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现在控制理论第四章

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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析

现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3

现代控制理论习题解答(第四章)

现代控制理论习题解答(第四章)

第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。

(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。

(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。

(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。

3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。

312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。

现代控制理论第四章答案

现代控制理论第四章答案

G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4－8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2

《现代控制理论》第三版课件_第4章

《现代控制理论》第三版课件_第4章

e λ1t z10 λ2t e z 20 z (t ) = λnt e z n0
ˆ C11 ˆ C 21 y (t ) = ˆ C m1 ˆ C12 ˆ C
λt ˆ C1n e 1 z10 ˆ e λ2t z 20 C2n ˆ e λnt z n 0 C mn
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
零空间（核空间）
n
4-5 状态向量的线性变换
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x = Pz
ˆ ˆ = P −1 APz + P −1 Bu = Az + Bu z ˆ y = CPz + Du = Cz + Du
状态向量的线性变换不影响系统的状态能控 性、能观性和传递函数阵，也不影响系统矩 阵的特征值和系统平衡状态的稳定性。
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2

现代控制理论讲义4

现代控制理论讲义4

2）最小实现实现步骤。

现.即为W(s)的最小实),C ,B ,A (能观部分ΣC)找出既能控又B,(A,(2)对初选ΣC);B,(A,Σ:或能观实现(1).先选能控:最小实现步骤分式阵时,W(s)为严格真有理111c.o ~~~===举例：[][][];611s 6s s 13s 11611s 6s s 1)(s 3)(s 3)2)(s 1)(s (s 1s 3)2)(s 1)(s (s 3s 2)3)(s (s 12)1)(s (s 1W(s)2323++++=+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++= 1）首先确定维数：W 为1*2维的传递函数阵，因此输入维数m=1，输出维数r=2.2）确定D 和beta 系数阵。

3）实现为能控I 型或者能观II 型。

若实现为能控I 型：A 的矩阵维数实现为：n*m=3；实现为能控I 型，再判断是否能观；若实现为能观II 型：A 的矩阵维数实现为： n*r=3*2=6; 实现为能观II 型，再进行能观性分解。

Section 10：传递函数中零极相消与状态能控性和能观性间关系前面的最小实现的状态变量维数与系统阶数的关系。

1、 单输入单输出系统能控能观的充要条件是:⎩⎨⎧=+==cx y bu Ax x :c)b,(A,Σ&的传递函数不出现零极相消.2、 多输入多输出系统传递函数不出现零极相消,只是系统能控能观的充分条件,非必要条件.3、 单输入单输出系统传递函数若出现零极相消,是不能控还是不能观?例子：既不能保证是能控的，也不能保证是能观的。

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法提问：1、个人所理解的系统稳定性是指什么？2、自控原理中，曾经学过的系统稳定性含义是什么？如何判定的？本章学习内容：李雅普诺夫关于稳定性的定义和判定系统是否是李雅普诺夫稳定的？一、系统的运动状态和平衡状态。

1、系统的运动状态：外界输入为0，从初始点X 0开始，系统的状态存在唯一解 X(t)=Φ(t, x0, t)。

现代控制理论-复习第四章

现代控制理论-复习第四章
对于非线性系统，方程f(xe，t) = 0的解可能有多个，
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。

现代控制理论 第四章 稳定性理论

G (t ) = Φ (t ) B + D δ (t )
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =

武汉大学《现代控制理论》数学知识回顾 第四章 矩阵的范数-特征值矩阵分解法

现代控制理论讲义第四章矩阵范数和奇异值分解4.1 引言在这一讲中，我们将引入矩阵范数的概念。

之后会介绍矩阵的奇异值分解或者叫SVD。

SVD 揭示了矩阵的2范数，它的值意义更大：它使一大类矩阵扰动问题得以解决，同时也为后面稳定鲁棒性的概念打下基础；它还解决了所谓的完全最小二乘问题，该问题是我们前面讲的最小二乘问题的推广；还帮我们澄清在矩阵求逆计算中碰到的态性的概念。

在下一讲中，我们会花更大的篇幅来叙说SVD的应用。

例 4.1 为了提高大家对矩阵范数研究和应用的兴趣，我们首先从一个例子开始，该例子提出了与矩阵求逆有关的矩阵态性问题。

我们所感兴趣的问题是矩阵求逆对矩阵扰动的敏感程度。

考虑求下列矩阵的逆马上就可以求得现在我们假设对一个受到扰动的矩阵求逆求逆后，结果就成了在这里表示A中的扰动，表示中的扰动。

显然中一项的变化会导致中的变化。

如果我们解，其中，得到，加入扰动后，解得。

在这个结果中，我们仍然可以清楚的看到开始数据仅有的变化，却导致解产生的变化。

以上例子中我们看到的要比在标量情况下差的多。

如果是标量，那么，所以的倒数中小数部分的变化和的变化在同一量级上。

因此，在上例中的现象完全是在矩阵的时候才出现的。

看上去好像和是近似奇异的事实有关——因为它的列几乎不独立，且它的行列式值要比它的最大元素小很多，等等。

随后（见下一讲），我们会找到衡量奇异程度的合理方法，同时还要说明在求逆情况下，这种方法和灵敏度的关系如何。

在理解这种灵敏度和扰动的细节关系之前，我们首先要找到度量向量和矩阵量级的方法。

在第一讲中我们已经引入了向量范数的概念，所以我们现在来看一下矩阵范数的定义。

4.2 矩阵范数一个维复数矩阵可以看成（有限维）赋范向量空间中的一个算子：其中，这里的范数指的是标准欧氏范数。

定义的归纳2-范数如下：术语“归纳”是指在向量和的范数的基础上，使得以上矩阵范数的定义有意义。

该定义中，归纳范数表示矩阵在中单位圆上向量扩大的倍数，也就是说，它表示矩阵的增益。

现代控制理论第4章答案

现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++---解：（1）由已知得[]11231231232311232311()31122111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥---⎣⎦110∆=-<，2112013-∆==>-，31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得[][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=---+---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦110∆=>，2113014-∆==>-，3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：11122122a a xx a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。

