2018年深圳一模理科数学试题及参考答案

2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)
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2018-2019年宝安区高三上学期调研考试数学〔理〕试题本试卷总分值150分，考试时间120分钟．一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．52i -的共轭复数是〔 〕 A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i -2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，假设N M ⊆，则实数a 的取值集合〔 〕A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}- 3. 定义某种运算:S m n ⊗=⊗的运算原理如右边的流程图所示，则6547⊗-⊗=〔 〕A.3B.1C.4D. 04.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为〔 〕 A ．110B ．16C ．15D ．565.已知函数2lg(54)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=〔 〕A ．53B ．53-C ．52D ．52-6.假设实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为〔 〕A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 7. 在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的〔 〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为〔 〕 A ．6 B ．6- C ．24 D ．24- 9. 假设实数x ，y 满足||||2x y +≤，则222M x y x =+-的最小值为〔 〕A ．2-B ．0C ．212- D ．12- 10. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=，1AB AD ==.假设点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 〔 〕 A.2116 B. 32 C. 2516D. 3()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为〔 〕A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12. 已知,,A F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,假设2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C. 2 D. 13+二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分. 13.已知2)4πtan(-=+α，则=-αα2cos 2sin 1 14．过双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．15．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马〔底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥〕和一个鳖臑〔四个面均为直角三角形的四面体〕．在如下图的堑堵111C B A ABC -中，4,3,51====BC AB AC AA ，则阳马111A ABB C -的外接球的外表积是16.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩假设任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是CB 1A 1ABC 1三、解答题：共70分。

深圳中学2018届高三年级第一次阶段性测试数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5．考生必须保持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 已知全集U =R , 集合{}2|20N A x x x =∈-≤, {}2,3B =, 则=)(B C A U(A)∅ (B){}0 (C){}1 (D){}0,1 2．函数()()121log 21f x x =+的定义域为(A)1(,0)2-(B)1(,)2-+∞ (C)()1(,0)0,2-+∞(D)1(,2)2- 3．设,,x y ∈R 则“222x y +≥”是“1x ≥，且1y ≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4．根据下列条件,能确定ABC ∆有两解的是(A)︒===120,20,18A b a (B)︒===60,48,3B c a (C)︒===30,6,3A b a (D)︒===45,16,14A b a5．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=(A)35 (B)35- (C) 35-或1 (D)16．把函数())4f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为 (A)57[,]66ππ-(B)719[,]66ππ (C)24[,]33ππ-(D)175[,]66ππ-- 7．函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是(A) (B) (C) (D)8．若函数()()2log 8a f x x ax =-在区间221,4a a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，则a 的取值范围是(A) 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ (B)⎫⎪⎪⎝⎭(C) ((D) (]1,29．已知函数()cos f x x x =，其中π,3x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域是[]1,2-，则实数m 的取值范围是 (A) π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(B) ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(C) 2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ (D) ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10．已知 eπa =，π3b =,πe c =，则它们的大小关系是(A)a b c >> (B)c b a >> (C)b c a >> (D)c a b >>11．已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ∈R 满足：()(2)f x f x =-，当1x ≤时，()e 1x f x =-，则方程()|1|10f x x +--=的实根个数为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)512．已知函数()e ln x f x a x x =-，存在N n ∈，使得函数()f x 在区间(,2)n n +上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （A ）3ln 3e 1(,)e e （B ） 2ln 2e 1(,)e e （C ）32ln 3ln 2(,)e e （D ）2ln 21(,)e e第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若定义在区间2[3,]m m m ---上的函数2()m f x x -=是奇函数，则()f m = . 14．2sin π1)x x dx +-⎰（ .15． 设函数2(1)3,1()2,1x ax a x a x f x x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，，的最小值为2，则实数a 的取值范围是_____．16．已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2()b a a c =+，则2sin sin()AB A -的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R xx B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）已知,A C B C ≠∅=∅ ，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数πππ())2sin()sin()344f x x x x =---+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]122-上的值域.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，对边分别是a b c ，，，已知2sin sin sin B A C =．（Ⅰ）求证：π03B <≤； （Ⅱ）求cos 4cos 2A CB ++的最大值．20．（本小题满分12分）中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：（I ）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y 与月通话量t （月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；（II ）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围； （III ）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请说明理由. 21．（本小题满分12分） 已知R a ∈,函数32()3333f x x x ax a =-+-+，]2,0[∈x . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 取得最大值时x 的值. 22．（本小题满分12分）已知ln 1()21x xf x x-=++. （Ⅰ）判断函数()f x 的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）已知0k >，0a >，若曲线1:ln C y x k=上有两点()()e ,,e ,ka ka P a Q a --，且曲线C 在点P 、Q 处的切线相交于点M ，证明：点M 一定在x 轴上方.数学（理科）参考答案第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．1-； 14．0； 15．[1,)+∞； 16．1(2．16.解：∵2cos c a a B -=，sin sin 2sin cos C A A B ∴-=，()sin sin 2sin cos A B A A B ∴+-=，∴()sin sin B A A ∴-=，∵ABC ∆是锐角三角形，∴2B A =，且ππ64A <<，∴()2sin 1sin ,sin 22AA B A ⎛=∈ -⎝⎭. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R x x B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.(I) 求A B ；(II)已知,A C B C ≠∅=∅ ，求实数a 的取值范围.解：(I){}{}25822,3R A x x x =∈-+== , . …………………………………2分{}{}22802,4R B x x x =∈+-==-,. ……………………………………….4分{}2,3,4.A B ∴=- . …………………………………………………..………..5分(II),A C B C ≠∅=∅ ,2,4,3.C C C ∴∉-∉∈ ……………………………………………..…….