2019长春高三一模数学理科试卷及答案-精编

长春市普通高中2019届高三质量监测（三）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin 210︒= A. 12-B. 3-C. 12D. 32.已知集合{1,0,1,2},{|(1)(2)0}A B x x x =-=+-<，则A B =IA. {1,0,1,2}-B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {0,1}3. 若复数1a ii++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.执行如图所示的程序框图，如果输入=4N ，则输出p 为A. 6B. 24C. 120D. 7205. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，42a =，则6S = A. 0 B. 10 C. 15 D. 306. 已知1e 、2e 是两个单位向量，且夹角为3π，则1212(2)(2)-⋅-+=e e e e A. 32-B. 3- C. 12D. 37. 若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不是一等品的条件下，另 1 件是一等品的概率为 A.37 B. 45 C. 67D. 1213 8. 已知,m n 为两条不重合直线，α,β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α//β的是A. //,,m n m n αβ⊂⊂B. //,,m n m n αβ⊥⊥C. ,//,//m n m n αβ⊥ D. ,,m n m n αβ⊥⊥⊥9．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量. 2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比. 这 12 年间的研发投入（单位：十亿元）用下图中的条形图表示，研发投入占营收比用下图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论错误．．的是 A . 2012-2013 年研发投入占营收比增量相比 2017-2018 年增量大 B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加 C. 2015-2016 年研发投入增值最大D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10. 函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致是11. 已知O 为坐标原点，抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为 6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则||||OP AP +的最小值为 A. 4 B. 3 C. 46 D. 312. 已知函数1ln ,1()11,122x x f x x x +⎧⎪=⎨+<⎪⎩≥，若12x x ≠，且12()()2f x f x +=，则12x x +的取值范围是A. [32ln 3,)-+∞B. [1,)e -+∞C. [32ln 2,)-+∞D. [2,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则ω=_____________，若2()2f α=，则sin 2α=____________. 14. 已知矩形ABCD ，12AB =，5BC =，以,A B 为焦点，且过,C D 两点的双曲线的离心率为 .15. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵. 斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑. 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若 称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述： ① 四个侧面都是直角三角形； ② 最长的侧棱长为26；③ 四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④ 外接球的表面积为24π.其中正确的描述为 .16.已知数列{}n a 中，12a =，1(N )12n n n na a n n a *+=∈++，则11nk ka ==∑ . 三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，6AB =，42AC =. （1）若22sin B =，求ABC ∆的面积； （2）若点D 在BC 边上且2,BD DC AD BD ==，求BC 的长.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人 200 人，第二车间有工400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min ）分别进行统计，得到下列统计图表（按照 [55,65)，[65,75) ，[75,85)，[85,95]进行分组）.（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min 的人数；（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间样本中生产时间小于 75min 的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间小于 65min 的工人人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分12分)如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥, 1AD AB BC ===,2CD =， E 为CD 中点, AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）. (1)证明: 平面POB ⊥平面ABCE ； (2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值.20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为2，1B 、2B 是椭圆C 的短轴端点，且1B 到焦点的距离为32，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与1B 、2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形21MB NB 面积的最大值.已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2x =是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点1122(,()),(,())P x f x Q x f x12(6)x x <<处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为1b 、2b ，求12b b -的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒且经过点(2,1)A . 以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2:l cos 3ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C . （1）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求||||AP AQ ⋅的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-+-. (1)求不等式()4f x ≤的解集；(2) 设函数()f x 的最小值为m ，当,,a b c R +∈，且a b c m ++=时，.长春市2019年高三质量监测（三） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查诱导公式.【试题解析】A 1sin 2102︒=-.故选A. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D {|12},{0,1}B x x A B =-<<=I .故选D. 3. A 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】A 1(1),02a a iz a ++-==.故选A.4. B 【命题意图】本题考查程序框图.【试题解析】B 可知. 故选B.5.C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 161,5,15d a S =-==.故选C.6. A 【命题意图】本题主要考查平面向量. 【试题解析】A 可知. 故选A.7. D 【命题意图】本题考查条件概率的相关知识.【试题解析】D 可知. 故选D.8. B 【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系.【试题解析】B 可知. 故选B 9. D 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】D 可知ABC 正确.故选D.10. B 【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识.【试题解析】B 确定函数为偶函数，代入特殊值，可排除A ，C ，当,()x f x →+∞→-∞.故选B.11. C 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识.【试题解析】C 做O 点关于准线的对称点M ，则所求距离和的最小值为|AM|.故选C. 12. C 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.【试题解析】C 先确定121x x <<，借助条件等式，用2x 表示1x ，1212ln x x =-，得到关于2x 的函数关系式122212ln x x x x +=-+，通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13. 242,25-【试题解析】由周期公式2=T ππω=得=2ω，由2()210f α=得2sin()410πα+=所以1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=∴24sin 225α=-14. 32【试题解析】在焦点ABC ∆中，12,5,13AB BC AC ===∴离心率2||1232||||1352c AB e a AC BC ====-- 15. ①②④ 【试题解析】如图长宽高分别为4,2,2，易得①②④正确.16. 2534n n-【试题解析】由112n n nna a n a +=++得112n n n a n a na +++=（），即112(1)n n n n a a n a na ++++=，两边同时除以1(1)n n n n a a ++得1211(1)(1)n n n n na n a ++=++ 由累加法得154=2nn na n-∴154=2nn a -为等差数列所以2111(154)53224nk kn n n n a =+--=⋅=∑三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】解：6sinC3=，所以sin 1C =，2C π∠=，所以2BC ==，所以122S =⨯⨯=（6分）（Ⅱ）设DC x =，则2BD x =，则2AD x =，所以222222(2)(2)6(2)22222x x x x x x x x +-+-=-⋅⋅⋅⋅解得：x =所以3BC DC ==（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，第一车间样本工人20人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有40(0.0250.05)1030⨯+⨯=人，故第一车间工人中有60人， 第二车间工人中有300名工人中在75min 内生产完成一件产品；（4分）（II ）第一车间样本平均时间为60270480109047820x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲（min ）， 第二车间样本平均时间为 600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=乙（min ），∵x x >甲乙，∴乙车间工人生产效率更高；（8分）（III ）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min 的工人有6人，从中抽取3人， 其中生产时间小于65min 的有2人，随机变量X 服从超几何分布， X 可取值为0，1，2，03243641(0)205C C P X C ====，122436123(1)205C C P X C ====，21243641(2)205C C P X C ====X数学期望()0121555E X =⨯+⨯+⨯=. