2016-2017年高三一模数学(理)试题及答案

2017年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集{}{}{}2,1,0,1,2,|1,2,0,2U A x x B =--=≤=-，则()U C AB =A. {}2,0-B.{}2,0,2-C. {}1,1,2-D. {}1,0,2- 2.已知复数()1z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =A. 98B. 49C. 14D. 147 4.下列命题中正确的是A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为A. 200πB. 50πC. 100πD.1252π 6.函数22ln x x y x=的图象大致是7.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为20,17，则输出的c =A. 1B. 6C. 7D. 118.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续5年的广告费和销售额进行了统计，得到统计数据如下表（单位：万元）。

2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，则满足条件的集合A 的个数是（）A．2B．4C．8D．162．（5分）已知复数满足（1+i）z＝i，则z＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i 3．（5分）某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在[110，130）的人数为（）A．12B．9C．15D．184．（5分）设函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（）A．B．2C．D．16．（5分）要得到函数f（x）＝2sin x cos x，x∈R的图象，只需将函数g（x）＝2cos2x﹣1，x∈R 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，b＝2，则输出的x＝（）A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.43758．（5分）设x0是方程（）x＝的解，则x0所在的范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．3D．10．（5分）把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+（8﹣a）x﹣5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），则|﹣2|＝．14．（5分）在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是．15．（5分）已知抛物线x2＝4y与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r＝．16．（5分）一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶30海里至B 岛，则A，B两岛之间距离是海里．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，S10＝110，S15＝240．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝+，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，P A＝BD＝，AB＝AD，E为PC的中点．（1）求AB；（2）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．19．（12分）甲将要参加某决赛，赛前A，B，C，D四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A，B选择甲的概率均为m，C，D选择甲的概率均为n（m＞n），且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择甲的概率为．（1）求m，n的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，过椭圆E：+＝1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|＝+1．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S 的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数y＝f（x）的两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2a．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC．（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；（2）AC与BD相交于点F，若BC＝2CF＝6，AF＝5，求C，D之间的距离．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），将曲线C1上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C2．（1）写出C，D的直角坐标及曲线C2的参数方程；（2）设M为C2上任意一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围．六、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m＝1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，∴A＝{1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}，}，{1，2，4，5}，即满足题意A的个数是4．故选：B．2．【解答】解：由（1+i）z＝i，则＝＝，故选：C．3．【解答】解：根据频率分布直方图知，成绩大于等于90分的频率为1﹣0.005×20＝0.9，对应人数为36，所以班级人数为＝40；成绩在[110，130）的频率为0.9﹣（0.02+0.01）×20＝0.3，所求的人数为40×0.3＝12．故选：A．4．【解答】解：“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：∵双曲线中，a＝2，b＝1∴c＝＝，可得F1（﹣，0）、F2（，0）∵点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝20根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4∴两式联解，得|PF1|•|PF2|＝2因此△F1PF2的面积S＝|PF1|•|PF2|＝1故选：D．6．【解答】解：将函数g（x）＝2cos2x﹣1＝cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y＝cos2（x﹣）＝sin2x＝2sin x cos x，x∈R的图象，故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，b＝2，x＝1.5不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.5，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.25，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.25，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.375，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.375，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.4375，不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.4375，满足条件|a﹣b|＜0.1，退出循环，输出x的值为1.4375．故选：D．8．【解答】解：构建函数f（x）＝（）x﹣，则f（）＝＝＞0，f（）＝＜0∴函数的零点所在的区间是（，）∴解x0所在的区间是（，）故选：B．9．【解答】解：由题意，直观图为组合体，上方为三棱锥，下方为直三棱柱，由图中数据，可得几何体的体积为＝，故选：D．10．【解答】解：设把长为80cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80﹣x﹣y，则由题意知，所以包含事件每段铁丝长度都不小于20cm所表示的面积为区域的面积为＝而基本事件所表示的平面80×80＝3200，所以由几何概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于20cm的概率为．故选：A．11．【解答】解：取CD的中点G，P A的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，∴EF＝HG＝PC＝2且EF∥HG∥PC，EH＝FG＝BD＝2且EH∥FG∥BD，故四边形EFGH为矩形，面积是4，△EIH中，EI＝HI＝，故EH上的高IJ＝，故△EIH的面积为，即平面EFGHI的面积为5，故选：C．12．【解答】解：设g（x）＝x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）＝a（x+1），g'（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，并且g（1）＝，g（2）＝，g（3）＝1，g（4）＝，图象如图，函数h（x）经过（﹣1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，只要a＞0并且即解得；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），∴＝cos215°+sin215°＝1，||＝1；＝cos275°+sin275°＝1，||＝1；∴•＝cos15°cos75°+sin15°sin75°＝cos60°＝；＝﹣4•+4＝1﹣4×+4＝3，∴|a﹣2b|＝．故答案为：．14．【解答】解：∵在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，∴2n＝128，解得n＝7，∴T r+1＝＝•，由＝0，得r＝1，∴常数项是T2＝＝14．故答案为：14．15．【解答】解：设点P（x0，），则由x2＝4y，求导y′＝x，∴抛物线在P点处的切线的斜率为k＝x0，∵圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）的圆心的坐标为C（1，2），∴k PC＝，∴k PC•k＝•x0＝﹣1，解得：x0＝2∴P（2，1），∴r＝丨PC丨＝＝，故答案为：．16．【解答】解：连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得AN＝＝70，∴cos∠MAN＝＝∴cos∠ANB＝cos（30°+∠MAN）＝∴AB＝＝70，故答案为70．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S10＝110，S15＝240．∴d＝110，d＝240，联立解得a1＝d＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）b n＝+＝+＝2+，∴数列{b n}的前n项和T n＝2n++…+＝2n+1﹣．18．【解答】解：（1）连接AC，∵P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，又∵BC⊥PB，PB∩P A＝P，∴BC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴BC⊥AB．∵△BCD为等边三角形，AB＝AD，∴△ABC≌△ADC，∴∠ACB＝30°，∠CAB＝60°，又BD＝，∴AB＝；（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD＝O，分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．则D（0，，0），B（0，﹣，0），E（，0，），A（，0，0），P（﹣，0，）．，，，．设平面BDE的一个法向量为，则，得，取，则；设平面ABP的一个法向量为，则，得，取，则．∴|cos＜＞|＝||＝||＝．平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为．19．【解答】解：由已知得，解得m＝，n＝．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝×，P（X＝4）＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝2.2．20．【解答】解：（1）由题意可得P（﹣c，），∴k OP＝﹣，k AB＝﹣．由AB∥OP，∴﹣＝﹣，解得b＝c，a＝c，由|AF|＝a+c＝+1得b＝c＝1，a＝，故椭圆E的方程为+y2＝1．（2）由题意可设CD：y＝kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y＝kx代入+y2＝1，得x2＝，则x1＝，x2＝﹣．由A（，0），B（0，1）得|AB|＝，且AB：x+y﹣＝0，d1＝，d2＝﹣，S＝|AB|（d1+d2）＝[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]＝（1+k）（x1﹣x2）＝，S2＝2（1+），∵1+2k2≥2k，当且仅当2k2＝1时取等号，∴当k＝时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx+﹣2，（x＞0），f′（x）＝﹣＝，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）证明：由①可知0＜x1＜a，x2＞a，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；设h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x）0＜x＜a，∴h（x）＝ln+﹣，（0＜x＜a），h′（x）＝•﹣﹣＝﹣＜0，∴h（x）在（0，a）递减，∴h（x）＞h（a）＝0，∴f（x）＞f（2a﹣x），由x1∈（0，1），∴f（x1）＝f（x2）＞f（2a﹣x1），而x2＞a，2a﹣x1＞a，f（x）在（a，+∞）递增，∴x2＞2a﹣x1，即x1+x2＞2a，∴原不等式成立．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，所以∠OBD＝∠CBD＝∠ODB，OB＝OD．又∠OAD+∠OBD＝90°，∠ODA+∠ODB＝90°，所以∠OAD＝∠ODA，OA＝OD．所以OA＝OB，O是AB的中点，O为圆心．…（5分）（2）解：由BC＝2CF＝6，得BF＝3，由Rt△ADF∽Rt△BCF得＝＝2．设AD＝2DF＝2x，则AF＝x，由BD平分∠ABC得＝＝2，所以＝2，解得x＝，即AD＝2．连CD，由（1），CD＝AD＝2．…（10分）五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），利用对称性可得：C，D，分别化为直角坐标：C，D．曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，化为直角坐标方程：x2+y2＝4．设曲线C2．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C1的任意一点P′（x′，y′），则，可得．代入（x′）2+（y′）2＝4，得x2+4y2＝4，其参数方程为：．（2）A，B．设M（2cosθ，sinθ）．|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2＝++（sinθ﹣1）2++（sinθ+1）2++（sinθ+1）2＝12cos2θ+20∈[20，32]．六、选修4-5：不等式选讲24．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（5分）（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f（x）＝x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，由y＝|mx﹣1|及y＝x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，解得m≥1，或m≤﹣1．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…（10分）。