…..6分{}22190,R C x x ax a =∈-+->22222222190,(4)4190,33190.a a a a a a ⎧-+-≤⎪∴-++-≤⎨⎪-+->⎩……………………………………………..…..7分即35,222 5.a a a a -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪<->⎩或解得3 2.a -≤<- ……………………..……..9分 所以实数a 的取值范围是[3,2).-- ………………………………………..….10分 18.（本小题满分12分）已知函数πππ())2sin()sin()344f x x x x =---+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]122-上的值域. 解：（I）πππ())2sin()sin()344f x x x x =---+3cos 22(cos sin )(sin cos )2x x x x x x =-+-+223cos 22cos sin 2x x x x =-++-3cos 22cos 22x x x=-+πsin(2)6x =-，………………….......……3分 2πT π2∴==，………………….................................................................……..4分 由ππ2π62x k -=+()Z k ∈得ππ23k x =+()Z k ∈. ∴函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为ππ3x k =+()Z k ∈.………………6分 （II ）ππππ5π[,],2[,]122636x x ∈-∴-∈-因为π()sin(2)6f x x =-在区间ππ[,]123-上单调递增，在区间ππ[,]32上单调递减，所以，当π3x =时，()f x 取最大值1..………………….........................……..8分又π1()()1222f f π-=<= ，.…………………..........................……..10分当π12x =-时，()f x 取最小值.…………………....................……..11分所以函数()f x 在区间ππ[,]122-上的值域为[..……………………..12分 19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，对边分别是a b c ，，，已知2sin sin sin B A C =． （Ⅰ）求证：π03B <≤； （Ⅱ）求cos 4cos2A CB ++的最大值． 解：（Ⅰ）由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===， ∴sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=，………………………………2分 ∵2sin sin sin B A C =，∴2b ac =， ……………………………4分∴222cos 2a c b B ac+-=2122ac ac ac -≥=， 而0πB << ∴π03B <≤.……………………………………………………………………6分（Ⅱ）cos 4cos2A CB ++ 2π12sin 4cos 22B B -=-+ 212sin 4sin 22B B =-+22sin 132B =--+（），………………………………8分 由（Ⅰ）知π03B <≤， ∴10sin22B <≤， ………………………………10分 ∴当1sin22B =，即π3B =时，cos 4cos 2A CB ++取得最大值52.………………12分20．（本小题满分12分）中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：（I ）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y 与月通话量t （月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；（II ）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围； （III ）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请说明理由.解：（I ）易知268,0600,2680.45(600),600,N,N.t t y t t t ⎧≤≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩ 所以268,0600,0.452,600,N,N.t t y t t t ⎧≤≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩.……………………….......................…..4分 （II ）当0600,N t t ≤≤∈时，解不等式500.4268t +>且N t ∈得545600,N t t <≤∈， 当600,N t t >∈时，解不等式500.40.452t t +>-，得6001040,N t t <<∈， 综上，当6001040,N t t <<∈时，采用第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱. ………………………………………………………..................................................8分（III ）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即500.4320+⨯），所以，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.第一种方式的话费为：300.632048193.2+⨯-=（）（元）； 第二种方式的话费为：980.6320170188+⨯-=（）（元）；第三种方式的话费为：168元.故选择第三种方式. ……………………………..................................................12分 21．（本小题满分12分） 已知R a ∈,函数32()3333f x x x ax a =-+-+，]2,0[∈x . (I)求()f x 的单调区间；(II)求()f x 取得最大值时的x 的值.解：(I)由已知得到:2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+,(1)当0a ≤时,Q [0,2]x ∈,∴(2)0x x -≤,∴()0f x '≤恒成立；……..…………...1分 (2)当1a ≥时,Q [0,2]x ∈,∴2(2)(1)11x x x -=--≥-，()0f x '≥恒成立; …….2分 (3)当01a <<时，2()3630f x x x a '=-+=,36360a ∆=->,11x ∴=21x =12012x x <<<<,令()0f x '>解得：10x x <<或22x x <<.……………………………………………....3分 综上：当0a ≤时,()f x 的单调减区间为(0,2)； 当1a ≥时,()f x 的单调増区间为(0,2);当01a <<时，()f x的单调増区间为(0,1和()12+，单调减区间为(1.………………………………………………………5分 (II)由(I)知(1)当0a ≤时,()f x 在(0,2)上递减,所以max ()(0)33f x f a ==-；……....6分 (2)当1a ≥时,()f x 在(0,2)上递增,所以max ()(2)31f x f a ==-;……………....…...7分 (3)当01a <<时，max 1()max{(),(2)}f x f x f =，332221111111()(2)23(2)3(2)(2)(23)f x f x x a x x x x a -=---+-=---+， 21120x x a -+=∴2112x x a =-,()112a x x =-,111()(2)(2)(22)f x f x x a -=--+，.…………………………………………………………..................................................…..9分 ①当304a <≤，由()112a x x =-，得1102x <≤，所以13222x -<-≤-，且3022a <≤，此时120x a -+≤，又 12x <，∴1()(2)0f x f -≥，即max 1()()f x f x =； .…………………………………………………………..................................................…..10分 ②当314a <<时，由()112a x x =-，得1112x <<，所以13212x -<-<，且3222a <<，此时1220x a -+>，又 12x <，∴1()(2)0f x f -<，即max ()(2)f x f =； .…………………………………………………………..................................................…..11分 综上，当0a ≤时, ()f x 在0x =处取得最大值；当304a <≤时，()f x 在1x = 当34a >时，()f x 在2x =处取得最大值. …..........................................................…..12分 22．（本小题满分12分）已知ln 1()21x xf x x-=++. （Ⅰ）判断函数()f x 的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）已知0k >，0a >，若曲线1:ln C y x k=上有两点()()e ,,e ,ka ka P a Q a --，且曲线C 在点P 、Q 处的切线相交于点M ，证明：点M 一定在x 轴上方.解：（Ⅰ）函数ln 1()21x xf x x-=++定义域为∞(0,+)，22212(1)()02(1)2(1)x f x x x x x -'=-=>++ ， ∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增，因为(1)0f =， ……………………………………………………….……………..3分 所以，函数()f x 有唯一的零点1……………………………………………………..5分 （Ⅱ）1ln y x k =1y kx'⇒=. 过点()()e ,,e ,ka ka P a Q a --的切线方程为： ()1e ,e ka ka y x a k =-+和()1e ,eka ka y x a k --=--…………………………………8分 设两条切线交点M 的纵坐标为y , 可解得()()()()22e e e e 1e 11e e e ka ka ka ka ka ka ka ka ka a y k k -------+++==-+--,…………………10分法一：设2e ka t -=,因为0ka >，所以,01t <<,且有ln 2t ka =-. 于是12ln a k t-=, 因此,()1221ln 1ln 1a t a t y a t t t t ++⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭,………………………………………….11分 由（Ⅰ）知，当01x <<时，()(1)0f x f <=，所以，ln 1021t t t -+<+， 故ln 121210,21ln 1ln 1t t t t t t t t t-++<-⇔>-⇔+>+--又0a >, 0y ∴>，所以点M 一定在x 轴上方. ……………………………………………….12分 法二：∵0k >，0a >，()e e 0ka ka k -∴->，下证()()e e e e 0ka ka ka ka ka --+-->，设e ka t =，则ln ka t =，即证当1t >时，不等式ln 1ln 0t t t t t t +-+>成立，……………………………..11分 令()ln 1ln ,1t g t t t t t t t =+-+≥，则()21ln 1g t t t ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，且()10g =，显然当1t >时，()0g t '>，所以()()10g t g >=，即()()e e e e 0ka ka ka ka ka --+-->， 0y ∴>，所以点M 一定在x 轴上方. ……………………………………………..12分。