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（Ⅰ）证明：在PAE △中，OP AE ⊥，在BAE △中，OB AE ⊥，AE POB ∴⊥平面，AE ABCE ⊂平面， 所以平面POB ⊥平面ABCE ；（4分） （Ⅱ）在平面POB 内作PQ OB Q ⊥=，PQ ABCE ∴⊥平面.P∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又OP OB =Q ，OP OB ∴⊥，O 、Q 两点重合， 即OP ABCE ⊥平面，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为P ，1(,0,0)2E ，C ， ∴1(,0,2PE =u u u r ，1(2EC =u u u r ， 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z=u u r，则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r uu r u u u r u u r，即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设x =则1y =-，1z =，∴11,1)n =-u u r，由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =u u r ， 设二面角A-P-EC 为α，1212|||cos |||||n n n nα⋅===u r u u r u ru u r即二面角A-P-EC 为α的余弦值为（12分） 20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）2e =Q ，a ∴=，又a =，且222a b c =+， 218a ∴=，29b =，因此椭圆C 的方程为221189x y +=. （4分）（Ⅱ）法一：设000(,)(0)M x y x ≠，11(,)N x y ，11MB NB ⊥Q ，22MB NB ⊥，∴直线1NB ：0033x y x y +=-+……①直线2NB ：0033xy x y -=--……②由①，②解得：20109y x x -=，又22001189x y +=Q，012x x ∴=-， 四边形21MB NB 的面积1212013||(||||)3||2S B B x x x =+=⨯，20018x <≤Q ，∴当2018x =时，S . （12分）法二：设直线1MB ：3(0)y kx k =-≠，则直线1NB ：13y x k=--……①直线1MB 与椭圆C：221189x y +=的交点M 的坐标为2221263(,)2121k k k k -++，则直线2MB 的斜率为222263312112221MB k k k k k k --+==-+， ∴直线2NB ：23y kx =+……②由①，②解得N 点的横坐标为2621N kx k =-+， 四边形21MB NB 的面积12222112||6||54||54||(||||)3()1221212122||||M N k k k S B B x x k k k k k =+=⨯+==≤++++，当且仅当||k =S. （12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）2222()a ax f x x x x -'=-+=，①当0a ≤时，()0f x '<在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时， 2(0,)x a ∈时()0f x '<，2[,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在2(0,)x a ∈上单调递减，在2[,)x a∈+∞单调递增； （4分）（Ⅱ）∵2x =是()f x 的极值点， ∴由（1）可知22a=， ∴1a = 设在()11,()P x f x 处的切线方程为112111221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-，在()22,()Q x f x 处的切线方程为222222221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+,∴121112x x +=∵211112x x =-,且1206x x <<<，∴11111162x x <-<，∴111143x <<，∴1(3,4)x ∈令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+-.【解法一】∵211112x x =-，∴1212121111121111=4()ln ln =4()ln ln()22b b x x x x x x x --+---+-设1()82ln ln()2g x x x x =--+-，11(,)43x ∈∴2222111681(41)()801222x x x g x x x x x x x -+-'=--==<---∴()g x 在区间11(,)43上单调递减，∴2()(ln 2,0)3g x ∈-即12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-. （12分） 【解法二】∵12122x x x =-， ∴11212121118=4()ln ln =2ln(1)2x b b x x x x x --+--+-令8()ln(1)22xg x x =+--，其中(3,4)x ∈ ∴2222281816(4)()02(2)(2)x x x g x x x x x x x -+-'=-+==>---∴函数()g x 在区间(3,4)上单调递增， ∴2()(ln 2,0)3g x ∈- ∴12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-. （12分）【解法三】∵()12122x x x x ⋅=+，()1212211111212112122122222124()44ln ln ln =ln ln 1x x x x x x x x x b b x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭-=-+-=+=+=+⋅++设()21()ln 1x g x x x -=++，则()222141()(1)(1)x g x x x x x --'=+=++ ∵1121=1(,1)22x x x -∈，∴()0g x '>，∴函数()g x 在区间1(,1)2上单调递增， ∴2()(ln 2,0)3g x ∈-，∴12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）22112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设()()11,,,N M ρθρθ,()10,0ρρ>>1112ρρθθ=⎧⎨=⎩,即312cos ρθ=，即4cos ρθ=，所以()22400x x y x -+=≠. （5分） （Ⅱ）将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中，221(2)4(2)(1)02t -+++= 即230t t +-=,12,t t 为方程的两个根，所以123t t =-，所以1233AP AQ t t ⋅==-=. （10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】解：（1）①当12x <时，21()324,32f x x x =-+≤∴-≤< ②当112x ≤<时，1()4,12f x x x =≤∴≤< ③当1x ≥时，()324,f x x =-≤∴12x ≤≤综上：()4f x ≤的解集为2{|2}3x x -≤≤. （5分） （II ）法一：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即12m =. 又,,,a b c R +∈且1a b c ++=，则2221a b c ++=， 设x =y =z =， 222x y xy +≥Q ，2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++， 同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++，2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=，2222()22221212x yz x y zxy yz zx a b c∴++=+++++≤+++++， x y z ∴++≤≤当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分） 法二：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min1(),2f x ∴=即12m =，∴,,,a bc R +∈且12a b c ++=，444212121333()222a a a =++++++≤++= 当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分）法三：由（I）可知13+221(),1232,1x xfx x xx x⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min1(),2f x∴=即12m=12a b c∴++=，(21)(21)(21)4a b c∴+++++=由柯西不等式可知2222222 ((21)(21)(21))(111)(211211211)a b c a b c+++++⋅++≥+⋅++⋅++⋅即21212123a b c+++++≤当且仅当212121a b c+=+=+，即16a b c===时。

2019年长春市高中毕业班第一次调研试题数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)12.已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )4.抛物线21 2x y=的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C).12(D).145.等比数列中,前三项和为 ,则公比q的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12(D)－ 1或－126.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 07.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为(A). 2 (B). 3 (C). 32(D).48.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列(A). 若m//n，n⊂α，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n, 则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，－b ），若，则双曲线的离心率值为（ ）（A）12 （B）12（C）12（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为 . 15.已知数列，圆，圆，若圆C 2平分圆C 1的周长，则的所有项的和为 .16.定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y ＝f(x)是奇是函数 ②.y ＝f(x)是周期函数 ,周期为2π ③..y ＝f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y ＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.(本小题满分12分） 设等差数列的前n 项和为Sn, 且,(1).求数列的通项公式第10题图俯视图侧视图正视图(2).若成等比数列,求正整数n 的值 .18. (本小题满分12分） 已知向量,设函数f(x)= .(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.19. (本小题满分12分）如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E⊥A 1D ;(2).在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1-MC-D 的大小为存在,求出AM 的长，若不存在，说明理由20．(本小题满分12分） 已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).(1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, 的最小值为,求椭圆的方程.21. (本小题满分12分） 已知函数(1).a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x 1 , x 2 ,其中,求h(x 1)- h(x 2)的最小值.E D 1A 1DCBA第19题图请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.(1).求证:E为AB的中点;(2).求线段FB的长.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为 ,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;(2).试判断直线l与圆C有位置关系.24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.2019年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要B 【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i 1-=z 的虚部为1-，故选B . 2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M ，故选B . 3.【试题答案】A 【试题解析】化简x x x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x 22=()0>p 中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D .5.【试题答案】C 【试题解析】3233300327027S x dx x ===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q，即0122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C .6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1，所以412ln 45tan 2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗-， 1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。

