(完整版)第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案.doc

勾股定理的应用例题讲解例1、D同步练习：1、102、D例2、C同步练习：1、B2、画侧面展开图，如图，因为圆柱的底面周长为6 cm ，所以AC ＝3 cm.又因为PC ＝23BC ，所以PC ＝23×6＝4(cm)．在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，得AP ＝5 cm.例3、125cm同步练习：1、B2、13例4、D同步练习：1、1.5m2、96巩固练习1-7：D ，5，C ，5，C ，13，D ，8、【解析】（1）在Rt △ABC 中，∵AC=60m ，AB=100m ，且AB 为斜边，根据勾股定理得：BC=80（m ）；:（2）这辆小汽车没有超速．理由：∵80÷5=16（m/s ），平均速度为：16m/s ，16m/s=57.6km/h ，57.6＜70，∴这辆小汽车没有超速．9、【解析】如图所示：在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：BC==4米．地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．地毯的总价=40×10.5=420元．故答案为：420元．10、解：经分析，如图，应把台阶看成是纸片折成的，拉平(没高度)成一张长方形(宽为3×3＋2×3＝15 dm，长为20 dm)的纸．所以AB2＝152＋202＝625(dm2)．所以AB＝25 dm，即蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是25 dm.11、设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．12、【解析】解：∵车宽1.6米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OEF中，由勾股定理可得：EF===0.6（m），EH=EF+FH=0.6+2.3=2.9＞2.5，∴卡车能通过此门．。

第3章勾股定理综合提优卷 （时间：60分钟满分：100分）一、填空题（每题3分，共30分）1 .如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面 3米处折断，树的顶端落在离树杆底 4米处，那么这棵树折断之前 的咼度是 ________ 米.2 .直角三角形一条直角边与斜边分别为4 cm 和5 cm ，则斜边上的高等于 ________ cm .3 .如图，在直角三角形 ABC 中，/C = 90 応 =12 , BC=5，则以AB 为直径的半圆的面积为 ___________ .4 .如图，在四边形 ABCD 中,Z A = 90 °，若AB = 4 cm , AD = 3 cm , CD = 12 cm , BC = 13 cm ，则四边形 ABCD的面积是 ________ .5 .木工师傅要做一个长方形桌面， 做好后量得长为80 cm ,宽为60 cm ，对角线为100 cm ，则这个桌面 _________ .（填“合 格”或“不合格”i 第1题】BuI 第4题）6 .甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8 km，乙往南走了 6 km ，这时两人相距 ________ km .7.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 _______ 步路（假设2步为1 米）,却踩伤了花草.8 .如图，以Rt ^ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三 角形，若斜边 AB = a ，则图中阴影部分的面积为9 .如图，在Rt ^ABC 中，ZBCA = 90。

，点D 是BC 上一点，10 .动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3, BD = 5.如图所示，折叠纸片使点 A 落在边BC 上的A'处，折痕为PQ .当点A'在边BC 上移动时，折痕的端点 P 、Q 也随之移动.若限定点 P 、Q 分别在边AB 、AD 上移动，则点 A' 在边BC 上可移动的最大距离为 二、选择题（每题3分，共30分）AD = BD ，若 AB = 8 ,nD11.下列各组数中，可以构成勾股数的是（）.A. 13 , 16 , 19B. 17, 21 , 23C. 18, 24, 36D. 12, 35 , 3712.下列命题中，是假命题的是（）.A .在/△ABC中，若/B = /C = ZA ,则/△ABC是直角三角形B .在 A ABC 中，若a2= （b + c）（b - c），贝U A ABC 是直角三角形C .在△ ABC 中，若/A: /B : /C = 3: 4 : 5，贝ABC 是直角三角形D .在/ABC 中，若a: b : c = 5: 4: 3，贝U /ABC 是直角三角形13.一直角三角形的三边分别为2, 3, x,那么以x为边长的正方形的面积为（）.A . 13 B. 5C . 13 或5D . 4 殳14.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正严E方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的边长分别是3 , 5, 2, 3，则最大的正方形E的面积是（）•A . 13 B. 26C. 47D. 9415.在Rt △ABC 中，/C = 90 °,AC = 3, BC = 4，则点C 到AB的距离是（）.A. 12B. -C. -D. -5 25 4 416.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800 cm 2, 则斜边长为（）.A . 30 cm B. 80 cmC . 90 cmD . 120 cm17 .底面周长为12,高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点则蚂蚁爬行的最短距离是（）.10 B .A.18 .如图，已知矩形 ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在 C'处，BC ,交 AD 于点 E , AD = 8 , AB = 4，贝U DE 的 长为（ ）.A . 3B . 4C . 5D . 619 .如图，四边形 ABCD 中，AC 、BD 是对角线，△ ABC20 .如图，设正方体 ABCD - A i B i C i D i 的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点 A 出发，以相同的速度分别沿棱向 前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是 AA i —Ai D i T...... ，白甲壳 虫爬行的路线是 AB T BB i — ，并且都遵循如下规则：所 爬行的第n + 2与第n 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）.那么当黑、白两个甲壳虫各爬行 完第20i3条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）.是等边三角形，/ ADC = 30 长为（）.A . 3 2B . 4,AD = 3, BD = 5，贝》CD 的C . 2 5D .4.5三、解答题(共40分)21 .如图，已知在厶ABC中，CD AAB于D , AC = 20, BC=15 , DB = 9 .⑴求DC的长；(2)求AB的长.22 .观察下列各式，你有什么发现?32= 4 + 5 , 52= 12 + 13 , 72= 24 + 25 , 92= 40 + 41，…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究.若132 = a + b，则a, b的值可能是多少？23 .如图所示，一轮船以16 n mi1e /h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1e /h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？f 东北港口冲一~东\ '南南24 .如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a, b,斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图;(2)证明勾股定理.a 025 .如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC = 1 km , BD = 3 km , CD = 3 km 现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？,?AC' ____________ >26 .如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=30。

