现代控制理论-第四章 极点配置问题

控制系统的极点配置设计法一、极点配置原理1.性能指标要求n s t ζω4=；当Δ=0.02时，。

ns t ζω3= 当Δ=0.05时,2.极点选择区域主导极点：2111cos tan ξβξξ---==3.其它极点配置原则系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。

极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即（此处，对应于极点s 1、s 2）；同时，极点n s s ξω5Re 5Re 13=≥ξn ωs 1、s 2的附近不存在系统的零点。

由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为1351451s n s t t =⨯≤ξω式中是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。

1s tn x o (t)（a ）（b系统极点的位置与阶跃响应的关系图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。

由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。

因为它衰减得最慢。

其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。

因此，对系统过渡过程进行近似分析时。

可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。

二、极点配置实例磁悬浮轴承控制系统设计1.1磁悬浮轴承系统工作原理图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。

主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。

设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。

（a）（b）图1 磁悬浮轴承系统的工作原理Fig.1 The magnetic suspension bearing system principledrawing假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。

5.2 极点配置问题5.2.1 问题提出控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。

因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。

极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。

在经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特定的根轨迹曲线配置而已。

因此，广义地说，不论综合系统的性能指标怎样不同，究其实质都是运用各种技术手段来实现系统极点零点的重新配置，以期获得所期望的性能。

本节讨论在指定极点分布的情况下，如何设计反馈增益阵的问题。

为简单起见，只讨论单输入—单输出系统。

5.2.2 状态反馈与极点配置定理三 采用状态反馈对系统()0,,A B C =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能控。

证明 只证充分性。

若∑完全能控，通过状态反馈必成立[]*det ()()I A bK f λλ-+= （5.26） 式中*()f λ—期望特征多项式。

***1*1101()()nn n in i f a a a λλλλλλ--==-=++++∏ （5.27）式中*(1,2,,)i i n λ= —期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）。

① 若∑完全能控，必存在非奇异变换CI x T x = 式中CI T —能控标准I 型变换矩阵。

能将∑化成能控标准I 型x+xA bu =y Cx =式中 1012101000010CI CI n A T AT a a a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦1001CI b T b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]011=C CI n C T b b b -=受控系统∑的传递函数为121121001110()=()n n n n n n n b s b s b s b W s C sI A b s a s a s a -------++⋅⋅⋅++-=++⋅⋅⋅++ （5.28） ② 加状态反馈增益阵 011n K k k k -⎡⎤=⎣⎦ （5.29）可求得对x 的闭环状态空间表达式()+x A bK x bu y Cx ⎫=+⎪⎬=⎪⎭（5.30）式中 0110110100001001()()()n n A b K a k ak a k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦闭环特征多项式为()()f I A bK λλ=-+1110110()()()n n n n a k a k a k λλλ---=+-++-+- （5.31） 闭环传递函数为1212101110110()=()()()n n n n k n n n n b s b s b s b W s s a k s a k s a k -------++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+-+- （5.32） ③ 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足 *()()f f λλ=由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数*(0,1,,1)i i i k a a i n =-=- （5.33）于是得 ***001111n n K a a a a a a --⎡⎤=---⎣⎦ ④ 最后，把对应于X 的K ，通过如下变换，得到对应于状态X 的K 。

现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

现代控制理论实验指导书4-极点配置实验五利⽤MATLAB 求解极点配置问题实验⽬的：1、学习极点配置状态反馈控制器的设计算法；2、通过编程、上机调试，掌握系统极点配置设计⽅法。

实验原理：给定⼀个连续时间系统的状态空间模型：xA xB u =+ （5.1）其中：nx R ∈是系统的n 维状态向量，mu R ∈是m 维的控制输⼊，A 和B 分别是适当维数的已知常数矩阵。

在状态反馈u K x =- （5.2）作⽤下，闭环系统的状态⽅程是()xA B K x =- （5.3）由线性时不变系统的稳定性分析可知，闭环系统（5.3）的稳定性由闭环系统矩阵A B K -的特征值决定，即闭环系统（5.3）渐近稳定的充分必要条件是矩阵A B K -的所有特征值都具有负实部。

⽽由经典控制理论知道，矩阵A B K -的特征值也将影响诸如衰减速度、振荡、超调等过渡过程特性。

因此，若能找到⼀个适当的矩阵K ，使得矩阵A B K -的特征值位于复平⾯上预先给定的特定位置，则以矩阵K 为增益矩阵的状态反馈控制器（5.2）就能保证闭环系统（5.3）是渐近稳定的，且具有所期望的动态响应特性。

