Rt△ACD中，AB=AC=13，，∴BD=DC=ABcosB=5 (4)∴，∴S△ABC=60． (6)∵中线BE和AD交于点F，∴ (7)则在Rt△BDF中， (8)∴sin∠EBC= (10)【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义，是中档题，难度不大．注意：突破口为由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由，求得CD、AD！22．（10分）（2011•徐汇区一模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°．（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【考点】M124 实数大小比较M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】容易题【分析】（1）首先沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G．在Rt△AFG中，利用正切函数求得AG的长，进而根据CF=BG=AB﹣AG求得CF的高度．通过比较CF与超市高度6米，可得到中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响．（2）首先沿着光线作射线AE交直线BC于点E．在Rt△ABE中，利用正切函数求得BE 的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数．【解答】解：（1）沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，由题意，在Rt△AFG中，GF=BC=15，∠AFG=29°，∴AG=GF•tan29°=15×0.55=8.25米， (2)∴GB=FC=20﹣8.25=11.75米， (4)∵11.75＞6，∴居民住房会受影响 (5)（2）沿着光线作射线AE交直线BC于点E． (6)由题意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°， (8)∴米， (9)∴至少要相距37米 (10)【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2011•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，，E为线AC上一点（不与A、C重合），过点E作ED⊥AC交线段AB于点D，将△ADE沿着直线DE翻折，A的对应点G落在射线AC上，线段DG与线段BC交于点M．（1）若BM=8，求证：EM∥AB；（2）设EC=x，四边形的ADMC的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出定义域．【考点】M33O 三角形面积M33E 勾股定理M33I 平行线分线段成比例定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M420 函数自变量的取值范围M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】中等题【分析】（1）根据三角函数先在Rt△ACB中，求出AC=9，BC=12，MC=4．再在Rt△MCG 中，求出CG=3．可得AG=12，EC=3，AE=6，根据平行线分线段成比例即可证明EM∥AB；（2）根据S ADMC=S△ABC﹣S△DBM，即可得出S关于x的函数解析式．（1）在Rt△ACB中，，设AC=3k，BC=4k， (1)【解答】解：则AB=，AB=5k=15，k=3．∴AC=9，BC=12． (3)∵BM=8，∴MC=4 (4)在Rt△MCG中，，∴CG=3． (5)∴AG=12，EC=3，AE=6． (6)∵，∴EM∥AB； (7)（2）EC=x，由题意有EG=AE=9﹣x，则CG=9﹣2x， (8)，BM=12﹣（9﹣2x）， (9)S ADMC=54﹣（0＜x＜4.5）． (12)【点评】本题综合考查了平行线分线段成比例，三角函数的知识，组合图形的面积之间的关系，函数解析式等知识点，有一点的难度．尤其注意（2）问关键是根据S ADMC=S△ABC﹣S△DBM，得出S关于x的函数解析式．24．（12分）（2011•徐汇区一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线点D．（1）求梯形ABCD的面积；（2）若梯形ACDB的对角线AD、BC交于点E，求点E的坐标，并求经过A、B、E三点的抛物线的解析式；（3）点P是直线CD上一点，且△PBC与△ABC相似，求符合条件的P点坐标．【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M345 梯形的概念M346 等腰梯形的性质与判定M348 四边形周长、面积M414 用待定系数法求函数关系式M417 不同位置的点的坐标的特征M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】较难题【分析】（1）把x=0，y=0分别代入解析式，即可求出A、B、C的坐标，由CD∥x轴得到C和D的纵坐标相等（是﹣2）从而求出D的坐标，利用梯形的面积公式求出即可；此问简单（2）根据抛物线的对称性求出E的横坐标，过E作EN⊥AB，就可得到比例式，进一步求出E的纵坐标，即过、B、E三点的抛物线的顶点坐标，即可求出解析式；此问中等（3）由已知相似可得比例式，能求出CP的值，进而求出P的坐标．此问较难【解答】解：（1），当y=0时，﹣x2+x﹣2=0，解得：x1=1，x2=4， (1)当x=0时，y=﹣2，∴A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∵CD∥x轴，∴D点的纵坐标也是﹣2， (2)把y=﹣2代入得：﹣x2+x﹣2=﹣2，解得：x3=0，x4=5，D点的坐标是：（5，﹣2）， (3)S梯形ACDB=×[（4﹣1）+5]×|﹣2|，=8．所以梯形ABCD的面积是8． (4)（2）由抛物线的对称性有，过E作EN⊥AB于N，，，，∴， (6)设：经过A、B、E三点的抛物线的解析式为：y=a﹣，把A（1，0）代入解得：a=， (7)所以经过A、B、E三点的抛物线的解析式是：，即y═x2﹣x+． (8)（3）当点P在C的右侧，当∠CAB=∠CBP时，=，=，PB=， (9)设P（a，﹣2），∵B（4，0），∴由勾股定理得：22+（4﹣a）2=（）2，a=（此时∠CAB≠∠CBP舍去），a=，∴P（，﹣2）； (10)当∠CPB=∠CAB时，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠PCB，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠ACB=∠CBP，∴AC∥PB，∴四边形ACPB是平行四边形，∴AB=CP， (11)∵A（1，0），B（4，0），∴CP=AB=3，∵C（0，﹣2），CP∥AB，∴P（3，﹣2），当点P在C的左侧，由题意有钝角∠BAC≠钝角∠PCB，此时不存在．所以符合条件的P点坐标是P（3，﹣2）和P（，﹣2）． (12)【点评】本题主要考查了二次函数的性质，三角形相似的性质，梯形的面积公式，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能综合运用这些知识解题是解决本题的关键．难点是（3）小题的求法，巧妙地运用了分类讨论思想．25．（14分）（2011•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．【考点】M232 一元一次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M334 三角形中位线定理M33F 全等三角形概念、判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M346 等腰梯形的性质与判定M347 梯形中位线定理M711 数学综合与实践【难度】较难题【分析】（1）先根据已知条件判断出梯形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质可得出△MEF∽△MFC，由相似三角形的性质及判定定理可得出△MEF∽△BEM；此问简单（2）由（1）可知△MEF∽△BEM，BM=BF=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；同理，若BM=BM=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；此问中等（3）根据EF⊥CD，△MEF∽△BEM可求出∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，设BE=x，则BH=，EH=MH=，由MH+BH=3即可求出答案．此问较难【解答】证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C， (1)∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC， (2)∴△EMB∽△MFC，∴， (3)∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM； (4)（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF (5)根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB (6)延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6 (7)②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=； (9)（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°， (11)解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，故EH=MH， (12)设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE= (14)解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2由△MEF∽△MFC有， (12)即，得BE=． (14)【点评】本题主要考查的是等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度较大．解题时尤其注意第（3）小问关键是得出BH、MH之间的关系，然后由MH+BH=3即可求出答案．。