吉林省长春2019届上学期第一次质量检测试题高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ）A.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,3 【答案】C .考点：集合间的基本运算；2.已知向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，若a b a b →→→→+=-，则实数λ的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【答案】C . 【解析】试题分析：因为向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，所以(22,2)a b λ→→+=+，(2,0)a b →→-=-，于是由a b a b →→→→+=-2=，解之得1λ=-，故应选C .考点：平面向量的坐标运算；【方法点晴】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的模的概念，属于容易题.解题时一定要注意正确的计算平面向量的坐标运算，并准确地运用平面向量模的概念建立等式关系，否则很容易导致计算错误.作为一道选择题还可以选择代值法，逐一进行验证每个选项是否满足已知条件，若不是，则排除之；若是，即为所求的答案.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若469,11a a ==，则9S 等于( )A ．180B ．90C ．72D ．10【答案】B .考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和；4.下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是( ) A ．2y x = B ．2xy = C.21log y x= D ．sin y x = 【答案】C . 【解析】试题分析：对于选项A ，函数2y x =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项B ，函数2xy =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项C ，函数21log y x=为偶函数且在(),0-∞上单调递增的函数，符合题意；对于选项D ，函数sin y x =为奇函数，不符合题意，故应选C .考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性. 5.设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为（ ） A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1- 【答案】D . 【解析】试题分析：因为复数i z --=122(1)1(1)(1)i i i i -+==-+---+，所以1z i -=--，于是(1)1i z i i i -⋅=--=-，所以在复平面内z i ⋅对应的点坐标为()1,1-，故应选D . 考点：1、复数的基本概念；2、复数的四则运算. 6.如图所示，程序框图的功能是（ ） A ．求{n 1}前10项和 B ．求{n 21}前10项和 C ．求{n 1}前11项和 D ．求{n21}前11项和 第6题图【答案】B .考点：1、算法与程序框图；7.某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A. 2 B.92 C.32D.3【答案】C .【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、搞分别为1、2、2的直角梯形，一条边长为x 的侧棱垂直于底面.于是其体积为12(12)3322x ⨯+⨯=，解之得32x =，故应选C .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积. 8.有下列关于三角函数的命题： 1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；2:P 函数3sin()2y x π=-与函数cos y x =的图像相同； 300:,2cos P x x π∃∈=R ；4:P 函数|cos |y x =()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A. 1P ，4P B ．2P ，4P C ．2P ，3P D ．1P ，2P【答案】D .考点：1命题的真假判断与应用；9.设,,a b c 是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A. 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B. 当b α⊂时，若b β⊥，则βα⊥C. 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D. 当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c 【答案】B .考点：1、空间中直线与平面之间的位置关系； 2、空间中直线与直线之间的位置关系；3、空间中平面与平面之间的位置关系.10.下列四个结论正确的个数是（ ）①若n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=r ②由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积是2ln 2③已知随机变量ξ服从正态分布(),,12σN (),79.04=≤ξP 则()21.02=-≤ξP ④设回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均增加2.5个单位A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D . 【解析】试题分析：对于①，因为n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关性最强，所以相关系数为1-，即①为正确的；对于②，由定积分的几何意义知，由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积可表示为22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，即②为正确的；对于③，由正态分布的对称性知，(2)(4)1(4)10.790.21P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，即③为正确的；对于④，因为回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均减少2.5个单位，所以④不正确，故应选D . 考点：1、命题的真假判断；2、线性回归方程；3、定积分的几何意义；4、正态分布.11.直线2:,:21+==x y l x y l 与圆C 02222=--+ny mx y x 的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则=m （ ）A .0或1 B. 0或1- C ． 1- D ． 1 【答案】B .考点：1、直线与圆的位置关系；【易错点晴】本题主要考查了直线与圆相交的性质问题，属于易错题.其解题中易错点有三：其一是没能观察发现题意隐藏的条件即直线1l 与2l 平行，否则解答无法进行；其二是一定要正确地画出图形，并结合图形进行解答，否则很容易出现错误；其三还应全面、准确地考虑问题，学生容易出现只片面的考虑其中一种情况，进而导致错误的出现.12.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)1f =，)(x f '为()f x 的导函数，又知)(x f y '= 的图像如图所示，若两个正数b a ,满足，1)2(<+b a f ，则12++a b 的取值范围是（ ） A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,32 C ．]25,41[ D ．⎪⎭⎫⎝⎛25,41【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数的几何意义3、线性规划.【思路点晴】本题属于线性规划中的延伸题，主要考查导函数的几何意义、线性规划等综合知识，属较难题. 对于可行域内求线性目标函数的最值，其解题的思路为：首先利用导数与函数的关系可得关于,a b 的不等关系式，然后画出关于,a b 的可行域，再结合直线斜率的几何意义可知，式子12++a b 表示的几何意义是可行域中的点与(1,2)--的连线的斜率问题，运用数形结合思想即可得出结论.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式5的展开式中常数项为 ． 【答案】10-. 【解析】试题分析：因为二项式5的展开式的通项为：1555655((1)rr r r r r C C x --=-，令1550r -=，即3r =，所以其展开式中的常数项为：335(1)10C -=-，故应填10-.考点：1、二项式定理.14.记集合(){}()221,1,,00x y A x y x y B x y x y ⎧+≤⎧⎫⎪⎪⎪=+≤=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩构成的平面区域分别为,M N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________． 【答案】π21.考点：1、几何概型的概率计算公式； 15.已知数列{}n a为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为【答案】2π. 【解析】试题分析：因为π=⎰，所以201320150a a π+==⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++22220142012201420142016201320132015201522a a a a a a a a a =++=++220132015()a a =+2π=，故应填2π.考点：1、等比数列的性质；2、定积分；【思路点晴】本题综合考查了等比数列及其性质和定积分的计算，是数列与定积分的综合应用，属中档题.解答该题基本思路：首先运用定积分的几何意义求出已知的定积分，然后利用等比数列的性质即若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，建立起所求的未知问题与已知条件之间的联系，最后运用平方和公式即可求出所求答案.16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有()()13-=-x f x f 成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-, 给出下列命题(1) ()f x 在[2,2]-上有5个零点；(2) 点(2016,0)是函数()y f x =的一个对称中心； (3) 直线2016x =是函数()y f x =图像的一条对称轴； (4)()()π<f f 2.9. 则正确的是 ．【答案】(1)、(2)、(4).00.841π<<-<，所以(0.8)(4)f f π>-，所以(9.2)()f f π<，即命题（4）正确. 故应填(1)、(2)、(4).考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性；3、函数的对称性；4、函数的单调性.【易错点晴】本题综合考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的单调性，是函数的图像及其性质的综合应用，属较难题.解答该题应注意以下几个易错点：其一是未能读懂题意，不能将题目表达式转化为所学的函数性质问题如函数的周期性和单调性；其二是对函数的图像未能准确把握，不能正确理解函数的对称中心和对称轴的基本概念.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题满分10分) 在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(3)i i -+-= A.10B.10- C.10i D.10i -2.已知集合{0,1}M =，则满足条件M N M =的集合N 的个数为A.1B.2C.3D.43.4.A.y =5.A.30︒6.A.3-7.A.18.分到A.69.求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，10.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为， A.4.5B.6C.7.5D.1011.B 外任意A.y x =±12.(0)a f =A.c b >>13.24log 4log 2+=.14.若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为. 15.