这种通过寻找适当的状态反馈增益矩阵K ，使得闭环系统极点（即矩阵A B K -的特征值）位于预先给定位置的状态反馈控制器设计问题称为是状态反馈极点配置问题，简称为极点配置问题。

对给定的线性定常系统（5.1）和⼀组给定的期望闭环极点12{,,}n λλλΩ= ，按以下步骤可以设计出使得闭环系统（5.3）具有给定极点}12{,,}n λλλΩ= 的状态反馈控制器（5.2）。

第1步：检验系统的能控性。

如果系统是能控的，则继续第2步。

第2步：利⽤系统矩阵A 的特征多项式1110det()n n n I A a a a λλλλ---=++++确定011,,,n a a a - 的值。

第3步：确定将系统状态⽅程变换为能控标准形的变换矩阵T 。

若给定的状态⽅程已是能控标准形，那么1T =。

III、综合部分第四早线性多变量系统的综合与设计4.1引言前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。

系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型（时域、频域、内部、外部描述）Z间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统的定量变化规律（如状态方程的解，即系统的运动分析等）和定性行为（如能控性、能观测性、稳定性等）。

而综合与设计问题则与此相反，即在己知系统结构和参数（被控系统数学模型）的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。

一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。

在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在吋域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。

4. 1. 1问题的提法给定系统的状态空间描述若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量（如超调量、过渡过程时间、极、零点），也可以是使某个性能函数取极小或极大。

此时，综合问题就是寻求一个控制作用u,使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。

对于线性状态反馈控制律u = -Kx + r对于线性输岀反馈控制律u = -Ffy + r其中r e R'为参考输入向量。

由此构成的闭环反馈系统分别为x - {A- BK）x+ Br y-Cx或x = {A-BHC）x+Br y = Cx闭坏反馈系统的系统矩阵分别为九=A — BKA H=A-BHC即工K = (A—BK,B,C)或工〃=(A—BHC,B,C)°闭环传递函数矩阵G K⑶=C '[si-(A-BK)Y] BG H G) = C_,[si-(A-BHOf B我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。

一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。

线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。

状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。

本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。

2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。

状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。

因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。

- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。

因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。

2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。

状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。

对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。

状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。

系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。

将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。

极点配置的原理今天来聊聊极点配置的原理。

我不是一开始就接触到极点配置这个概念的，之前做项目的时候遇到了控制系统的性能优化问题，就开始研究起它来了。

极点配置就像是给控制系统这个大机器调音一样。

咱们先从生活现象说起，想象一下开车。

汽车有个速度控制系统，我们想要汽车的速度按照我们期望的方式变化，比如说快速稳定地达到一个设定速度，并且在遇到一些小干扰（像路面有点小坡度）的时候还能保持稳定。

这个时候极点配置就像调整汽车的“脾气秉性”的工具一样。

在控制系统里，系统的特性跟极点的位置密切相关。

从原理上讲呢，极点就是系统传递函数分母等于零的根。

我记得第一次接触这个理论公式的时候，觉得满脑袋都是浆糊。

比如说一个简单的二阶系统，它的极点会影响系统的响应速度和稳定性，就像一个跷跷板，两个极点要处于一个合适的位置，系统才会又快又稳。

这可是我琢磨了好久才有点理解的地方。

说到这里，你可能会问，这个极点怎么才能配置到我们想要的位置呢？这就要用到反馈控制理论了。

就像我们在训练宠物一样，通过反馈（知道宠物做的好不好，然后奖惩）来让系统的特性符合我们的要求。

比如说，通过调整反馈增益，就可以改变极点的位置。

老实说，我一开始也不明白极点配置到底为啥这么重要。

后来遇到好多实际例子才恍然大悟。

实际在航空航天领域，飞行器的姿态控制系统要很精确才行，极点配置就大有用武之地。

合理的极点配置能让飞行器快速准确地调整姿态且保持稳定，就像杂技演员总能在高空钢丝上保持平衡一样。

再讲讲相关的注意事项吧。

极点配置虽然很强大，但并不是随心所欲的，要考虑系统的物理可实现性以及对于外部干扰和不确定性的鲁棒性。

比如说，不能要求汽车做到像火箭那样的加速能力，因为汽车有它的物理限制。

这就像我们人一样，虽然有潜力可以挖掘，但是也有自身的极限。

我觉得极点配置这个原理还有很多可以延伸思考的地方。

比如如何在更加复杂多变的环境下进行适当地极点配置，这就像在不断变化的天气下管理一个大农场，要根据不同情况调整策略。

经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。

极点配置问题就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。

1、状态空间分析对于控制系统 X=AX+Bu 式中 X 为状态向量（n 维） u 控制向量（纯量） A n × n 维常数矩阵 B n ×1维常数矩阵 选择控制信号为： u = KX求解上式，得到 X(t )= (A +BK )x (t ) 方程的解为： x (t ) = e ( A +BK )t x (0)可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t 趋于无穷时，都可以使x (t )趋于0。