2011年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学（理科）模拟试卷（一）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、 函数22(12)y x x x =-≤≤反函数是__________2、 若复数z 满足132i 2izz =--（i 是虚数单位），则z =__________ 3、 (x-1)(x-2)……(x -10)的展开式中，x 9的系数等于__________4、 直线y=4x+1的方向向量与x 轴的正方向上的单位向量的夹角是__________5、 某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 Px0.10.3y已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为__________6、 下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是__________7、 在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 8、 设cos(80)k -︒=,那么tan100︒=__________9、 设数列a n 的前项和为b n ，数列b n 的前项积为c n ，且恒有b n +c n =1，则数列{1a n }中最接近2011的是第__________项 10、已知函数b ax x a x f +++=2)((a ，b 为实常数)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数a ，b 应满足的条件是__________ 11、在△ABC 中，已知|AB|=2，22||1||2BC CA =，则△ABC 面积的最大值为___________ 开始 S ←1 n ←1 S ←S+2n S ≥33n ←n+1 否 输出S结束是12、 对于集合N ={1, 2, 3,…, n }及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。

徐汇区2011年第一学期初三年级数学学科期末学习能力诊断卷 2011、1一．选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1．在直角坐标平面内，如果抛物线2)1(--=x y 经过平移可以与抛物线2x y -=互相重合，那么这个平移是（ ）．（A ）向上平移1个单位； （B ）向下平移1个单位； （C ）向左平移1个单位 ； （D ）向右平移1个单位．2．在Rt △ABC 中,∠C=90°，若AC=3，BC=4，则tanA 的值为（ ）（A ）43 （B ）53 （C ） 34 （D ）543．下列命题不一定．．．成立的是（ ） （A ）斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；（B ）两个等腰直角三角形相似；（C ）两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似； （D ）各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似．4．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论正确的是（（A ）ab>0； （B）当x ≤1时，y 随x 的增大而增大；（C ）ac>0；；（D ）方程ax 2+bx+c=0有两个正实数根．5．如图，在△ABC 中，点E 、F 分别是边AC 、BC 的中点，设a BC =，b CA =，用a 、b 表示EF ，下列结果中正确的是 ( )（A ）)(21→→+b a ； （B ）)(21→→+-b a ；（C ）)(21→→-a b ； （D ）)(21→→-b a ．6．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，DF=3FC ，联结AE 、AF 、EF ，那么下列结果错误．．的是（ ） （A ）△ABE 与△EFC 相似；（B ）△ABE 与△AEF 相似； （C ）△ABE 与△AFD 相似； （D ）△AEF 与△EFC 相似．二．填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）BA第4题第5题第6题7．如果57a a b =+，那么ab= . 8．计算：=⋅-60cot 45sin 30cos 2 .9．二次函数2365y x x =-+的图像的顶点坐标是 .10．抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A (1,0),B (－3，0)两点，则二次函数解析式是 . 11．如图，已知21//l l 3//l ，若AB : BC =3:5，DF =16，则DE = .12．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，对称轴为直线x =2，若与x 轴交点为A （6，0），则由图像可知，当0>y 时，自变量x 的取值范围是 .13．在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，CD AB ⊥，若AC =4，BC=3，则cos ∠DCB = ． 14．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AE ⊥AB ，交BD 于点G ，交BC 的延长线于点E ，那么GEAG= ．15. 某滑雪运动员沿着坡比为3的斜坡滑行了200米，则他身体下降的高度为_____米．16．如图，是用手电来测量古城墙高度的示意图, 将水平的平面镜放置在点P 处,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，若AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，则该古城墙的高度约是 米．17. 如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，如果∠B =∠ACD ，AB =6cm ，AC =4cm ，若S △ABC =36cm 2，则△ACD 的面积是 cm 2．18．如图，在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =900，点D 为腰BC 中点，点E 在底边AB 上，且DE ⊥AD ,则BE 的长为 .三．（本大题共6题，第19~22题每题10分；第23、24题12分，满分64分）19．已知：□ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交A D 边于点F ．求证：2CG GF GE =⋅第12题Oyxx=26 第14题第11题G ADP D CB A 第16题D C B A第17题 D C第18题 F G BD AE20． 已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 中点，AE 交BD 于点F ， 设→→=a BA 、→→=b BC ． （1）用x a y b →→+（x y 、为实数）的形式表示→FA ；（2）先化简，再直接在图中作：)41()21(→→→→+-+-b a b a ．21．已知：如图，在△ABC 中，13==AC AB ，135cos =C ，中线BE 和AD 交于点F ． 求：△ABC 的面积以及sin EBC ∠的值．22．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。

2011届上海市徐汇区高考一模数学 理科试卷参考答案及评分标准（2011.1）一． 填空题：1．0x = 2．(1,2)- 3．24. 725 5 6．(0,4)(4,8⋃ 7．2()24f x x =-+ 8．11129．(1,4) 10． 0a ≤ 11．1- 12．28313．1,1b a <>-或1,1b a >< 14． 2 二．选择题： 15．D 16．A 17．C 18．B 三．解答题:19．解：（1）由sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=得()sin 3sin cos B C A B += ……2分因为A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，所以()s i n s i n0B C A +=≠， ……5分 因此 1cos 3B =……6分 （2）1cos 23BA BC BA BC B ac ⋅=⋅== ，即6ac = ……8分由余弦定理得2222c o s b a c a B =+-，所以2212a c +=， ……10分解方程组22612ac a c =⎧⎨+=⎩，得a c == ……12分 20．解：（1）当2a =时，22()1111f x x x x x =+=++-++ ……………. 2分1≥ ……………. 4分当且仅当211x x +=+，即1x =时取等号，∴min ()1f x = ……………. 6分 （2）当01a <<时，任取120x x ≤<121212()()()1(1)(1)af x f x x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥++⎣⎦……………. 8分∵01a <<，12(1)(1)1x x ++>，∴1210(1)(1)ax x ->++ ……………. 10分∵12x x <，∴12()()f x f x <, 即()f x 在[)0,+∞上为增函数 ……………. 12分 21．解： （1）当0k =时，(,4)A =-∞； ………………2分当0k >且2k ≠时，24k k+> ………………4分 4(,4)(,)A k k∴=-∞++∞ ；……………………5分当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞ ；（不单独分析2k =时的情况不扣分）当0k <时，4(,4)A k k=+.……………….7分 （2） 由（1）知：当0k ≥时， A 中整数的个数为无限个；………………..9分当0k <时，A 中整数的个数为有限个， ……………11分因为44k k+≤-，当且仅当2k =-时取等号，……………12分所以当2k =-时，A 中整数的个数最少。