WORD 格式整理2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 . 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑 .2、选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效 .3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 . 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 .4、选考题的作答： 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 . 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 .5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 .第 Ⅰ 卷一 . 选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的 .1.设集合 A x x 2 4x 3 0 ， x 2x 3 0 ,则 A B（ A ）3, 3 （ B ） 3, 3 （ C ） 1, 3 （ D ） 3,3 2 2 2 2设i ) x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi 2. (1 （ A ） 1（ B ） 2（C ）3 （D） 23.已知等差数列 a n 前 9 项的和为 27，a 108 ，则 a 100（ A ） 100 （ B ） 99 （C ） 98 （ D ） 974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，小明在7:50 至8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（ A ）1（ B）1（C）2（ D）33234x2y21 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则 n 的取值范围是5.已知方程n 3m2m2n专业技术参考资料WORD 格式整理（ A ）1,3 （ B） 1, 3 （ C） 0,3（ D ）0, 36.如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是28,则它的表面积是3（ A ）17 （ B）18（ C）20（ D）287.函数 y 2x2e x在2,2 的图像大致为y y（ A ）1（ B）12 O 2 x 2 O2xy y1 1（ C）2O 2 x（D） 2 O 2 x8.若 a b 10， c 1,则（ A ）a cbc （ B）ab c ba c（ C ） alog b cb log ac （ D） logac9.执行右面的程序框图 ,如果输入的 x 0， y 1，n1 ,则输出 x,y 的值满足（ A ） y 2x （ B） y 3x （ C） y 4x （ D） y 5x10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于D 、E 两点 .已知 |AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为n=n+ 1(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11.平面过正方体ABCD顶点 A I平面ABCD=m, I 平面 ABB1A1=n,则 m、n所成角的正弦值为3 2(A) (B)2 2log b c开始输入x,y,nn-1x=x+ 2，y=nyx2+y2≥36？否是输出x,y结束专业技术参考资料WORD 格式整理12.已知函数 f (x)sin( x+ )(0，), x 为 f (x) 的零点 , x 为 y f ( x) 图像2 4 4的对称轴，且 f (x) 在5单调，则的最大值为18，36（ A ） 11 （ B）9（C） 7（ D）5二、填空题：本大题共3 小题 ,每小题 5 分13.设向量 a=(m,1)， b=(1,2) ，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m= ．14. (2 xx)5的展开式中， x3的系数是．（用数字填写答案）15.设等比数列a n满足 a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1a2 ⋯an的最大值为．16.某高科技企业生产产品A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 .17.（本小题满分为 12 分）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a b c2cos C (a cos B+b cos A)c.，，，已知（ I）求 C；（ II ）若 c 7 ，ABC 的面积为 3 3，求ABC 的周长．218.（本小题满分为12 分）如图，在以A，B，C，D，E， F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形， AF =2FD ，AFD 90 ，且二面角 D -AF -E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ．（ I）证明：平面ABEF 平面 EFDC ；D C（ II ）求二面角E-BC- A 的余弦值．F专业技术参考资料WORD 格式整理19.（本小题满分12 分）某公司计划购买 2 台机器 ,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件 ,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元 .在机器使用期间 ,如果备件不足再购买 ,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数40200 8 9 10 11 更换的易损零件数以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（ I）求 X 的分布列；（ II ）若要求 P( X n) 0.5 ,确定 n 的最小值；（ III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n 19 与 n 20 之中选其一 ,应选用哪个？20.（本小题满分12 分）设圆x2y22x 15 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B （ 1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交A D 于点 E.（ I）证明EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（ II ）设点 E 的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1于 M ,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围 .21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x x 2 e x2有两个零点 .a x 1(I ) 求a的取值范围；(II)设12是fx 的两个零点 ,证明：x1x2 2 .x ,x专业技术参考资料WORD 格式整理请考生在22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，△ OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°.以 O 为圆心， 1OA 为半径作圆 . 2(I) 证明：直线 AB 与⊙ O 相切；(II) 点 C ，D 在⊙ O 上，且 A ， B ， C ， D 四点共圆，证明： AB ∥ CD. DCOA B23.（本小题满分 10 分）选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为 x a cost （ t 为参数， a ＞ 0）．y 1 a sin t 在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2： ρ= 4 cos . （ I ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（ II ）直线 C 3 的极坐标方程为 0 ，其中 0 满足 tan 0 =2 ，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a ．24.（本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲已知函数 fx x 1 2x 3 .（ I ）画出 y f x 的图像；（ II ）求不等式 f x 1 的解集．专业技术参考资料WORD 格式整理2016 年高考全国1 卷理科数学参考答案 题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 11 12 答案D BCBAADCCBA B1. A x x 2 4x 3 0 x 1 x 3 ， B x 2 x 3 0 x x 3 ．2 故 A Bx 3x 3 ． 2故选D ．2. 由 1 i x 1 yi 可知： x xi 1 yi ，故 x 1 ，解得： x 1 ． x y y 1 所以，xyi x 2y 22 ．故选 B ．3. 由等差数列性质可知： S 99 a 1 a992a 5 9a 5 27 ，故a 5 3 ，2 2而 a 10 8 ，因此公差 d a10 a 51 10 5∴a100 a10 90d 98 ．故选C ．4. 如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:008:10 8:20 8:30ACDB小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟根据几何概型，所求概率 P 10 10 1 ．40 2 故选 B．专业技术参考资料WORD 格式整理5. x2y21 表示双曲线，则m2n 3m2n 0m2n 3m2n∴m2 n 3m2由双曲线性质知：c2m2n 3m2n 4m2，其中 c 是半焦距∴焦距 2c 2 2 m 4 ，解得 m 1∴1 n 3故选 A．6.原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1 后的三视图8表面积是7 的球面面积和三个扇形面积之和8S= 7 4 22 +3 1 22 =178 4故选A．7. f 2 8 e 2822.8 0 ，排除Af 2 8 e28 2.721 ，排除 Bx 0 时， fx 2x2e x f x 4x e x，当 x 0, 1时， f x 1 4 e004 4因此f x 在 0, 1 单调递减，排除 C4 故选D．8. 对 A ：由于 0 c 1 ，∴函数 y x c在 R 上单调递增，因此 a b 1 a c b c， A 错误对 B ：由于 1 c 1 0 ，∴函数 yx c1在 1, 上单调递减，∴ a b 1 a c 1bc 1 ba cab c ， B 错误专业技术参考资料WORD 格式整理对 C ：要比较 a log b c 和 blog a c ，只需比较 a ln c和 b ln c ，只需比较 ln c 和 ln c，只需 b lnbln b ln abln b aln a 和 a ln a构造函数 fx x ln xx 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0 ， f x 在1, 上单调递增，因此 f a f b 0a ln ab ln b 0 1 1a ln ab ln b又由 0 c 1 得 ln c0 ，∴ ln ca ln a对 D ： 要比较 log a c 和 log b c ，只需比较ln c blog a c a log b c ， C 正确b ln b lnc 和 ln cln a ln b而函数 y ln x 在 1, 上单调递增，故 a b 1 ln a 1 1ln b 0 ln b ln a又由 0 c 1 得 ln c0 ，∴ ln c ln c log a c log b c ， D 错误 ln a ln b故选 C ．9. 如下表：循环节运 n 1 判断是否x x ny n n n 1 x y y行次数2 2 2 36 输出 x y 运行前 0 1 / / 1 第一次 0 1 否 否 2 第二次 1 2 否 否3 2第三次36是是2输出x 3，y 6，满足y 4x 2故选 C．10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为y22px p 0，设圆的方程为 x2y2r2，题目条件翻译如图：设 A x0 ,2 2 ，D p，, 5 2专业技术参考资料WORD 格式整理点 Ax 0 ,2 2 在抛物线 y 2 2 px 上，∴ 8 2 px 0 ⋯⋯ ① p p 2 , 5 在圆x 2 2 2 r 2⋯⋯ ② 点 D y r 上，∴ 52 2点 A x 0 ,22 2 2 2 2 8 r 2在圆 x y r 上，∴x0 ⋯⋯ ③ 联立①②③解得： p 4 ，焦点到准线的距离为p 4 ． 故选B ．D Cα B A11. 如图所示：∵ ∥平面 CB1D1 ，∴若设平面 CB1 D1 平面 ABCD m1 ，C 1D 1则 m 1∥ mA 1 B1又∵平面 ABCD ∥平面 A 1 B 1C 1 D 1 ，结合平面 B 1D 1C 平面 A 1 B 1 C 1D 1 B 1 D 1∴B 1D 1∥m 1 ，故 B 1D 1∥m 同理可得： CD 1∥n故 m 、 n 的所成角的大小与 B1D1 、 CD1 所成角的大小相等，即 CD1B1 的大小．而 B 1C B 1 D 1 CD 1 （均为面对交线） ，因此CD 1 B 1 ，即 sin CD 1B 1 3 ． 3 2故选A ．12. 由题意知：π + k 1 π4π +k2π+ π4 2则 2 k 1，其中 k Zf (x)在π, 5π单调， 518 π T ,1218 36 3612 2接下来用排除法若11, πsin 11xππ 3π3π 5π递减，不满，此时 f( x) ， f (x) 在, 递增，在,364 4 18 44 44足 f ( x) 在π 5π单调18,36专业技术参考资料WORD 格式整理若πsin 9 xπ，满足f ( x)在π 5π单调递减9, ，此时 f( x)4 18,4 36故选 B．13.-2 14.10 15 ． 64 16 ． 21600013. 由已知得： a b m 1, 32 2 2232m2121222，解得m∴ a b a b m 1 2 ．14．设展开式的第k 1 项为Tk1，k0,1,2,3,4,5∴ Tk 1k5k k k5k 5 kC5 2 x xC5 2 x2．k C54 255 4当 53 时，k4 ，即T5 4 x210x3 2故答案为10．15. 由于a n 是等比数列，设a na1q n 1，其中 a1是首项， q是公比．2 a18∴ a1 a310 a1 a1q 3 10，解得： 1 ．a2a4 5a1q a1q5 q2 1n 4 32 ...n4故 a n，∴a1a2 ... a n1 12 2 21nn72121n 7 2 4922421当 n 3 或 4 时，n 7 49 取到最小值 6 ，此12 2 4取到最大值 26．1n 7 2 49224所以 a1 a2 ... an 的最大值为64．16．设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为专业技术参考资料WORD 格式整理目标函数 z 2100 x 900 y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100) (0,200) (0,0)(90,0)在 (60,100) 处取得最大值，z 2100 60 900 100 216000 17. 解：⑴2cosC a cosB bcosA c 由正弦定理得：2cosC sin A cosB sin BcosA sinC 2cosC sin A B sinC∵A B C ， A 、B 、C 0，ππ ∴sin A B sinC 0∴ 2cos C 1 ， cosC 12∵ C 0 ，π∴ C π 3⑵ 由余弦定理得： c 2 a 2 b 22ab cosC 7 a 2 b 22ab 12 a b 2 3ab 7S 1 ab sinC 3 ab 3 32 42∴ab 6∴ a b 218 7a b 5∴ △ ABC 周长为 a b c 5 7专业技术参考资料WORD 格式整理18．解： (1) ∵ ABEF 为正方形∴ A F E F ∵AFD 90∴AF DF∵ DF EF =F∴AF 面 EFDCAF 面 ABEF∴平面 ABEF 平面 EFDC⑵ 由⑴知DFE CEF 60∵AB ∥ EFAB 平面 EFDCEF 平面 EFDC∴AB ∥平面 ABCDAB 平面 ABCD∵面 ABCD 面 EFDC CD∴AB ∥ CD∴CD ∥ EF∴四边形 EFDC 为等腰梯形以 E 为原点，如图建立坐标系，设FD aE 0 ，0，0 B 0，2a ，0 C a，0 ，3 a A 2a ， 2a ，2 2EB 0 ，2a ，0 ，BC a， 2a ，3 a ，AB2a ，0 ，0 2 2设面 BEC 法向量为 m x， y，z .2a y10m EB 0 ，即ax1 2ay1 3 az1x1 3 ， y10，z1 1m BC 0202 m3 ，0 ， 1设面 ABC 法向量为 n x2，y2，z2n BC=a 3.即 2 x22ay22 az20x2 0 ， y23，z2 4n AB 02ax20专业技术参考资料WORD 格式整理n0 ，3 ，4设二面角 E BC A 的大小为 .cosm n 4 2 19m n 3 1 3 16 19∴二面角E BC A 的余弦值为2 191919 解：⑴每台机器更换的易损零件数为8， 9， 10，11记事件A i 为第一台机器3 年内换掉 i 7个零件i 1,2,3,4记事件B i 为第二台机器3 年内换掉 i 7个零件i 1,2,3,4由题知P A1P A3P A4P B1P B3P B40.2， PA2P B20.4设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则 X 的可能的取值为16， 17，18，19， 20，21， 22PX 16 P A1PB1 0.2 0.2 0.04PX 17 P A1 PB2P A2 PB1 0.2 0.40.4 0.2 0.16PX 18 P A1 PB3P A2 PB2 P A3 P B1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24PX 19 P A1PB4PA2 P B3PA3 P B2P A4 PB1 0.2 0.2 0.20.2 0.40.20.2 0.4 0.24PX 20 P A2PB4P A3 P B3P A4 P B20.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2P x 21 P A3 P B4P A4 P B30.2 0.2 0.2 0.2 0.08 P x 22 P A4P B40.2 0.2 0.04X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.160.240.24 0.2 0.0 80.04⑵ 要令， 0.04 0.16 0.24 0.5 ，0.04 0.16 0.24 0.24 ≥ 0.5P x ≤ n ≥0.5则 n 的最小值为 19⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当 n 19时，费用的期望为 19 200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04 当 n 20 时，费用的期望为 20 200 500 0.08 1000 0.04 4080 所以应选用 n19 20. (1) 圆 A 整理为 x 2 y 2 16 ， A 坐标 1,0 ，如图，1BE ∥AC ，则 ∠C ∠ EBD ，由 AC A D ,则∠ D ∠C ，∠ EBD ∠D ，E D 则 EBA E EB AE ED A D 4 4 2 2 所以 E 的轨迹为一个椭圆，方程为 x y 1 ， ( y 0 )；4 3 D 404043 2 C 1 A x2B 2 4 E 1 234专业技术参考资料WORD 格式整理⑵C1 : x2y2my1，41 ；设l : x3因为 PQ⊥ l ，设PQ : y m x 1 ，联立 l与椭圆 C1x my 1x2y2得 3m24 y26my 9 0 ；4 31则| MN | 1 m2 | y M y N | 1m236m236 3m2 4 12 m23m2 4 3m2圆心 A 到 PQ 距离 d | m1 1| | 2m| ，1 m2 1 m2所以 | PQ | 2| AQ |2 d 2 2 16 4m22 4 3m2 4 ，1 m 1 m2S MP NQ 1 1 12 m2 14 3m2 4 24 m2124 | MN | |PQ |3m2 1 m23m22 2 4 4 321. （Ⅰ） f '(x) ( x 1)e x2a( x 1) (x 1)(e x2a) ．（ i）设a 0 ，则 f(x) (x 2)e x， f (x) 只有一个零点．（ ii）设a 0 ，则当x (,1)时， f'(x)0 ；当x (1,) 时， f'(x)上单调递减，在 (1, ) 上单调递增．又 f(1) e ， f (2) a ，取 b 满足 b 0 且 b ln a，则a (b 2) a(b 3 2f (b) 1)2a(b2b) 0，2故 f (x) 存在两个零点．（ iii）设 a 0 ，由 f '(x) 0 得 x若 ae，则ln( 2a)1 ，故当x2P 4321NA x4 2 B 2 41QM 2341；4112,8 312m 10 ．所以 f ( x) 在 ( ,1)在 (1, ) 上单调递增．又专业技术参考资料WORD 格式整理当x 1f (x) 0，所以f( x)不存在两个零点．时，若 a e1 ，故当x (1,ln( 2a)) 时， f '(x)0 ；当 x(ln( 2a), ) 时，，则ln( 2a)2f '(x) 0 ．因此f (x) 在 (1,ln( 2a)) 单调递减，在(ln( 2a),) 单调递增．又当x 1时，f (x) 0，所以 f ( x) 不存在两个零点．综上， a 的取值范围为(0, ) ．（）不妨设x1x2，由（Ⅰ）知x1 (,1) ，x2(1,) ，2 x2 (,1) ， f ( x) 在(,1)上单调递减，所以x1x22 等价于 f( x1 ) f (2x2 ) ，即 f(2 x2 ) 0 .由于 f(2 x2 ) x2e2x2a( x2 1)2，而 f(x2 )( x22)e x2a( x21)20，所以f (2 x2 ) x2e2 x2( x22)e x2 .设 g( x) xe2x ( x 2)e x，则 g(x) ( x 1)(e2 x e x ) .所以当x 1 时， g(x) 0 ，而 g (1)0 ，故当x1时， g( x) 0.从而 g(x2 ) f (2 x2 ) 0 ，故x1x2 2 .22．⑴设圆的半径为 r ，作 OK AB 于 K ∵OA OB ， AOB 120∴OK AB ， A 30 ，OK OAsin30OAr2∴ AB 与⊙O 相切⑵方法一：假设 CD 与 AB不平行 CD 与AB 交于 F2FK FC FD ①∵ A 、B 、C 、D 四点共圆∴ FC FD FA FB FK AK FK BK ∵ AK BK专业技术参考资料WORD 格式整理∴ FC FD FK AK FK AK FK 2 AK 2②由①②可知矛盾∴AB ∥ CD方法二：因为 A, B, C, D四点共圆，不妨设圆心为T ，因为O A OB ,TA TB，O,T为 AB 的中垂线上，所以同理OC OD ,TCTD ，所以 OT 为 CD 的中垂线，所以AB∥CD ．xacost（ t均为参数）23．⑴ 1 a sinty∴x2y2a2①1∴ C1为以0，1 为圆心， a 为半径的圆．方程为x2y2 2 y 1 a20∵x 2y 22，y sin ∴2 2 sin1a20即为C1的极坐标方程⑵ C2：4cos两边同乘得2 4 cos 2x2y2， cos xx2y24x 即 x224②y2C3：化为普通方程为y 2 x由题意：C1和 C2 的公共方程所在直线即为 C3①—②得： 4 x2y 1 a20 ，即为 C3∴ 1 a20 ∴ a 124．⑴如图所示：x 4 ，x ≤1⑵ f x 3x 2 ， 1 x 324 x，x ≥32f x 1当 x ≤ 1 ， x 4 1 ，解得 x 5 或 x 3 ∴ x ≤ 1专业技术参考资料WORD 格式整理当 1 x 32 1，解得x 11 ， 3x 或 x2 3∴ 1 x 1x3 或12 3当 x ≥3， 4 x 1 ，解得 x 5 或 x 32∴3≤x 3或x 52综上， x 1或1 x 3 或 x 5 3∴ f x 1 ，解集为，11 3 5，每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济，3效益或者其他积极效果，呈报总经办。

