刘徽与割圆术

刘徽割圆术和定积分方法刘徽是中国古代数学家、天文学家和地理学家，他的著作《九章算术》在中国数学史上有着非常重要的地位。

刘徽在数学领域的贡献众多，其中包括刘徽割圆术和定积分方法两个重要的成就。

刘徽割圆术是刘徽在几何学中的一项杰出成就。

在中国数学史上，刘徽被尊为“割圆术”之祖。

刘徽割圆术是指通过逐步不断地用正多边形来逼近圆周，从而求出圆周的长度。

刘徽发现，如果一个正多边形的边数不断增加，那么它的周长就会趋向于圆的周长。

这样，他便构造出一个近似于圆周长的方法，成为了一种割圆的技术。

刘徽在这一方法中首次提出了极限思想，也就是不断地逼近某个值。

这种思想在现代数学中被称为极限思想，极限思想被广泛应用于微积分和数学分析等学科领域。

刘徽在割圆术的发展过程中，提出了许多新的思想和概念，对后世的数学发展产生了深远的影响。

在数学中，刘徽的定积分方法是他在微积分领域的又一杰出贡献。

定积分是微积分的一个重要概念，是将一个函数在一个区间上的取值进行求和得到近似于该函数在整个区间上取值的一个方法。

刘徽在其著作中提出了用“无限小”思想来解决问题的方法，并且这种思想在现代数学中得到了广泛的运用。

刘徽的定积分方法为后世的微积分学发展提供了重要的理论基础。

通过刘徽的方法，人们可以将一个问题进行分割，然后逐步求和，得到最终的结果。

这种思想成为了微积分学中的核心思想之一，也被应用于多个领域，包括物理学、工程学和经济学等。

刘徽在割圆术和定积分方法的研究中，提出了许多开创性的思想和概念，为数学的发展作出了巨大的贡献。

他开拓了数学的新领域，丰富了数学的内涵，对后世的数学学科发展起到了关键的作用。

刘徽的割圆术和定积分方法不仅在当时产生了深远的影响，而且对现代数学学科的发展具有重要的启发作用。

刘徽割圆术的赏识与改进建议一、数学文化理念割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积（周长）去无限逼近圆的面积（周长），并以此求取圆周率的方法。

凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,求得的圆周率的近似值徽率（3.14）.刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。

祖冲之（429-500）在刘徽“割圆术”的基础上，首次将“圆周率”精确到小数第七位，领先世界一千年。

这是中国古代数学家的骄傲，也反映了中国古代数学家的聪明才智和钻研精神。

（1）哲学是一切自然科学和社会科学的概括和总结，数学中充满了辩证法，数学学习需要用马克思主义哲学来指导。

要想深入探索刘徽割圆术，唯有2件武器，那就是马克思辩证思想和数学中的“清晰的直觉”和“严格的演绎”。

刘徽割圆术蕴含着丰富的马克思辩证统一思想，数列极限的学习中不光要学习知识，更重要的是提升辨证思维能力。

直与曲的统一：直与曲是两个完全不同的概念，二者的差别是明显的。

刘徽开创“割圆术”来计算圆周率，以圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长，这种方法包含的由直线向曲线转化（以直代曲）和用近似值向精确值逼近的思想，在当时条件下是难能可贵的。

常量与变量的统一：常量与变量是数学中的两个基本概念，这两种量的意义有着严格的区分，但它们又是相互依存，相互渗透，依据一定条件相互转化。

圆的周长（面积）是一个常量，这个常量的计算并非轻而易举，它是通过逐次增加边数的内接正多边形的周长（变量）来实现的，即常量是变量的逼近的极限过程。

有限与无限的统一：有限与无限存在着本质的区别．然而两者之间并非存在不可逾越的鸿沟，而是在一定条件下可以相互转化，正是这种转化使得无限在数学世界中显示威力。

刘徽割圆正是体现有限与无限对立统一思想的例子，在无限的过程中得到了圆的面积或周长。

量变与质变的统一：刘徽割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”，内接正多边形的边数越来越多时，它与圆周偏差就会越来越小。

刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。

在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。

但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。

在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。

下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。

他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。

他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。

割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。

这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。

我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。

在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。

在今天，我们可以看出用圆内12S CR接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。

《刘徽的小故事简短》小朋友们，今天我来给你们讲讲刘徽的小故事。

刘徽呀，是咱们中国古代特别厉害的一个数学家。

他可聪明啦！有一次，刘徽看到人们在计算图形面积的时候总是不太准确，他就想啊，怎么才能算得更准呢？于是，他天天琢磨，不停地在纸上画图、计算。

有一天，他突然想到了一个好办法。

就拿计算圆的面积来说吧，他想出了用“割圆术”的方法。

就是把圆不停地分割成很多很多小的扇形，然后通过计算这些小扇形的面积，就能越来越接近圆的真实面积啦。

刘徽就这样一直努力研究，为数学的发展做出了很大的贡献呢。

小朋友们，刘徽是不是很厉害呀？《刘徽的小故事简短》小朋友们，咱们接着讲刘徽的故事。

刘徽还对计算体积很有研究呢。

比如说，要计算一个不规则形状物体的体积，这可难倒了好多人。

但是刘徽不怕，他又开始动脑筋啦。

他通过观察和思考，想出了一些巧妙的办法。

就像把复杂的形状分解成简单的部分，然后再一点点计算。

刘徽的这些想法和方法，让后来的人们在计算各种形状的体积时都方便了很多。

他的努力和聪明才智，让数学变得更有趣、更有用啦。

小朋友们，你们觉得刘徽棒不棒？《刘徽的小故事简短》小朋友们，让我再给你们讲讲刘徽的故事。

刘徽不仅在数学理论上有成就，他还很注重实践呢。

有一回，村里的人们要盖房子，不知道怎么计算要用多少木材。

刘徽就主动帮忙，用他的数学知识很快就算出来了。

还有一次，大家要分粮食，不知道怎么分才公平。

刘徽又站出来，用他的办法让每个人都分到了合适的粮食。

刘徽就是这样，用他的数学才能帮助了很多很多人。

小朋友们，咱们要向刘徽学习，爱思考，爱学习！。

刘徽割圆术和定积分方法引言刘徽（224年-306年），字玄谟，东晋时期著名的数学家、天文学家、历书编纂家。

他在数学领域作出了许多重要的贡献，其中包括割圆术和定积分方法。

本文将详细介绍刘徽的割圆术和定积分方法，并探讨它们在数学发展史中的重要意义。

刘徽割圆术割圆术是刘徽最为著名的数学成果之一，它解决了许多关于圆的问题，尤其是平面几何中与圆有关的构造问题。

原理与方法刘徽的割圆术主要基于尺规作图，具体方法如下：1.在平面上画一横线，作为基准线。

2.在基准线上选取两个不同的点A和B，并连接。

3.以A为圆心、AB为半径，画一个圆，并记为圆O1。

4.在O1上取两个相等的弧长，并用尺子量取得这个弧长。

5.以B为圆心、AB为半径，再画一个圆，并记为圆O2。

6.使O2上的弧长等于步骤4中得到的弧长。

7.连接两个圆的交点和A B两个端点，得到一个正方形。

8.通过割几何构造，将正方形的边长平分，即可得到所需的圆。

应用与意义刘徽的割圆术广泛应用于解决与圆相关的问题，例如构建正多边形、棋盘格问题等。

它的应用范围涉及几何、代数和数论等多个数学领域，并对后来的数学发展产生了深远影响。

刘徽定积分方法刘徽提出了一种计算曲线下面积的方法，即定积分方法。

它的出现填补了求曲线下面积的空白，为微积分的发展奠定了基础。

原理与方法刘徽的定积分方法主要基于无穷累加的思想，具体方法如下：1.将曲线下面的区域近似分成若干个矩形，使每个矩形的面积接近曲线下面积。

2.缩小矩形的宽度，增加矩形的数量，使近似更为精确。

3.取极限，使矩形的宽度无限趋近于0，得到准确的曲线下面积。

应用与意义刘徽的定积分方法为计算曲线下面积提供了一种有效的工具，不仅在几何学中有广泛应用，在物理学、经济学等领域的科学研究中也起到了重要作用。

它是微积分学的基础概念之一，对后来的数学发展产生了深远影响。

结论刘徽的割圆术和定积分方法是他在数学领域的重要贡献，它们不仅解决了许多与圆和曲线相关的问题，还为后来的数学发展奠定了基础。

刘徽割圆术所用的极限1：历史背景历史倒回公元391年，在埃及的一座城——亚历山大。

当时，由于基督教会内部的矛盾，以及教会与罗马教廷之间的一些列矛盾，一班基督教徒肆虐地用大火毁灭了之前克娄巴特拉女王下令从大图书馆里抢救出来的巨大财宝，在这一场大火下将另外一个收藏着大量希腊手稿的庙——西拉比斯神庙也通通毁灭。