一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 3．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm4．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A．4 B．6 C．8 D．95．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：2：3；（4）GE2+CE2＝BG2．A．1个B．2个C．3个D．4个6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）A．5.3尺B．6.8尺C．4.7尺D．3.2尺7．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．200m B．300m C．400m D．500m8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）A．14 B．13 C．3D．29．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）A ．杨辉B ．刘徽C ．祖冲之D ．赵爽10．有下列的判断： ①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2以下说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．12．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．13．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．14．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =42AC =DA 的长为______．15．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．16．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD的值为____________．17．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．18．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．19．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则2________BD =．20．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值； （2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．25．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．26．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝52，求点B 的坐标； （2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）28．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确；∴47GF AF AG =-=-，在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=-，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理． 2．B解析：B【分析】过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．∵DC ＝2，BD ＝6，∴BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，∴∠CBC ′＝90°，∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°，∴BC ＝BC ′＝8，根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=．故选：B ．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ，因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）．故选：D ．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．4．B解析：B【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=11022a a ⋅⋅=，'AB C △的面积=142b ⋅=∴2a = 2b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，∴c 2=a 2-b 2=∴'ABC △的面积=212c ⋅=6= 故此题选B【点睛】此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积5．C解析：C【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABE ＝∠CBE ，根据等角的余角相等求出∠A ＝∠BCA ，再根据等角对等边可得AB ＝BC ，从而得证；（2）根据三角形的内角和定理求出∠A ＝∠DFB ，推出BD ＝DC ，根据AAS 证出△BDF ≌△CDA 即可；（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；（4）由（2）得出BF ＝AC ，再由BF 平分∠DBC 和BE ⊥AC 通过ASA 证得△ABE ≌△CBE ，即得CE ＝AE ＝12AC ，连接CG ，由H 是BC 边的中点和等腰直角三角形△DBC 得出BG ＝CG ，再由直角△CEG 得出CG 2＝CE 2+GE 2，从而得出CE ，GE ，BG 的关系．【详解】 解：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵CD ⊥AB ，∴∠ABE +∠A ＝90°，∠CBE +∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠BCA ，∴AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形；故（1）正确；（2）∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠A +∠ABE ＝90°，∠ABE +∠DFB ＝90°，∴∠A ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，∴∠DCB ＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC ，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDA 中==BDF CDA A DFB BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF ＝AC ；故（2）正确；（3）∵在△BCD 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝45°，∴∠DCB ＝45°，∴BD ＝CD ，BCBD ．由点H 是BC 的中点，∴DH ＝BH ＝CH ＝12BC ， ∴BD，∴BH ：BD ：BC ＝BH：2BH ＝1：2．故（3）错误；（4）由（2）知：BF ＝AC ，∵BF 平分∠DBC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，又∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CEB ，在△ABE 与△CBE 中，==ABE CBE AEB CEB BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），∴CE ＝AE ＝12AC ， ∴CE ＝12AC ＝12BF ； 连接CG ．∵BD ＝CD ，H 是BC 边的中点，∴DH 是BC 的中垂线，∴BG ＝CG ，在Rt △CGE 中有：CG 2＝CE 2+GE 2，∴CE 2+GE 2＝BG 2．故（4）正确．综上所述，正确的结论由3个．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，答：折断处离地面的高度OA是3.2尺．故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．7．