2009学年第一学期徐汇区初三年级数学学科期终学习能力诊断卷2010.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．抛物线22(3)4y x =-++的顶点坐标是（ ） Ａ．（3，4）； Ｂ．（－3，4）；Ｃ．（3，－4）； Ｄ．（－3，－4）．2．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ ） A ．45米B ．40米C ．90米D ． 80米3． 若向量→a 与→b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．→a =→bB ．1=→bC ．10a →→-=D ． →→=b a4．如图，下列条件中不能．．判定ABC ACD △∽△的是（ ） A ．B ACD ∠=∠； B ．ADC ACB ∠=∠；C ． AC AB CD BC =； D ．AB AD AC ∙=2． 5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 的高，下列线段的比值不等于．．．sinA 的值的是（ ）A ．BC AB B ．CDBC C ． CD AC D ．BD BC6．已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上；B ．抛物线与y 轴交于负半轴；C ．当x ＝3时，y <0；D ．方程02=++c bx ax 有两个相等实数根．第5题BA DCD CBA第4题二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果23x y =，那么x y y+= __ __． 8．抛物线23125y x x =-+-的对称轴是直线 ．9．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ．10．计算：=+∙00045cos 60sin 30tan ． 11．如果非零向量与满足等式1a 2b =-，那么向量与的方向 ． 12．已知二次函数4)2(2+--=x y ，当2>x 时，若y 随着x 的增大而 （填增大、不变或减少）．13．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6cm ，BG ＝1.2cm ，CD ＝1.5cm ，CH ＝_______cm 14. 如图，ABC ∆中，AB>AC ，AD 是BC 边上的高，F 是BC 的中点，E F ⊥BC 交AB 于E ，若:3:2BD DC =，则:BE AB == ．15．如图，已知抛物线c bx x y ++-=2的对称轴为直线1=x ，且与x 轴的一个交点为()0,3，那么它对应的函数解析式是 ．16．如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=12，BC=9．则它的重心G 到C 点的距离是 ． 17．如图,在ABC ∆中， ︒=∠90C ，13=AB ，AC=12，D 是AC 的中点，AB DE ⊥， 则DE 的长是 ．18．已知三角形纸片（△ABC ）中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将三角形按照如图所示的方式折第18题第17题 EDB C A 第13题第14题DF ECBA第16题叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ ABC 相似，那么BF 的长度是 ．三、（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分，第（1）题6分，第（2）题4分）已知：如图, 在△ABC 中AB =AC =9,BC =6。

2011年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）（2011•徐汇区一模）在直角坐标平面内，如果抛物线y=﹣（x﹣1）2经过平移可以与抛物线y=﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位【考点】M41A 函数图像的几何变换M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】∵抛物线y=﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）；抛物线y=﹣x2的顶点为（0，0）；从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，∴抛物线也是如此平移的．故选C．【解答】C．【点评】本题考查抛物线的平移；用到的知识点为：抛物线的平移要看顶点的平移；只横坐标改变是左右平移．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M33E 勾股定理【难度】容易题【分析】根据勾股定理可以求出AB=5，根据三角函数的定义即可求得cosB==．故选：A．【解答】A．【点评】本题主要考查了勾股定理以及余弦函数的定义：直角三角形中邻边与斜边的比．3．（4分）（2011•徐汇区一模）下列命题不一定成立的是（）A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B．两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】判定两三角形相似的方法很多如：“HL”，“AA”，“SAS”，但“SSA”不能判定两三角形相似．则：A、“HL”可以判断两直角三角形相似，命题成立．B、满足“AA”判定法，命题成立．C、∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，∴命题不一定成立．D、满足“AA”判定法，命题成立．故选C．【解答】C．【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”，“SAS”，“HL”也可以判断两直角三角形相似；但“SSA”不一定能判断两三角形相似．4．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．ab＞0B．当x≤1时，y随x的增大而增大C．ac＞0D．方程ax2+bx+c=0有两个正实数根【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M416 函数图像的交点问题M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】由图象可知：a＜0，﹣=1，c＞0，∴b＞0．A、因为ab＜0，故本选项错误；B、由图象知：当x≤1时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C、因为ac＜0，故本选项错误；D、由图象知方程ax2+bx+c=0的根一正一负，故本选项错误．故选：B．【解答】B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程，有理数的乘法法则等知识点，能正确观察图象是解此题的关键．用了数形结合思想．5．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设=，=，用、表示，下列结果中正确的是（）A．B．﹣C．D．【考点】M334 三角形中位线定理M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】此题主要用到了三角形中位线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量==，又知题中EF为中线，所以．故选B．【解答】B．【点评】本题考查平面向量、三角形中位线定理．解决本题的关键是懂得三角形中如何用三边向量表示、三角形的中位线定理的应用．6．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，连接AE、AF、EF，那么下列结果错误的是（）A．△ABE与△EFC相似B．△ABE与△AEF相似C．△ABE与△AFD相似D．△AEF与△EFC相似【考点】M33D 直角三角形的性质和判定M33E 勾股定理M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】较难题【分析】已知在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，得：AB=BC=DC=AD，BE=CE=AB=BC=DC，DC=4CF，∴CF=BE=CE，即BE=CE=2CF．在△ABE和△EFC中=，===∴△ABE与△EFC相似，∴∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+FEC=90°，∴△ABE与△AEF相似都是直角三角形∴EF2=CF2+CE2=CF2+（2CF）2=5CF2BE2=CE2=4CF2∴==∴=．AE2=AB2+BE2=（2BE）2+BE2=5BE2AB2=（2BE）2=4BE2=∴=∴△ABE与△AEF相似又△ABE与△EFC相似（已证）∴△AEF与△EFC相似．已知正方形ABCD，∴在两直角三角形ABE和△AFD中的两直角边=1，DF=3CF，BE=2CF∴==∴△ABE与△AFD不相似．所以C答案相似错误．故选：C．【解答】C．【点评】此题考查了学生对正方形性质的应用及相似三角形判定的掌握．解答此题的关键是根据已知条件所给的4对三角形是否相似确定答案．此题为中档题．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2011•徐汇区一模）如果，那么=．【考点】M33H 比例的性质【难度】容易题【分析】根据比例的性质（两内项之积等于两外项之积）解答即：∵原式的两个内项分别是a+b、5，两个外项分别是a、7，∴7a=5（a+b），即2a=5b，∴=．故答案为：．【解答】．【点评】本题主要考查了比例的基本性质：在比例式中，两内项之积等于两外项之积．8．（4分）（2011•徐汇区一模）计算：=．【考点】M362 特殊角的锐角三角函数值【难度】容易题【分析】先把cos30°=，sin45°=，cot60°=代入原式，再根据实数的运算法则进行计算得：=﹣=．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．9．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是．【考点】M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】利用求顶点坐标公式x=﹣，y=代入计算可得x=﹣=1，y==2，即顶点坐标是（1，2）．【解答】（1，2）．【点评】本题考查用公式法求二次函数的顶点坐标．做对本题的关键是记熟公式．10．（4分）（2011•徐汇区一模）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，则二次函数解析式是．