这是古埃及的动荡社会。

追溯古中国的391年，东汉末年已经分裂，此时隋朝尚未建立，正处于历史动荡的魏晋南北朝，天下三分的时代。

在这样一个动荡社会和人文环境里，各国天文官员（古时的数学家）对中国的数学研究也掀起了一股论证的热潮。

古中国是没有特定的数学家的，一些所谓的数学家，也只是一些天文官员，是研究天文的。

但是，这些官员却带给了后代巨大的财富。

当时各种各样的著作一系列发行，其中多数数学家们以注释《周髀算经》或《九章算术》的形式出现，意思是要给出这两部著作中一些重要结论的加以探究并证明。

此时，其中一位的先驱人物便是证明勾股定理的赵爽，他是三国的吴国人。

除此之外[1]公元3世纪，从三国到魏晋的这一时期，我国历史舞台上人才辈出，群英荟萃①，刘徽算是这个时期出现的成就最大的数学家，由于历史的悠久刘徽和赵爽的生死年份已经无法知道，我们可以知道其中重要的一点是：刘徽他也和赵爽一样生活在三国动乱时期，而刘徽是生活在魏国，另外刘徽在263年撰写了《九章算术注》。

这一部著作，留给了中国后代的巨大财宝。

可以这样说，没有刘徽的《九章算术注》，中国的数学历史脚步也无法如此迅速。

2：刘徽的“割圆术”2.1数学意义[2]刘徽的成就之一，便有“割圆术”。

我们一起来看看，刘徽在“割圆”过程所用到的极限。

刘徽的"割圆术"是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式.很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意②。

现代数学家经过一系列的研究，可以知道刘徽的"割圆术"是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法，注意，这里主要是一种方法，而不是一种公式与定理，古中国是没有定理的。

中国古代数学家刘徽的小故事
数学家刘徽有一个小故事，那就是他发现“割圆术”的过程。

有一天，刘徽偶然看到石匠在切割石头，看着看着竟觉得十分有趣，就站在一边，细细地观察起来。

刘徽看
到，一块方形的石头，先由石匠切去了四个角，四角的石头瞬间就有了八个角，然后再把这八个角切去，以此类推，石匠一直在把这些角一个一个地切去，直到无角可切为止。