D解析：D【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵A B=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，22500+=AB BC m∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．8．D解析：D【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．【详解】解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长=24-10=14，∴=故选D．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．9．D解析：D【分析】3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．故选D．【点睛】考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．10．D解析：D【分析】欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】①c不一定是斜边，故错误；②正确；③若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则a2＋b2≠c2，故错误，所以正确的只有②，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.二、填空题11．45【分析】∠+∠=∠，只需证△ADC是如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD 12．5cm【分析】连接AC＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC＇长，再比较大小即可得出结果．【详解】解：如图展开成平面图，连接AC ＇，分三种情况讨论：如图1，AB=4，BC ＇=1+2=3，∴在Rt △ABC ＇中，由勾股定理得AC ＇2243+（cm ），如图2，AC=4+2=6，CC ＇=1∴在Rt △ACC ＇中，由勾股定理得AC ＇2261+37（cm ），如图3，AD =2，DC ＇=1+4=5，∴在Rt △ADC ＇中，由勾股定理得AC ＇2225+29（cm ）∵2937，∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm ，故答案为：5cm ．【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．13．163【分析】延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==，2243AE BE AB ∴-=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =283CE CD ∴==，2212DE CE CD ∴=-=，∴1443832ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形． 故答案为：163．【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt △ABC 固定后，根据“以BC 为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ，证明A 、C 、E 三点共线，在等腰Rt △ADE 中，利用勾股定理可求AD 长；②当D 点在BC 下方时，如图2，把△BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到△CED ，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1所示，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCE ，则∠ABD=∠ECD ，2，AD=DE ，且∠ADE=90°在四边形ACDB 中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A 、C 、E 三点共线．∴222在等腰Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即2AD2=（62）2，解得AD=6②当D点在BC下方时，如图2所示，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．15．36或84【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵BC边上的高为8cm，∴AD=8cm，∵AC=17cm，由勾股定理得：22221086BD AB AD=-=-=cm，222217815CD AC AD=-=-=cm，如图1，点D在边BC上时，BC=BD+CD=6+15=21cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×21×8=84cm2，如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD−BD=15−6=9cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×9×8=36 cm2，综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，故答案为：36或84．【点睛】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．16．62 2【解析】【分析】过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a，332)a，31)a，231)a,代入计算即可.【详解】过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.∵∠BCA＝30°，AE=EC∴AM=12AC，AN=12AC∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM≅ R t∆AEN(HL)∴∠DAM=∠EAN又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a ，根据勾股定理得：GM=3a, ∵∠ABC ＝45° ∴AM=BM=(32)a +∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,∴()()62262231a AB BD a++==+ 故答案为：622+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.17．2【分析】连接CE ．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE ，【详解】解：（1）如图，连接CD 、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，∴BD=CD=1．BC=2 ,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC=2,故答案为2.【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．18．120 13【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，则CF=BE+FF的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB⋅CF=BC⋅AD，∴CF=BC ADAB⋅=101213⨯=12013故答案为120 13.点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.19．41【解析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD ′中，;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22AD AD +' ，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=22DC DD +'，∴BD=CD′=41，即BD 2=41．故答案是：41．20．5【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC=∠C=45°，∵∠ADF=∠CDB，∴△ADF≌△CDB，∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，∵AE=3，BE=1，∴AB=BC=4，∴AF=4，∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF，∵AC是BF的垂直平分线，∴BP=PF，∴PB+PE=PF+PE=EF=5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.