【考点】M414 用待定系数法求函数关系式M416 函数图像的交点问题M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式【难度】容易题【分析】由于抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，那么可以得到方程﹣x2+bx+c=0的两根为x=1或x=﹣3，然后利用根与系数关系得1+（﹣3）=b，1×（﹣3）=﹣c，∴b=﹣2，c=3，∴二次函数解析式是y=﹣x2﹣2x+3．【解答】y=﹣x2﹣2x+3．【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．11．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB：BC=3：5，DF=16，则DE=．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理【难度】容易题【分析】首先由已知l1∥l2∥l3，证得，又由AB：BC=3：5，AB+BC=AC，得AB：AC=3：8，又DF=16，即可求得，则DE=6．故答案为：6．【解答】6．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理．解题时要注意找准对应关系，注意数形结合思想的应用．12．（4分）（2011•徐汇区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若与x轴交点为A（6，0），则由图象可知，当y＞0时，自变量x的取值范围是．【考点】M416 函数图像的交点问题M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M417 不同位置的点的坐标的特征【难度】容易题【分析】利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标（﹣2，0），再结合图象，得出函数开口向下，x轴上方部分y＞0，此时﹣2＜x＜6，故答案为：﹣2＜x＜6．【解答】﹣2＜x＜6．【点评】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题．属于中考高频考点，考生要注意掌握！13．（4分）（2011•徐汇区一模）如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，则cos∠DCB=．【考点】M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）【难度】容易题【分析】根据题意：∠DCB=∠CAB．在Rt△ABC中，易得AB=5，cos∠CAB=．故cos∠DCB=．【解答】．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．14．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥AB，交BD 于点G，交BC的延长线于点E，那么=．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】容易题【分析】四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC，∵AE⊥AB，∠ABC=60°，∴AB=AD=BE，∵AD∥BE，∴△ADG∽△EBG，∴==．故答案为：．【解答】．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，解题时要注意比例线段的转化．15．（4分）（2011•徐汇区一模）某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡滑行了200米，则他身体下降的高度为米．【考点】M364 解直角三角形M365 仰角、俯角、坡度、坡角【难度】容易题【分析】设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2=2002．解得x=100，即它距离地面的垂直高度下降了100米．故答案为：100．【解答】100．【点评】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．16．（4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是米．【考点】M33M 相似三角形性质、判定【难度】容易题【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到=代入数值求的=解得：CD=8米．【解答】8．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．17．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B=∠ACD，AB=6cm，AC=4cm，若S△ABC=36cm2，则△ACD的面积是cm2．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M33O 三角形面积【难度】中等题【分析】D是AB上一点且∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=∴===∵S△ABC=36cm2∴△ACD的面积是36×=16，∴△ACD的面积是16cm2．故应填：16．【解答】16．【点评】本题考查了相似三角形面积的比与相似比的关系，是相似三角形常考查的内容之一．关键是利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ACD的面积．18．（4分）（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，点D为腰BC 中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为．【考点】M33E 勾股定理【难度】中等题【分析】过D点作DH⊥AB，垂足为H，∵在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，∴AB==2．∵点D为腰BC中点，∴AD==，∵DE⊥AD，∠B=45°，∴DH=HB=，∴AD2=AH•AE，∴AE===，EB=AB﹣AE=2﹣=．故答案为：．【解答】．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答关键是过D点作DH⊥AB，求出AE的长，这是此题的突破点，此题有点难度，属于中档题．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F．求证：CG2=GF•GE．【考点】M33I 平行线分线段成比例定理M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质【难度】容易题【分析】由平行四边形可得AD∥BC，AB∥CD，再由平行线分线段成比例即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD∥BC， (2)∵DC∥AB，∴， (4)∵AD∥BC，∴， (6)∴， (8)即CG2=GF•GE． (10)【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质，均属于中考常考知识点，要求考生要能够熟练掌握．20．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：如图，▱ABCD中，E是BC中点，AE交BD于点F，设=、=．（1）用x+y（x，y为实数）的形式表示；（2）先化简，再直接在图中作：．【考点】M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M382 向量的加法与减法M383 实数与向量的乘法M384 向量的线性运算【难度】容易题【分析】（1）从图中不难看到△ADF∽△EBF，由于BE=，那么或BF=．再利用向量的减法，求得向量AF．（2）先利用向量的加减法将化简，再根据实数与向量的积，画出向量，连接向量的首尾．【解答】解：（1）解一：； (5)解二：； (5)（2）=﹣，=﹣． (7) (10)【点评】本题考查平行向量、平行四边形的性质．解决本题的关键是利用相似三角形求得AF、FE，BF、FD的大小关系，理解平行向量的含义．21．（10分）（2011•徐汇区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，，中线BE和AD交于点F．求：△ABC的面积以及sin∠EBC的值．【考点】M333 三角形的高、中线、角平分线M339 等腰三角形的性质和判定M33O 三角形面积M33E 勾股定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】中等题【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由，求得CD、AD，则S△ABC=60，根据中线的性质求出DF，BF，在△BDF中求得sin∠EBC的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，且AD是中线，∴AD⊥BC，∠B=∠C． (2)∵Rt△ABD与Rt△ACD中，AB=AC=13，，∴BD=DC=ABcosB=5 (4)∴，∴S△ABC=60． (6)∵中线BE和AD交于点F，∴ (7)则在Rt△BDF中， (8)∴sin∠EBC= (10)【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义，是中档题，难度不大．注意：突破口为由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由，求得CD、AD！22．（10分）（2011•徐汇区一模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°．（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【考点】M124 实数大小比较M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M364 解直角三角形【难度】容易题【分析】（1）首先沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G．在Rt△AFG中，利用正切函数求得AG的长，进而根据CF=BG=AB﹣AG求得CF的高度．通过比较CF与超市高度6米，可得到中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响．