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数学视野经典算法----割圆术根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密.他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
刘徽割圆术的赏识与改进建议一、数学文化理念割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积（周长）去无限逼近圆的面积（周长），并以此求取圆周率的方法。
凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,求得的圆周率的近似值徽率（3.14）.刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。
祖冲之（429-500）在刘徽“割圆术”的基础上，首次将“圆周率”精确到小数第七位，领先世界一千年。
这是中国古代数学家的骄傲，也反映了中国古代数学家的聪明才智和钻研精神。
（1）哲学是一切自然科学和社会科学的概括和总结，数学中充满了辩证法，数学学习需要用马克思主义哲学来指导。
要想深入探索刘徽割圆术，唯有2件武器，那就是马克思辩证思想和数学中的“清晰的直觉”和“严格的演绎”。
刘徽割圆术蕴含着丰富的马克思辩证统一思想，数列极限的学习中不光要学习知识，更重要的是提升辨证思维能力。
直与曲的统一：直与曲是两个完全不同的概念，二者的差别是明显的。
刘徽开创“割圆术”来计算圆周率，以圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长，这种方法包含的由直线向曲线转化（以直代曲）和用近似值向精确值逼近的思想，在当时条件下是难能可贵的。
常量与变量的统一：常量与变量是数学中的两个基本概念，这两种量的意义有着严格的区分，但它们又是相互依存，相互渗透，依据一定条件相互转化。
圆的周长（面积）是一个常量，这个常量的计算并非轻而易举，它是通过逐次增加边数的内接正多边形的周长（变量）来实现的，即常量是变量的逼近的极限过程。
有限与无限的统一：有限与无限存在着本质的区别．然而两者之间并非存在不可逾越的鸿沟，而是在一定条件下可以相互转化，正是这种转化使得无限在数学世界中显示威力。
刘徽割圆正是体现有限与无限对立统一思想的例子，在无限的过程中得到了圆的面积或周长。
量变与质变的统一：刘徽割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”，内接正多边形的边数越来越多时，它与圆周偏差就会越来越小。
割圆法求圆周率公式（原创版4篇）目录（篇1）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇1）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此可以近似认为π等于多边形周长与半径的比值，即π = a / b。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代被广泛应用，尤其是在算筹时代。
刘徽利用这种方法计算出了圆周率的前七位数字，为数学发展做出了重要贡献。
在现代，割圆法也广泛应用于测量领域，例如地球半径的测定等。
四、割圆法求圆周率的误差分析割圆法虽然可以快速地得到圆周率的近似值，但在实践中仍然存在一定的误差。
随着计算精度的提高，割圆法的局限性逐渐显现。
例如，当多边形的边数增多时，计算量也会随之增加，导致计算效率降低。
目录（篇2）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇2）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此π的值也趋近于圆的周率。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代和现代都有着广泛的应用。
数学探险故事之骑鹰访古19（割圆高手）“割圆？”铁蛋觉得十分奇怪。
刘徽看铁蛋没听懂，就笑笑说：“你饿了吧？今天我请你吃大饼。
”说完走进厨房，从里面取出一摞大饼，这些大饼都一般大，都非常圆。
铁蛋还真有点饿，他伸手刚想去拿大饼，刘徽拦阻说：“慢。
这样拿起来就吃，多没有意思呀！”铁蛋把手缩回去，咽了一下口水问：“怎么吃饼才有意思？”刘徽用刀在第一张圆饼中切出一个内接正六边形，然后把切下来的6小条弓形饼递给了铁蛋，说：“吃吧！”铁蛋虽然嫌少，无奈肚子饿呀！双手接过来，两口就吃完了。
铁蛋说：“还想吃。
”“咱们切第二个圆饼。
”刘徽这次在圆饼上切出一个圆内接正十二边形，切出12条又细又短的弓形小饼递给铁蛋，说：“吃吧！”“啊！就这么点儿？”铁蛋一只手接过这12条小饼，一口就吞了下去。
刘徽说：“够不够吃？不够我再切第三张圆饼。
”“别切了，别切了。
”铁蛋赶忙拦住说，“您这一次肯定要切出一个圆内接正24边形，切下来的24小条饼，恐怕还不够我塞牙缝的哩！”“哈哈。
”刘徽笑着说，“娃娃，你从我切饼中得到些什么启示？”铁蛋捂着后脑勺想了想说：“正多边形的边数越多，切下来的饼越少。
”“对极啦！”刘徽高兴地说，“前人用正六边形的周长来代替圆周长，这样做误差太大，求出圆周率等于3也就不准确。
如果用正12边形的周长去替代圆周长，求出的圆周率肯定要更准确些。
”铁蛋抢着说：“如果用正24边形的周长来代替圆周长，误差就更小啦！用正24边形的周长去代替圆的周长，求出的圆周率会更准确些。
”“说得太对啦！”刘徽说，“我就用这种每次边数加倍的方法，算出了圆内接正192边形周长，并算出圆周率等于3.14。
”“3.14？书上把3.14叫做徽率，就是纪念您的伟大成就啊！”铁蛋又问，“您用的这叫什么方法？”刘徽答：“割圆术。
”铁蛋竖起大拇指，称赞说：“您不但饼切得好，更是割圆高手！”1。
刘徽割圆术和物理解题的微元法“圆，一中同长也。
”纯语文翻译:圆这种图形,有一个中心,从这个这个中心到圆上各点都一样长.数学意义:圆有一个圆心,圆心到圆上各点的距离(即半径)都相等.关于“圜”的定义。
墨子说：“圜，一中同长也。
”(《墨经上》)这里的“圜”即为圆，墨子指出圆可用圆规画出，也可用圆规进行检验。
圆规在墨子之前早已得到广泛地应用，但给予圆以精确的定义，则是墨子的贡献。
墨子关于圆的定义与欧几里得几何学中圆的定义完全一致。
遇到求圆的周长的问题，周长的计算涉及到一个圆周率π，古人根据经验一直沿用“周三径一”。
实践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与直径的比值。
公元三世纪，我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，运用他的话说：“周三者，从六觚之环耳。
”他在为《九章算术》作注时谈到：“学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。
凡物类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。
”刘徽进行长期的追本觅源，刻苦钻研，终于悟出其中的真谛实义，创造出震惊中外数坛的“割圆术”。
他是从正六边形开始运算，令边数一倍一倍地增加，边数变为12，24，48，96，192，…，逐个算出六边形、十二边形、二十四形、……的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。
圆，是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：“数之法出于圆方，圆出于方。
”“环矩以为圆，合矩以为方。
”“方数为典，以方为圆。
”于是刘徽看到了圆与方形的关系，用了下下面的方法证明了《九章算术》中计算圆面积的法则：圆内接正n 边形，其面积，周长，一边分别记为Sn,Pn,a n设AB 是圆内接正6边形的一边，AC是内接正12边形的一边，S OBC=1/2DB*DC=1/4a6*r=1/2P6*r,同理，S24=1/2P12*r对一般情形，有S2n=1/2P n*r,为了确定圆面积的上界，他还提出S2 n < S < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,得到:314×64/625< S < 314×169/625,由S =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.在割圆术中刘徽巧妙地运用了“方形好算，圆形难算”这个特点，把圆看成边数是无穷的正多边形，它是未知的，而边形有限的正多边形则是可求的，已知的。