二、填空题（13）60 （14）5 （15）（16）三、解答题（17）(本小题满分12分)在中，角所对的边长分别为，且满足,(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)若的面积为，求的值.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，难度：简单题．【解】(Ⅰ)由已知及正弦定理可得，…………………………（5分）(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得，又由题意可知，…………………………（12分）（18）(本小题满分12分)是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一.日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理。

马鞍山市环保局从市区2015年11月~12月和2016年11月~12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果。

样本数(Ⅰ)月的空气质量是否比2015年同期有所提高？(Ⅱ)在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望.【命题意图】本题考查统计和离散型随机变量，难度：中等题．解答：（1）2015年数据的中位数是58，平均数是2016年数据的中位数是51，平均数是2016年11月~12月比2015年11月~12月的空气质量有提高。

…………………………（5分）（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X 的所有可能取值是0,1,2,33122131141141143333153344664(0),(1),(1),(0)C C C C C C P X P X P X P X C ============ .（19）(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，点是正方形的中心，，且，点为棱上一点.(Ⅰ) 当点为棱的中点时.，求证：；(Ⅱ)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，难度：中等题．【解】(Ⅰ)由题意不妨设，则为等边三角形，当的中点时，又，.…………………………………………（5分）(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系则可得，假设存在符合题意的点，可设设平面的一个法向量为则 不妨取又 由可得解得.所以符合题意的点是棱上靠近点D 的三等分点. （20）(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．【命题意图】本题考查圆锥曲线的综合运用，难度：中等题．【解】(Ⅰ)椭圆的焦距是，所以焦点坐标是，由题可得，椭圆过点，椭圆的方程是…………………………………………………………（4分）(Ⅱ)由题易得，左焦点右焦点坐标为若直线垂直于轴，则点………………………………………………………（6分）若直线不垂直于轴，可设的方程为设点将直线的方程代入椭圆的方程得到则.，…………………………………………………（10分）的取值范围是………………………………………………………（12分）（21）(本小题满分12分)设函数（）．（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设，若恒成立，求的取值范围．【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，难度：较难题．`【解】（Ⅰ）由已知，当时，上单调递增，且上单调递减，在上单调递增. ………………………………………（4分）（Ⅱ）（方法一）由题可得，，则上单调递增，令则，由知，且，的取值范围是.………………………………………………………（12分）（方法二）由题可得恒成立，令，则,解得的取值范围是.………………………………………………………（12分）四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线和曲线相交于两点，求的值．解：（Ⅰ）由………………………………3分由即.………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵直线与圆相交于两点，又的圆心，为半径为1，故圆心到直线的距离，∴．……………………………………………………10分选修4-5：不等式选讲（23）（本小题满分10分）已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，（，），求的最小值.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式，中等题. 解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，∴或，∴原不等式的解集为；……………………5分（Ⅱ），∵的解集为∴………………………………………7分∴，∴（当且仅当即时取等号）∴的最小值为2．……10分解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，∴或，∴原不等式的解集为；……………………5分（Ⅱ），∵的解集为∴………………………………………7分又，∴（当且仅当即时取等号）∴的最小值为2．……10分。

浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模数学试题Word版含答案浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模数学试题⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题4分,共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.若复数z 满⾜：1(12)0z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（）A ．12- B ．12 C ．12i - D ．12i2.已知集合{|||3}M x x =≥，2{|16}N y Z y =∈≤，那么R C M N =（）A ．[3,3]-B ．(3,3)-C ．{3,2,1,0,1,2,3}---D ．{|33,}x x x Z -<<∈3.“sin sin αβ>”是“αβ>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4.已知平⾯α和共⾯的两条不同的直线,m n ，下列命题是真命题的是（）A ．若,m n 与α所成的⾓相等，则//m nB ．若//m α，//n α，则//m nC. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α?，//n α，则//m n5.函数cos ()([,])x f x xe x ππ=∈-的图像⼤致是（）A ．B ． C. D ．6.已知,x y 满⾜条件1102222x y x y x y ?-+≥??+≤??-≤??，若z mx y =+取得最⼤值的最优解不唯⼀，则实数m 的值为（）A ．1或-2B ．1或12- C. -1或-2 D ．-2或12- 7.袋⼦⾥有⼤⼩、形状相同的红球m 个，⿊球n 个（2m n >>），从中任取1个球是红球的概率记为1p ，若将红球、⿊球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为2p ；若将红球、⿊球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为3p ，则（）A ．123p p p >>B ．132p p p >> C. 321p p p >> D ．312p p p >>8.设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意⼀点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中⼼，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离⼼率为（）A ．12B D 9.如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的⼀点，且满⾜OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则PM PN ?的最⼤值为（）A ．2B ．2C. 1 D 10.已知,a b 是实数，关于x 的⽅程2||1x ax b x +=-有4个不同的实数根，则||a b +的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．(2,2)- C. (2,6) D ．(,2)-∞⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知{}n a 是等⽐数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a += ，4a 的最⼤值为．12.某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm ），该⼏何体的表⾯积为 2cm ，体积为 3cm .13.已知1sin 3α=，0απ<<，则tan α= ，sin cos 22αα+= ． 14.若实数1a b >>且5log log 2a b b a +=，则log a b = ，2b a = ． 15.教育装备中⼼新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、⼄两校原来电脑较少，决定给这两校每家⾄少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配⽅案有种（⽤数字作答）．16.已知曲线:C y =(1,0)A ，若曲线C 上存在相异两点,B C ，其到直线:10l x +=的距离分别为||AB 和||AC ，则||||AB AC += ．17.已知等腰Rt ABC ?中，2AB AC ==，,D E 分别为,AB AC 的中点，沿DE 将ABC ?折成直⼆⾯⾓（如图），则四棱锥A DECB -的外接球的表⾯积为．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）18. 在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos()cos )A B C A B C -+=-.（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若2b =，求ABC ?⾯积的最⼤值.19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底⾯是菱形，3BAD π∠=，2AB PD ==，PB PC ==（1）求证：平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ；（2）求直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的正弦值.20. 已知函数()ln a f x x x x=+，32()3g x x x =--，a R ∈. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线⽅程；（2）若对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成⽴，求实数a 的取值范围.21. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离⼼率12e =，原点O 到点(,0)A a -、(0,)B b 所在直线的距离为7. （1）求此椭圆C 的⽅程；（2）如图，设直线:l x my =与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为'P ，直线'P Q 与x 轴是否交于⼀定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.22.已知数列{}n a 满⾜112a =，21(1)n n n a a a n n +=-+，数列1{}n n a a +的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时，（1）10n n a a +<<；（2）31n n a n ≤-；（3）12n S n >-.浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模试题数学答案⼀、选择题1-5: BDDDB 6-10: ADCCA⼆、填空题11. 5，5212. 883+13. 4± 14. 1,12 15. 35 16.14 17. 10π三、解答题18.（1）在ABC ?中，A B C π++=，则cos()cos()))A B A B A B A B --+=-++，化简得：2sin sin cos A B A B =由于0A π<<，sin 0A ≠，则tan B =3B π=. （2）由余弦定理，224c a ca =+-2ac ca ac ≥-=，从⽽1sin 23S ca π=≤ 当且仅当a c =时取S 到最⼤值.19.（1）证明：如图，取BC 中点M ，连接PM 、DM 、DB ，则BCD ?和PBC ?分别是等边三⾓形、等腰直⾓三⾓形.故PM BC ⊥，DM BC ⊥，且1PM =，DM =所以222DM PM PD +=，故PM DM ⊥，所以PM ⊥平⾯ABCD .⼜PM ?平⾯PBC ，从⽽平⾯PBC ⊥平⾯ABCD .（2）如图，建⽴空间直⾓坐标系M xyz -.(0,0,1)P ，2,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，(1,0)AB =-，(0,1,1)PB =-，(0,1,1)PC =--，设平⾯ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则00y y z ?-=??-+=??，令1x =-，解得y =z =(1,3,n =-，记直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的平⾯⾓为θ，则||2sin 7||||14n PC n PC θ?===即直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的正弦值为7. 20.（1）当1a =-时，1()ln f x x x x =-，(1)1f =-，'21()ln 1f x x x=++， '(1)2f =，从⽽曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--，即23y x =-.（2）对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成⽴，从⽽min max ()()f x g x ≥对32()3g x x x =--，'2()32(32)g x x x x x =-=-，从⽽()y g x =在12[,]23递减，2[,2]3递增，max 1()max{(),(2)}12g x g g ==. ⼜(1)f a =，则1a ≥.下⾯证明当1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成⽴. 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，即证1ln 1x x x+≥. 令1()ln h x x x x =+，则'21()ln 1h x x x=+-，'(1)0h =. 当1[,1]2x ∈时，'()0h x ≤，当[1,2]x ∈时，'()0h x ≥，从⽽()y h x =在1[,1]2x ∈递减，[1,2]x ∈递增，min ()(1)1h x h ==，从⽽1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成⽴.21.（1）由于12c e a ==，12c a =，b a =，直线AB 的⽅程为22y x a =+，原点O 到直线AB的距离为||7a d ===，解得：2a =，b =22143x y +=. （2）联⽴223412x y x my ?+=??=+??，则22(34)30m y ++-=. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，'11(,)P x y -，12234y y m -+=+，122334y y m -=+. 直线'P Q 的⽅程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则12211212x y x y x y y +==+12==即直线'P Q 与x轴交于定点. 22.证明：（1）由于210(1)n n n a a a n n +-=-≤+，则1n n a a +≤. 若1n n a a +=，则0n a =，与112a =⽭盾，从⽽1n n a a +<， 12312n a a a a =>>>>，⼜11110(1)2(1)n n n a a a n n n n +=->->++，1n a +与n a 同号，⼜1102a =>，则10n a +>，即10n n a a +<<. （2）由于10n n a a +<<，则11(1)(1)n n n n n n a a a a a a n n n n ++=-<-++.即111111(1)1n n a a n n n n +-<-=-++，111111n n a a n n +->-+，当2n ≥时，11221111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 11111111311301212n n n n n a n n ->-+-++-+=-=>--- 从⽽31n n a n <- 当1n =时，112a =，从⽽31n n a n <-. （3）11111111()(1)(1)21n n n a a a a n n n n n n +=-≥-=--+++，叠加：3121211(1)21n n n a a a S n a a a n +=+++≥--+12n >-.。

2016年高三九月考试数学试题（理科）答案一、A D B C C A B B D A A B二、13. 21 14. (-∞，-1)∪(1，+∞) 15. 6π16. ①③ 三、解答题17.解：（1）由已知结合正弦定理可得sinC=sinAsinC ﹣sinCcosA ，……2分∵sinC ≠0，∴1=sinA ﹣cosA=2sin （A ﹣6π），即sin （A ﹣6π）= 21，……4分又∵A ∈（0，π），∴A ﹣6π∈（﹣6π，65π），∴A ﹣6π= 6π，∴A= 3π，…………5分（2）S=21bcsinA ，即43=21bc23，∴bc=1，①… 7分又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b +c ）2﹣2bc ﹣2bccos3π，即1=（b +c ）2﹣3，且b ，c 为正数，∴b +c=2，②……9分 由①②两式解得b=c=1．…… 10分 18.【解析】若p 为真，则由于为的局部奇函数，从而在上有解……2分若真假，则，得无交集若假真，则，得或或综上知的取值范围为或或 ……12分19.解：（1）A （1,1），B （3,3），是以为直角的等腰直角三角形且C 在第二象限，，P 是的重心，……5分(2),，……9分有线性规划知的最大值为10，此时m+2n 的最大值为25……12分20.解 (1)与共线， ，所以a n ＝9n －8(n ∈N *)． ……6分(2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝1－819×(1－81m －1－9(1－9m＝8092m ＋1－10×9m ＋1. ……12分21解：(1) f(x)=x 2-2x-8,则① 或②解得① 或 ②综合得m 的取值范围为…………6分（注：亦可分离变量 ）（2） ，，m,n 是方程-21x 2+(1-k)x=0的两根，x 1=0,x 2=2-2k…………12分22.解：（1）在[1，2]上恒成立，令h （x ）=2x 2+ax ﹣1，有得，得 …………3分（2）假设存在实数a ，使g （x ）=ax ﹣lnx （x ∈（0，e ]）有最小值3， =①当a ≤0时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，（舍去），②当时，g （x ）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e 2，满足条件．③当时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，（舍去），综上，存在实数a=e 2，使得当x ∈（0，e ]时g （x ）有最小值3． ………………8分（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令，，当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴∴，即＞（x+1）lnx．…………12分。

2016届高三第一次联考数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合22{230},{log (1)2}A x x x B x x =--≥=-<，则()..R A B = A ．()1,3 B ．()1,3- C ．()3,5 D ． ()1,5- 2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A ．12-B ．1-C ．5-D ．125．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S=+，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．2015D ．20166．若ln 2,5a b == 01,s i n 4c x d x π=⎰，则,,a b c 的大小关系 A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．518B ．-518C ．79D ．-798．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的 体积等于A ．B ．C ．D ．9．已知函数()()()21sin ,02f x x ωω=->的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位()0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为A ．πB ．34π C ．2π D ．4π 10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点，设(),AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]3,4 C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为A ．3B ．C ．D ． 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是 A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，b ()3,4=，a b ⋅3=-，则向量a 在向量b 的方向上的投影是________． 14．若函数()1,021,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a =_________．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为________．16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠= ，6,8AC BC ==，D 为边AC 上 的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC =________．第16题图第10题图-12三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中，3339,S 22a ==． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设2216log n nb a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314n c c c c ++++< ．18．(本小题满分12分)如图，ABC ∆中，三个内角B 、A 、C 成等差数列，且10,15AC BC ==． (Ⅰ)求ABC ∆的面积； (Ⅱ)已知平面直角坐标系xOy，点()10,0D ,若函数()s i n ()(0,0,)2f x M x M π=ω+ϕ>ω>ϕ<的图象经过A 、C 、D 三点，且A 、D 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．19． (本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD中，AB =AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(Ⅰ)求证：AD BM ⊥；(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --．20． (本小题满分12分)小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．(Ⅰ)求发射器的最大射程；(Ⅱ)请计算k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．21． (本小题满分12分)已知函数()e ,xf x x R =∈．(Ⅰ)若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值；(Ⅱ)设,a b R ∈，且()()()(),,,,22f a f b f a f b a b a b A f B C a b +-+⎛⎫≠===⎪-⎝⎭试比较,,A B C 三者的大小，并说明理由．第19题图第20题图图1图2第18题图第22题图请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．(Ⅰ)证明：AE BE =； (Ⅱ)若9,7AG GC ==，求圆O 的半径．23．(本小题满分10分)选修4-4极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=,将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x xy y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．(Ⅰ)求曲线2C 的参数方程； (Ⅱ)若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．(本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+（a R ∈）的解集不是空集．(Ⅰ)求实数a 的取值集合A ； (Ⅱ)若,,b A a b ∈≠求证：abbaa b a b >．数学试题（理科）参考答案一、选择题 ADBAB DCCDB AC二、填空题 35- 12- 10 73三、解答题17. （1）1q =时，32n a =； ………………2分1q ≠时，116()2n n a -=⋅- ………………4分（2）由题意知：116()2n n a -=⋅- ………………6分∴2116()4n n a +=⋅∴2n b n = ………………8分 ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++ ………………10分∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+ ………………12分 18. （1）在△ABC 中，60B = ………………1分 由余弦定理可知：2222c o s 60a b c b c =+- ………………2分∴2101250c c --=5c A B ∴== ………………4分 又∵10cos605AO =⋅=BO ∴=125(5633)22ABC S ∴=+⨯= . ………………6分(2)T=2×（10+5）=30,∴15πω= ………………8分∵(5)Msin((5))015f π-=⋅-+ϕ=s i n ()03π∴-+ϕ=，,3k k Z π∴-+ϕ=π∈2πϕ< ，3π∴ϕ=。