状态反馈闭环控制原理图如下所示：极点配置的设计步骤： （1）检验系统的可控性条件 （2）从矩阵 A 的特征多项式 αααn 1n 1n 1nS A sI s s ++++=---来确定ααn1的值。

（3）确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T T=WM 其中 =M []b b bAA2n 1n --W=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣---11n 2n 11n αααα （4）利用所期望的特征值，写出期望的多项式 ()()()=---μμμn21s s s αααn 1n 1n 1ns ss ++++--并确定αααn21，，的值。

（5）需要的状态反馈增益矩阵K 由以下方程确定2、极点配置及仿真直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为：μφφφφ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡X X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡X X .820100.82800100000000010 μφφφ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡X =Y 0001000001 则有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 00D 01000001C .820100.82800100000000010 直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比ς = 0.5）。

现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。

A:对 B:错答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。

A:对 B:错答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。

A:对 B:错答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。

A:对 B:错答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。

A:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法 B:随机系统理论中的Kalman滤波技术 C:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划 D:最优控制理论的产生答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术;最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。

A:对 B:错答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。

A:对 B:错答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。

A:对 B:错答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。

A:错 B:对答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。

A:错 B:对答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。

A:错 B:对答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。

A:对 B:错答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。

现代控制理论课题答辩课题：利用状态反馈法配置极点班级:电气101501组员：付航（201015010106）李绍华（201015010119）曲建国（201015010125）徐向男（201015010135）课题目的：1. 学会利用状态反馈法配置系统极点；2. 通过系统结构图转换状态空间表达式。

课题内容：控制系统的稳定性和各种指标，很大程度上取决于系统的极点在s平面的分布情况。

在设计系统时，为了保证系统具有期望的特性，往往给定一组期望极点，或根据时域指标转换一组等价期望极点，然后进行极点配置。

所谓极点配置，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点的恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。

单输入单输出线性定常系统通过状态反馈，得闭环系统的状态空间表达式为：﹛()x A bK x br y cx=-+ =式中，反馈矩阵K为1*n的矩阵。

问题探讨控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。

因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。

极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。

在经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特定的根轨迹曲线配置而已。

因此，究其实质是运用各种技术手段来实现系统极点零点的重新配置，以期获得所期望的性能。

例题 已知10()(1)(2)W s s s s =++ 试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为2,11j --+。

解：① 因为传递函数没有零极点对消现象，所以原系统能控且能观。

可直接写出它的能控标准型实现，其状态模拟结构如图 5.4所示。

.010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]1000y x =图1.1 闭环系统状态模拟结构图② 加入状态反馈阵[]012K k k k =，如图1.2中虚线所示。

《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

现代控制理论-第四章极点配置问题第四章线性定常系统的综合第四章线性定常系统的综合内容：4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其对系统特性的影响4.2 SISO系统的极点配置4.3 系统镇定问题4.4 系统解耦问题4.5 状态观测器4.6 利用状态观测器实现状态反馈前面介绍的内容都属于系统的描述与分析。

系统的描述：主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等。

系统的分析：主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。

在本章中，将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常系统的反馈控制规律的综合方法，包括建立可综合的条件及建立控制规律及其算法。

综合与设计问题：在已知系统结构、参数(被控系统数学模型) 及期望的系统运动形式或特征的基础上，确定施加于受控系统的控制规律与参数，称为综合。

当系统以状态空间描述以后，系统的状态含有系统的全部运动信息。

若将控制信号设计为状态与参考信号的函数形成闭环控制，便可得到相当好的控制效果。

无论在抗扰动或抗参数变动方面，反馈系统的性能都远优于非反馈系统。

综合问题中的性能指标可区分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型，它们都规定着综合所得系统运动过程的期望性能。

两者的差别是：非优化指标是—类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算实现了综合目标；优化型指标则是一类极值型指标，综合目的是要使性能指标在所有可能值中取极值。

本章讨论的综合问题主要涉及的是非优化型指标，它们可能以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，来讨论极点配置问题。

系统运动的状态也即其动态性能，主要是由系统的极点位置所决定。

把闭环极点组配置到所希望的位置上，实际上等价于使综合得到的系统的动态性能达到期望的要求。

以渐近稳定作为性能指标，主要讨论各种反馈结构对系统稳定性的影响。

使“多输入—多输出”系统实现“一个输入只控制相应的某个输出”作为性1第四章线性定常系统的综合能指标，其相应的综合问题即为解耦控制问题。

现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u uy y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。