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =,则3S =.16.为.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos 2b a Cc =+.(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=,求a 的最小值.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒(1)求证:(2)19.((1)Q 作x (2)C 的方程.20.(气温([20,25)，需求量为（1（2n （单21.(已知函数21()(,)2x f x e bx ax a b =-+∈R .（1）当1a >-且1b =时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-且1b =，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12； （3）若()f x 在R 单调函数，求ab 的最小值.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程选讲已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<≤），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求α的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知0a >，0b >，2a b +=. (1)22(2)1.C 2.D N M =有3.A 本题考查三角函数的相关知识由题意可知函数最大值为4.B 本题主要考查函数的性质 5.C 6.C 7.D 8.B 【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B. 9.D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10.D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11.C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C.12.A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0x x g x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<.故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.52【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52.14.12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.15.1016.17.( cos （2 2≥18.( 由平面⊥PAD 2的菱形，∠A （2(0,0,3)，A ，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，令平面PAB 的法向量为n ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=. 19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而220||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===.因此X（2 200 当 因此 当 因此 所以21.(设(g 当x 所以因为（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12.（8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()xf x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0xf x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=- 当0b =时，0ab =；当0b <时，()0x g x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<22.(32=AB 得sin α23.(。

2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测(一)理科数学试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(-1+31)(3-1)=A.10B. -10C. 101D. -101【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算展开得到表达式，即可得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到:(-1+31)(3-1)= -3 + i + 9i + 3=10i.故答案为：C.【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.己知集合M = {0,l },则满足条件MUN = M的集合N的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意得到：M u N = M有N c 写出集合M的子集即可.【详解】根据题意得到：MUN = M有NCM,即找集合M的子集个数，有：0, {0}, {1}, {0, 1}共有4个集合是M的子集.故答案为：D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识.纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算.解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素.二是考查抽彖集合的关系判断以及运算.兀3 .函数f(x) = sin(x + -) + sinx 的最大值为，A. 筋B. 2C. 2、$D. 4【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的两角和的止弦公式和化一公式得到函数表达式为：^sin|x + A /3-从而得到最大值.故最大值为：不. 故答案为：A.【点睛】本题主要考查由函数y=Asin (cox+q ))的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，考查了 函数y 二Asin (o )x+(p )的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般釆用的是整体思想，将®x+(p 看做一个整体，地位等同于sinx 中的x.4. 下列函数屮是偶函数，且在区间(0, + oo)上是减函数的是A. y = |x|+lB. y =x -2C. y = —xD. y = 2凶【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式，判断f(x)和f(・x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果.【详解】A.f(x) = |x|十l,f*(-x) = |-x|+1 =f(x),函数是偶函数，在(0,十8)上是增函数，故不正确；B. y = x'2»是偶函数，f(-x) = (-x)-2 = f(x)，在区间(0, + °°)上是减函数，故正确；C. y = --x, f(-x) = -- + x = -f(x),是奇函数，故不正确； x xD. y = 2冈，f(_x) = 2卜"=f(x)，是偶函数，但是在(0, + g)上是增函数，故不正确；故答案为:B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着=-sinx H --- osx + sinx = -sinx H ---- c osx 2 2 2 2 =点sin^x + -j < \&.再按照定义域验证f(x)和f(・x)的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续, 接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.已知平面向量、b,满足|a| = |b| = l,若(2a-b) • b = 0,则向量、b的夹角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】C【解析】【分析】根据向量的点积运算得到(2a - b) • b = 2cos9-l,进而得到角的余弦值，求出角.【详解】设向量夹角为，根据向量的点积运算得到：(2n・b)・b= 2a - b-b2 = 2cos0-l = 0=>cosG =-2故夹角为：60°.故答案为：C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平而向量数量积公式有两种形式，一是a-b = |a||b|cos9,二是a • b = XjX2 + y^,主要应用以下几个方面：(1)求向量的夹角，a，b 亠」 a • bcos。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。

第1页，共10页2019年吉林省名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A ={0，1，2，3}，B ={x ∈N |ln x ＜1}，则A ∩B =（ ）A. B. C. 1， D. 1，2，{0,1}{1,2}{0,2}{0,3}2.设复数z满足，则|z |=（ ）z−i 2−i=iA. 1B. C. 3D. 5103.已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）x 2a 2−y 2b 2=1(2，6)A. 2B. C. 3D. 234.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =（ ）A. 12B. 16C. 24D. 325.在△ABC 中，若点D满足，点E 为AC的中点，则=（ ）⃗BD=3⃗DC ⃗ED A.B.C. D.56⃗AC+13⃗AB14⃗AB+14⃗AC34⃗AC −14⃗AB56⃗AC −13⃗AB6.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A. 4B. 13C. 40D. 417.将函数f （x ）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y =g （x ）的图象，则函数y =f （x ）g （x ）π4的最大值为（ ）A.B.C. 1D.2+242−24128.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C.D.3433344339.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =1，a （2sin B -cos C ）=c cos A ，点D 是边33BC 的中点，且AD =△ABC 的面积为（ ）132A. B. C. 或 D. 或332323334310.函数f （x ）=x sin2x +cos x 的大致图象有可能是（ ）A. B.C.D.11.已知四棱锥S -ABCD ，SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD +∠DAB =π，SA =2，，二面角S -BC -ABC =263的大小为．若四面体SACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）π3A. B. C. D. 42π4π8π16π12.已知函数f （x ）=e x -e -x ，若对任意的x ∈（0，+∞），f （x ）＞mx 恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. B. C. D. (−∞,1)(−∞,1](−∞,2)(−∞,2]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.二项式的展开式中x -2的系数是______．(x−1)514.设x ，y 满足约束条件，则的最大值是______．{x +2y−4≤0，x−y−1≤0，2x +y +1≥0，z =y +2x +315.已知sin10°-m cos10°=2cos140°，则m =______．16.已知A ，B 是抛物线y 2=2px （p ＞0）上任意不同的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P （x 0，0），则x 0的取值范围是______．（用p 表示）三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n }为等差数列，a 7-a 2=10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=，数列{bn }的前n 项和为S n ，若S n =，求n 的值．1a n a n +122518.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E 是线段D 1O 的上一点．（1）若E 为D 1O 的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；（2）能否存在点E 使得平面CDE 上平面CD 1O ，若能，请指出点E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下：t i12345y i2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．