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.2514. 1 15. 8 16. 062=++y x 三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题设，4122a a a =， …………………2分 即d d 31)1(2+=+，解得01d d ==或 …………………4分 又∵0≠d ，∴1d =，可以求得n a n =. …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n n b 2+=123(12)(22)(32)(2)n n T n =++++++++2=(123222)nn ++++++++ ）（ …………………8分222)1(1-++=+n n n . …………………12分 （分别求和每步给2分） 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）635.65.12225302020303005030202030)33636(50222>==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=χ …………………2分 ∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. …………………4分 （Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为202505p == ……………6分 X 的可能取值为3,2,1,0，由题意，得)52,3(~B X)3,2,1,0(,)53()52()(33===-k C k X P k k k10分∴随机变量X 的数学期望56=）（X E . …………………12分 19. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1，…………………2分 又∵侧面11AA CC ⊥底面ABC ,交线为AC ,且⊂OA 1平面C C AA 11，∴⊥O A 1平面ABC . …………………4分（Ⅱ）如图,以O为原点,1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，1A ，1C ，B∴,0)AB =，1A B = ，11(0,2,0)AC = …………………6分设平面1AA B 的一个法向量为),,(111z y x=，则有111110000m AB y m A B ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⋅==⎪⎩令11=x ，得1y =，11z =∴)1,3,1(-=. …………………8分 设平面11BC A 的法向量为),,(222z y x n =，则有21122120000y m AC m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨=⋅=⎪⎩令12=x，则20y =，21z =，∴)1,0,1(=n ………………………10分 ∴510102,cos =>=<n m 1∴所求二面角的大小为)510arccos(-. ………………………12分 20. (本小题满分12分) 解:（Ⅰ）由题意得，22,6==e c ，解得32=a ， ………………1分 ∴椭圆方程为161222=+y x . ………………3分 （Ⅱ）由已知，直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，且与圆R 相切， ∴2121001=+-ky x k ，化简得()0424201002120=-+--y k y x k x同理()0424202002220=-+--y k y x k x ， ………………5分∴12,k k 是方程22000240k x y k y -+-=的两个不相等的实数根∴2040x -≠，0∆>，44202021--=x y k k ………………7分∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以16122020=+y x ，即2020216x y -=∴21421220221-=--=x x k k ． …………………8分 （Ⅲ）22OP OQ +是定值18．设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1612,221y x x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212121212121122112k k y k x ∴()2121212121112k k y x ++=+ 同理，得()2222222221112k k y x ++=+． …………………10分由1212k k =-，∴2222221122OP OQ x y x y +=+++()()222221212111221112k k k k +++++= ()1821361821212111221112212121212121=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=k k k k k k综上：1822=+OQ OP ． …………………12分 21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）0a =时，'()1,()1x xf x e x f x e =--=-. …………………1分当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. …………………2分 故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，00)(min ==）（f x f ，∴()0f x ≥ …………………3分 （Ⅱ）方法一：'()12xf x e ax =--.由（Ⅰ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=- 从而当120a -≥，即12a ≤时，在区间[0,)+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，()(0)f x f ≥，即()0f x ≥，符合题意. …………………5分 又由1(0)xe x x >+≠，可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<-+-=-- 在区间(0,ln 2)a 上，'()0f x <，()f x 单调递减，()(0)f x f <，即()0f x <，不合题意. …………………7分 综上得实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. …………………8分方法二：()12x f x e ax '=--，令ax e x h x 21)(--=，则a e x h x2)(-='.1）当21a ≤时，在[)+∞,0上，()0h x '≥，)(x h 递增，)0()(h x h ≥，即0)0()(='≥'f x f)(x f ∴在[)+∞,0为增函数，0)0()(=≥∴f x f ，21≤∴a 时满足条件； …………………5分 2）当12>a 时，令0)(='x h ，解得a x 2ln =，在当[)0,ln 2a 上，,0)(<'x h )(x h 单调递减，()a x 2ln ,0∈∴时，有0)0()(=<h x h ，即0)0()(='<'f x f ，∴)(x f 在区间)2ln ,0(a 为减函数，∴0)0()(=<f x f ，不合题意. …………………7分综上得实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. …………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当21=a 时，0>x ，212x x e x ++>，即212x x e x+>-欲证不等式2)1ln()1(x x e x >+-，只需证22)1ln(+>+x xx .…………………10分 设22)1ln()(+-+=x x x x F ，则222)2)(1()2(411)(++=+-+=x x x x x x F ’0>x 时，0)('>x F 恒成立，且0)0(=F ，0)(>∴x F 恒成立.所以原不等式得证. …………………12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， …………………1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， …………………3分圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. …………………5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ …………………8分因为圆C 的半径为1，则C MN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. …………………10分（用直角坐标求解酌情给分） 23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， …………………1分原不等式等价于x x x 2132<-<-， …………………3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . …………………5分 （Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--， ………6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- …………………8分原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . …………………10分。

2016－2017学年度北京市大兴区高三第一次综合练习数学（理）本试卷共4页，满分150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{|0}A x x =>，则R C A =（ ）． A ．{|0}x x < B ．{|0}x x … C ．{|0}x x > D ．{|0}x x …2．下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ）． A ．12y x = B ．tan y x = C ．x x y e e -=+D ．ln ||y x =3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．74．设a ，R b ∈，则“a b >”是“11a b<”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（ ）． A ．13B ．12C ．1D ．32俯视图侧左()视图正主()视图6．若x ，y 满足220,20,0,x y x y y ≥≥≥-+⎧⎪-+⎨⎪⎩且z kx y =-+有最大值，则k 的取值范围为（ ）．A ．1k …B ．12k 剟C ．1k …D ．2k …7．设函数()sin(2)f x x ϕ=+（ϕ是常数），若2π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭之间的大小关系可能是（ ）． A ．π4ππ2312f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．4πππ3212f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．ππ4π2123f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．π4ππ1232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．某公司有4家直营店a ，b ，c ，d ，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（ ）． A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数2(1i)+=_______．10．设22,0()log ,0xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则((1))f f -=________．11．已知双曲线2221y x b-=(0)b >的离心率为2，则b =_______．12．在极坐标系中，点π2,3A ⎛⎫⎪⎝⎭到直线cos 2p θ=的距离是________．13．已知圆22:1O x y +=的弦AB 若线段AP 是圆O 的直径，则AP AB u u u r u u u r⋅=______；若点P 为圆O 上的动点，则AP AB u u u r u u u r⋅的取值范围是__________．14．已知数列{}n a 满足11a k=，2k ≥，*k N ∈，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[1.6]1=），记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =_______． ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）在ABC △中，a =，3b =，1cos 3A =-．（1）求sin B ；（2）设BC 的中点为D ，求中线AD 的长．16．（本小题13分）某大型超市拟对店庆当天购物满288元的顾客进行回馈奖励．规则如下：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响．（1）若060x ≠，求顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率；（2）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当020x =时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；（3）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X ，当0x 取何值时，X 的方差最小？（结论不要求证明）17．（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形，点M 是棱AC 上不同于A ，C 的点，平面1B BM 与棱11A C 交于点N ，2AB BC ==，90ABC °∠=，1160BB C °∠=．C 1CNMB 1BA 1A（1）求证：1B N ∥平面1C BM ； （2）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（3）若二面角1A BC M --为30°，求AM 的长．18．（本小题13分）已知函数22()m x f x x m=-，且0m ≠．（1）若1m =，求曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有最值，写出m 的取值范围．（只需写出结论）19．（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的短轴端点到右焦点(1,0)F 的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，交直线:4l x =于点P ，设1||||PA AF λ=，2||||PB BF λ=，求证：12λλ-为定值．20．（本小题13分）若合集1A ，2A ，⋅⋅⋅，n A 为合集U 的n 个非空子集，这n 个集合满足：①从中任取m 个集合都有12m i i i A A A U U U U ⋅⋅⋅≠ 成立；②从中任取1m +个合计都有121m m j j j j A A A A U U UL U U +=成立．（1）若{1,2,3}U =，3n =，1m =，写出满足题意得一组集合1A ，2A ，3A ； （2）若4n =，2m =，写出满足题意的一组集合1A ，2A ，3A ，4A 以及集合U ；（3）若10m=，求集合U中的元素个数的最小值．n=，3大兴区2016－2017学年度第一次综合练习 高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）9．2i 10．1-1112．113．2；[114．2(1)16:n k kn k +--注：13、14第一空3分，第二空2分．三、解答题（共6小题，共80分）． 15．（共13分）解：（1）由1cos 3A =-知，且0πA <<．所以sin A ==．由正弦定理及题设得sin sin a bA B =3sin B=．所以sin B =（2）因为b a <， 所以B 为锐角．所以cos B ． 因为πA B C ∠+∠+∠=，所以cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+．所以1cos 3C =在ACD △中，D 为BC 的中点，所以CD 由余弦定理及题设得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅．22323=+-⨯． 2=．所以中线AD16．（共13分）解：（1）设事件A 为“顾客转动一次转盘获得60元代金券”， 由题意知41()123P A ==． （2）设事件B 为“顾客第一次获得代金券面额不低于第二次获得的代金券面额”，设事件C 为“该顾客第i 转动转盘获得的超市代金券面额为60”，1,2i =．由题意知，1()3P C =，1,2i =．因此112()()()P B P C P C C =+． 11111333⎛⎫⎛⎫=+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．79=． （3）036x =．17．（共14分）解：（1）因为在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ∥平面111A B C ， 平面1B BM I 平面ABC BM =， 平面1B BM I 平面1111A B C B N =， 所以1BM B N ∥．又因为1B N ⊄平面1C BM ，BM ⊂平面1C BM ， 所以1B N ∥平面1C BM ．（2）因为90ABC °∠=，所以AB BC ⊥， 又因为平面11BCC B ⊥平面ABC ，所以AB ⊥平面11BCC B ． 所以1AB B C ⊥．又因为四边形11BCC B 为菱形，所以11B C BC ⊥． 所以1B C ⊥平面1ABC ．（3）取线段11B C 中点D ，因为菱形11BCC B 中，1160BB C °∠=， 所以11BD B C ⊥．又因为11BC B C ∥，所以BD BC ⊥． 又因为AB ⊥平面11BCC B ．如图，以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(2,0,0)A ，(0,0,0)B，1(0,B -，(0,2,0)C，1C ，所以1(0,3,B C =1BC =(2,0,0)BA =(2,2,0)AC =-． 设AM AC λ=，(01)λ<<，BM BA AM BA AC λ=+=+(2,0,0)(2,2,0)λλ=+-(22,2,0)λλ=-， 设平面1BC M 的法向量为(,y,z)n x =， 则10BC n BM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0(22)20y x y λλ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令z =，则3y =-，31x λλ=-．所以3,1n λλ⎛=- -⎝．A由（2）知，1(0,3,B C =是平面 1ABC 的一个法向量．则因为二面角1A BC M--为30°，111cos30cos ,n B C nB C B C n°⋅=<>=⋅=． 解得25λ=，或2λ=-（舍）．所以25AM AC =AM．18．（共13分）解：（1）当 1m =时，由题设知2()1xf x x =-． 因为2221()(1)x f x x +'=--，所以(0)0f =，(0)1f '=-．所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=．（2）因为22()m x f x x m=-，所以2222()()x m f x m x m +'=--．当0m >时，定义域为(,-∞(U)+∞． 且2222()0()x mf x m x m +'=-<-．故()f x的单调递减区间为(,-∞，(，)+∞．当0m <时，定义区域为R ．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间为(,-∞，)+∞， 单调递增区间为(．综上所述，当0m >时，()f x 的单调递减区间为(,-∞，(，)+∞； 当0m <时，故()f x 的单调递减区间为(,-∞，)+∞， 单调递增区间为(． （3）0m <．19．（共14分）解：（1）由题意有：1c =2=， 所以2a =，2223b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意直线AB 过点(1,0)F ，且斜率存在，设方程为(1)y k x =-，将4x =代入得P 点坐标为(4,3k)，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得 2222(4)84120s k x k x k +-+-=，设11(,y )A x ，22(,y )B x ，则0∆>且2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-． 同理22241PB x BF x λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号， 所以1212124411x x x x λλ---=+=--12332()11x x --+--， 1212123(2)2()1x x x x x x +-=-+-++，222223(868)2412834k k k k k --=-+--++，0=．所以，12λλ-的定值为0．方法二：由题意，当121x x >>时，（若：不妨设121x x >>，加一分） 有1PA AF λ=，且2PB BF λ=-，所以11111(4,3)(1,)x y k x y λ--=--，且22222(4,3)(1,)x y k x y λ--=---， 所以11141x x λ-=-，同理22241x x λ-=--， 从而1212124411x x x x λλ---=+=--12331111x x ------， 12123(2)2(1)(1)x x x x --=--=--1212123(2)2()1x x x x x x +--+-++，222223(868)2412834k k k k k --=-+--++，0=．当121x x <<时，同理可得120λλ-=． 所以，12λλ-为定值0．方法三：由题意直线AB 过点(1,0)F ，设方程为1x my =+(0)m ≠， 将4x =代入得P 点坐标为34,m ⎛⎫⎪⎝⎭，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得22(34)690m y my ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>且12212263493m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪⎩，因为1PA AF λ=，所以11111330y PA my m AF y my λ--===-． 同理2223PB my BF my λ-==，且113my my -与223my my -异号， 所以12121233my my my my λλ---=+12123()2y y my y +=-， 3(6)20(9)m m ⨯-=-=⨯-．又当直线AB 与x 轴重合时，120λλ-=， 所以，12λλ-为定值0．20．（共13分）解：（1）{1,2,3}U =，1{2,3}A =，2{1,3}A =，3{1,2}A =．（2）{1,2,3,4,5,6}U =，1{4,5,6}A =，2{2,3,6}A =，3{1,3,5}A =， 4{1,2,4}A =．（3）集合U 中元素个数的最小值为120个． 下面先证明若123123{,,}{,,}i i i j j j ≠，则123j j j j B A A A U U =，123i i i i B A A A U U =，j i B B ≠． 反证法：假设j i B B =，不妨设1123{,,}i j j j ∉．由假设i j B B U =≠，设j U j D C B =，设j x D ∈， 则x 是1j A ，2j A ，3j A 中都没有的元素，j x B ∉． 因为1i A ， 1j A ，2j A ，3j A 四个子集的并集为U ， 所以1i i j x A B B ∈⊂=与j x B ∉矛盾，所以假设不正确．若123123{,,}{,,}i i i j j j ≠，且123j j j j B A A A U U =，123i i i i B A A A U U =，j i B B ≠成立．则1A ，2A ，⋅⋅⋅，10A 的3个集合的并集共计有310120C =个．把集合U 中120个元素与1A ，2A ，⋅⋅⋅，10A 的3个集合的并集123i i i i B A A A U U =建立一一对应关系，所以集合U 中元素的个数大于等于120．下面我们构造一个有120个元素的集合U ：把与123i i i i B A A A U U =(1,2,,120)i =⋅⋅⋅对应的元素放在异于1i A ，2i A ，3i A 的集合中，因此对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与i B 对应的元素，所以i B U ≠．同时对于任意的4个集合不妨为 1i A ，2i A ，3i A ，4i A 的并集， 则由上面的原则与1i A ，2i A ，3i A 对应的元素在集合4i A 中， 即对于任意的4个集合1i A ，2i A ，3i A ，4i A 的并集为全集U ．。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷3）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）设集合S ={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． （2）若12z i =+，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 【答案】C 【解析】 试题分析：44(12)(12)11i ii i i zz ==+---，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数．（3）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300(B) 450(C) 600(D)1200【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得133132222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯u u u r u u u r u uu r u u u r ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 考点：向量夹角公式．（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