（2）首先沿着光线作射线AE交直线BC于点E．在Rt△ABE中，利用正切函数求得BE 的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数．【解答】解：（1）沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，由题意，在Rt△AFG中，GF=BC=15，∠AFG=29°，∴AG=GF•tan29°=15×0.55=8.25米， (2)∴GB=FC=20﹣8.25=11.75米， (4)∵11.75＞6，∴居民住房会受影响 (5)（2）沿着光线作射线AE交直线BC于点E． (6)由题意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°， (8)∴米， (9)∴至少要相距37米 (10)【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2011•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，，E为线AC上一点（不与A、C重合），过点E作ED⊥AC交线段AB于点D，将△ADE沿着直线DE翻折，A的对应点G落在射线AC上，线段DG与线段BC交于点M．（1）若BM=8，求证：EM∥AB；（2）设EC=x，四边形的ADMC的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出定义域．【考点】M33O 三角形面积M33E 勾股定理M33I 平行线分线段成比例定理M361 锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M420 函数自变量的取值范围M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】中等题【分析】（1）根据三角函数先在Rt△ACB中，求出AC=9，BC=12，MC=4．再在Rt△MCG 中，求出CG=3．可得AG=12，EC=3，AE=6，根据平行线分线段成比例即可证明EM∥AB；（2）根据S ADMC=S△ABC﹣S△DBM，即可得出S关于x的函数解析式．（1）在Rt△ACB中，，设AC=3k，BC=4k， (1)【解答】解：则AB=，AB=5k=15，k=3．∴AC=9，BC=12． (3)∵BM=8，∴MC=4 (4)在Rt△MCG中，，∴CG=3． (5)∴AG=12，EC=3，AE=6． (6)∵，∴EM∥AB； (7)（2）EC=x，由题意有EG=AE=9﹣x，则CG=9﹣2x， (8)，BM=12﹣（9﹣2x）， (9)S ADMC=54﹣（0＜x＜4.5）． (12)【点评】本题综合考查了平行线分线段成比例，三角函数的知识，组合图形的面积之间的关系，函数解析式等知识点，有一点的难度．尤其注意（2）问关键是根据S ADMC=S△ABC﹣S△DBM，得出S关于x的函数解析式．24．（12分）（2011•徐汇区一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线点D．（1）求梯形ABCD的面积；（2）若梯形ACDB的对角线AD、BC交于点E，求点E的坐标，并求经过A、B、E三点的抛物线的解析式；（3）点P是直线CD上一点，且△PBC与△ABC相似，求符合条件的P点坐标．【考点】M241 一元二次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M344 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的判定与性质M345 梯形的概念M346 等腰梯形的性质与判定M348 四边形周长、面积M414 用待定系数法求函数关系式M417 不同位置的点的坐标的特征M41B 平面直角坐标系M442 二次函数的图象、性质M443 二次函数的关系式M444 二次函数的应用【难度】较难题【分析】（1）把x=0，y=0分别代入解析式，即可求出A、B、C的坐标，由CD∥x轴得到C和D的纵坐标相等（是﹣2）从而求出D的坐标，利用梯形的面积公式求出即可；此问简单（2）根据抛物线的对称性求出E的横坐标，过E作EN⊥AB，就可得到比例式，进一步求出E的纵坐标，即过、B、E三点的抛物线的顶点坐标，即可求出解析式；此问中等（3）由已知相似可得比例式，能求出CP的值，进而求出P的坐标．此问较难【解答】解：（1），当y=0时，﹣x2+x﹣2=0，解得：x1=1，x2=4， (1)当x=0时，y=﹣2，∴A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∵CD∥x轴，∴D点的纵坐标也是﹣2， (2)把y=﹣2代入得：﹣x2+x﹣2=﹣2，解得：x3=0，x4=5，D点的坐标是：（5，﹣2）， (3)S梯形ACDB=×[（4﹣1）+5]×|﹣2|，=8．所以梯形ABCD的面积是8． (4)（2）由抛物线的对称性有，过E作EN⊥AB于N，，，，∴， (6)设：经过A、B、E三点的抛物线的解析式为：y=a﹣，把A（1，0）代入解得：a=， (7)所以经过A、B、E三点的抛物线的解析式是：，即y═x2﹣x+． (8)（3）当点P在C的右侧，当∠CAB=∠CBP时，=，=，PB=， (9)设P（a，﹣2），∵B（4，0），∴由勾股定理得：22+（4﹣a）2=（）2，a=（此时∠CAB≠∠CBP舍去），a=，∴P（，﹣2）； (10)当∠CPB=∠CAB时，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠PCB，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠ACB=∠CBP，∴AC∥PB，∴四边形ACPB是平行四边形，∴AB=CP， (11)∵A（1，0），B（4，0），∴CP=AB=3，∵C（0，﹣2），CP∥AB，∴P（3，﹣2），当点P在C的左侧，由题意有钝角∠BAC≠钝角∠PCB，此时不存在．所以符合条件的P点坐标是P（3，﹣2）和P（，﹣2）． (12)【点评】本题主要考查了二次函数的性质，三角形相似的性质，梯形的面积公式，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能综合运用这些知识解题是解决本题的关键．难点是（3）小题的求法，巧妙地运用了分类讨论思想．25．（14分）（2011•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．【考点】M232 一元一次方程的概念、解法M323 平行线的判定、性质M334 三角形中位线定理M33F 全等三角形概念、判定、性质M33M 相似三角形性质、判定M346 等腰梯形的性质与判定M347 梯形中位线定理M711 数学综合与实践【难度】较难题【分析】（1）先根据已知条件判断出梯形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质可得出△MEF∽△MFC，由相似三角形的性质及判定定理可得出△MEF∽△BEM；此问简单（2）由（1）可知△MEF∽△BEM，BM=BF=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；同理，若BM=BM=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；此问中等（3）根据EF⊥CD，△MEF∽△BEM可求出∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，设BE=x，则BH=，EH=MH=，由MH+BH=3即可求出答案．此问较难【解答】证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C， (1)∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC， (2)∴△EMB∽△MFC，∴， (3)∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM； (4)（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF (5)根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB (6)延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6 (7)②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=； (9)（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°， (11)解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，故EH=MH， (12)设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE= (14)解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2由△MEF∽△MFC有， (12)即，得BE=． (14)【点评】本题主要考查的是等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度较大．解题时尤其注意第（3）小问关键是得出BH、MH之间的关系，然后由MH+BH=3即可求出答案．。