三、解答题21．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：222∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．22．（1）213；（2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒，222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =； 即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． 23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a，b，c|c﹣17|+b2﹣30b+225，21||7(15)c b+-﹣，∴a﹣8＝0，b﹣15＝0，c﹣17＝0，∴a＝8，b＝15，c＝17；（2）能．∵由（1）知a＝8，b＝15，c＝17，∴82+152＝172．∴a2+c2＝b2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40；三角形的面积＝12×8×15＝60．【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状. 25．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积=12BC CG⋅，而BC和CG可得，问题即得解决．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，当D、E两点重合时，则AD=CD，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CF CD=，∴∠F=∠CDF，∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3∴BF 226BE =232GF =，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形， ∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==∴26231CN FN ===， ∴)2323131GN GF FN CN =-=-==， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==∴△BCG 的面积=116262222BC CG ⋅==． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．26．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．。

第三讲中考中的勾股定理应用【典型例题A】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)【典型例题B】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF．【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．3、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：．4、已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：2.方程的思想方法6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.【变式】直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积.【巩固练习A】一、选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )（1）（2）（4）A.5B.7C.8D.102．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A. B.C. D.3. 下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )（6）（7）（8）A.450元B.225元C.150元D.300元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.3B.4C.6D.12二、填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．（12）（13）（15）12. 下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．13. 长为4 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______．14．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.【巩固练习B】一、选择题1. 在△中，若，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°（2）（6）（8）3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形．B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形．C．在△ABC中，若，，则△ABC为直角三角形．D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．4．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )A. B. 或 C. D. 或5. 若三角形的三边长分别等于，则此三角形的面积为（）A. B. C. D.6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )A. 5B.C. D.7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.B.C.D.8. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A. B. C. D. 3二、填空题9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______.（9）（10）（11）10．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．11．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．12．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．13．如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____,如果从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_____.（13）（15）（16）14．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________.三.解答题17. 如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB ＝4,AC＝3，，求：△ABC的面积．18．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6，BC ＝8,①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合，则CD ＝_________.②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．。