深圳2018年中考第一次模拟考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1、2018的相反数是（ ）A 、-2018B 、2018C 、20181 D 、20181- 2、下列各图中，可以是一个正方体平面展开图的是（ ）3、下列计算结果正确的是（ ）A 、632a a a =⋅ B 、5322a a a =+ C 、()2222b ab a b a ++=+ D 、()232ab ab ab b a =÷+ 4、据报道，我国自行研发的第一艘001A 型航空母舰吨位达到6.5万吨，造价30亿美元，用科学记数法表示6.5万吨为（ ）A 、4105.6⨯吨 B 、41065.0⨯吨 C 、31065.0⨯吨 D 、3105.6⨯吨 5、下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、如图，一只蚂蚁以均匀的速度爬台阶54321A A A A A →→→→爬行，那么蚂蚁爬行的高度h 随时间t 的变化的图像大致是（ ）7、我市某中学九年级（1）班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材。

全班50名同学筹款情况如下表。

则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是（ ）A 、11，13B 、13，11C 、20，25D 、25，208、如图，在ACB Rt ∆中，∠ACB=90°，AC=32，以点B 为圆心，BC 长为半径做弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积为（ ）A 、π3232-B 、π3234-C 、π3432-D 、π32 9、如图所示，在ACB Rt ∆中，∠ACB=90°，BC=21AC ，以点B 为圆心，BC 长为半径做弧，交AB 于点D ，再以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AC 于点E ，下列结论错误的是（ ） A 、55=AB BC B 、215-=AC AE C 、253+=AC EC D 、552=AB AC第8题图第9题图第11题图第12题图10、下列说法正确的是（）A、真命题的逆命题都是真命题B、在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等C、等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形11、已知二次函数cbxaxy++=2的图像如图所示，它与x轴的两个交点分别是（-1，0），（3，0），对于下列命题：①02=-ab；②0<abc；③0<++cba；④08>+ca.其中正确的有（）A、3个B、2个C、1个D、0个12、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，下列四个结论：①AEF∆∽CAB∆;②5.0tan=∠CAD；③DF=CD；④若AF=1,则BF=2。