到最后，刘徽就发现，本来呈现方形的石块，早在不知不觉中变
成了一个圆滑的柱子。

石匠打磨石块的事情，每天都在发生，但就是这样的一件小事，让刘徽瞬间茅塞顿开，看到了别人没有看到的事情。

刘徽就像石匠所做的那样，把圆不断分割，终于发明了“割圆术”，为计算圆周率提供了一套严密的理论和完
善的算法。

刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。

在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。

但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。

在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。

下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。

他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。

他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。

割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。

这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。

我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。

在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。

在今天，我们可以看出用圆内接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。

关于刘徽的割圆术关键词九章算术, 刘徽, 割圆术, 圆周率1 刘徽割圆术的内容刘徽的割圆术, 是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的注中提出来的[ 1] , 包括如下内容:1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出“周三径一”是不对的, 他说: 以半周乘半径而为圆幂, “此以周径谓至然之数, 非周三径一之率也. 周三者, 从其六觚之环耳, 以推圆规多少之较, 乃弓之与弦也. ”2) 刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤, 使圆内接正多边形的面积逐次逼近圆的面积. 进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. 觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. 若夫觚之细者, 与圆合体, 则表无余径. 表无余径, 则幂不外出矣. ”3) 刘徽详述了割圆的算法, 例如, 关于割圆内接正六边形为正十二边形, 他说: “令半径一尺为弦, 半面五寸为勾, 为之求股. 以勾幂二十五寸减弦幂, 余七十五寸, 开方除之, 下至秒忽, 又一退法求其微数, 微数无名者以为分子, 以下为分母, 约为五分忽之二, 故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二. 以减半径, 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三, 谓之小股, 为之求弦, 其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽, 余分弃之, 开方除之, 即十二觚之一面也. ”4) 刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后, 对圆面积进行了大胆推断, 从而获得了当时世界上最精确的圆周率的值. 他说: “差幂六百二十五分寸之一百五, 以十二觚之幂为率消息, 当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂( 即三百一十四寸六百二十五分寸之六十四) , 以为圆幂三百一十四寸二十五分寸之四. ”5) 刘徽验证了自己获得的结果的正确性, 为此, 他继续用割圆术, 直到求出圆内接正三千零七十二边形的面积. 他说: “当求一千五百三十六觚之一面, 得三千七十二觚之幂, 而裁其微分, 数亦宜然, 重其验耳. ”2 刘徽割圆术的历史地位2. 1古希腊已有割圆思想古希腊巧辩学派的学者Ant iphon ( 约公元前五世纪) 提出用边数不断增加的圆内接正多边形来接近圆, 并提出把圆看作是无穷多边的正多边形; 另一个古希腊巧辩学派的学者Br yso n( 约公元前五世纪) 类似地提出用边数不断增加的圆外切正多边形来接近圆; 而古希腊的一位大数学家Eudox us( 约公元前四世纪) 则依据这一思想创立了穷竭法这种著名的获取定理和证明定理的方法.虽然刘徽不是人类历史上第一个提出割圆思想的人, 但是, 他没有简单地重复任何人, 而是独立地、完整地、创造性地提出了割圆术, 和古希腊的数学家们一样, 刘徽的思想同样是辉煌的.2. 2刘徽用割圆术获得了当时世界上最精确的圆周率值古希腊的Ant iphon, Br yso n, Eudo xus 虽然先于刘徽提出割圆思想, 但他们都没有用它去求圆周率的值. 然而, Archimedes[ 3] ( 公元前287～公元前212年) 继承了割圆思想, 并根据圆周长大于圆内接正多边形周长而小于圆外切正多边形周长, 得到圆周率P满足223/ 71 < P< 22/ 7 的结果. 古希腊的Ptolemy[ 2] ( 公元?～168年) 并没有专门研究圆周率的值, 他依据他的定理( Ptolemy 定理) 提出一种特殊的割圆技巧, 求出了各圆心角所对的弦长的六十进制数值, 其中1/ 2度圆心角所对弦长的数值为31′2 5″,相当于求得P的值为P≈377/ 120. 这是刘徽以前有据可考的圆周率的最好结果.