绝密★启用并使用完毕前济钢高中2016-2017学年第一学期高三质量检测数学试题 (理科)2016.9.3说明：本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，考试时间120分钟，除作图外，各题答案均需用黑色为签字笔书写在答题纸相应位置上。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分,共50分，每小题中只有一个．．．．选项符合题意） 1.已知复数231iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）C A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．已知集合A= {x|0＜x＜3}， B= {x|y=12-x },则集合A ∩（B ）为( )BA.[0，1)B.(O ，1)C.[1,3)D.(l,3) 3．下列选项错误．．的是．．（ ）D A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10P x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10P x R x x ⌝∃∈++=” D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4．若)10()(≠>=a a a x f x且的反函数0)21(:)(<g x g 满足，则函数)(x f 的图像向左平移一个单位后的图像大致是下图中的（ ）B5．已知平面向量a 与b 夹角为3π，且1b =，2a b += a = （ ）AA.21 D.36．在等差数列}{n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则此数列前13项的和=13S （ ）B A.13 B.26 C.52 D.1567.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x>0时，()1f x x =-，那么不等式()12f x <的解集是( ）DA ．{x|0<x<23} B ．{x|－21<x<0} C ．{x|－21<x<0或0<x<23} D ．{x|x<－21或0≤x<23}8.若直线220(,0ax by a b -+=>）的始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ba 11+的最小值是（ ）BA. 2B. 4 C ．41 D ．21 9.已知抛物线y 2=8x 的准线与双曲线222116x y a -=相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，△ ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）AA ．3B ．2 C10.已知函数()0)f x x a =+>没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）C A ．()0,1 B．( C ．()()0,12,+∞ D．(()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题纸相应位置上） 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为12..如果随机变量ξ～N （0，σ2），且(02)0.4p x ≤≤=， 则(2)p x <-= 。

天津市武清区2016-2017学年高三一模理数试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 若i=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．i D ．i - 【答案】D 【解析】i ===-.故选D ．考点：复数的运算．2. 若,x y 满足约束条件03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1B ．43C ．4D ．2 【答案】A3. 已知如图程序框图，则输出的i 是（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15【答案】C【解析】考点：程序框图．4. 设456log 12,log 15,log 18a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >> 【答案】A 【解析】试题分析：由题意4311log 31log 4a =+=+，5311log 31log 5b =+=+，61log 3c =+311log 6=+，显然3330log 4log 5log 6<<<，因此有a b c >>．故选A ． 考点：对数函数的性质，对数的换底公式．5. 已知()()23f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是()1,0x b a b +<>，则,a b 之间的关系是（ ） A ． 2a b <B ．2a b ≥C ．2b a ≤D ．2ba > 【答案】B 【解析】试题分析：()122f x x a -=+<，即12a x +<，按题意112a x x b +<⇒+<，因此2ab ≥．故选B ． 考点：必要条件．6. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F ，若以12,A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为（ ）A．3．D【答案】C 【解析】考点：椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系．7. 已知关于x 的不等式()2101x bx c ab a ++<>的解集为∅，则()()21211a b c T ab ab +=+--的最小值为（ ）A ．． 2 C ．．4 【答案】D 【解析】等号．故选D ．考点：二次函数的性质，基本不等式．【名师点睛】二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系. (1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解. (2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系. (3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.记住三个“二次”之间的关系，在解题时可以做事半功倍，如本题不等式()2101x bx c ab a++<>的解集为∅，说明二次函数21()f x x bx c a=++图象是开口向上的抛物线，在与x 最多相切，也就是二次方程210x bx c a++=无解或有两个相等实根． 8. 如图，4,90,AC BC ACB M ==∠=︒为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM DC⋅的最大值为（ ）A ．8+．8-．4 D ．4【答案】A【解析】试题分析：以CB 为x 轴，CA 为y 轴，建立如图的直角坐标系，则(2,0)M ，(0,4)A ，设(2cos ,22sin )D αα+，因此(2,4)AM =- ，(2cos ,2sin 2)DC αα=---，所以AM DC ⋅ 4cos 8sin 8αα=-++)8αθ=-+，所以AM DC ⋅的最大值为8．故选A ．考点：平面向量的数量积．【名师点睛】求平面向量的数量积，可以选取基底，把平面向量用基底表示后运算，这要求所求向量与基底之间的关系明确，或容易用参数表示．象本题有垂直的直线，可以建立直角坐标系，把向量的数量积用坐标运算表示，化“形”为“数”，这样关系明确，数据清晰，易于求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 若函数()()10cos 02x x f x x x π+<⎧⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()f x 与x 轴围成封闭图形的面积为 . 【答案】32【解析】试题分析：021(1)cos πS x dx xdx -=++⎰⎰201()sin 212πx x x =++-32=．考点：定积分的几何意义．10. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】2 【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥E ABCD -，11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=．A考点：三视图，体积．【名师点睛】三视图问题，关键是由三视图画出几何体的直观图而且也是难点，有许多几何体可以看作是由正方体（或长方体）切割形成的，因此在画直观图时，我们可以先画出正方体（或长方体），然后在正方体（或长方体）上取点，想投影，连线，得结论（几何体直观图），这样做几何体中线面位置关系与线段长度都能明确显示，易于求解．11. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.求直线l 与圆C 相交所得弦长为 . 【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与圆相交弦长问题．12. ()()6611x x +-展开式中，6x 的系数为 .【答案】-20 【解析】试题分析：6626(1)(1)(1)x x x +-=-，展开式通项为22166()(1)r r r r rr T C x C x +=-=-，令26r =，3r =，故系数为336(1)20C -=-．考点：二项式定理的应用．13. 如图：PA 为O 的切线，A 为切点，割线PBC 过圆心O ，10,5PA PB ==，则AC 长为.【答案】【解析】试题分析：由切割线定理得2PA PB PC =⋅，即2105(5)BC =+，15BC =，易得ΔΔPAB PCA ，则PA PB AB PC PA CA ==，所以51102AB CA ==，又222215AB AC BC +==，所以AC = 考点：切割线定理，相似三角形的判断与性质．14. 已知函数()()20,01ln ,42,1x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=的实根个数为 . 【答案】4 【解析】4．考点：函数与方程，函数的零点．【名师点睛】本题考查方程根的个数问题，方程根的个数与函数的零点常常相互转化，也常与函数的图象联系在一起，这样通过数形结合思想得出结论．在函数的图象不能简单表示出时，我们可能研究函数的性质，研究函数的单调性，极值等，以确定函数图象的变化趋势，然后由数形结合思想得出结论．本题方程()()1f x g x +=的实根个数可以转化为函数()()y f x g x =+与两条直线1y =±的交点个数，因此要研究函数()()y f x g x =+的性质，根据其解析式，分类讨论，在01x <≤，12x <≤，2x ≥三个范围讨论()()()h x f x g x =+的性质（这三个范围内都可以化云(),()f x g x 中的绝对值符号，从而可用易得出结论．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知向量)()22,cos ,1,2cos m x x n x =+= ，设函数()f x m n =⋅.（1）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4,1f A b ==，ABC ∆a 的值.【答案】（1）()()min max 4,5f x f x ==；（2）a = 【解析】试题分析：（1）要求()f x 的最值，首先要求出其解析式，这可由平面向量的数量积的坐标运算可得，然后利用两角和的正弦公式把函数化为一个三角函数形式：()sin()f x A x k ωϕ=++，最后结合正弦函数的性质可得最值；（2）本小题实质上解三角形问题，分析三角形中的六个元素，由()4f A =结合（1）可求得()()min max 4,5f x f x ∴==；（2）()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1352,2666663A A A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭1sin 2ABC S bc A ∆==2c ∴=2222cos 3a b c bc A a ∴=+-=∴=.考点：平面向量的数量积，两角和的正弦公式，正弦函数的性质，三角形面积，余弦定理． 16. （本小题满分13分）一汽车4S 店新进,,A B C 三类轿车，每类轿车的数量如下表：同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（1）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（2）若一次性提取4辆车，其中,,A B C 三种型号的车辆数分别记为,,a b c ，记ξ为,,a b c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）518；（2）分布列见解析，期望为209． 【解析】试题分析：（1）本小题是古典概型问题，总共9国辆车，任取2辆的取法为29C ，而2辆车同型号有选法为222422C C C ++，由古典概型概率公式可得概率；（2）由于只有三种型号,,A B C ，各种型号数量分别为4,2，∴其分布列为数学期望为20 23414631269 Eξ=⨯+⨯+⨯=考点：古典概型，随机变量的概率分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，,22,,,EA PD AD PD EA F G H===分别为,,PB EB PC的中点.（1）求证：FG 平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（3）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60︒？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）4π；（3）存在，且4PM =. 【解析】试题分析：（1）要证明线面平行，只要证线线平行，由中位线定理易得，注意写出线面平行判定定理的所有条件，都能得出结论；（2）求二面角，图形中有交于同一点的两两相互垂直的三条直线，如,,DA DC DP，又FG ⊄平面,PED PE ⊂平面PED 所以FG 平面PED ；（2）因为EA ⊥平面,ABCD EA PD 所以PD ⊥平面ABCD所以,PD AD PD CD ⊥⊥，又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥ 如图，建立空间直角坐标系，因为22AD PD EA ===，所以()()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,2,0,2,0,1D P A C B E 因为,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点，所以()()11,1,1,2,1,0,1,12F G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以111,0,,2,0,22GF GH ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()1111,,n x y z = 为平面FCH 的一个法向量，则1100n GF n GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩依题意可设PM PC λ= ，其中01λ≤≤，由()0,2,2PC =- ，则()0,2,2PM λλ=-又因为(),1,1,1FM FP PM FP =+=-- ，所以()1,21,12FM λλ=---因为直线FM 与直线PA 所成角为60︒，()2,0,2PA =-所以1cos ,2FM PA 〈〉= ，即1528λ==所以550,,,444PM PM ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA所成角为60︒，此时4PM =. 考点：线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．【名师点睛】求二面角，一种方法是根据定义作出二面角的平面角（必须证明），然后解三角形而得，这对与二面角的棱垂直的直线易知的情况较适用，另一种也是常用的方法是找出图形中两两垂直的交于同一点的三条直线，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角，可先求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角和二面角的关系得解，这是立体几何中求空间角常用方法，主要是计算，减少了推理过程．18. （本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()21,0F ，点H ⎛ ⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作222x y b +=的切线交椭圆于,P Q 两点，问：2PF Q ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是。