2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=(xlog2x<1},B={x\y[x>1},则4n B=()A.(0,3]B.[l,2)C.[-l,2)D.[-3,2)2.已知a G R,i为虚数单位，若复数z=者，\z\-1,则a=()A.+V2B.lC.2D.±l3.已知sin(：—x)=j,贝"sin(詈一x)+sin2(—争+%)=()A1c3〃1D'-lA.-B.-C,—4444.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华舞回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为（）A.0.05 B.0.0075c-d-'3'65.若双曲线*—§=1（口>0,b>0）的一条渐近线与圆泌+⑶―口）2=§相切，则该双曲线的离心率为（）A.3B，V3cl归d.3归246.设有下面四个命题：Pi：Bn E N,n2>2n；p2-.x G R,"x>1”是“x>2”的充分不必要条件；P3：命题“若x=y,则sin x=siny w的逆否命题是“若s in%siny,贝!]x y"■,P4：若“p/q”是真命题，贝Up一定是真命题.其中为真命题的是（）A.Pi，P2B.p2，p3C.P2，p4D.pi，P37.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5,y=2,输出的71为4,则程序框图中的O中应填（）A.y<xB.y<xC.x<yD.x=y8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）C.167TD.25tt9.在AABC中4B1AC,|4C|=很，BC=y[3BD>则AD*XC=()A距 B.2V2 C.2V3d.也3310.已知函数,3)是定义在R上的奇函数，且在区间(0,+8)上有3f(x)+打'(X)>0恒成立.若g(x)=x3/(x),令a=g(Jog2^),b=^(log52),c=g(eT),则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a11.设等差数列｛知｝满足：3。

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广东省深圳市南山区2018届高三上学期入学摸底考试数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}0B x x =≥且A B A ⋂=，则集合A 可能是( )A ．{}1,2B ．{}1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R2. 已知命题()00:,lg 310x p xR ∃∈+≤，则命题p 的否定是( ) A ．(),lg 310x x R ∀∈+≤ B ．(),lg 310x x R ∀∈+< C ．(),lg 310xx R ∀∈+≥ D ．(),lg 310x x R ∀∈+> 3.若,x y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值是( ) A ．3- B ．12 C ．1 D ．324. 抛物线2:3C y x =上的一点P 到x 轴的距离与它到坐标原点O 的距离之比为1:2,则点P 到C 的焦点的距离是 ( )A ．14B ．34C ． 54D ．745.—个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元励；若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.56. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A ．πB ．34π C. 2π D ．6π 7. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是( )A ．12- B ．0 C.12 D 39. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分为,,a b c ，13,,sin 62b C A π===.若D 是BC 的中点，则AD =( )A ．74B 7 C.14 D ．12 10.1212618323n n n n n C C C C -++++⨯= ( )A ．2123n +B ．()2413n - C.123n -⨯ D ．()2313n -11．若双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左支与圆()222222x y c c a b +==+相交于,A B 两点，C 的右焦点为F ，且AFB ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率是( )A1 B 112.已知函数()()()ln 1,11,0,x m f x m ax b x ⎧++⎪=<-⎨-+<⎪⎩，对于任意s R ∈且0s ≠.均存在唯一实数t ，使得()()f s f t -，且s t ≠.若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ( )A ．()2,1--B ．()1,0- C. ()4,2--D ．()()4,11,0--⋃-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若复数()()20z a i a =+>在复平面内的对应点在虚轴上，则a = .14. 若函数()212x f x a =-+是奇函数函数，则使()13f x ≥成立的x 的取值范围是 .15.某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是 .16.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象的一个最高点是,44π⎛⎫ ⎪⎝⎭，最低点的纵坐标为2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π个单位长度可以得到()y f x =的图象，则23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,2,30n S a S =-=-.（1）求数列{}na 的通项公式； （2）当nS 取得最小值时，求n 的值. 18. 在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，GF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==.（1）求证：GH ⊥平面EFG ；（2）求二面角E FG D --的余弦值.19. 某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.（1）完成频率分布直方图；（2）根据（1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩（同一组中的数据用改组区间的中点值作代表）；（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为y ，并假设{},09a b n Z n ∈∈≤≤，且,a b 各自取得每一个可能值的机会相等，在（2）的条件下，求概率()P y x >.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 的四个顶点构成的四边形面积为3（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上是否存在相异两点,E F ，使其满足:①直线AE 与直线AF 的斜率互为相反数；②线段EF 的中点在y 轴上，若存在，求出EAF ∠的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()21f x a x b =-+.（1）讨论函数()()x g x ef x =-在区间[]0,1上的单调性； （2）已知函数()12x x h x e xf ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为2sin 204πρθ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.1C 与2C 相交于,A B 两点.（1）把1C 和2C 的方程化为直角坐标方程，并求点,A B 的直角坐标；（2）若P 为1C 上的动点，求22PA PB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≥；（2）若对于任意的实数x R ∈都有()f x a >，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ADCDA 6-10: DCDBB 11、12：AC二、填空题13.1 14. [)1,+∞ 15.43 16.52三、解答题17.解：（1）因为()5155302aa S +⨯==-，又52a =-，解得110a =-.所以数列{}n a 的公差5124a a d -==. 所以()11212n a a n d n =+-=-.（2）令0n a≤，即2120n -≤，解得6n ≤. 又60a =，所以，当n S 取得最小值时，5n =或6.18.（1）证明：由题意可得,CD BC CD CF ⊥⊥， ∴CD ⊥平面FCBG ，∵//CD EF ，∴EF ⊥平面FCBG ，而GH ⊂平面FCBG ，∴GH EF ⊥.如图，连接FH ，∵CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，∴//CF BG ，∴四边形FCBG 为直角梯形，设1BH =，则依题意2,4BG AB ==，∴2225CH BH BG =+=，22225FH CH CF =+=，()22220FG BC CF BG =+-=，∴222GH FG FH +=.∴GH FG ⊥.又,GH EF GF EF F ⊥⋂=，∴GH ⊥平面EFG ；（2）解：由（1）知,,DA DC DE 两两垂直， 以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1BH =， 则()()()()()0,0,0,0,0,4,0,4,4,3,4,0,4,4,2D E F H G ，∴()()0,4,4,4,0,2DF FG ==-.设(),,n x y z =是平面DFG 的一个法向量，则00n DF n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴440420y z x z +=⎧⎨-=⎩，取2z =，得()1,2,2n =-.又()1,0,2HG =是平面FGE 的一个法向量， ∴5cos ,n HGn HG n HG ⋅==，∴二面角D FG E --的余弦值为.19.解：（1）频率分布直方图如图：（2）550.1650.15750.3850.25950.278x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 即全班同学平均成绩可估计为78分.（3）5026037068059049515552020a b a b y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++++==， 故()()155578520a b P y x P P a b ++⎛⎫>=>=+> ⎪⎝⎭， 又()()()()50,051,042,03P a b P a b P a b P a b +≤==≤≤+=≤≤+=≤≤ ()()()6543213,024,015,00.211010P a b P a b P a b ++++++=≤≤+=≤≤+====⨯ 故()()()5=150.79P y x P a b P a b>=+>-+≤=.20.解：（1）由已知得22191,40,a b ab a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎪⎩解得224,3a b ==，∴椭圆C 的方程22143x y +=. （2）设直线AE 的方程为()312y k x -=-，代入22143x y +=，得 ()()2223443241230k x k k x k k ++-+--=.()* 设()()1122,,,E x y F x y ，且1x =是方程()*的根， ∴212412334k k x k--=+. 用k -代替上式中的k ，可得222412334k k x k +-=+. ∵,E F 的中点在y 轴上，∴120x x +=.∴22224123412303434k k k k k k --+-+=++，解得k =， 因此满足条件的点,E F 存在. 由平面几何知识可知EAF ∠的角平分线方程为1x =， ∴所求弦长为3.21.解：（1）由题得()()21x g x ea xb =---，所以()()21x g x e a '=--. 当32a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在[]0,1上单调递增； 当12e a ≥+时，()0g x '≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减； 当3122e a <<+时，令()0g x '=，得()()ln 220,1x a =-∈， 所以函数()g x 在区间()0,ln 22a -⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a -⎤⎦上单调递增. 综上所述，当32a ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增； 当3122e a <<+时，函数()g x 在区间()0,ln 22a -⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a -⎤⎦上单调递增； 当12e a ≥+时，所以()g x 在[]0,1上单调递减. （2）()()21112x x x h x e xf e a x bx ⎛⎫=--=---- ⎪⎝⎭，()()()21x h x e a x b g x '=---=.设0x 为()h x 在区间()01，内的一个零点，则由()()00h h x ==，可知()h x 在区间()00,x 上不单调，则()g x 在区间()00,x 内存在零点1x .同理，()g x 在区间()0,1x 内存在零点2x ，所以()g x 在区()01，间内至少有两个零点.由（1）知，当32a ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不符合题意. 当12e a ≥+时，所以()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不符合题意.所以3122e a <<+. 此时()g x 在区间()0,ln 22a -⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 22,1a -⎤⎦上单调递增，因此()(()()120,ln 22,ln 22,1x a x a ∈-∈-⎤⎦，必有()()010,1220g b g e a b =->=-+->.由()10h =，得a b c +=，1102g c ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.又()010g a e =-+>，()120g a =->，解得12e a -<<. 所以函数()h x 在区间()0,1内有零点时，12e a -<<.22.解：（1）()()2212:114,:0C x y C x y ++-=-=.解()()22114,0,x y x y ⎧++-=⎪⎨-=⎪⎩得()()1,1,1,1A B --或()()1,1,1,1A B --. （2）设()12cos ,12sin P θθ-++，不妨设()()1,1,1,1A B --， 则()()()()2222222cos 2sin 22sin 22sin PA PB θθθθ+=+++-+168sin 8cos 164πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 所以22PA PB +的取值范围为16⎡-+⎣.23.解：（1）解不等式()4f x ≥，即2114x x ++-≥，等价于：()()1,22114,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-+--≥⎩或()()11,22114,x x x ⎧<≤⎪⎨⎪+--≥⎩或()()1,2114,x x x >⎧⎪⎨++-≥⎪⎩ 解得43x ≤-，或x ∈∅，或43x ≥. 所以所求不等式的解集为43x x ⎧≤-⎨⎩或43x ⎫≥⎬⎭. （2）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩当12x =-时，()min 32f x =.又因为对于任意的实数x R ∈都有()f x a >，所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。

