刘徽割圆术

割圆术——刘徽《九章算术注》割圆术（cyclotomic method）所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。

这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。

但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。

正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。

东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。

这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。

刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。

这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。

如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和 3.1416这两个近似数值。

这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。

刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。

数学视野经典算法----割圆术根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密.他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。

刘徽割圆术的赏识与改进建议一、数学文化理念割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积（周长）去无限逼近圆的面积（周长），并以此求取圆周率的方法。

凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,求得的圆周率的近似值徽率（3.14）.刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。

祖冲之（429-500）在刘徽“割圆术”的基础上，首次将“圆周率”精确到小数第七位，领先世界一千年。

这是中国古代数学家的骄傲，也反映了中国古代数学家的聪明才智和钻研精神。

（1）哲学是一切自然科学和社会科学的概括和总结，数学中充满了辩证法，数学学习需要用马克思主义哲学来指导。

要想深入探索刘徽割圆术，唯有2件武器，那就是马克思辩证思想和数学中的“清晰的直觉”和“严格的演绎”。

刘徽割圆术蕴含着丰富的马克思辩证统一思想，数列极限的学习中不光要学习知识，更重要的是提升辨证思维能力。

直与曲的统一：直与曲是两个完全不同的概念，二者的差别是明显的。

刘徽开创“割圆术”来计算圆周率，以圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长，这种方法包含的由直线向曲线转化（以直代曲）和用近似值向精确值逼近的思想，在当时条件下是难能可贵的。

常量与变量的统一：常量与变量是数学中的两个基本概念，这两种量的意义有着严格的区分，但它们又是相互依存，相互渗透，依据一定条件相互转化。

圆的周长（面积）是一个常量，这个常量的计算并非轻而易举，它是通过逐次增加边数的内接正多边形的周长（变量）来实现的，即常量是变量的逼近的极限过程。

有限与无限的统一：有限与无限存在着本质的区别．然而两者之间并非存在不可逾越的鸿沟，而是在一定条件下可以相互转化，正是这种转化使得无限在数学世界中显示威力。

刘徽割圆正是体现有限与无限对立统一思想的例子，在无限的过程中得到了圆的面积或周长。

量变与质变的统一：刘徽割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”，内接正多边形的边数越来越多时，它与圆周偏差就会越来越小。

刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。

在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。

但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。

在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。

下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。

他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。

他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。

割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。

这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。

我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。

在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。

在今天，我们可以看出用圆内12S CR接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。

刘徽割圆术和定积分方法引言刘徽（224年-306年），字玄谟，东晋时期著名的数学家、天文学家、历书编纂家。

他在数学领域作出了许多重要的贡献，其中包括割圆术和定积分方法。

本文将详细介绍刘徽的割圆术和定积分方法，并探讨它们在数学发展史中的重要意义。

刘徽割圆术割圆术是刘徽最为著名的数学成果之一，它解决了许多关于圆的问题，尤其是平面几何中与圆有关的构造问题。

原理与方法刘徽的割圆术主要基于尺规作图，具体方法如下：1.在平面上画一横线，作为基准线。

2.在基准线上选取两个不同的点A和B，并连接。

3.以A为圆心、AB为半径，画一个圆，并记为圆O1。

4.在O1上取两个相等的弧长，并用尺子量取得这个弧长。

5.以B为圆心、AB为半径，再画一个圆，并记为圆O2。

6.使O2上的弧长等于步骤4中得到的弧长。

7.连接两个圆的交点和A B两个端点，得到一个正方形。

8.通过割几何构造，将正方形的边长平分，即可得到所需的圆。

应用与意义刘徽的割圆术广泛应用于解决与圆相关的问题，例如构建正多边形、棋盘格问题等。

它的应用范围涉及几何、代数和数论等多个数学领域，并对后来的数学发展产生了深远影响。

刘徽定积分方法刘徽提出了一种计算曲线下面积的方法，即定积分方法。

它的出现填补了求曲线下面积的空白，为微积分的发展奠定了基础。

原理与方法刘徽的定积分方法主要基于无穷累加的思想，具体方法如下：1.将曲线下面的区域近似分成若干个矩形，使每个矩形的面积接近曲线下面积。

2.缩小矩形的宽度，增加矩形的数量，使近似更为精确。

3.取极限，使矩形的宽度无限趋近于0，得到准确的曲线下面积。

应用与意义刘徽的定积分方法为计算曲线下面积提供了一种有效的工具，不仅在几何学中有广泛应用，在物理学、经济学等领域的科学研究中也起到了重要作用。

它是微积分学的基础概念之一，对后来的数学发展产生了深远影响。

结论刘徽的割圆术和定积分方法是他在数学领域的重要贡献，它们不仅解决了许多与圆和曲线相关的问题，还为后来的数学发展奠定了基础。

刘徽割圆术介绍_刘徽的著作是什么刘徽是魏晋时期最有名的数学家，刘徽在数学上有着极高的成就，割圆术的发明就是他其中的一个成就。

那刘徽还有哪些著作呢?下面是店铺为你搜集刘徽割圆术介绍的相关内容，希望对你有帮助!刘徽割圆术介绍何为割圆术呢?刘徽是这样形容的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

”通俗的说，不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。

牛顿发现了万有引力定律，而刘徽发现割圆术的过程与牛顿有着异曲同工之妙。

有一天，刘徽在偶然中看到了石匠在切割石头，看着看着竟觉得十分有趣，就站在一边，细细地观察起来。

刘徽看到，一块方形的石头，先由石匠切去了四个角，四角的石头瞬间就有了八个角，然后再把这八个角切去，以此类推，石匠一直在把这些角一个一个地切去，直到无角可切为止。

到最后，刘徽就发现，本来呈现方形的石块，早在不知不觉中变成了一个圆滑的柱子。

石匠打磨石块的事情，每天都在发生，但就是这样的一件小事，让刘徽瞬间茅塞顿开，看到了别人没有看到的事情。

刘徽就像石匠所做的那样，把圆不断分割，终于发明了“割圆术”。

刘徽的著作刘徽生于250年左右，他一生醉心于数学，在数学的海洋中孜孜不觉，提出了许多重要的理论。

他总结了自己的研究，写下了《九章算术注》、《海岛算经》以及《九章重差图》。

可惜，年代久远，刘徽的后两部作品在宋代的时候就已经失去了踪迹，再也无处可寻。

但是，刘徽子啊数学界至关重要的地位却是无可动摇的。

《九章算术》大约著作于东汉之初，这部书提出了246个问题的解决方法。

但是这些解决的方法相对来说都显得比较原始，所以刘徽就专门对此做出了一定的补充说明。

在这些说明中，可以十分清晰的看出刘徽在数学上的专研程度之深。

他首先提出了十进小数，以及将无理数的立方根与十进小数联系在了一起。

此外，他还对正负数做出了解释，在几何方面也有着巨大的贡献。

而《海岛算经》是中国最早的一部测量学著作，全书一共有九个利用测量来计算高深广远的问题。