r =∑ni =1(t i −−t )(y i −−y )∑n i =1(t i −−t )2∑n i =1(y i −−y )2=∑ni =1t i y i −n −t −y∑ni =1(t i −−t )2∑ni =1(y i −−y )25695≈75.47（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打912折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20.顺次连接椭圆（a ＞b ＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．C ：x 2a 2+y 2b 2=1322（1）求椭圆C 的方程；第3页，共10页（2）A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为（O 为坐标原点），线段OA−12上有一点M满足，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求的值．|OM||OA|=23|BM||BN|21.已知函数f （x ）=x 2-2x +2a ln x ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：．f(x 1)+f(x 2)+ln2+32＞022.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半{x =a(1+sint),y =acost 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θ=（ρ∈R ）．π6（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =-x ，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN 的3面积为2，求a 的值．323.已知函数f （x ）=|4x -1|-|x +2|．（1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）+5|x +2|＜a 2-8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={1，2}，A={0，1，2，3}；∴A∩B={1，2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵复数z满足，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|==．故选：D．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即b=a，即有双曲线的e====2．故选：A．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：==+=+（）=，故选：B．由平面向量基本定理及共线向量的运算得：==+=+（）=，得解．本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=0满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】A【解析】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin（x-），则y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，又-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，故选：A．由三角函数图象的平移得：g（x）=sin（x-），由积化和差公式得：y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x）-cos ]=-cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，得解．本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，∴BO==3，SO==1，∴该几何体的体积为：V===．故选：B．由几何体的三视图得该几何体三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.【答案】D【解析】解：∵a（2sinB-cosC）=ccosA，∴2sinAsinB-sinAcosC=sinCcosA，即2sinAsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴2sinA=，即sinA=，即A=或∵点D是边BC的中点，∴=（+），平方得2=（2+2+2•），即=（b2+c2+2bccosA），即13=1+c2+2ccosA，若A=则c2+c-12=0得c=3或c=-4（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==若A=则c2-c-12=0得c=4或c=-3（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==，综上三角形的面积为或，故选：D．根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c第5页，共10页的值进行求解即可．本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0，得cosx（2xsinx+1）=0，得cosx=0，此时x=或，由2xsinx+1=0得sinx=-，作出函数y=sinx和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S-BC-A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S-ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2=π×（2R）2=8π．故选：C．先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S-BC-A的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC ，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.【答案】D【解析】解：令g（x）=e x-e-x-mx，x∈（0，+∞），则g′（x）=e x+e-x-m，x∈（0，+∞），易得函数y=e x+e-x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）=0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）=0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）=0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（-∞，2]，故选：D．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.【答案】-10【解析】解：二项式的展开式中通项公式：T r+1==（-1）r．令-=-2，解得r=3．x-2的系数=-=-10．故答案为：-10．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（-3，-2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（-2，3），则的最大值是：=5．故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15.【答案】3【解析】解：由题意可得m=====，故答案为：．把已知等式变形，可得m==，化40°=30°+10°，展开两角差的余弦即可．本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16.【答案】（p，+∞）【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|=|PB|则=；整理得（x1-x2）（x1+x2-2x0）=y22-y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12=2py1，y22=2py2，代入上式得x0=p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0=p+＞p，第7页，共10页即x 0的取值范围是（p ，+∞），故答案为：（p ，+∞）．设出A ，B 坐标，结合线段AB 垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列，a 7-a 2=10，即5d =10，即d =2，a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得a 62=a 1a 21，即（a 1+10）2=a 1（a 1+40），解得a 1=5，则a n =5+2（n -1）=2n +3；（2）b n===（-），1a n a n +11(2n +3)(2n +5)1212n +312n +5即有前n 项和为S n =（-+-+…+-）121517171912n +312n +5=（-）=，121512n +5n5(2n +5)由S n =，可得5n =4n +10，225解得n =10．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n ===（-），运用裂项相消求和可得S n ，解方程可得n ．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则D （0，0，0），D 1（0，0，2），C （0，2，0），O （1，1，0）．因为点E 是D 1O 的中点，所以点E 的坐标为．(12，12，1)所以，，．⃗OD 1=(−1，−1，2)⃗DE=(12，12，1)⃗DC=(0，2，0)设是平面CDE 的法向量，则即，⃗p=(x ，y ，z){⃗p ⋅⃗DE =0，⃗p ⋅⃗DC=0，{12x +12y +z =0，2y =0.取x =2，则z =-1，所以平面CDE 的一个法向量为．⃗p =(2，0，−1)所以．cos〈⃗OD 1，⃗p〉=⃗OD 1⋅⃗p |⃗OD 1||⃗p|=−1×2+2×(−1)(−1)2+(−1)2+22⋅22+(−1)2=−23015所以直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值为．23015（2）假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设．⃗D 1E=λ⃗EO 显然，．⃗OC=(−1，1，0)⃗OD 1=(−1，−1，2)设是平面CD 1O 的法向量，则，即．⃗m=(x ，y ，z){⃗m ⋅⃗OC=0，⃗m ⋅⃗OD 1=0，{−x +y =0,−x−y +2z =0,取x =1，则y =1，z =1，所以平面CD 1O 的一个法向量为．⃗m =(1，1，1)因为，所以点E 的坐标为．⃗D 1E =λ⃗EO (λλ+1，λλ+1，2λ+1)所以，．⃗DE=(λλ+1，λλ+1，2λ+1)⃗DC=(0，2，0)设是平面CDE 的法向量，则即．⃗n=(x ，y ，z){⃗n ⋅⃗DE =0，⃗n ⋅⃗DC=0，{λλ+1x +λλ+1y +2λ+1z =0，2y =0.取x =1，则，所以平面CDE 的一个法向量为．z =−λ2⃗n=(1，0，−λ2)因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以，即，，解得λ=2．⃗m⊥⃗n ⃗m ⋅⃗n=01−λ2=0所以λ的值为2．即当时，平面CDE ⊥平面CD 1O ．|⃗D 1E ||⃗EO|=2【解析】（1）设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值．（2）假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设．求出平面CD 1O 的法向量，平面第9页，共10页CD 1O 的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题知，，，，−t =3−y =47∑5i =1t i y i =852∑n i =1(t i −−t )2=10，∑n i =1(y i −−y )2=2278则=．r =∑ni =1(t i −−t )(y i −−y )∑ni =1(t i −−t )∑n i =1(y i −−y )2=∑ni =1t i y i −n −t −y∑ni =1(t i −−t )∑ni =1(y i −−y )214722780=14725695≈147150.94≈0.97＞0.75故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，则，P(A)=C 03(12)3=18故所求概率为．P =1−P(A)P(A)=6364②若选择方案一，则需付款1000-100=900（元），若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000.；P(X =700)=C 33(12)3=18；；．P(X =800)=C 23(12)2×12=38P(X =900)=C 13×12×(12)2=38P(X =1000)=C 03(12)3=18所以（元），E(X)=700×18+800×38+900×38+1000×18=850因为850＜900，所以选择方案二更划算．【解析】（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次； ②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.