2018高考高三数学3月月考模拟试题03第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数概念及运算法则，即可求解.【详解】由题意得，复数，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算法则是解答复数问题的关键，着重考查了推理与运算能力.2.的值为( )A. 0B. 1C.D.【答案】C【解析】试题分析：。

故选C。

考点：本题主要考查函数的极限。

点评：简单题，函数极限计算中，注意约去“零因子”。

3.关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则；其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③【答案】D【解析】试题分析：若且，则可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若且则一定垂直，故②正确；若且，则一定垂直，故③正确；若且，则可能平行也可能异面，也可以相交．故选D．考点：空间中直线与平面之间的位置关系4.设满足约束条件，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由z==1+2×，表示（x，y），与（－1，－1）连线的斜率，画出可行域，由图得当过A（0，4）时，z有最大值11，当过B在直线y=x上时，z有最小值3故选A。

考点：本题主要考查简单线性规划问题，直线的斜率。

点评：小综合题，解题过程中，将转化成1+2×，利用直线的斜率进一步解题。

5.某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ）种A. 192B. 144C. 96D. 72【答案】B【解析】【分析】由题意知两个截面要相邻，可以把这两个与少奶奶看成一个，且不能排在第3号的位置，可把两个节目排在号的位置上，也可以排在号的位置或号的位置上，其余的两个位置用剩下的四个元素全排列.【详解】由题意知两个节目要相邻，且都不排在第3号的位置，可以把这两个元素看成一个，再让它们两个元素之间还有一个排列，两个节目可以排在两个位置，可以排在两个位置，也可以排在两个位置，所以这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，所以所有节目共有种不同的排法，故选B.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用问题，其中解答时要先排有限制条件的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后再用分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6.已知为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则命题是命题的( )A. 充分不必要的条件B. 既不充分也不必要的条件C. 充要条件D. 必要不充分的条件【答案】D【解析】试题分析：若，则的夹角为锐角是假命题，因为，cos0=1>0,；但反之，的夹角为锐角，一定有，即命题是命题的必要不充分的条件，故选D。