2020年中考数学专题培优勾股定理及其逆定理的应用（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 的长度为（ ） A. 5 B.6 C.7 D.252.下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．A ．1，2，3B ．4，5，6C ．12，13，14D ．9，40，41 3.以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）A ．5cm ，6cm ，7cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．2cm ，2cm ，1cmD ．5cm ，12cm ，13cm4.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:55.下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt ABC △中，90C =o ∠，两直角边a 、b 分别是方程2770x x -+=的两个根，则AB 边上的中线长为1352正确命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6.如图，在Rt △ABC 中, ∠C=90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E.若BC=2，AC=4，则BD=（ ）A . 32B . 2C . 52D .3 7.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4．过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E ，则BAD E B C AAE 的长是（ ）A.1.6B.2.5C.3D.3.1258.如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D ′处，若AB =3，AD =4，则ED 的长为（ ）A.32B. 3C. 1D. 439.如图，在平面直角坐标系xOy 中,若动点P 在抛物线2y ax =上, ⊙P 恒过点(0,)F n .且与直线y n =-始终保持相切，则n =____________(用含a 的代数式表示).二、填空题（共有9道小题） 10.平面直角坐标系中，点（2，3）到原点的距离是11.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝5，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是 ．12.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱表面爬行的最短路程是D'E DB CA FP y=-nxyOD PQ C BA（π取近似值3）13.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE ＝DF ，BE ，CF 相交于点G ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则△BCG 的周长为 ．14.观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26； 请你根据规律写出第⑤组勾股数是 ．15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

（完整版）第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案.doc第1页共14页第三讲勾股定理及其应用培优辅导一、点击一：勾股定理勾股定理：．则 c2=, a2=, b 2 =．勾股数：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、特殊勾股数：连续的勾股数只有 3 ，4，5 连续的偶数勾股数只有 6， 8， 10 勾股定理的逆定理：．点击二：学会用拼图法验证勾股定理如，利用四个如图 1 所示的直角三角形，拼出如图 2 所示的三个图形并证明．b ca（图 1）图 3图 2证明图 2或3．点击三：在数轴上表示无理数例在数轴上作出表示10 的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用例已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+ 6，求这个三角形的面积．点击五：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．二、【精典题型】考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中, 若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为__________ ，斜边的高为__________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________ ．3．已知，如图在ABC中， AB=BC=CA=2cm， AD是边 BC上的高．则① AD的长 _____；②Δ ABC的面积 _________．考点二、利用列方程求线段的长如图，某学校（ A 点）与公路（直线L）的距离为300 米，又与公路车站（ D 点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（ C 点），使之与该校A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（ 3）8、15、17（4）4、 5、 6，其中能够成直角三角形的有_________________.2.若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a 2-b 2(a>b>0), 则这个三角形是 _________________. 3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。

勾股定理的应用（讲义）➢知识点睛1.利用勾股定理解决实际问题的处理思路：（1）理解题意，把实际问题转化为数学问题；（2）找出相应的直角三角形，并找出其______、______；（3）根据已知及所求，利用___________进行计算．2.“勾股定理”或“勾股定理逆定理”：条件是直角三角形时，考虑______________________；要证明三角形是直角三角形，考虑______________________．➢精讲精练1.一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160 km，然后向正北方向航行了120 km，这时它离出发点有________km．2.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，则敌方汽车的速度为_________km/h．3.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在一竖直的墙AO上，这时梯子底端B与墙角O的距离为0.7米．梯子滑动后停在CD位置上，测得BD=0.8米，求梯子顶端A沿墙下滑了多少米？4.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是_________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）第4题图第5题图5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度是_______尺，这根芦苇的长度是_______尺．6.如图，公路上A，B两站相距5 km，在公路附近有C，D两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD=2 km，BC=1 km，现要在公路边建一个青少年活动中心E，使C，D两所学校到E的距离相等，则青少年活动中心E应建在距离A多远处？D ECBA7.如图，有两棵树，一棵高10米，一棵高5米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米．4.5m第7题图第8题图8.如图所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．一个身高1.5 m的学生从远方走过来，走到离门_______m处时，灯刚好发光．（门的厚度忽略不计）9.由于大风，山坡上的一棵与地面垂直的树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵与地面垂直的树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两树的水平距离为12米，则甲树原来的高度为___________．CBA乙树甲树10.如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B两处相距河岸的距离AC，BD分别为500米和300米，且C，D两处的距离为600米，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______米．11.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12 m，CD=9 m，AB=39 m，BC=36 m，则这块地的面积为___________．DCBA12. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =20 cm ，BC =15 cm ，CD =7 cm ，AD =24cm ，求四边形ABCD 的面积．BADC13. 如图，广场上雕塑底座正面ABCD 是一个四边形且边AB =40 cm ，AD =30 cm ，小明想要检测雕塑底座的边AD 是否垂直于边AB ，但他随身只带有一个有刻度的卷尺，他能有办法检验边AD 是否垂直于边AB 吗？请你帮小明设计一个可行的方案．14. 给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？【参考答案】➢知识点睛1.（2）直角边，斜边（3）勾股定理2.勾股定理，勾股定理逆定理➢精讲精练1.2002.1083.梯子顶端A沿墙下滑了0.4米4. 4.55尺5.12，136.青少年活动中心E应建在距离A 2.2 km处7.138. 49.19米10.1 00011.216 m212.234 cm213.有办法，方案略14.能，方法略。