2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．54．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．47．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣210．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=111．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为．16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x＞1}，利用被开方数大于等于0，求出B，从而找出正确选项．【解答】解：A={y|y=log3x，x＞3}={y|y＞1}，B={x|y=}={x|x≥1}，∴A⊆B，故选：A．2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣4﹣3i，故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．5【考点】解三角形．【分析】由S==2，得a=1，再直接利用余弦定理求得b．【解答】解：由S===2，得a=1又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25，所以b=5故选D4．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】计数原理的应用．【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．【解答】解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，故选：B5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直故命题p为假命题又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时α与β可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真故选C6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的X围，结合p的实际意义，对求得的X围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．【解答】解：在三棱锥C﹣ABD中，C在平面ABD上的射影为BD的中点，左视图的面积等于，故选：D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣2【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|，由x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==（sinx+cosx）|=，∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故选：B．10．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=1【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．【解答】解：∵，两边平方得：∵∴λ2+μ2=1故选A11．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】设b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，故选：D二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是12 ．【考点】程序框图．【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案．【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30，80]内的所有整数中，所有的能被3整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，所以在[30，80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个．故答案为：12．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值\frac{9}{2} ．【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴4﹣n﹣2m=0，即n+2m=4．∵m＞0，n＞0，∴+=（n+2m）=≥=，当且仅当n=4m=时取等号．∴+的最小值是．故答案为：．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为\sqrt{7} ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为12 ．【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的X围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△A BC的面积为6，求边c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的X围可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=．⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，（2）∵，，∴，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10，∴．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（A i）=，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．依题意知，p（A i）=，且A i∩A j=Φ（i≠j）．设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P（B）=（A1∪A2∪A3∪A7∪A12）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A7）+P（A12）=．即此人到达当日空气质量重度污染的概率为．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（A4∪A8∪A9）=P（A4）+P（A8）+P（A9）=，P（ξ=2）=P（A2∪A11）=P（A2）+P（A11）=，P（ξ=3）=P（A1∪A12）=P（A1）+P（A12）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P故ξ的期望Eξ=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由余弦定理得BD=，由勾股定理，得BD⊥AD，由线线面垂直得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2，AD=1，由余弦定理得BD==，∴BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（1，0，0），P（0，0，1），B（0，，0），C（﹣1，，0），=（1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（﹣1，，﹣1），设平面APB的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，，3），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，，3），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，由图象知θ为钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣||=﹣．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B 的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），，所以；（2）联立得，解得，联立得，解得，所以，，所以，故存在常数，使得．（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，，则，所以直线AC必过点Q．当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：，联立，解得，所以，故直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1且x＞1时，构造函数m（x）=lnx+﹣2，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明：f（x）＞3﹣；（2）根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化，某某数a的取值X 围；（3）根据函数的单调性的性质，利用放缩法即可证明不等式．【解答】（1）证明：要证f（x）＞3﹣，即证lnx+﹣2＞0，令m（x）=lnx+﹣2，则m'（x）=，∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，∴lnx+﹣2＞0，即f（x）＞3﹣成立．（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a，令h（x）=，则h'（x）=，由（1）知lnx﹣1+＞1+=，∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e﹣1，即a≥e﹣1．解法二：令h（x）=alnx+1﹣x，则h'（x）=，当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，而h（e）=a+1﹣e＜0，不合题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得由于表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，由图象可知y=在（1，e）单调递减，故当x∈（1，e）时，，∴0，即a≥e﹣1．（3）当a=时，f（x）=，则f（i）=ln（n+1）!+n，要证f（i）＞2（n+1﹣），即证lni＞2n+4﹣4，由（1）可知ln（n+1）＞2﹣，又n+2=（n+1）+1＞2＞，∴，∴ln（n+1）＞2﹣，∴ln2+ln3+…+ln（n+1）=2n+4﹣4，故f（i）＞2（n+1﹣）．得证．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|=•|t1﹣t2|=5，运算求得结果．（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，设A，B对应的参数分别为 t1和t2，则 t1+t2=，t1•t2 =﹣．所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =．（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）- （B）（C） (-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t= ，s的最小值为（B）t= ，s的最小值为（C）t= ，s的最小值为（D）t= ，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设aR ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

2016年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题 （1）复数ii 2123--=（A ）i（B ）i -（C ）i -22（D ）i +-22（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（）（C ）123I I I C S C S C S ⋂⋂=Φ（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（A ）），（2222- （B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181- （5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33（C ）34 （D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（A ）23（B ）23（C ）26 （D ）332 （7）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（8）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为 （A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+- （9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23 （C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③ （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A ）18对 （B ）24对 （C ）30对（D ）36对第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02≈（14）9)12(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和,2,1( 0 =>n S n （Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到01.0）（21）（本大题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值（22）（本大题满分12分）（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log2016年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：∵ 33|||(sin(2))||2cos(2)|244y x x ππ''=-=-≤所以曲线)(x f y =的切线斜率的取值范围为[-2,2]， 而直线025=+-c y x 的斜率为522>， 所以直线025=+-c y x 于函数3()sin(2)4y f x x π==-的图像不相切 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90°在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN 0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.5AN BN AN BN ==⋅=- 2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅2arccos().3-故所求的二面角为19．（Ⅰ）).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）0,100,n S q q >-<<>又因为且或1,12,0,;2n n n n q q T S T S -<<->->>所以当或时即120,0,;2n n n n q q T S T S -<<≠-<<当且时即1,2,0,.2n n n n q q T S T S =-=-==当或时即ξ的数学期望为:75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 满分12分（Ⅰ）解：对函数()f x 求导数：22()(log )[(1)log (1)]f x x x x x '''=+--2211log log (1)ln 2ln 2x x =--+-22log log (1)x x =-- 于是1()02f '=，当12x <时，22()log log (1)0f x x x '=--<，()f x 在区间1(0,)2是减函数， 当12x >时，22()log log (1)0f x x x '=-->，()f x 在区间1(,1)2是增函数，所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（II ）用数学归纳法证明(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k 时命题成立即若正数1232,,,,k p p p p 满足12321k p p p p ++++=，则121222323222log log log log k k p p p p p p p p k ++++≥-当n=k+1时，若正数11232,,,,k p p p p +满足112321k p p p p +++++=，令1232k x p p p p =++++11p q x =，22pq x=，……，22k k p q x =则1232,,,,k q q q q 为正数，且12321k q q q q ++++=，由归纳假定知121222323222log log log log k k q q q q q q q q k ++++≥-121222323222log log log log k kp p p p p p p p ++++1212223232222(log log log log log )k k x q q q q q q q q x =+++++2()l o g x k x x ≥-+ ①同理，由1212221k k k p p p x ++++++=-，可得112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++2(1)()(1)log (1)x k x x ≥--+-- ②综合①、②两式11121222323222log log log log k k p p p p p p p p ++++++22()log (1)()(1)log (1)x k x x x k x x ≥-++--+-- 22()log (1)log (1)k x x x x =-++--1(1)k k≥--=-+ 即当n=k+1时命题也成立根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n 命题成立2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页。