2018年深圳市高三年级第一次调研考试数 学 2018．3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第5页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共50分)注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回参考公式：(1)如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； (2)如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )；一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数11i+所对应的点位于A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限 2．50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知直线l 及三个平面αβγ、、，给出下列命题:①若l //α，l //β，则//αβ ②若,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥ ③若,,l l αβ⊥⊥ 则//αβ ④若,//l l ⊂αβ，则//αβ 其中真命题是A. ①B. ②C. ③D. ④4. 已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为A. 24B. 20C. 16D. 125. 已知R 上的奇函数)(x f 在区间（－∞，0）内单调增加，且0)2(=-f ，则不等式()0f x ≤的解集为A. []2,2-B. (][],20,2-∞-⋃C. (][),22,-∞-⋃+∞D. [][)2,02,-⋃+∞6. 某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A ．7种 B ．8种 C ．9种 D ．10种7. 按向量)2,6(π=a 平移函数()2sin()3f x x π=-的图象，得到函数()y g x =的图象，则A. ()2cos 2g x x =-+B. ()2cos 2g x x =--C. ()2sin 2g x x =-+D. ()2sin 2g x x =--8. 函数()f x （x ∈R ）由ln ()0x f x -=确定，则导函数()y f x '=图象的大致形状是A. B. C.D.9. 曲线214x y =上的点P 到点(1,A --与到y 轴的距离之和为,d 则d 的最小值是 B.3 C. D.410. 若点A B C 、、是半径为2的球面上三点,且2AB =，则球心到平面ABC 的距离之最大值为A.2第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项:第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．11则第3组的频率为 ▲ .12. 14lim14nnn →∞-=+ ▲ . 13. 圆22:2270C x y x y +---=的圆心坐标为 ▲ ，设P 是该圆的过点(3,3)的弦的中点,则动点P 的轨迹方程是 ▲ .14．将给定的25个数排成如右图所示的数表，若 每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列 的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表 正中间一个数a 33＝1，则表中所有数之和为 ▲ .11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知向量a ＝)sin ,(cos x x , b ＝)cos ,cos (x x -, c ＝)0,1(-. （Ⅰ）若6π=x ，求向量、的夹角；（Ⅱ）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值.16．(本小题满分13分)已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.(Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数ξ的数学期望；(Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数η的方差.17． (本小题满分13分)如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点.(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离. 18．（本题满分14分）已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =.（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.MPDCＡ19.（本题满分13分）已知椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P 在第一象限)，线段OP 与椭圆1c 交于点,A O 为坐标原点(如图所示). （I ）求实数t 的值；（II ）若3OP OA =⋅，PAQ ∆的面积26tan S PAQ =-⋅∠求直线l 的方程.20．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式为34().n b n n N *=-∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）试比较n a 与n b 的大小,并加以证明；（III ）是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.2018年深圳市高三年级第一次调研考试（数学）答案及评分标准说明：一．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题：本大题每小题5分，满分50分．1. D2. A3. C4. B5. B6. C7. A8. C9. B 10. D 二．填空题：本大题每小题5分，满分20分．11. 24.0 12. 1- 13. (1,1)；22(2)(2)2x y -+-= 14. 25 三．解答题：本大题满分80分． 15．(本小题满分13分)已知向量＝)sin ,(cos x x , ＝)cos ,cos (x x -, ＝)0,1(-. （Ⅰ）若6π=x ，求向量、的夹角；（Ⅱ）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=x f 的最大值.解: （Ⅰ）当6π=x 时，2cos ,cos a c a c a c ⋅==⋅ …………………2分 6cos cos π-=-=x ……………………………3分5cos 6π= ……………………………4分∵π≤≤c a,0 ∴65,π=c a…………………………6分（Ⅱ） 1)cos sin cos (212)(2++-=+⋅=x x x x f ……………………8分)1cos 2(cos sin 22--=x x x)42sin(22cos 2sin π-=-=x x x (10)分∵]89,2[ππ∈x∴]2,43[42πππ∈-x ，故]22,1[)42sin(-∈-πx ………………………11分 ∴当4342ππ=-x ,即2π=x 时, 1)(max =x f ………………………13分 16．(本小题满分13分)已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.(Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数ξ的数学期望；(Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数η的方差.解：(Ⅰ) 依题意，ξ的可能取值为2,3，4 ……………………………1分52)2(2624===A A P ξ； ……………………………3分52)()3(3613221412===A C A C C P ξ； ……………………………5分 51)()4(4613331422===A C A C C P ξ； ……………………………7分 ∴ 514514523522=⨯+⨯+⨯=ξE . 故取球次数ξ的数学期望为14.5…………………………8分(Ⅱ) 依题意，连续摸4次球可视作4次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为32，则η )32,4(B ……………………………10分∴98)321(324=-⨯⨯=ηD . 故共取得红球次数η的方差为8.9……………………………13分17． (本小题满分13分)如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点.(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离.解法1：(Ⅰ) 取CD 的中点E ，连结PE 、EM 、EA ∵△PCD 为正三角形∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3 ∵平面PCD ⊥平面ABCD∴PE ⊥平面ABCD …………………3分 ∵四边形ABCD 是矩形∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理可求得 EM=3，AM=6，AE=3 ∴222AE AMEM =+……………………………5分∴∠AME=90°∴AM ⊥PM ……………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分 ∴tan ∠PME=133==EM PE ∴∠PME=45°∴二面角P －AM －D 为45°； ……………………………10分 (Ⅲ)设D 点到平面PAM 的距离为d ，连结DM ，则PAM D ADM P V V --=……………………………11分MPDCBＡEＡBCDPM∴d S PE S PAM ADM ⋅=⋅∆∆3131 而2221=⋅=∆CD AD S ADM在Rt PEM ∆中，由勾股定理可求得PM=6.132PAM S AM PM ∆∴=⋅=, 所以：d ⨯⨯=⨯⨯33132231,∴362=d . 即点D 到平面PAM 的距离为362.……………………………13分 解法2：(Ⅰ) ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC ⊥CD∵平面PCD ⊥平面ABCD∴BC ⊥平面PCD ……………………………2分 而PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC 同理AD ⊥PD在Rt △PCM 中，PM=62)2(2222=+=+PC MC同理可求PA=32，AM=6 ∴222PA PMAM =+…………………………5分∴∠PMA=90°即PM ⊥AM ……………………6分 (Ⅱ)取CD 的中点E ，连结PE 、EM ∵△PCD 为正三角形∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3 ∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD 由(Ⅰ) 可知PM ⊥AM ∴EM ⊥AMEＡBCDPM∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分 ∴sin ∠PME=2263==PM PE ∴∠PME=45°∴二面角P －AM －D 为45°； ……………………………10分 (Ⅲ)同解法(Ⅰ)解法3：(Ⅰ) 以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,依题意，可得),0,2,0(),3,1,0(),0,0,0(C P D )0,2,2(),0,0,22(M A ……2分∴)3,1,2()3,1,0()0,2,2(-=-=)0,2,2()0,0,22()0,2,2(-=-=AM …4分∴0)0,2,2()3,1,2(=-⋅-=⋅即AM PM ⊥,∴AM ⊥PM. ……………………………6分 (Ⅱ)设),,(z y x =，且⊥平面PAM ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧-⋅-⋅)0,2,2(),,()3,1,2(),,(z y x z y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+022032y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧==yx yz 23取1=y ，得)3,1,2(=……………………………6分取)1,0,0(=，显然⊥平面ABCD∴2263||||==⋅=p n 结合图形可知，二面角P －AM －D 为45°；……………………………10分(Ⅲ) 设点D 到平面PAM 的距离为d ，由(Ⅱ)可知)3,1,2(=与平面PAM 垂直，则||n d =362)3(1)2(|)3,1,2()0,0,22(|222=++⋅. 即点D 到平面PAM 的距离为362.……………………………13分 18．（本题满分14分）已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记 ()()()F x f x g x =.（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，令.1,321),()(-=+='='x x x g x f 故得∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的切点为).0,1(- ……………2分 将切点坐标代入函数()f x x b =+可得 1=b . ……………5分 或:依题意得方程)()(x g x f =，即0222=-++b x x 有唯一实数解………2分故0)2(422=--=∆b ，即1=b …………………5分∴254)23)(1()(232+++=+++=x x x x x x x F ,故)35)(1(3583)(22++=++='x x x x x F , 令0)(='x F ,解得1-=x ,或35-=x . ………………………8分 列表如下 :从上表可知)(x F 在35-=x 处取得极大值274,在1-=x 处取得极小值. ……10分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数)(x F y =大致图象如下图所示.……………………………12分作函数k y =的图象,当)(x F y =的图象与函数k y =的图象有三个交点时, 关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根.结合图形可知：)274,0(∈k ……………………………14分 19.（本题满分13分）已知椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P 在第一象限)，线段OP 与椭圆1c 交于点,A O 为坐标原点(如图所示).（I）求实数t的值；（II）若3OP OA=⋅，PAQ∆的面积26S=-⋅求直线l的方程.（I）解：由题意知椭圆221:36(0)xc y tt+=>上，0 1.t∴<<……1分椭圆1c的两条准线的方程为y=y==……3分双曲线222:536c x y-=的两条准线的方程为x=x=，这两条准线相…………4分上述四条准线所围成的四边形是矩形, =1.5t=故实数t的值是15.……………………………5分（II）设(,),A m n由3OP OA=⋅及P在第一象限得(3,3),0,0.P m n m n>>12,,A c P c∈∈∴2222536,54,m n m n+=-=解得2,4,m n==即(2,4),(6,12).A P……………………………8分设(,),Q x y则22536.x y-=①由26tan,S PAQ=-∠得1sin26tan2AP AQ PAQ PAQ⋅⋅∠=-∠，52AP AQ∴⋅=-，即(4,8)(2,4)52,230.x y x y⋅--=-++=②……………………………10分联解① ②得5119319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，或3.3x y =⎧⎨=-⎩因点Q 在双曲线2c 的右支，故点Q 的坐标为(3,3)-. ……………………11分 由(6,12),P (3,3)Q -得直线l 的方程为33,12363y x +-=+-即5180.x y --= ……………………13分 20．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 和n S 满足：11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式为34().n b n n N *=-∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）试比较n a 与n b 的大小,并加以证明；（III ）是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.解：（I ）121(),n n S S n N *++=-∈12121,21(),n n n n S S S S n N *+++∴+=-+=-∈两式相减得212120,2().n n n n a a a a n N *+++++==-∈…………………………2分 又111,a S ==-211221231,2.S S a a a a +=+=-=-111,2(),n n a a a n N *+∴=-=-∈即数列{}n a 是首项为1,-公比为2-的等比数列,其通项公式是1(2)().n n a n N -*=--∈ ……………………………4分另解一:111,21(),n n S S S n N *+=-+=-∈111211,2()(),3333n n S S S n N *+∴+=-+=-+∈即数列13n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2,3-公比为2-的等比数列,其通项公式是1(2)().33nn S n N *-+=∈ (2)分当2n ≥时, 111(2)1(2)1(2),3333n n n n n n a S S ---⎡⎤⎡⎤--=-=---=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 又111,(2)().n n a a n N -*∴=-∴=--∈ ……………………………4分 （II ）(1)1122441,1;2,2;8,8.a b a b a b =-=-====∴当1,2,4n =时,.n n a b = ……………………………6分(2)当21()n k k N *=+∈时, 22121(2)0,610,.k k k n n a b k a b ++=--<=->∴<……………………………7分(3)当2(,3)n k k N k *=∈≥时,252521425012222(11)16()3264,64,k k k k k k a C C k b k ----==⋅+≥+=-=- 2660180,n n a b k ∴-≥-≥>即.n n a b > ……………………………9分（III ）不存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m k A A A 落在圆C 上. …………10分假设存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m kA A A 即11(34,(2)),(34,(2)),n n n m A n A m --------1(34,(2))k k A k ----落在圆C 上.不妨设,n m k >>设圆C 的方程为:220x y Dx F +++=. 从而21924164(34)0n n n n D F --+++-+= ①21924164(34)0m m m m D F --+++-+= ②21924164(34)0k k k k D F --+++-+= ③由①-②, ②-③得119()()24()(44)3()0n m n m n m n m n m D --+---+-+-=119()()24()(44)3()0m k m k m k m k m k D --+---+-+-=即11449()2430n m n m D n m---+-++=- ④ 11449()2430m k m k D m k---+-++=- ⑤由④-⑤得111144449()0n m m k n k n m m k-------+-=--整理得14449()()()()()0()()k n k m kn k m k n k n m n m m k n k m k ---⎡⎤-+---+-=⎢⎥----⎣⎦,441,.n k m kn m k n k m k-->>≥∴<-- (12)分作函数4()(1),x f x x x =≥由224ln 444(ln 41)()0(1),x x x x x f x x x x ⋅-⋅-'==>≥ 知函数4()(1)xf x x x=≥是增函数. 441,1,,n k m kn m k n k m k n k m k-->>≥∴->-≥>--产生矛盾. 故不存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m kA A A 落在圆C 上. ……………………………14分。