我国古代很早就知道“周三径一”误差很大, 需要改进, 不少人在这方面作过工作[ 4] :汉代的刘歆( 约公元前50～公元23年) 所用圆周率的值为P≈3. 1547; 汉代的张衡( 公元78～139年) 所用圆周率的值为P≈3. 1623; 三国的王蕃( 公元219～257年) 所用圆周率的值为P≈3. 1556. 这些P的近似值都不如Archimedes 和Ptolemy 的结果好, 并且都未提供出正确的算法, 缺乏理论根据.而刘徽根据他所提出的割圆术, 运用勾股定理, 设计出一个完整的求圆周率P近似值的算法.设n= 6 ( 术曰: 割六觚以为十二觚) , 又设r= 1, 则有s= 1( 术曰: 置圆径二尺, 半之为一尺, 即六觚之面也) , 算法步骤如下:¹设弦为r , 勾为s/ 2, 求股, 赋予a( 此为小股, 术曰: 令半径为弦, 半面为勾, 为之求股) ;º将r - a 赋予b( 此为余径, 术曰: 觚面之外, 又有余径, 又曰: 以减半径, 谓之小股) ; » 设勾仍为s/ 2, 股为b, 求弦, 赋予s( 实为圆内接正2n 边形的边长, 术曰: 为之求小弦, 即十二( 2n) 觚之一面也) ;¼求S n= nõs 圆周率的近似值( 实为圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积, 术曰: 得二十四( 4n) 觚之幂) ;½将2n 赋予向¹ .上述算法为计算出更精确的圆周率值奠定了基础. 刘徽所获得的“圆幂三百一十四寸二十五分寸之四”,即P≈3. 1416, 这是当时世界上最精确的圆周率的值.顺便指出, 祖冲之[ 5] ( 公元429～500年) 研究过刘徽的割圆术, 再加上自己的创造, 他获得了当时世界上最精确的圆周率的值: 3. 1415926 < P< 3. 1415927. 此外, 他还用最佳近似分数给出所谓疏率和密率: P≈22/ 7, 这一结果与Archimedes[ 3] 的上限结果相同; P ≈355/ 113, 这一结果在西方迟至1573年才由Otho 重新获得.2. 3在中国刘徽首次比较准确地描述了极限概念在中国战国时代的著作《庄子》中记录了名家惠施的话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. ”这段话已经有了极限思想的雏形[ 5] . 但名家所表现出的极限思想是不自觉的、模糊的. 名家的目的仅仅是为了在辩论中强调名词概念的相对性, 因而不可能形成数学上的清晰的极限概念.但是, 刘徽在割圆术中比较准确地描述了极限概念. 他说: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. ”这明确地肯定了lim S n= P. 这里S n是圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积.他又说: “觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. ”这表明刘徽实际上建立了不等式S 2n< P< S2n+ e n, 其中e n= S2n- S n, 此即刘徽所说的“差幂”.刘徽的这一不等式明显地优于Archimedes 的不等式, 这是因为: 第一, Archimedes 既要用到圆内接正多边形, 也要用到圆外切正多边形, 而刘徽用“差幂”,只需要用圆内接正多边形, 可以减少大约一半运算次数; 第二, 由于S 2n等于圆内接正4n 边形的半周长, 并且容易证明, S2n+ e n小于圆外切正4n 边形的半周长, 因而, 刘徽的这一不等式比Archimedes 的不等式更精确. 刘徽显然和Archimedes 一样, 已经意识到这里存在类似夹逼定理这样的极限性质, 由此既可以推断极限的存在, 还可以确定极限值各数位上的准确的有效数字. 刘徽正是这样做的, 他用圆内接正一千五百三十六边形和圆内接正三千零七十二边形的面积, 依据他的不等式, 验证了他的结果直到第四位小数都是正确的.刘徽接着说: “觚之细者, 与圆合体, 则表无余径, 表无余径, 则幂不外出矣. ”他正是根据这一点, 解释了圆田术求圆面积的方法( 半周半径相乘得积步) . 刘徽的解释方法, 与Eudox us 证明圆面积之比等于半径平方比的穷竭法如出一辙.3 刘徽割圆术的局限性刘徽的极限概念是不彻底的刘徽的割圆术虽然比较准确地描述了极限概念, 而且, 很可能进行了真正的极限运算, 但刘徽的数学素养还不足以完整地描述这个无限的趋向过程. 他采用了“割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣”,“觚之细者, 与圆合体, 则表无余径”等绝对的、不准确的言词. 实际上, 刘徽的思想陷入了矛盾之中, 一方面, 他像惠施那样意识到割圆的过程是无限的, 是万世不竭的, 另一方面, 他又竭力回避无限, 不愿意正视无限, 相信总有“不可割”,“表无余径”,“幂不外出”,“与圆周合体而无失”之时. 这就足以说明刘徽的极限概念是不彻底的. 事实上, 我国古代还有不少学者虽具有极限思想的雏形, 但在描述中都毫无例外地不得不采用绝对的、不准确的言词. 极限概念的不彻底, 限制了刘徽对极限概念的挖掘和应用, 也限制了刘徽在数学上的创造性. 纵观刘徽在数学上的工作可以看出, 虽然他在圆周率的计算等方面取得了令世人瞩目的成果, 但是, 刘徽在整个数学史上的地位, 则不可能超过Ar chimedes 等人.参考文献1 刘徽注. 九章算术. 上海: 上海古籍出版社, 19902 Morris Kl ine 著; 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想. 上海: 上海科学技术出版社, 19793 How ard Eves . An In tr od uct ion to the His tory of Mathemat ics. New York: Saunders Coll ege Pub lish ing, 19834 李俨. 中算史论丛. 北京: 中国科学院出版, 19545 钱宝琮. 中国数学史. 北京: 科学出版社, 19816 邓建中, 葛仁杰, 程正兴. 计算方法. 西安: 西安交通大学出版社, 19857 王乃信，王树林，西北农业大学学报，1997年8月。