即：111221222112211221221()0a a I A a a a a a a a a λλλλλ---=--=-++-= 有解，且解具有负实部。

即：1122112212210a a a a a a +<>且方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性


0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
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所有时间内都满足
‖x xe‖ （t t0） 则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平
衡状态xe是一致稳定的。
9
x2
S( )
x
x0 xe
S( )
x1
10
2. 渐近稳定
定义: 对于系统 x f (x,t)，若对任意给定的实数 >0，总存在 (, t0)>0，使得‖x0xe‖ ( , t0)的任意初
x1 x1 x2 x1x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
解得
x1 x2
0 0,1,1
因此该系统有三个平衡状态
0
0xe1 0xe210 xe3 1
8
4.1.2 李雅普诺夫稳定性定义 1. 稳定和一致稳定 定义: 对于系统 x f (x,t)，若对任意给定的实数
>0，都对应存在另一个实数(, t0)>0，使得一切满 足‖x0xe‖ ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在
解:
v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2
x1
x2
10
1
1 x1
4
x2
10 1
1 10 0, 2 1
0 4
所以v(x)是正定的。
28
4.2.3 李雅普诺夫第二法 1．基本思想 李氏第二法是从能量的观点出发得来的，它的基
本思想是建立在古典的力学振动系统中一个直观的物 理事实上。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且 能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统， 如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续 地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少 到最小，那么这个系统是渐近稳定的。
x f (x,t)
f(x, t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状 态为xe = 0，则在平衡状态xe = 0处可将f(x, t)展成泰勒 级数，则得
x Ax R(x)
19
f1
A
f ( x,t) x T
x1 f2
x1
f1
x2 f2
x2
f1
xn f2
xn
f
n
fn
现代控制理论
第4章 控制系统的李雅普诺夫稳定 性分析
4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫稳定性理论 4.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
2
一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系 统分析的首要任务。
这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大
的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。
定义 矩阵A的范数定义为 1
n
A
m
ai2j
2
j 1 i1
均趋如于果零趋，于则t系lim统Φ在(t原, t0点)零处，是即渐矩近阵稳Φ定(t,的t0。)中各元素
17
定理44-2 线性时变系统，其状态解为
x(t)=Φ(t, t0) x(t0) 系统稳定性的充要条件是：若存在某正常数N(t0)，对 于任意t0和t t0，有
29
但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一 种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难， 李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普 诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的 函数，所以v(x) > 0。这样就可以根据 v(x) 的定号性来 判断系统的稳定性。显然，若v(x) > 0，并且 v(x) < 0， 则系统就是渐近稳定的。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在 “运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法， 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
3
李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。
22
标量函数v(x)的定号性：设x是欧氏状态空间中的 非零量，v(x)是向量x的标量函数。
（1）若 v(x) 0, x 0
v(x) 0, x 0
称v(x)为正定的。例如，v(x)= x12 + 2 x22 > 0 。 （2）若 v(x) 0, x 0
v(x) 0, x 0
称v(x)为正半定的。例如，v(x)=(x1+ x2)2 0 。 （3）如果 v(x)是正定的，则v(x)称为负定的，即
显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都 要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这 也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统， 当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe = 0。 所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围 渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多 个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近 稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范 围渐近稳定的。
始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足
‖x xe‖ （t t0）
且对于任意小量μ >0，总有
lim
t
x xe
则称平衡状态xe是渐近稳定的。
11
x2
S( )
x0 xe x
S( )
x1
经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。
12
3.大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f (x,t)对整个状态空间中的任 意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe， 则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。
p11 n
pn1
p1n 0 pnn
（2）负定：二次型函数v(x)为负定的充要条件是，
P阵的各阶主子式满足
(1)k k 0, k 1, 2, , n
0, k为偶数，
即
k 0, k为奇数， k 1, 2, , n
25
（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条 件是，P的各阶主子式满足
当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P > 0； 当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P < 0； 当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0； 当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。
27
例4-1 已知v(x) =10 x12 +4 x22 +2 x1 x2 ，试判定 v(x)是否正定。
而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又 称为直接法。
4
4.1 李雅普诺夫稳定性定义
稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常 只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义， 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。
‖Φ(t, t0)‖ N(t0) 则系统是稳定的。
若‖Φ(t, t0)‖ N，则系统是一致稳定的。
若
lim
t
Φ(t,t0 )
，0 则系统是渐近稳定的。
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若存在某常数N > 0，C > 0，对任意t0和t t0，有
Φ(t,t0 ) NeC(tt0)
则系统是一致渐近稳定的。 3. 非线性系统 设非线性系统的状态方程为
（3）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至 少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能 用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次 项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线 性方程。
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4.2.2 二次型函数
定义:设x是n维列向量，称标量函数
v( x) xT Px x1 x2
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对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。
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对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如
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4. 不稳定 定义: 如果对于某个实数ε > 0和任一实数δ > 0， 不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个 初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将 超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。
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范数的概念
李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称 为向量x的范数，用‖x‖表示，则
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x x12 x22 xn2 ( xT x) 2
向量（x xe）范数可写成
x xe (x1 xe1 )2 (xn xen )2
通常又将‖x xe‖称为x与 xe的距离。当向量（x xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为
‖x xe‖ > 0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半 径的一个球域，记为S( )。
Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。
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2. 线性时变系统 对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，
故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态