2018届高考数学模拟试题1(深圳市含答案)
5 2018高考高三数学3月月考模拟试题01
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）已知全集，集合，则
（A）（B）（c）（D）
【答案】B
因为，所以，即，选B
（2）
（A）（B）（c）（D）
【答案】A
，选A
（3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A）
（B）
（c）
（D）
【答案】B
由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为，使用四棱锥的体积为，选B
（4）右图是2018年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，则去年一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
（A）84，484 （B）84，16
（c）85，16 （D）85，4
【答案】c。

2018年数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（）A．x轴上B．y轴上C．直线y=x上D．直线y=﹣x3．（5分）已知函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1），f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则a等于（）A．B．C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知实数a，b满足a＜0＜b．则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．6．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B．C． D．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标是（）A． B．C．D．（﹣1，﹣1）8．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan2∠OPQ的值等于（）A．B．C．D．以上均不正确9．（5分）定义在R上的函数的图象关于点（﹣，0）成中心对称且对任意的实数x都有f（x）=﹣f（x+）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f （2010）=（）．A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣410．（5分）如果有穷数列a1，a2，…，a n（n∈N*），满足条件：a1=a n，a2=a n﹣1，…，a n=a1，即a i=a n﹣i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列b n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，则数列b n的前2008项和S2008可以是：①22008﹣1；②2（22008﹣1）；③3•2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1；④2m+1﹣22m﹣2008﹣1．其中命题正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题P：若x2＜2，则．则P的否命题是，命题非P是．．12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）=0.4，则P（ξ＞2）=．13．（5分）定义映射f：n→f（n）．（n∈N*）如表：若f（n）=4951，则n=．14．（5分）若函数上有最小值，则a的取值范围为．15．（5分）设A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠∅．（1）b的取值范围是；（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为，若在方向上投影的最小值为，则b的值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．17．（12分）最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%．（只有这两种可能），且获利的概率为．第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．．18．（12分）将圆x2+y2+2x﹣2y=0按向量平移得到⊙O，直线l与⊙O 相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使．求直线l的方程．19．（12分）已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，S n=a n+1﹣3n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列a n+3是等比数列；（Ⅱ）对k∈N*，设求使不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．20．（13分）已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）设n=﹣4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．21．（14分）已知=（cos x，1），=（f（x），2sin x），∥，数列{a n}满足：{a1=，a n+1=f（a n），n∈N*}．＜1；（1）用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1（2）已知a n≥，证明a n﹣a n＞；+1（3）设T n是数列{a n}的前n项和，试判断T n与n﹣3的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对用点所在的象限．【解答】解：∵复数===1﹣i，故此复数对应的点在第四象限，故选D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，以及复数与复平面内对应点之间的关系．2．（5分）已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（）A．x轴上B．y轴上C．直线y=x上D．直线y=﹣x【分析】正弦线是平行y轴的线段，长度范围是[﹣1，1]，由题意正弦线是单位长度的有向线段，可求角α的终边的位置．【解答】解：由正弦线的定义，角α的正弦线是单位长度的有向线段，知角α的终边在y轴上．故选B．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数线，考查学生基础知识的掌握情况．3．（5分）已知函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1），f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则a等于（）A．B．C．D．2【分析】利用y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则函数f（x）=1+log a x（a＞0且a ≠1）的图象过点（4，3），点代入函数的解析式解方程求出a．【解答】解：∵f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），∴函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（4，3），∴1+log a4=3，∴a=2，故答案选D．【点评】本题考查互为反函数的2个函数图象间的关系，y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（4，3）．4．（5分）在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先判别充分性，根据三角函数相关知识和恒等变换容易得到cos（B﹣C）=0，从而得到即B或C为钝角，充分性成立，再判别必要性，显然由“△ABC为钝角三角形”推不出条件“cosA=2sinBsinC”，故必要性不成立．【解答】解：2sinBsinC=cosA=﹣cos（B+C）=sinBsinC﹣cosBcosC，即cos（B﹣C）=0，这说明B﹣C=90度或﹣90度，即B或C为钝角．但是，ABC为钝角三角形显然导不出cos（B﹣C）=0这么强的条件，所以，cosA=2sinBsinC是三角形ABC为钝角三角形的充分不必要条件．【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查三角函数相关知识．5．（5分）已知实数a，b满足a＜0＜b．则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2个值a=﹣3，b=1，代入各个选项进行验证，A、B、D都不成立．【解答】解：∵实数a，b满足a＜0＜b，若a=﹣3，b=1，则A、B、D都不成立，只有C成立，故选C．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．6．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B．C． D．【分析】先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．【解答】解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=﹣+kπn大于0的最小值等于故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标是（）A． B．C．D．（﹣1，﹣1）【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合S2=10，S5=55，我们构造关于基本量（首项和公差）的方程，解方程即可求出公差d，进行得到向量的坐标，然后根据方向向量的定义逐一分析四个答案中的向量，即可得到结论．【解答】解：等差数列{a n}的前n项的和为S n=a1•n+由S2=10，S5=55得：10=2a1+d55=5a1+10d解得：a1=3，d=4﹣a n）=（2，8）则=（2，a n+2分析四个答案得：是直线PQ的一个方向向量，故选B【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，及方向向量，其中由已知条件，构造关于基本量（首项和公差）的方程，解方程即可求出公差d，是解答本题的关键．8．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan2∠OPQ的值等于（）A．B．C．D．以上均不正确【分析】由题意可设PQ=x，则QR=2x，∠POQ=90°，∠QOR=60°∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°﹣∠OPQ在△ORQ中，△OPQ中分别利用正弦定理表示OQ==OQ==xsin∠OPQ从而∴，整理可求【解答】解：如下图所示，物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，再过二分钟后，该物体位于R点∴设PQ=x，则QR=2x，又∵∠POQ=90°，∠QOR=60°∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°﹣∠OPQ在△ORQ中，由正弦定理得OQ==在△OPQ中，由正弦定理得OQ==xsin∠OPQ∴整理可得，故选C【点评】本题主要考查了利用正弦定理解决实际问题，求解实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行求解．9．（5分）定义在R上的函数的图象关于点（﹣，0）成中心对称且对任意的实数x都有f（x）=﹣f（x+）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f （2010）=（）．A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4【分析】先根据条件确定函数的周期，再由函数的图象关于点（﹣，0）成中心对称知为奇函数，从而求出f（1）、f（2）、f（3）的值，最终得到答案．【解答】解：由f（x）=﹣f（x+）得f（x）=f（x+3）即周期为3，由图象关于点（﹣，0）成中心对称得f（x）+f（﹣x﹣）=0，从而﹣f（x+）=﹣f（﹣x﹣），所以f（x）=f（﹣x）．f（1）=f（4）=…=f（2008）=1，由f（﹣1）=1，可得出f（2）=f（5）=…=f（2009）=1，由f（0）=﹣2，可得出f（3）=f（6）=…=f（2010）=﹣2，故选A【点评】本题主要考查函数的性质﹣﹣周期性和对称性．函数的性质是研究一个函数的基本，是每年高考必考题．10．（5分）如果有穷数列a1，a2，…，a n（n∈N*），满足条件：a1=a n，a2=a n﹣1，…，a n=a1，即a i=a n﹣i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列b n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，则数列b n的前2008项和S2008可以是：①22008﹣1；②2（22008﹣1）；③3•2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1；④2m+1﹣22m﹣2008﹣1．其中命题正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意由于新定义了对称数列，且已知数列b n是项数为不超过2m（m ＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，故数列b n的前2008项利用等比数列的前n项和定义直接可求①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和在利用减法的到需要的前2008项的和，即可判断．【解答】解：因为数列b n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，故数列b n的前2008项可以是：①1，2，22，23…，21003，21003，…，22，1．所以前2008项和S2008=2×=2（21004﹣1），所以①②错；对于③1，2，22…2m﹣1，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1，1，2，…2m﹣2，2m﹣1，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1…m=2n．m=8，利用等比数列的求和公式可以得：s2008=3•2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1，所以③正确；对于④1，2，22，…2m﹣2，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1，1，2，…2m﹣2，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1…m﹣1=2n+1，利用等比数列的求和公式可得：S2008=2m+1﹣22m﹣2008﹣1，故④正确．