劉徽﹝約公元3世紀﹞關於劉徽的生卒年代和身世履歷不詳，他可能是現今山東省臨淄或淄川一帶人。

劉徽注《九章算術》，同時又撰有《重差》一卷，《重差》後來印成單行本改稱為《海島算經》，在注文中，劉徽用語言來講清道理，用圖形來解釋問題﹝析理以辭，解體用圖﹞。

他不是只停留在對《九章》的注釋上，而是更上一層樓，在注釋的同時提出了許多創造性見解，例如為闡述幾何命題，証明幾何定理，創造了「以盈補虛法」，更為計算圓周率提出了「割圓術」：劉徽從最簡單的正六邊形開始，由正192邊形的面積得到π=151/50或3.14。

不過他更進一步算出3.14<π<3.14，後來在另一個地方，劉徽用他的方法，繼續演算到3072邊形，並且得到他的最佳值──一個相當於3.14159的數。

「割圓術」是我國數學史上首次將極限概念用於近似計算。

此外，劉徽的「齊同術」和「方程新術」等，是對《九章算術》方法的進一步闡述與補充。

在注釋《九章》的同時，劉徽深感有創立新的測量方法的必要，於是提出了重差術，撰《重差》一卷。

劉徽創立了割圓術，給出了「割圓」的一般法則，後世的割圓家可能在π 的近似值上估計得比他精密，但若論及創始的功勞，則他的地位是無人可以替代的。

劉徽是魏人，經歷可能延長到晉朝，這是史家根據《隋書》記載的「魏陳留王景元四年（263 A.D.）劉徽注九章」的文句推斷出來的。

除此之外，我們對他的身世一無所知。

晉朝算學博士王孝通（《緝古算經》的作者）稱讚他「思極毫芒」，推許他的著作「一時獨步」。

他那極富原創性的《九章算術注》（附於現傳本的《九章算術》內），及《重差術》（即現傳的《海島算經》）二部著作，的確是他不朽聲名的最佳註腳。

劉徽的割圓術記載在九章算術第一卷方田章的第32題關於圓面積計算的注文裏。

我們把它歸納為下列幾點來加以說明。

一、劉徽首先指出利用π=3 這一數值算得的結果不是圓面積，而是圓內接正十二邊形的面積，這個結果比π 的真值少。

刘徽割圆法推导过程嘿，朋友们！今天咱们来聊聊刘徽割圆法这神奇的玩意儿。

刘徽啊，那可是古代数学界的大牛！他的割圆法就像是一把神奇的钥匙，打开了数学中好多神秘的大门。

咱先来说说这割圆法到底是啥。

你就想象一下，有一个大大的圆，咱们要想知道它的周长和面积，可不好直接量啊，那咋办？刘徽就想出了妙招。

他在圆里面不停地画正多边形，边数越来越多，越来越多。

比如说，先画个正六边形，这就像是个粗粗的近似。

可这还不够精确，那就接着画正十二边形，正二十四边形……就好像咱们拼图，一开始拼得很粗糙，但是随着块数越来越多，图案就越来越清晰、准确。

那刘徽是怎么具体推导的呢？他可聪明啦！先假设圆的半径是 1，然后算出正六边形的边长。

这可不难，因为正六边形的每条边都和半径相等，那边长不就是 1 嘛。

接下来算正十二边形，这就得费点心思啦。

刘徽通过巧妙的几何关系，算出了正十二边形的边长。

这就像是在走一条充满挑战的小路，每一步都得小心翼翼，但刘徽走得稳稳当当。

随着边数越来越多，计算也越来越复杂。

可刘徽不怕麻烦，一点点地算下去。

每多算出一种正多边形，就离圆的真实周长和面积更近一步。

你想想，这得多有耐心和智慧啊！就像我们爬山，一步一步，虽然累，但只要坚持，就能看到更美的风景。

刘徽就这样不断地逼近圆的真实情况，算出的结果也越来越精确。

这不就像我们追求梦想吗？一点点努力，一点点靠近，直到实现。

说到这，你是不是对刘徽的割圆法佩服得五体投地啦？这割圆法不仅展现了刘徽的高超智慧，更是给后来的数学发展打下了坚实的基础。

它告诉我们，只要有想法，有坚持，再难的问题也能被攻克。

所以啊，咱们在面对困难的时候，也得学学刘徽，不怕麻烦，勇往直前，说不定就能找到解决问题的好办法呢！。

刘徽割圆术，又称为“徽割圆术”或“刘徽圆周率计算法”，是中国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出的一种计算圆周率的方法。