【答案】解：（1）由题可知，a 2+b 2=3，2ab =22解得，b =1．a =2所以椭圆C的方程为；x 22+y 2=1（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），．N （x 3，y 3），|BM||BN|=λ∵，∴，⃗OM =23⃗OA M(23x 1，23y 1)∴，．⃗BM=(23x 1−x 2，23y 1−y 2)⃗BN=(x 3−x 2，y 3−y 2)又∵，∴，⃗BM =λ⃗BN (23x 1−x 2，23y 1−y 2)=λ(x 3−x 2，y 3−y 2)即，．x 3=23λx 1+λ−1λx 2y 3=23λy 1+λ−1λy 2∵点N （x 3，y 3）在椭圆C 上，∴，(2x 1+λ−1x 2)22+(23λy 1+λ−1λy 2)2=1即．（*）49λ2(x 212+y 21)+(λ−1)2λ2(x 222+y 22)+4(λ−1)3λ2(x 1x 22+y 1y 2)=1∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在椭圆C 上，∴，①，②x 212+y 21=1x 222+y 22=1又直线OA ，OB斜率之积为，∴，即，③−12y 1y 2x 1x 2=−12x 1x 22+y 1y 2=0将①②③代入（*）得，解得．49λ2+(λ−1)2λ2=1λ=1318【解析】（1）由菱形的面积公式可得2ab=2，由勾股定理可得a 2+b 2=3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），．N （x 3，y 3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21.【答案】（1）解：因为函数f （x ）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以在（0，+∞）上有两个根x 1，x 2，且x 1＜x 2，f′(x)=2x−2+2a x=0即x 2-x +a =0在（0，+∞）上有两个不相等的根x 1，x 2．所以{△=1−4a >0,a >0,解得．0＜a ＜14（2）证明：由题可知x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）是方程x 2-x +a =0的两个不等的实根，所以其中．{x 1+x 2=1,x 1x 2=a,0＜a ＜14故f(x 1)+f(x 2)=x 21−2x 1+2alnx 1+x 22−2x 2+2alnx 2=（x 1+x 2）2-2x 1x 2-2（x 1+x 2）+2a ln （x 1x 2）=2a lna-2a -1，令g （a ）=2a lna-2a -1，其中．故g '（a ）=21na ＜0，0＜a ＜14所以g （a ）在上单调递减，则，(0，14)g(a)＞g(14)=−ln2−32即．f(x 1)+f(x 2)+ln2+32＞0【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a 的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f （x 1）+f （x 2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．22.【答案】解：（1）曲线C 1：（a ＞0，t 为参数）．{x =a(1+sint),y =acost 转换为直角坐标方程为：（x -a ）2+y 2=a 2，该曲线为以（a ，0）为圆心a 为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ．（2）直线C 3的方程为y =-x ，3转换为极坐标方程为：．θ=5π3将代入ρ=2cosθ，θ=π6，θ=5π3解得：，ρ1=3a ，ρ2=a 则：=，S △OMN =12⋅3a ⋅a ⋅sin(π6+π3)23解得：a =2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（1）由题意可得f （x ）=，{−3x +3，x ≤−2−5x−1，−2＜x ＜143x−3，x ≥14当x ≤-2时，-3x +3＜8，得，无解；x ＞−53当时，-5x -1＜8，得，即；−2＜x ＜14x ＞−95−95＜x ＜14当时，3x -3＜8，得，即．x ≥14x ＜11314≤x ＜113所以不等式的解集为．{x|−95＜x ＜113}（2）f （x ）+5|x +2|=|4x -1|+|4x +8|≥9，则由题可得a 2-8a ＞9，解得a ＜-1或a ＞9．【解析】（1）求出f （x ）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可； （2）求出f （x ）+5|x+2|的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C.2. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D.3. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 7. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 8. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 14. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====. 15. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 16. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其2142S =⨯⨯=.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.20. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-. 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，12≥+. 长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：17. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 18. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D. 19. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 20. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.21. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 22. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 23. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 24. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.25. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 26. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 27. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 28. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：29. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 30. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====.31. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 32. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其21422S =⨯⨯⨯=. 三、解答题24. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.25. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.26. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.27. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 28. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）29. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 30. (本小题满分10分)数学（理科）试题+参考答案及评分标准 第11页（共11页） 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=. （2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，1≥+.。

长春市高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·思南期中) 设集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) =（）A . 1+2iB . 1﹣2iC . 2+iD . 2﹣i3. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A . 14B . 7C . 18D . 134. （2分） (2016高一上·荔湾期中) 函数的反函数记为，则的单调增区间是（）A .B .C .D .5. （2分）过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E ，直线FE交双曲线右支于点P ，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）在中，角A,B,C所对的边a,b,c，已知则C=（）A .B .C . 或D .7. （2分） (2016高二下·孝感期末) 以下三个命题中：①设有一个回归方程 =2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）(2017·雨花模拟) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A . 16B . 18C . 48D . 1439. （2分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016高一上·湖北期中) 设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意 x，恒有fK（x）=f（x），则（）A . K的最大值为B . K的最小值为C . K的最大值为1D . K的最小值为111. （2分） (2017高二下·高青开学考) 已知 =（cosα，1，sinα）， =（sinα，1，cosα），则向量 + 与﹣的夹角是（）A . 90°B . 60°C . 30°D . 0°12. （2分）(2019·重庆模拟) 函数在内有两个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·五指山期末) 已知a，b＞0，且满足3a+4b=2，则ab的最大值是________14. （1分）(2017·江门模拟) 某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．15. （1分）(2018·江西模拟) 已知，且是第三象限的角，则的值为________．16. （1分） (2016高二上·上海期中) 若an＞0，a1=2，且an+an﹣1= +2（n≥2），则 + +…+ =________三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2019高二上·汇川期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c ＝2b.（1）求角A的大小；（2）若c＝，角B的平分线BD＝，求a.18. （10分） (2017高三上·蓟县期末) 某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．19. （5分） (2018高二上·宜昌期末) 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，过的中点作平面∥ ，且分别交PB，PC于M、N，交的延长线于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20. （5分）(2017·昌平模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．⑴证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；⑵证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．21. （10分） (2018高二下·赣榆期末) 已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.四、选做题 (共2题；共20分)22. （10分） (2015高三上·临川期末) 已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．23. （10分） (2017高二下·郑州期中) 设f（x）=2|x|﹣|x+3|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）求不等式f（x）≤7的解集S．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、答案：略4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、答案：略三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略四、选做题 (共2题；共20分)22-1、答案：略22-2、答案：略23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。