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是．2．方程的解是．3．设，则数列{a n}的各项和为．4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为．5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）= ．6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为．9．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是．11．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．12．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．13．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+= ．14．已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m= ．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件17．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．20．已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．21．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．22．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i ﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．23．已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2=4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是y2=8x ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．【解答】解：由题意可知： =2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=2px将p代入可得y2=8x．故答案为：y2=8x．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．2．方程的解是x=2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由方程可得 3x﹣5=4，即3x=32，由此求得方程的解．【解答】解：由方程可得 3x﹣5=4，即3x=32，解得x=2，故答案为 x=2．【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题．3．设，则数列{a n}的各项和为．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由已知可知=，从而可得数列{a n}为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，即求前n项和的极限，由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解：∵ =，∴=，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴=所以数列的各项和S==故答案为【点评】本题所涉及的知识：等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比数列的求和公式，等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为﹣．【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=+sin（2x+），由此求得函数y的最小值．【解答】解：函数y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x+），故当2x+=2kπ﹣，k∈z 时，函数y取得最小值为﹣1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．5．若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）= y=﹣4﹣x．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】计算题；数形结合．【分析】先设f（x）上一点（x，y），求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y=log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，y）的轨迹方程【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y=0的对称点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象由题意知，解得x'=﹣y，y'=﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y=log4x的图象∴﹣x=log4（﹣y）∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x故答案为：y=﹣4﹣x【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式．解题的关键是会求点个关于直线的对称点．属简单题6．函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y=a和函数y=|4x﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．7．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵ =1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．8．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0 ．【考点】三阶矩阵；两条直线的交点坐标．【专题】直线与圆．【分析】先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．9．（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据题意，令x=1，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x=1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题时应利用x=1进行计算，是基础题．10．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；方程思想；综合法；球．【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB=OC=OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA=OB=OC=OD=1，再由AB=，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB==﹣，则∠AOB=，则弧AB=•1=．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．11．已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；综合题．【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1， }，{0，﹣1，﹣ }，{0，﹣1， }，{0，1，﹣ }，{0，﹣1，1， }，{0，﹣1，1，﹣ }，{0，1，，﹣ }，{0，﹣1，，﹣ }，{0，﹣1，1，，﹣ }共9种情况故答案为：9【点评】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个，着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题．12．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】称求出基本事件总数n=4×4=16，再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n=4×4=16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．13．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+= ﹣2 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．利用是实数，可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2． +1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数，∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32=0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知O是锐角△ABC的外心，．若，则实数m=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．【分析】设外接圆的半径为R，从而化简可得（﹣）•+（﹣）•=2m•，从而可得﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）=﹣2m，从而解得．【解答】解：设外接圆的半径为R，∵，∴（﹣）+（﹣）=2m，∵∠AOB=2∠C，∠AOC=2∠B，∴（﹣）•+（﹣）•=2m•，即•R2•（cos2C﹣1）+•R2•（cos2B﹣1）=﹣2mR2，即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）=﹣2m，故sinCcosB+sinBcosC=m，故sin（B+C）=m，故m=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理的应用，同时考查了平面向量数量积的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；分析法；平面向量及应用．【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直．【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）==0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•=﹣=﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵==+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系，属于基础题．16．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab ＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．