故选：B【点评】此题考查了学生对于新题意，新定义的理解，还考查了等比数列的求和公式及学生的计算能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题P：若x2＜2，则．则P的否命题是若x2≥2，则或，命题非P是若x2＜2，则或．．【分析】据命题的否命题：条件、结论同时否定；命题的否定是将结论否定即可，写出命题P的否命题及命题的否定．【解答】解：∵命题P：若x2＜2，则，∴P的否命题是若x2≥2，则，命题非P是若x2＜2，则．【点评】本题考查命题的否命题与命题否定的区别：命题的否命题：条件、结论同时否定；命题的否定是将结论否定．12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到正态曲线关于x=1对称，根据所给的一个区间上的概率，得到对称区间上的概率，根据对称轴一侧的区间概率是0.5，得到要求的结果．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴正态曲线关于x=1对称，∵P（0＜ξ＜1）=0.4，∴P（1＜ξ＜2）=0.4∴P（ξ＞2）=1﹣0.4=0.1，故答案为：0.1【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率相等，本题是一个基础题．13．（5分）定义映射f：n→f（n）．（n∈N*）如表：若f（n）=4951，则n=99．【分析】观察所给的前四项，得到这几项之间的关系，后一项与前一项的差是一个常数，类似于数列的递推式，写出前后两项之差，利用叠加得到结果．【解答】解：∵f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11…∴f（n）﹣f（n﹣1）=n，f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=n﹣1，…f（2）﹣f（1）=2，把上面的n﹣1个式子相加得到f（n）﹣f（1）=n+（n﹣1）+…+2=，∴f（n）=+2=4951，∴n=99，故答案为：99【点评】本题考查归纳推理，考查数列的递推式，考查叠加的方法，本题是一个综合题目，考查的内容比较多，注意项数不要出错．14．（5分）若函数上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．【分析】先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间（a，10﹣a2）有最小值确定出参数a的取值范围．【解答】解：由已知，f′（x）=x2﹣1，有x2﹣1≥0得x≥1或x≤﹣1，因此当x∈[1，+∞），（﹣∞，﹣1]时f（x）为增函数，在x∈[﹣1，1]时f（x）为减函数．又因为函数上有最小值，所以开区间（a，10﹣a2）须包含x=1，所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=﹣，又由f（x）=﹣可得x3﹣x=﹣，于是得（x﹣1）2（x+2）=0即有f（﹣2）=﹣，因此有以下不等式成立：，可解得﹣2≤a＜1，答案为：[﹣2，1）【点评】本题考查函数的导数，利用导数求函数的极值和最值的问题，分类讨论的思想方法．本题需要注意：在开区间内函数的极小值（本题中也是最小值）在函数导数为零的点处取得，即若x0∈（a，b），且f′（x0）=0，则函数f（x）的极值是f（x0）；再由题意可得这个极值也是函数的最值．15．（5分）设A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠∅．（1）b的取值范围是b≤﹣3；（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为，若在方向上投影的最小值为，则b的值为﹣10．【分析】（1）根据A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，利用函数图象的平移变换，由f （x）=|x|图象得到f（x）=|x﹣3|的图象，再利用函数图象的对称变换得到f（x）=﹣|x﹣3|的图象，因此可以求出集合A表示的平面区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，根据A∩B≠ϕ可求得b的取值范围；（2）根据P（x，y）∈A∩B，得到x，y应满足的条件，根据向量数量积的几何意义即可表示出在方向上投影，再利用线性规划的知识求解即可．【解答】解：（1）先画出函数f（x）=|x|图象，再把该图象向右平移3个单位长度，得到f（x）=|x﹣3|的图象，然后再作关于x轴的对称图象得到f（x）=﹣|x﹣3|的图象，∴A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，表示x轴下方阴影区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，∵A∩B≠ϕ．∴b≤﹣3；（2）∵设P（x，y）∈A∩B，∴，而=x+，在方向上投影为，根据线性规划可求当x=0，y=b时，取最小值，代入解得b=﹣10．故答案为：b≤﹣3；﹣10．【点评】此题是个中档题．考查图象的平移变化、对称变换，以及向量的数量积的几何意义，线性规划求最值等基础知识，体现了数形结合和运动变化的思想，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（I）由已知条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB ﹣sinCcosB，结合和角公式化简可求cosB，进一步可求B，（II）由（I）可得，由△ABC为锐角三角形，可得从而可得A的范围，而sinA+sinC=sinA+sin（﹣A），利用差角公式及辅助角公式化简可得，从而可求．【解答】解：（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB ﹣sinCcosB．则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，∴，又0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由A+B+C=π及，得．又△ABC为锐角三角形，∴∴．．又，∴．∴．【点评】（I）考查了正弦定理，两角和的正弦公式，及特殊角的三角函数值（II）本题的关键是由△ABC为锐角三角形，建立关于A的不等式，进而求出A 的范围，而辅助角公式的应用可以把不同名的三角函数化为一个角的三角函数，结合三角函数的性质进行求解．17．（12分）最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%．（只有这两种可能），且获利的概率为．第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．．【分析】由题意按照所述的三个方案，算出每一种情况下的期望，然后比较其期望的大小即可．【解答】解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为∴（万元），若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：∴（万元）；若按方案三执行，收益y=10×4%×（1﹣5%）=0.38万元，又Eξ=Eη＞y..．由上知Dξ＞Dη．说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．【点评】此题重点在于准确理解题意，还考查了学生对于离散型随机变量的定义及分布列，期望的公式的准确应用，还考查了期望与方差的几何含义．18．（12分）将圆x2+y2+2x﹣2y=0按向量平移得到⊙O，直线l与⊙O 相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使．求直线l的方程．【分析】先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点C的坐标的解析式，把点C的坐标代入圆的方程，可解得m值．【解答】解：将圆的方程x2+y2+2x﹣2y=0化为（x+1）2+（y﹣1）2=2，∴圆x2+y2+2x﹣2y=0按向量平移后得到圆x2+y2=2，∵﹣，又，∴AB⊥OC，，∴直线l的斜率k=1，设直线l的方程为y=x+m，由得2x2+2mx+m2﹣2=0，△=4m2﹣8（m2﹣2）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣m，y1+y2=m∴，∵点C（m，﹣m）在圆上，∴m2+（﹣m）2=2解得m=±1，满足△=4m2﹣8（m2﹣2）＞0，当m=1时，l的方程为x﹣y+1=0，当m=﹣1时，l的方程为x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查向量在几何中的应用，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，体现了数形结合的数学思想，属中档题．19．（12分）已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，S n=a n+1﹣3n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列a n+3是等比数列；（Ⅱ）对k∈N*，设求使不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．【分析】（I）把S n和S n+1相减整理求得a n+1=2a n+3，整理出3+a n+1=2（3+a n），判断出数列{3+a n}是首项为4，公比为2的等比数列即可．（II）把（I）中的a n代入f（n），求得其通项公式，进而对m进行奇偶数讨论：①当m为偶数时②当m为奇数时结合二项式定理进行放缩，即可得出：当m∈1，3时，不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立．【解答】解：（I）由S n=a&amp;n+1﹣3n﹣1，则S n﹣1=a n﹣3（n﹣1）﹣1，n≥2．两式相减得a n+1=2a n+3，n≥2．即．（2分）又n=1时，．∴数列a n+3是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）（Ⅱ）由（I）知a n+3=4•2n﹣1=2n+1，S n=a n+1﹣3n﹣1=2n+2﹣3n﹣4．∴（5分）①当m为偶数时，cos（mπ）=1，f（2m2）=2m2+1，f（m）=m+1，∴原不等式可化为（2m2+1）﹣（m+1）≤0，即2m2﹣m≤0．故不存在合条件的m．（7分）②当m为奇数时，cos（mπ）=﹣1，f（2m2）=2m2+1，f（m）=2m+1﹣1．原不等式可化为2m2+1≥2m+1﹣1．当m=1或3时，不等式成立．（9分）当m≥5时，2m+1﹣1=2（1+1）m﹣1=2（C m0+C m1+C m2++C m m﹣2+C m m﹣1+C m m）﹣1≥2m2+2m+3＞2m2+1．∴m≥5时，原不等式无解．（11分）综合得：当m∈{1，3}时，不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立．（12分）【点评】本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和等比关系的确定．应掌握一些常用的数列与不等式的综合的解法．20．（13分）已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）设n=﹣4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．【分析】（Ⅰ）先对m、n的取值分m=n=0和m、n中至少有一个不为0两种情况讨论，再分别利用定义f（﹣x）和f（x）的关系判断奇偶性即可；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，把不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性分别求出不等式两端的函数值的范围即可求出m的取值范围．【解答】解：（I）若m2+n2=0，即m=n=0，则f（x）=x•|x|，∴f（﹣x）=﹣f（x）．即f（x）为奇函数．（2分）若m2+n2≠0，则m、n中至少有一个不为0，当m≠0．则f（﹣m）=n，f（m）=n+2m|m|，故f（﹣m）≠±f（m）．当n≠0时，f（0）=n≠0，∴f（x）不是奇函数，f（n）=n+|m+n|•n，f（﹣n）=n﹣|m﹣n|n，则f（n）≠f（﹣n），∴f（x）不是偶函数．故f（x）既不是奇函数也不是偶函数．综上知：当m2+n2=0时，f（x）为奇函数；当m2+n2≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（5分）（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；（6分）若x∈（0，1]时，原不等式可变形为．即．∴只需对x∈（0，1]，满足（8分）对①式，在（0，1]上单调递减，∴m＜f1（1）=3．（10分）对②式，设，则．（因为0＜x＜1）∴f2（x）在（0，1]上单调递增，∴m＞f2（1）=﹣5．（12分）综上所知：m的范围是（﹣5，3）．（13分）．【点评】本题主要考查函数奇偶性以及恒成立问题和利用单调性求函数值域，考查分类讨论思想，是对知识点的综合考查，属于中档题目．21．（14分）已知=（cos x，1），=（f（x），2sin x），∥，数列{a n}满足：{a1=，a n+1=f（a n），n∈N*}．＜1；（1）用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1（2）已知a n≥，证明a n﹣a n＞；+1（3）设T n是数列{a n}的前n项和，试判断T n与n﹣3的大小，并说明理由．【分析】（I）先根据得出下面用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1＜1．（Ⅱ）要证，即证，其中．令.．利用导数研究在上的最值问题，先求出函数的极值，往往求出的极大值就是最大值，即可证得即；（Ⅲ）由（Ⅱ）知从而∴．结合放缩法即可证明得T n＞n﹣3．【解答】解：（I）∵，∴．∴．∴．（1分）下面用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1＜1．①n=1时，，故结论成立．②假设n=k时结论成立，即．∴，即0＜a k+1＜a k+2＜1．也就是说n=k+1时，结论也成立．由①②可知，对一切n∈N*均有0＜a n＜a n+1＜1．（4分）（Ⅱ）要证，即证，其中．令.．由，得．（6分）又g（1）=0，．∴当，g（x）＞0．∴．∴．即．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知：．（11分）∴．∴．（13分）又，即．∴T n＞n﹣3．（14分）【点评】本题考查数列与向量的综合，解题时要注意公式有灵活运用．本题还考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，处理方法是当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。