长春市普通高中2019届高三质量监测(三)数学试题卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项就是符合题目要求的、1、 sin 210︒= A 、 12-B 、 3-C 、 12D 、 32、已知集合{1,0,1,2},{|(1)(2)0}A B x x x =-=+-<,则A B =A 、 {1,0,1,2}-B 、 {1,0,1}-C 、 {0,1,2}D 、 {0,1} 3、 若复数1a ii++的实部与虚部相等,则实数a 的值为 A 、 0 B 、 1 C 、 2 D 、 3 4、执行如图所示的程序框图,如果输入=4N ,则输出p 为A 、 6B 、 24C 、 120D 、 7205、 已知等差数列{}n a 的前n 项与为n S ,且24a =,42a =,则6S = A 、 0 B 、 10 C 、 15 D 、 306、 已知1e 、2e 就是两个单位向量,且夹角为3π,则1212(2)(2)-⋅-+=e e e e A 、 32-B 、 36- C 、 12D 、 337、 若 8 件产品中包含 6 件一等品,在其中任取 2 件,则在已知取出的 2 件中有 1 件不就是一等品的条件下,另 1 件就是一等品的概率为 A 、37 B 、 45 C 、 67D 、 1213 8、 已知,m n 为两条不重合直线,α,β为两个不重合平面,下列条件中,一定能推出α//β的就是A 、 //,,m n m n αβ⊂⊂B 、 //,,m n m n αβ⊥⊥C 、 ,//,//m n m n αβ⊥D 、 ,,m n m n αβ⊥⊥⊥9.“科技引领,布局未来”科技研发就是企业发展的驱动力量、 2007 年至 2018 年,某企业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元,我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比、 这 12 年间的研发投入(单位:十亿元)用下图中的条形图表示,研发投入占营收比用下图中的折线图表示、根据折线图与条形图,下列结论错误．．的就是 A 、 2012-2013 年研发投入占营收比增量相比 2017-2018 年增量大 B 、 该企业连续 12 年研发投入逐年增加 C 、 2015-2016 年研发投入增值最大D 、 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10、 函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致就是11、 已知O 为坐标原点,抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为 6,若点P 为抛物线C 准线上的动点,则||||OP AP +的最小值为A 、 4B 、 43C 、 46D 、 6312、 已知函数1ln ,1()11,122x x f x x x +⎧⎪=⎨+<⎪⎩≥,若12x x ≠,且12()()2f x f x +=,则12x x +的取值范围就是A 、 [32ln 3,)-+∞B 、 [1,)e -+∞C 、 [32ln 2,)-+∞D 、[2,)+∞二、填空题:本题共4小题,每小题5分、 13、 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π,则ω=_____________,若2()210f α=,则sin 2α=____________、 14、 已知矩形ABCD ,12AB =,5BC =,以,A B 为焦点,且过,C D 两点的双曲线的离心率为 、15、 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述:“斜解立方,得两堑堵、 斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑、 阳马居二,鳖臑居一,不易之率也、 合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣、”若 称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示,图中网格纸上小正方形的边长为 1,对该几何体有如下描述:① 四个侧面都就是直角三角形; ② 最长的侧棱长为26;③ 四个侧面中有三个侧面就是全等的直角三角形; ④ 外接球的表面积为24π、其中正确的描述为 、16、已知数列{}n a 中,12a =,1(N )12n n n na a n n a *+=∈++,则11nk ka ==∑ 、 三、解答题:共70份,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~23选考题,考生根据要求作答、 (一)必考题:共60分 17、(本小题满分12分)在ABC ∆中,6AB =,42AC =、 (1)若22sin 3B =,求ABC ∆的面积; (2)若点D 在BC 边上且2,BD DC AD BD ==,求BC 的长、18、 (本小题满分12分)某工厂有两个车间生产同一种产品,第一车间有工人 200 人,第二车间有工400人,为比较两个车间工人的生产效率,采用分层抽样的方法抽取工人,并对她们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位:min)分别进行统计,得到下列统计图表(按照 [55,65),[65,75) ,[75,85),[85,95]进行分组)、(Ⅰ)分别估计两个车间工人中,生产一件产品时间小于75min 的人数;(Ⅱ)分别估计两个车间工人生产时间的平均值,并推测哪个车间工人的生产效率更高？(同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表)(Ⅲ)从第一车间样本中生产时间小于 75min 的工人中随机抽取3人,记抽取的生产时间小于 65min 的工人人数为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望、 19、 (本小题满分12分)如图,等腰梯形ABCD 中,AB CD ∥, 1AD AB BC ===,2CD =, E 为CD 中点, AE 与BD 交于点O ,将ADE ∆沿AE 折起,使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE )、 (1)证明: 平面POB ⊥平面ABCE ; (2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π,求二面角A PE C --的余弦值、20、 (本小题满分12分)如图所示,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为22,1B 、2B 就是椭圆C 的短轴端点,且1B 到焦点的距离为32,点M 在椭圆C 上运动,且点M 不与1B 、2B 重合,点N 满足11NB MB ⊥,22NB MB ⊥、(1)求椭圆C 的方程;(2)求四边形21MB NB 面积的最大值、 21、 (本小题满分12分) 已知a R ∈,函数2()ln f x a x x=+、 (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若2x =就是()f x 的极值点,且曲线()y f x =在两点1122(,()),(,())P x f x Q x f x12(6)x x <<处的切线互相平行,这两条切线在y 轴上的截距分别为1b 、2b ,求12b b -的取值范围、(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分、 22、 (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中,直线1l 的倾斜角为30︒且经过点(2,1)A 、 以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线2:l cos 3ρθ=,从原点O 作射线交2l 于点M ,点N为射线OM 上的点,满足||||12OM ON ⋅=,记点N 的轨迹为曲线C 、 (1)求出直线1l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设直线1l 与曲线C 交于P ,Q 两点,求||||AP AQ ⋅的值、23、 (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-+-、 (1)求不等式()4f x ≤的解集;(2) 设函数()f x 的最小值为m ,当,,a b c R +∈,且a b c m ++=时, 212121a b c +++长春市2019年高三质量监测(三) 数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、 A 【命题意图】本题考查诱导公式、【试题解析】A 1sin 2102︒=-、故选A 、 2、 D 【命题意图】本题考查集合运算、 【试题解析】D {|12},{0,1}B x x A B =-<<=、故选D 、3、 A 【命题意图】本题考查复数的运算、【试题解析】A 1(1),02a a iz a ++-==、故选A 、4、 B 【命题意图】本题考查程序框图、【试题解析】B 可知、 故选B 、5、C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识、【试题解析】C 161,5,15d a S =-==、故选C 、6、 A 【命题意图】本题主要考查平面向量、 【试题解析】A 可知、 故选A 、7、 D 【命题意图】本题考查条件概率的相关知识、【试题解析】D 可知、 故选D 、8、 B 【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系、【试题解析】B 可知、 故选B9、 D 【命题意图】本题考查统计识图能力、【试题解析】D 可知ABC 正确、故选D 、10、 B 【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识、【试题解析】B 确定函数为偶函数,代入特殊值,可排除A,C,当,()x f x →+∞→-∞、故选B 、11、 C 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识、【试题解析】C 做O 点关于准线的对称点M,则所求距离与的最小值为|AM|、故选C 、 12、 C 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识、【试题解析】C 先确定121x x <<,借助条件等式,用2x 表示1x ,1212ln x x =-,得到关于2x 的函数关系式122212ln x x x x +=-+,通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案、故选C 、二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,13题对一个给3分,共20分)13、 242,25-【试题解析】由周期公式2=T ππω=得=2ω,由()210f α=得sin()410πα+=所以1sin cos 5αα+=,平方得11+2sin cos 25αα=∴24sin 225α=-14、32【试题解析】在焦点ABC ∆中,12,5,13AB BC AC === ∴离心率2||1232||||1352c AB e a AC BC ====-- 15、 ①②④ 【试题解析】如图长宽高分别为4,2,2,易得①②④正确、16、 2534n n-【试题解析】由112n n n na a n a +=++得112n n n a n a na +++=（）,即112(1)n n n n a a n a na ++++=,两边同时除以1(1)n n n n a a ++得1211(1)(1)n n n n na n a ++=++ 由累加法得154=2nn na n-∴154=2nn a -为等差数列所以2111(154)53224nk kn n n n a =+--=⋅=∑三、解答题17、(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识、【试题解析】解:(Ⅰ)由正弦定理得426sinC22=,所以sin 1C =,2C π∠=, 所以226(42)2BC =-=,所以1242422S =⨯⨯= (6分)(Ⅱ)设DC x =,则2BD x =,则2AD x =,所以222222(2)(2)6(2)(42)22222x x x x x x x x +-+-=-⋅⋅⋅⋅ 解得:52x =所以352BC DC == (12分)18、(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识、 【试题解析】(Ⅰ)由题意得,第一车间样本工人20人,其中在75min 内(不含75min) 生产完成一件产品的有6人,第二车间样本工人40人,其中在75min 内(不含75min) 生产完成一件产品的有40(0.0250.05)1030⨯+⨯=人,故第一车间工人中有60人, 第二车间工人中有300名工人中在75min 内生产完成一件产品;(4分)(II)第一车间样本平均时间为60270480109047820x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲(min),第二车间样本平均时间为 