勾股定理3

勾股定理的三个公式
1.勾股定理的三个公式是a=k（m²+n²），b=2kmn，c=k（m
²+n²）。

2.勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直
角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

3.勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法
最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

4.勾股数有：
1、能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数。

2、记住常见的勾股数可以提高解题速度，如
3、
4、5；6、8、10；
5、12、13；7、24、25等。

3、用含字母的代数式表示n组勾股数：（n为正整数）；（n 为正整数）；（m>n,m，n为正整数）。

经验内容仅供参考，如果您需解决具体。

直角三角形勾股定理公式大全
1.勾股定理：
在一个直角三角形中，直角边的平方等于斜边两条直角边的平方和。

即，设直角边分别为a和b，斜边为c，则有公式：
c²=a²+b²
2.斜边公式：
若已知直角边a和b的长度，可以通过斜边公式计算斜边c的长度：c=√(a²+b²)
3.第一个直角边的求解：
已知斜边c和直角边b，可以通过勾股定理求解直角边a：
a=√(c²-b²)
4.第二个直角边的求解：
已知斜边c和直角边a，可以通过勾股定理求解直角边b：
b=√(c²-a²)
5.高公式：
h=√(c²-a²)
6.直角三角形的周长公式：
周长=a+b+c
7.直角三角形的面积公式：
面积=(a*b)/2
这些公式可以帮助我们计算直角三角形的边长、周长和面积。

在解决
与直角三角形相关的问题时，可以根据具体情况选择合适的公式进行计算。

3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体外表上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个外表都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的外表爬行到右侧外表上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的外表爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C 1处(三条棱长如下列图)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的外表爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行局部展开，画出局部的展开图，假设将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其外表看两点之间的连线绝大局部是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它成心不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的根底上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的外表由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数〞转化为定理中的“形〞，再转化为“数〞．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体外表上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的根底．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？解：设CD＝x cm，由题意知DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 cm.于是BE＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为3 cm.。

勾股定理三条边的公式
勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中的关系。

勾股定理有三个公式，它们分别是：
1. a² = b² + c²
2. b² = a² - c²
3. c² = a² - b²
这三个公式中，a、b、c分别代表直角三角形的三条边，其中a为斜边，b、c为直角边。

这三个公式是勾股定理的不同表述，它们之间是等价的。

以第一个公式为例，它的意思是直角三角形中斜边的平方等于直角边的平方和。

这个公式可以用来求解直角三角形中未知的边长，只需要已知两条边的长度，就可以通过勾股定理求出第三条边的长度。

第二个和第三个公式则是将第一个公式中的某一条边表示为其他两条边的函数形式。

这样做的好处是，在一些特定的问题中，可以更方便地使用这些公式。

除了上述三个公式以外，勾股定理还有其他形式的表述，比如三角函数形式、向量形式等。

这些表述方式在不同的数学领域和问题中都有着广泛的应用，比如在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有着重要的作用。

总之，勾股定理是数学中的一个经典定理，它有着多种不同
的表述方式和应用场景。

掌握这个定理，不仅可以帮助我们更好地理解直角三角形的性质，还可以在实际问题中提供有效的解决方法。

勾股定理、一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为1.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

17.1 勾股定理（3）一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，•发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，•并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点235重点：在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．师生行为： 学生小组交流讨论教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形； ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可．我们不妨先来画出长为的线段．生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 生：设c=，两直角边为a ，b ，根据勾股定理a 2+b 2=c 2即a 2+b 2=13．若a ，b 为正整数，•则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a 2=4，b 2=9，则a=2，b=3．•所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．2132323232321313131322131313师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点． 生：步骤如下：1．在数轴上找到点A ，使OA=3. 2．作直线L 垂直于OA ，在L 上取一点B ，使AB=2.3．以原点O 为圆心、以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则点C 即为表示的点．(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A 点表示男孩头顶的位置，C 、B •点是两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2．即5 0002=BC 2+4 8002，所以BC=1 400米．飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B 处通过平面镜看见在B 正上方5米处的A 物体，•已知物体A 到平面镜的距离为6米，向B 点到物体A 的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt △A′AB 中，A′B 2=AA′2+AB 2=122+52=169=132米．1313所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB•是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：②学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4、练习：在数轴上作出表示的点．解：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如下图：171717设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．此活动中，教师应重点关注：（1）生能否积极主动地思考问题；（2）能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．例5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。