17．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，可得，利用线性规划的知识可得可行域即可．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x=2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域，属于中档题．18．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031 B．4031 C．﹣8062 D．8062【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，能此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=x+sinπx﹣3，∴当x=1时，f（1）=1+sinπ﹣3=﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，∴=2015[f（）+f（）]+f（）=2015×（﹣4）﹣2=﹣8062．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（1）因为SA⊥面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证．（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．【解答】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，∴V S﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．【点评】本题考查了三垂线定理的应用，考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力，计算能力；三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法．20．已知实数x满足（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；整体思想；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得81（）2x﹣10（）x+≤0，从而解得≤9（）x≤1，从而求得；（2）化简f（x）=（log2x﹣1）（log2x﹣2）=（log2x﹣）2﹣，从而求最值．【解答】解：（1）∵（）2x﹣4﹣（）x﹣（）x﹣2+≤0，∴81（）2x﹣10（）x+≤0，∴≤9（）x≤1，∴0≤x﹣2≤2，故实数x的取值范围为[2，4]；（2）f（x）=log2=（log2x﹣1）（log2x﹣2）=（log2x﹣）2﹣，∵x∈[2，4]，∴log2x∈[1，2]，∴﹣≤（log2x﹣）2﹣≤0，∴当x=2时，f（x）有最小值﹣，当x=2或4时，f（x）有最大值0．【点评】本题考查了幂运算的应用及对数运算的应用，同时考查了整体思想的应用及配方法的应用．21．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；（2）记，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得，即（其中）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）记，则sinx+pcosx=2，则有，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由于y＞0，所以，当，即点O在CD中垂线上离点P距离为km处，y取得最小值（km）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力．解决这类问题的关键在于把文字语言转换为数学符号，用数学知识解题．22．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i ﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i﹣B i，对于数列：3，4，7，1，能求出d1，d2，d3．（2）①推导出a1=1，，由此能证明数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．②由，得max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵给定数列{a n}，A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，n﹣1）对于数列：3，4，7，1，A1=3，B1=1，d1=3﹣1=2，A2=4，B2=1，d2=4﹣1=3，A3=7，B3=1，d3=7﹣1=6，∴d1=2，d2=3，d3=6．证明：（2）①当n=1时，（1﹣λ）a1=﹣λa1+1，∴a1=1，当n≥2时，，，两式相减得，∴=，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．解：②由①知：；又d i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1=max{a1，a2，…，a i+1}﹣min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n﹣2恒成立．∵d i=a i﹣a i+1，d i+1=a i+1﹣a i+2，∴．由d i﹣d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．【点评】本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．23．已知直线l1、l2与曲线W：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．（1）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，求a2+b2的值；（2）若直线与圆W：x2+y2=4分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据直线分圆分成长度相等的四段弧，得到，利用点到直线的距离公式进行求解即可．（2）根据直线与圆相交的位置关系，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可，（3）根据椭圆内接正方形的关系，转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系进行证明即可，【解答】解：（1）由于直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆W：x2+y2=成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角△OAB中，圆心O（0，0）到直线l1：y=x+a的距离为，同理|b|=1，∴a2+b2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由题知，直线l1，l2关于原点对称，因为圆W：x2+y2=4的圆心为原点O，所以，故四边形ABCD为平行四边形．易知，O点在对角线AC，BD上．联立解得，由得=，所以，于是，因为，所以四边形ABCD为正方形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为A，B，C，D．当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为x=m，x=n，因为A，B，C，D在椭圆上，所以，由四边形ABCD为正方形，易知，，直线AB、CD的方程为，正方形ABCD的面积．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线AB的斜率存在时，设直线AB、CD的方程分别为l AB：y=kx+m，l CD：y=kx+n（k≠0，m≠0），显然m≠n．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，所以代人，得，同理可得，因为ABCD为正方形，所以|AB|2=|CD|2解得m2=n2因为m≠n，所以m=﹣n，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中心（由m=﹣n知，四边形ABCD为平行四边形）由ABCD为正方形知，即代人得，解得（注：此时四边形ABCD为菱形）由ABCD为正方形知|AB|=|AD|，因为直线AB与直线CD的距离为，故但，由得4k4+5k2+1=4k4+4k2+1，∴k2=0即k=0，与k≠0矛盾．所以|AD|2≠|AB|2，这与|AD|=|AB|矛盾．即当直线AB的斜率k≠0存在时，椭圆内不存在正方形．综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．﹣﹣【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，将直线方程代入椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程形式，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