这个方法的数学原理涉及到对圆的割线和三角函数的概念。

刘徽的割圆术基于圆周率与圆的直径的关系，即π（圆周率）等于圆的周长与直径的比值。

他提出了一种通过割圆得到近似值的方法，主要涉及到正多边形的内接和外接。

具体步骤如下：
1. 内接正六边形的构造：在圆内作一个正六边形，使其顶点分别位于圆的周上，这个六边形的直径等于圆的直径。

2. 内接正十二边形的构造：在内接正六边形的每个边上取一点，连接这些点，得到一个内接正十二边形。

3. 内接正二十四边形的构造：在内接正十二边形的每个边上再取一点，连接这些点，得到一个内接正二十四边形。

4. 迭代过程：重复上述步骤，每次构造的多边形边数翻倍，从而逐渐逼近圆。

5. 圆周率的逼近：当多边形的边数越来越多时，多边形的周长将逐渐接近圆的周长。

刘徽认为，当多边形的边数非常大时，多边形的周长与圆的周长的比值即为π。

这个方法虽然在原理上是正确的，但是在实际计算中，随着多边形边数的增加，计算的复杂性也增加，所以其实用性相对有限。

现代数学中，我们更常用其他方法如莱布尼茨级数、无穷级数等来计算圆周率π。

简述刘徽不易之率的计算方法篇一：刘徽的“不易之率”在数学史上可是相当了不起的发现呢。

那这“不易之率”的计算方法到底是咋回事呢？咱们就像剥洋葱一样，一层一层地来了解它。

首先啊，得知道这个“不易之率”是和圆周率有关的。

想象一下，圆周率就像一个神秘的宝藏，从古至今无数的数学家都想去揭开它的面纱。

刘徽也不例外，他在探索圆周率的道路上想出了这个独特的计算方法。

刘徽采用的是割圆术来计算“不易之率”。

这割圆术就好比是一个超级精细的厨师切菜的过程。

他先从一个圆开始，把这个圆想象成一个大披萨。

最开始，这个披萨是完整的一个圆。

然后呢，刘徽就开始用他的“数学刀”把这个圆进行切割。

他先把圆切割成六边形。

这就像是把披萨切成了六块，虽然这个时候的形状还比较粗糙，和圆的形状还有很大差距，但是这是第一步。

就像我们盖房子打地基一样，这个六边形就是计算“不易之率”的基础。

接着，他就根据六边形的边长等信息开始计算。

这里面就涉及到一些几何知识啦。

他知道六边形的边长和圆的半径之间是有一定关系的。

这关系就像是一种默契的合作伙伴，相互配合着计算。

比如说，六边形的边长是可以通过圆的半径计算出来的，这就像我们知道了一把钥匙可以打开一扇门一样。

然后呢，刘徽可不会满足于六边形这么简单的形状。

他继续用他的“数学刀”，把六边形进一步切割成十二边形。

这就好比是把那六块披萨再各自切成两半，变成了十二块。

这时候的十二边形就比六边形更接近圆的形状了。

随着切割的不断进行，边形的边数越来越多。

每增加一次切割，形状就更接近圆。

这个过程就像是我们画画的时候，从一个简单的草图，慢慢通过添加细节，让它变得越来越像我们心中想象的那个完美形象。

在这个不断切割的过程中，刘徽会计算每一次切割后的多边形的周长和直径的比值。

这个比值就是朝着“不易之率”慢慢靠近的。

比如说，当切割到三十六边形的时候，这个比值就比六边形的时候更接近真正的圆周率了。

而且刘徽在计算过程中非常严谨。

他每一步都像是走在钢丝上的杂技演员，小心翼翼，容不得半点差错。