600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=乙(min),∵x x >甲乙,∴乙车间工人生产效率更高;(8分)(III)由题意得,第一车间样本生产时间小于75min 的工人有6人,从中抽取3人, 其中生产时间小于65min 的有2人,随机变量X 服从超几何分布, X 可取值为0,1,2,03243641(0)205C C P X C ====,122436123(1)205C C P X C ====,21243641(2)205C C P X C ====X 的分布列为:X 012P15 35 15数学期望131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=、 (12分)19、 (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体,考查立体几何的基础知识、 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力与运算求解能力、 【试题解析】(Ⅰ)证明:在PAE △中,OP AE ⊥,在BAE △中,OB AE ⊥, AE POB ∴⊥平面,AE ABCE ⊂平面, 所以平面POB ⊥平面ABCE ;(4分) (Ⅱ)在平面POB 内作PQ OB Q ⊥=,PQ ABCE ∴⊥平面、 ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=,又OP OB =,OP OB ∴⊥,O 、Q 两点重合, 即OP ABCE ⊥平面,以O 为原点,OE 为x 轴,OB 为y 轴,OP 为z 轴, 建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为P ,1(,0,0)2E,C ,∴1(,0,2PE =,1(2EC =, 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =,则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,设x 则1y =-,1z =,∴1(3,1,1)n =-,由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =, 设二面角A-P-EC 为α,1212|||cos |||||1n n n n α⋅===⋅即二面角A-P-EC为α的余弦值为5-、(12分) 20、(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的相关知识、 【试题解析】解:(Ⅰ)2e =,a ∴=,又a =且222a b c =+, 218a ∴=,29b =,因此椭圆C 的方程为221189x y +=、 (4分)(Ⅱ)法一:设000(,)(0)M x y x ≠,11(,)N x y ,11MB NB ⊥,22MB NB ⊥,∴直线1NB :0033x y x y +=-+……①直线2NB :0033xy x y -=--……②由①,②解得:20109y x x -=,又22001189x y +=,012x x ∴=-,四边形21MB NB 的面积1212013||(||||)3||22S B B x x x =+=⨯,Q P OECBA20018x <≤,∴当2018x =时,S、 (12分)法二:设直线1MB :3(0)y kx k =-≠,则直线1NB :13y x k=--……①直线1MB 与椭圆C :221189x y +=的交点M 的坐标为2221263(,)2121k k k k -++,则直线2MB 的斜率为222263312112221MB k k k k k k --+==-+,∴直线2NB :23y kx =+……②由①,②解得N 点的横坐标为2621N kx k =-+,四边形21MB NB 的面积12222112||6||54||54||(||||)3()122121212||||M N k k k S B B x x k k k k k =+=⨯+==++++,当且仅当||k =,S、 (12分)21、(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识,以导数为工具研究函数的方法,考查学生解决问题的综合能力、【试题解析】(Ⅰ)2222()a ax f x x x x -'=-+=,①当0a ≤时,()0f x '<在(0,)x ∈+∞上恒成立,∴()f x 在(0,)+∞上单调递减;②当0a >时, 2(0,)x a ∈时()0f x '<,2[,)x a ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在2(0,)x a ∈上单调递减,在2[,)x a∈+∞单调递增; (4分)(Ⅱ)∵2x =就是()f x 的极值点, ∴由(1)可知22a=, ∴1a = 设在()11,()P x f x 处的切线方程为112111221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-,在()22,()Q x f x 处的切线方程为222222221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-∴若这两条切线互相平行,则2211222121x x x x -+=-+,∴121112x x +=∵211112x x =-,且1206x x <<<,∴11111162x x <-<,∴111143x <<,∴1(3,4)x ∈令0x =,则1114ln 1b x x =+-,同理,2224ln 1b x x =+-、【解法一】∵211112x x =-,∴1212121111121111=4()ln ln =4()ln ln()22b b x x x x x x x --+---+- 设1()82ln ln()2g x x x x =--+-,11(,)43x ∈∴2222111681(41)()801222x x x g x x x x x xx -+-'=--==<---∴()g x 在区间11(,)43上单调递减,∴2()(ln 2,0)3g x ∈-即12b b -的取值范围就是2(ln 2,0)3-、 (12分) 【解法二】∵12122x x x =-, ∴11212121118=4()ln ln =2ln(1)2x b b x x x x x --+--+-令8()ln(1)22xg x x =+--,其中(3,4)x ∈ ∴2222281816(4)()02(2)(2)x x x g x x x x x x x -+-'=-+==>---∴函数()g x 在区间(3,4)上单调递增, ∴2()(ln 2,0)3g x ∈- ∴12b b -的取值范围就是2(ln 2,0)3-、 (12分)【解法三】∵()12122x x x x ⋅=+,()1212211111212112122122222124()44ln ln ln =ln ln 1x x x x x x x x x b b x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭-=-+-=+=+=+⋅++设()21()ln 1x g x x x -=++,则()222141()(1)(1)x g x x x x x --'=+=++ ∵1121=1(,1)22x x x -∈,∴()0g x '>,∴函数()g x 在区间1(,1)2上单调递增, ∴2()(ln 2,0)3g x ∈-,∴12b b -的取值范围就是2(ln 2,0)3-、 (12分)22、 (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识、【试题解析】解:(Ⅰ)2112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 设()()11,,,N M ρθρθ,()10,0ρρ>>1112ρρθθ=⎧⎨=⎩,即312cos ρθ=,即4cos ρθ=,所以()22400x x y x -+=≠、 (5分) (Ⅱ)将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中,221(2)4(2)(1)02t -+++=即230t t +-=,12,t t 为方程的两个根,所以123t t =-, 所以1233AP AQ t t ⋅==-=、 (10分)23、(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式等内容、 本小题重点考查化归与转化思想、【试题解析】解:(1)①当12x <时,21()324,32f x x x =-+≤∴-≤< ②当112x ≤<时,1()4,12f x x x =≤∴≤< ③当1x ≥时,()324,f x x =-≤∴12x ≤≤综上:()4f x ≤的解集为2{|2}3x x -≤≤、 (5分) (II)法一:由(I)可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，,min 1(),2f x ∴=即12m =、 又,,,a b c R +∈且12a b c ++=,则2221a b c ++=,设x =,y =,z =, 222x y xy +≥,2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++,同理:2222yz b c ≤++,2222zx c a ≤++,2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=,2222()222212121812x y z x y z xy yz zxa b c ∴++=+++++≤++++++=,x y z ∴++≤≤当且仅当16a b c ===时,取得最大值 (10分) 法二:由(I)可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，,min 1(),2f x ∴=即12m =, ∴,,,a b c R +∈且12a b c ++=, 2444212121333()222a a a =++++++≤++=当且仅当16a b c ===时,取得最大值 (10分) 法三:由(I)可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，,min 1(),2f x ∴=即12m = 12a b c ∴++=,(21)(21)(21)4a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知2222222)(111)111)++⋅++≥+≤ 当且仅当212121a b c +=+=+,即16a b c ===时。

2019年吉林省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．43．下列说法中正确的是（）A．命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“∃x°∈（0，+∞），2x°≤1”C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b”D．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的必要而不充分条件4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α5．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣16．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=4，AC=2，E，F为线段BC 的三等分点，则•=（）A． B．4 C． D．7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）A．2 B．1 C．D．48．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于（）A．3 B．9 C．27 D．819．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）∪（1，3）11．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足（+）•=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．512．已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．已知=dx，那么（x2﹣）n的展开式中的常数项为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆x2+（y﹣1）2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列（）的前100项的和为．16．关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；④f（x）即是奇函数，又是周期函数．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．频数频率使用微信时间（单位：小时）（0，0.5] 3 0.05（0.5，1]x p（1，1.5]9 0.15（1.5，2]15 0.25（2，2.5]18 0.30（2.5，3]y q合计60 1.0019．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．20．（12分）已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，当P在M上运动时，求的最小值．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m 成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。