2016年普通高等学校招生全统一考试全国卷一理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<,{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-) （B)（3-,23） （C ）（1,23） （D ）(23-，3）2.设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B)2 (C ）3 （D ）23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A)100 （B ）99 （C ）98 （D ）974.某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)31（B ）21 （C)32 (D ）435.已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）(1-，3) (B ）（1-，3） （C ）(0，3） （D)（0，3）6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π (B)18π （C)20π (D ）28π7.函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为（A) （B ） （C ） （D)8.若1>>b a ，10<<c ，则（A)c c b a < (B ）c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < (D ）c c b a log log <9.执行右图的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ,1=n ,则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C)x y 4= （D)x y 5=10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A)2 （B ）4 （C ）6 （D ）811.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为(A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）3112.已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点,4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调,则ω的最大值为 （A ）11 (B ）9 （C ）7 （D)5二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.设向量)1,(m a =，)2,1(=b ，且222b a ba +=+,则=m ．14.5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案)15.设等比数列{}n a 满足1031=+a a ,542=+a a ，则n a a a ⋯21的最大值为 ．16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

— 高三理科数学 (模拟一)答案第1页 —NCS20170607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一1所以()(0,1)U A C B ⋂=，故答案选C .2、C 【解析】i i211z ==+-，故答案选C . 3、D 【解析】不妨设390,60αβ=︒=︒，有sin sin αβ<，则αβ>不可推出sin sin αβ>；反之，因为sin 60sin 390︒>︒此时αβ<，则sin sin αβ>也不可推出αβ>，故答案选D .4、D 【解析】由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(,)x y ，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1cm ，其体重约增加0.85kg ，故C 正确．当某女生的身高为160cm 时，其体重估计值是50.29kg ，而不是具体值，因此D 不正确．故答案选D .5、C 【解析】因为圆锥曲线22:1C x my +=方程可化为221(0)1y x m m-=<-， 123m ⇒=-，故答案选C.6、B 【解析】由2221log [log (1)log ]2i i +-，7i =进入循环，得2123[log 21S =++ 222222223819log log ]3[(log 2log 1)(log 3log2)(log 8log 7)]2722++=+-+-++-= ，当8i =退出循环，输出229log 2log 312S ==-，故答案选B .7、B【解析】因为函数的周期22T ππωω==⇒=，有()s i n (2)f x A x ϕ=+，则()s i n (2)1f A ααϕ=+=所以33()sin 2()sin(32)sin(2)122f A A A ππααϕπαϕαϕ⎡⎤+=++=++=-+=-⎢⎥⎣⎦，故答案选B . 8、D 【解析】因为圆心到直线21y x =+的距离d ==，则5cos 22AOB d OA ∠===． ∴229cos 2cos 121210AOB AOB ∠∠=-=⨯-=-，故答案选D ． 另解：因为圆心到直线21y x =+的距离d ==由垂径定理得：2221()2AB d R +=2221764()4(4)55AB r d ⇒=-=⨯-=∴由余弦定理有764495cos 22210AOB +-∠==-⨯⨯，故答案选D ．— 高三理科数学 (模拟一)答案第2页 —9、B 【解析】甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱,故答案选B .10、A 【解析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形 的三棱锥，即如图中的几何体A BCD -，其体积是正方体体积的16，等于323，故答案选A ． 11、D【解析】因为124x x AB ++=，124AF BF x x +=++，所以AF BF +=. 在AFB ∆中，由余弦定理得：222cos 2AF BF ABAFB AF BF+-∠=⋅2222241()23311222AB AB AB AF BF AF BF ABAF BF AF BF AF BF-+-⋅-==-=-⋅⋅⋅.又213AF BF AF BF AB +=≥⋅≤. ∴22113cos 11223ABAFB AB ∠≥-=-⨯，∴ AFB ∠的最大值为23π，故答案选D ． 12、A 【解析】因为函数(2)()f x f x -=可得图像关于直线1x =对称，且函数为偶函数则其周期为2T =，又因为11'()1x f x x x-=-=，当[]1,2x ∈时有'()0f x ≤，则函数在[]1,2x ∈为减函数， 作出其函数图像如图所示：其中ln 21ln 21,68OA OB k k --==，当0x <时，要使符合题意则ln 21ln 21(,)68m --∈ 根据偶函数的对称性，当0x >时，要使符合题意则1ln 21ln 2(,)86m --∈.综上所述，实数m 的取值范围为1ln 21ln 2ln 21ln 21(,)(,)8668----⋃，故答案选A ． 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13、120【解析】根据题意65(12)(1)x y ++的展开式中，3xy 的系数为13652120C C ⋅⋅=. 14、32【解析】a 在1e 上的投影为211211123(2)2211cos 32a e e e e e e e π⋅=-⋅=-⋅=-⨯⨯= ．15、(3)π【解析】由图中数据可得：122S π=⨯⨯圆锥侧，212S ππ=⨯⨯=圆柱侧，21S ππ=⨯=底面.所以几何体的表面积为(3)S π=表面积.— 高三理科数学 (模拟一)答案第3页 —16,,,,x a b c y ，则2x y a c b +=+=， ∴2,222x yyx y b y b c ++++===. 则等差数列后三项和为3922244x yyx y b c y y x y +++++=++=+3(3)4x y =+. （另解：由等差数列的性质有2x y a c b +=+=，所以2,222x yyx y b y b c ++++===.） 方法一：因为224x y +=，设2cos ,2sin x y αα==，所以3(2cos 6sin ))4b c y αααϕ++=++ 方法二：令3z x y =+，则30x y z +-=，所以当直线30x y z +-=与圆224x y +=相切时z 将有最大值，此时2d z ==⇒=，即max z =，∴max 3()4b c y ++=⨯.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17、【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=，------- 2分即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =．------------ 4分∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．------------ 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.------------ 7分∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦ ------------ 9分22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=-- ．------ 12分 18、【解析】（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）．------------ 4分（Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，------------ 6分则：3464(0)()5125P X ===，1231424(10000)()105125P X C ==⨯⨯=221233141410827(20000)()()()()105105500125P X C C ==⨯⨯+⨯⨯==31132111449(30000)()10101051000P X C C ==+⨯⨯⨯⨯=222233111427(40000)()()10101051000P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=223113(50000)()10101000P X C ==⨯⨯=311(60000)()101000P X ===． ∴ X 的分布列为— 高三理科数学 (模拟一)答案第4页 —64482749273101000020000300004000050000600001252501251000100010001000EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯9000=（元）．------------ 12分 19、【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图所示：有1,AE DE BD ===∴在ABD ∆中，有222AB AD BD=+，即AD BD ⊥又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .-----5分 （Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件2AD D C BC ===，则1AE DE==，PEBD = 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，B ，P ．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示： 则在Rt CDF ∆中，有CF ，1DF =，∴(C -．------- 7分（另解:可不做辅助线，利用2AB DC=求点C 坐标） ∴(1,CD =，(1,0,PD =-，设平面PDC 的法向量1111(,,)n x y z =则11111100n CD x n PD x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x 11y =，11z =-， ∴面PDC 的法向量11)n =-．------- 9分同理有(0,0,PE = ，(PB =-，设平面PBE 的法向量2222(,,)n x y z =则2222220n PE n PB x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ， 取21y =，则2x =20z =，∴面PBE 的法向量2n =．--10分设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，∴12cos cos ,n n θ=<>=． 即平面PEB 与平面PDC ．------- 12分 20、【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ② 联立方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为22143y x +=．------- 5分（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上．— 高三理科数学 (模拟一)答案第5页 —假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-，此时点N 8(5，则联立直线120A M l y -+=和直线220A N l y +-=可得点G 据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明： ------- 7分设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*）------- 9分 因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 联立两直线方程得1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证：1212322y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+，即证1212410()160x x x x -++= ------- 11分 将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++ 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．-------12分 方法二：设1(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N 2212222122222212123(1)3(1)444(4)(4)(4)(4)x x y y y x x x x x --=⇒=⇒=-----， 整理得：2x 8分 又1,,A M 112y x =+ ① 又2,,A N 222y x - ② 将①与②两式相除得： 222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===-------- 即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++，------- 10分 将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得：2332()92x x +=- 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．------- 12分方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y .由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.------- 7分设112233(,),(,),(,)M x y Nx y G x y ，123,,x x x 两两不等，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，12||x x -=— 高三理科数学 (模拟一)答案第6页 —由1,,A M112y x =+ ① 由2,,A N 222y x - ② 32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====------++-+------- 10分 解得34x =（舍去）或31x =，所以点G 在定直线1x =上．------- 12分 21.【解析】（Ⅰ）'()2(24)2(2)(22)2(2)x x x f x e x e a x x e a x =+-++=-++，依题意：当0x >时，函数'()0f x ≥恒成立，即(1)2x x e a x -≥-+恒成立，记(1)()2xx e g x x -=-+，则2(2)(1)'()(2)x x xe x x e g x x +--=-=+22(1)0(2)x x x e x ++-<+， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以1()(0)2g x g <=，所以12a ≥；--- 6分（Ⅱ）因为['()]'220x f x xe a =+>，所以'()y f x =是(0,)+∞上的增函数，又'(0)420f a =-<，'(1)60f a => ，所以存在(0,1)t ∈使得'()0f t =且当0a →时1t →，当12a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)．------- 8分又当(0,)x t ∈，'()0f x <，当(,)x t ∈+∞时，'()0f x >， 所以当x t =时，2min()()(24)(2)tf x f t t e a t ==-++．且有(1)'()02tt e f t a t -=⇒=-+(由（Ⅰ）知(1)()2tt e a g t t -=-=+,在(0,)+∞上单调递减，又1(0)2g =, (1)0g =且1(0,)2a ∈,故(0,1)t ∈)∴2min ()()(24)(1)(2)(2)t t t f x f t t e t t e e t t ==---+=-+-,(0,1)t ∈------- 10分记2()(2)t h t e t t =-+-，则22'()(2)(21)1)t t th t e t t e t et t =-+-+-+=--（-0<， 所以(1)()(0)h h t h <<，即最小值的取值范围是(2,2)e --．------- 12分 22、【解析】（Ⅰ）曲线1C 参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，------- 2分由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分— 高三理科数学 (模拟一)答案第7页 —（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t，联解241y x x a y ===⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ------- 7分 ∴当122t t =时，有2122212311036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意．------- 8分 当122t t =-时，有21222121442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=--⋅=-=⎩，符合题意．------- 9分 综上所述，实数a 的值为136a =或94．------- 10分 23、【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112ax x -+-≤．而由绝对值的几何意义知||1|1|22a ax x -+-≥-，------- 2分由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤．∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a<∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------- 7分如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a+∞单调递增，∴min ()()1322a a f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 10分。

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则A B =U（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x << （2）已知命题:,2n p n ∀∈>N p ⌝是（A）,2n n ∀∈≤N （B）,2n n ∀∈<N （C）,2n n ∃∈≤N （D）,2n n ∃∈>N （3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B（C ）2 （D）（4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）13 （B ）23 （C ）1 （D ）43（7）将函数sin(26y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()y f x =图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为 （A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。