现代控制理论课程报告用现代控制理论中状态反馈设计三阶线性控制系统一、目的要求目的：1、通过课程设计,加深理解现代控制理论中的一些基本概念；2、掌握用状态方程描述的线性系统的稳定性、能控性、能观性的分析计算方法；3、掌握对线性系统能进行任意极点配置来表达动态质量要求的条件，并运用状态反馈设计方法来计算反馈增益矩阵和用模拟电路来实现。

达到理论联系实际，提高动手能力。

要求：1、 在思想上重视课程设计，集中精力，全身心投入，按时完成各阶段设计任务。

2、重视理论计算和MATLAB 编程计算，提高计算机编程计算能力。

3、认真写课程设计报告，总结经验教训。

二、技术指标技术指标：1、 已知线性控制系统开环传递函数为：0G 012K (s)=s(Ts+1)(T s+1)，其中T1= 1 秒，T2=1.2秒 结构图如图所示：2、质量指标要求：% = 16% ，p t = 1.5 秒，ss e =0，ssv e = 0.5 .三、设计内容第1章 线性系统状态空间表达式建立1-1由开环系统的传递函数结构图建立系统的状态结构图将原结构图结构变换后，得：1-2由状态结构图写出状态空间表达式由变换后的结构图可得： ()()()1212121320332323230.830.831.2u1x x x xT 11x x x x x x T y k x x x x x ==-=-=-=-=-==即可得出系统的状态空间方程和输出方程：x Ax B y Cx D =+⎧⎨=+⎩其中，[]0001110,0,001,000.830.830A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦第2章 理论分析计算系统的性能2-1稳定性分析方法与结论判别方法一：线性系统用李雅普诺夫稳定性判据分析稳定性时，系统矩阵A 必须是非奇异常数矩阵，且系统仅存在唯一的平衡状态0=e x 。

而所给的系统矩阵00011000.830.83A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦为奇异常数矩阵，所以系统不稳定。

4.5 状态观测器在4.2 节中介绍控制系统设计的极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。

然而在实际情况中，不是所有的状态度变量都可用于反馈。

这时需要要估计不可用的状态变量。

需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。

有时一个单一的微分过程可使信噪比减小数倍。

有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。

不能观测状态变量的估计通常称为观测。

估计或者观测状态变量的装置（或计算机程序）称为状态观测器，或简称观测器。

如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接测量，这种状态观测器均称为全维状态观测器。

有时，只需观测不可测量的状态变量，而不是可直接测量的状太态变量。

例如，由于输出变量是能观测的，并且它们与状态变量线性相关，所以无需观测所有的状态变量，而只观测n-m 个状态变量，其中n 是状态向量的维数，m 是输出向量的维数。

估计小于n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称为降价观测器。

如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。

本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。

4.5.1 引言状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。

在3.7节讨论的能观测性概念有重要作用。

正如下面将看到的，当且仅当满足能观测性条件时，才能设计状态观测器。

在下面关于状态观测器的讨论中，我们用x ~表示被观测的状态向量。

在许多实际情况中，将被观测的状态向量用于状态反馈，以产生所期望的控制向量。

考虑如下线性定常系统Bu Ax x+= (4.27) Cx y =(4.28)假设状态向量x 由如下动态方程)~(~~x C y K Bu x A x e -++=(4.29)中的状态x ~来近似，该式表示状态观测器。

注意到状态观测器的输入为y 和u ，输出为x ~。

控制系统的极点配置设计法一、极点配置原理1.性能指标要求2.极点选择区域主导极点：nstζω4=；当Δ=0.02时，。

nstζω3=当Δ=0.05时,3.其它极点配置原则系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。

极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即n s s ξω5Re 5Re 13=≥（此处ξ，n ω对应于极点s 1、s 2）；同时，极点s 1、s 2的附近不存在系统的零点。

由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为1351451s n s t t =⨯≤ξω式中1s t 是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。

图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。

由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。

因为它衰减得最慢。

其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5 所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。

因此，对系统过渡过程进行近似分析时。

可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。

n x o (t)（a ）（b ）系统极点的位置与阶跃响应的关系二、极点配置实例磁悬浮轴承控制系统设计1.1磁悬浮轴承系统工作原理图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。

主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。

设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。

（a）（b）图1 磁悬浮轴承系统的工作原理Fig.1 The magnetic suspension bearing system principledrawing假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。