2011年上海市某校高考数学模拟试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 已知集合I ={0, 1, 2, 3, 4}，A ={0, 2, 3}，B ={1, 3, 4}，则∁I A ∩B =________．2. 设复数z 1=1−i ，z 2=−4−3i ，则z 1⋅z 2在复平面内对应的点位于第________象限．3. 函数y =lg3x−13−x的定义域为________．4. 一个四面体的所有棱长都是√2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为________．5. 二项式(x +12x )n 展开式中的前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项是________． 6. 函数y =sin2x +√3cos2x ，x ∈[0, π]的单调递增区间是________．7. 阅读如图的程序框图，若输入m =4，n =6，则输出的a 等于________．8. 在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________． 9. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，D 是BC 边的中点，则AD →⋅BC →=________．10. 已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c(x ∈R)的值域为[0, +∞)，则f(1)的最小值为________． 11. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a −b 、ab 、ab ∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号都填上）12. 如图，底面直径为20的圆柱被与底面成60∘二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为________． 13. 若矩阵A =[cos60∘−sin60∘sin60∘cos60∘]，B =[−12−√32√32−12]，则AB =________．14. 已知从装有n +1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0<m <n, n, m ∈N)，共有C n+1m 种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和(m −1)个白球，共有C 10C n m +C 11C n m−1种取法，即有等式C n m +C n m−1=C n+1m 成立．试根据上述思想，化简下列式子：C n m+C k 1C n m−1+C k 2C n m−2+...+C k k C n m−k =________．(1≤k <m ≤n, k, m, n ∈N)二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 15. “x(x −5)<0成立”是“|x −1|<4成立”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件16. 一组数据4，5，12，7，11，9，8，则下面叙述正确的是( )A 它们的中位数是7，总体均值是8B 它们的中位数是7，总体方差是52C 它们的中位数是8，总体方差是528D 它们的中位数是8，总体方差是52717. 已知函数f(x)＝sin(πx −π2)−1，则下列命题正确的是（ ）A f(x)是周期为1的奇函数B f(x)是周期为2的偶函数C f(x)是周期为1的非奇非偶函数D f(x)是周期为2的非奇非偶函数 18. 函数y =tanx +sinx −|tanx −sinx|在区间(π2，3π2)内的图象是（ ）A B C D三、解答题（共5小题，满分78分） 19. 关于x 的不等式|x +a21x|<0的解集为(−1, b)． （1）求实数a 、b 的值；（2）若z 1=a +bi ，z 2=cosα+isinα，且z 1z 2为纯虚数，求cos(2α−π3)的值．20. 在“猜数字”的游戏中，主持人在1∼127中确定一个数字作为目标数字，记在心里，让小光来猜，如果没有猜对，主持人会告诉小光，他猜的数字比目标数字大还是小，再让他猜，直到猜出目标数字为止．小光决定每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字，因为这样能最有效地缩小范围．（1）如果主持人确定的目标数字是48，小光需要经过几次猜测，才能正确猜出目标数字？ （2）如果主持人等可能地在1∼127中随机确定一个数字作为目标数字，小光平均要经过几次猜测才能正确猜出目标数字？21. 已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n项和S n．22. 已知圆C：(x+2)2+y2=4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a, 0)．(I)若l1、l2都和圆C相切，求直线l1、l2的方程；(II)当a=2时，若圆心为M(1, m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆M的方程；(III)当a=−1时，求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值．23. 已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0, √a]上是减函数，在[√a, +∞)上是增函数．(I)如果函数y=x+2bx(x>0)的值域为[6, +∞)，求b的值；(II)研究函数y=x2+cx2（常数c>0）在定义域内的单调性，并说明理由；(III)对函数y=x+ax 和y=x2+ax2（常数a>0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)=(x2+1 x )n+(1x2+x)n（n是正整数）在区间[12, 2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．2011年上海市某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. {1, 4}2. 二3. (13，3)4. 3π5. 1646. [0,π12]∪[7π12,π]7. 128. ρcosθ=39. 1210. 411. ①④12. 20√313. [−100−1]14. C n+km15. A16. D17. B18. D19. 解：（1）原不等式等价于(x+a)x−2<0，即x 2+ax −2<0 由题意得，{−1+b =−a−1×b =−2解得a =−1，b =2．（2）z 1=−1+2i ，z 1z 2=(−cosα−2sinα)+i(2cosα−sinα) 若z 1z 2为纯虚数，则{cosα+2sinα=02cosα−sinα≠0，解得tanα=−12 cos(2α−π3)=12cos2α+√32sin2α=12×1−tan 2α1+tan 2α+√32×2tanα1+tan 2α=3−4√310． 20. 解：可把1，2，3，，127这127个自然数看成是开区间(0, 128)中的自然数（1）当目标数字是48时，每次选择数字范围中最中间的数来猜目标数字 可猜64，32，48共3次可猜出目标；（2）选择数字范围中最中间的数来猜目标，相当于要研究目标数字中含因数2的情况，故可如下分类：1×2∘，3×2∘，5×2∘，…，127×2∘这64个数均猜7次 1×21，3×21，5×21，…，63×21这32个数均猜6次 1×22，3×22，5×22，…，31×22这16个数均猜5次 1×23，3×23，5×23，••，15×23这8个数均猜4次 1×24，3×24，5×24，7×24这4个数均猜3次 1×25，3×25这2个数均猜2次 1×26这1个数只猜1次 平均期望次数为1127(7×64+6×32+5×16+4×8+3×4+2×2+1×1)=6.05521. 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则依题意可知d >0由a 2+a 7=16， 得2a 1+7d =16①由a 3a 6=55，得(a 1+2d)(a 1+5d)=55② 由①②联立方程求得得d =2，a 1=1或d =−2，a 1=207（排除）∴ a n =1+(n −1)⋅2=2n −1 （2）令c n =b n 2n，则有a n =c 1+c 2+...+c na n+1=c 1+c 2+...+c n+1 两式相减得a n+1−a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1−a n =2 ∴ c n+1=2，即c n =2(n ≥2)， 即当n ≥2时，b n =2n+1，又当n =1时，b 1=2a 1=2∴ b n ={2,(n =1)2n+1，(n ≥2)于是S n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2+23+24+...2n+1=2n+2−6，n ≥2，S n ={2n =12n+2−6n ≥2．22. 解：(1)根据题意得l 1，l 2的斜率都存在，设l 1：y =k(x −a)，则l 2：y =−1k(x −a)则√k2+1=2√k 2+1=2k =±1,a =−2±2√2∴ l 1，l 2的方程分别是l 1：y =x −2√2+2与l 2：y =−x +2√2−2；或l 1：y =x +2√2+2与l 2：y =−x −2√2−2(II)设圆的半径为r ，则{(1−2)2+m 2=2r 2(1+2)2+m 2=(2+r)2解得{r =2m =±√7，所以所求圆M 的方程为(x −1)2+(y ±√7)2=4(III)当a =−1时，l 1、l 2被圆C 所截得弦的中点分别是E 、F ，当a =−1时，l 1、l 2被圆C 所截得弦长分别是d 1、d 2；圆心为B ，则AEBF 为矩形，所以BE 2+BF 2=AB 2=1，即(4−(d12)2)+(4−(d22)2)=1∴ d 12+d 22=28， 所以d 1+d 2≤√2√d 12+d 22=2√14即l 1、l 2被圆C 所截得弦长之和的最大值2√1423. 解：(1)函数y =x +2b x(x >0)的最小值是2√2b ，则2√2b =6，∴ b =log 29．(2)设0<x 1<x 2，y 2−y 1=x 22+c x 22−x 12−c x 12=(x 22−x 12)(1−cx 12⋅x 22)．当√c 4<x 1<x 2时，y 2>y 1，函数y =x 2+c x 2在[√c 4，+∞)上是增函数；当0<x 1<x 2<√c 4时y 2<y 1，函数y =x 2+cx 2在(0, √c 4]上是减函数． 又y =x 2+cx 2是偶函数，于是，该函数在(−∞, −√c 4]上是减函数，在[−√c 4，0)上是增函数； (3)可以把函数推广为y =x n +ax n （常数a >0），其中n 是正整数．当n 是奇数时，函数y =x n +ax n 在(0, √a 2n ]上是减函数，在[√a 2n，+∞)上是增函数， 在(−∞, −√a 2n]上是增函数，在[−√a 2n，0)上是减函数； 当n 是偶数时，函数y =x n +a x n在(0, √a 2n ]上是减函数，在[√a 2n，+∞)上是增函数，在(−∞, −√a 2n ]上是减函数，在[−√a 2n，0)上是增函数；F(x)=(x 2+1x )n +(1x2+x)n=C n 0(x 2n +1x 2n )+C n 1(x 2n−2+1x 2n−3)+...+C n r (x 2n−3r +1x 2n−3r )+⋯+C n n (x n+1x n )，因此F(x)在[12, 1]上是减函数，在[1, 2]上是增函数．所以，当x =12或x =2时，F(x)取得最大值(92)n +(94)n ；当x =1时F(x)取得最小值2n+1；。