第三节 勾股定理及逆定理的综合应用在几何题中，通常会综合运用勾股定理与逆定理解决三角形的问题，如证明两条直线互相垂直、图形折叠、在数轴上寻找无理数、解斜三角形等等，同时，在综合题中也常常利用勾股定理求线段长．1．运用勾股定理进行实际运算(1)把实际问题转化为数学问题．(2)构造直角三角形．(3)运用勾股定理解决问题．2.运用勾股定理解决“翻着”问题(1)首先弄清折叠图形前后联系（三角形全等，对应边角相等）．(2)将翻折中产生的直角三角形三边长度求出来或者用未知数表示出来．(3)利用勾股定理列出方程，求出未知数的值，3.利用勾股定理求立体图形表面爬行最短距离(1)将立体图形侧面展开到一个平面中；(2)利用两点之间线段最短在展开平面内找出最短路径；(3)利用勾股定理求出最短路径．例1．如图7-3-1所示，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作,AB PQ 以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点0为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ．则点M 对应的数是( ) 3.A 5.B 6.C 7.D检测1.如图7-3-2所示，在平面赢角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点0为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )A. -4和-3之间 B ．3和4之间 C ． -5和-4之间 D.4和5之间137-- 237-- 337--例2．（广东深圳校级期末）如图7-3-3所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )295.A 35.B 5510.+C 25.D检测2.如图7-3-5所示，A 是高为10 cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30。

角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是( )cm A 10. cm B 20. cm C 30. cm D 40.例3．（江西宁都县期末）如图7-3-6所示，将一根25 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为cm cm 6,8和cm 310的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少．537-- 637-- 737--检测3.如图7-3-7所示，是一个直圆柱状的饮料瓶，由内部测得其底面半径为3厘米，高为8厘米，今有一支13厘米的吸管任意斜放干杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最小为 厘米．例4．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5 m 远的水底，竹竿高出水面0.5 m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 m.检测4.如图7-3-9所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了( )米5.0.A 1.B 5.1.C 2.D937-- 1037-- 1237--例5．（山东省威海市）如图7 -3- 10所示，在矩形ABCD 中，,4=AB ,6=BC 点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( )59.A 512.B 516.C518.D检测5.如图7 -3 -12所示，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C 处，BC 交AD 于,8,16,==AB AD E则DE 的长为第三节 勾股定理及逆定理的综合应用(建议用时35分钟)实战演练1．如图7-3-1所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，折断的一端恰好落到地面的B 处，经测量AB =2米，则树高为( )3.A 米 3.B 米 5.C 米 )15.(+D 米2．一只蚂蚁沿如图7-3-2所示折线从A 点爬到D 点，共爬行了( )(图中方格边长为1 cm)cm A 12. cm B 10. cm C 14. D ．以上答案都不对3．如图7-3-3所示，四边形ACED为平行四边形，DF垂直平分BE，甲乙两虫同时从A点开始爬行到点F，甲虫沿着A-D-E-F的路线爬行，乙虫沿着A-C-B-F的路线爬行，若它们的爬行速度相同，则( )A．甲虫先到 B．乙虫先到 C.两虫同时到 D．无法确定137--237--337--4．如图7-3-4所示，一圆柱高4 cm，底面半径1 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（丌取3）是( )cmA6.cmB5.cmC7. D．无法确定5．如图7-3-5所示，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直，且,300,400mADmAB==.400mCE=如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店（E点处），按图中的街道行走，最近的路程约为( )mA600.mB500.mC400.mD300.437--537--637--6．如图7-3-6所示，有一张直角三角形纸片，两直角边,8,6cmBCcmAC==将△ABC折叠，使B点与A点重合，折痕为DE．则CD等于( )cmA425.cmB322.cmC47.cmD35.7．将边长分别为cmcmcm2,3,3的等腰三角形从一个圆钢圈中穿过，那么这个圆钢圈的最小直径是( )cm2.A22.B3.C234.D8．如图7-3-7所示，梯子AB斜靠在墙上，,,BCACBCAC=⊥当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B 沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是( )yxA=.yxB>.yxC<. D．不确定9．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米／分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为米．10.某楼梯的侧面视图如图7-3-8所示，其中,90,30,4ο=∠=∠=CBACAB o米因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为737--837--937--11．（山东省临沂中考）如图7-3-9所示，将一矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A ，C 重合，折痕为FG ．若,8,4==BC AB 则△ABF 的面积为12．如图7 -3 - 10所示，一架长2.5 m 的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7 m ，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m ，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 m13.已知，如图7-3 -11所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果,10,8cm BC cm AB ==则EC 的长为 .cm14.（江苏徐州二模）一副三角板如图7-3 - 12所示放置，点C 在FD 的延长线上，,//CF AB ,90ο=∠=∠ACB F ,45ο=∠E ,60ο=∠A 若,8==DE AB 则=BE （结果保留根号）．1237-- 1337--15.如图7-3- 13所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm ，3 cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路的长是16.细心观察图7-3 - 14，认真分析各式，然后解答问题：;21S 21)1(12==+；;22S 31)2(22==+；⋅==+23S 41)3(32； ①用含有n n （是正整数）的等式表示上述变化规律：②推算出10OA 的长：③求出210232221S ++++ΛS s S 的值．1437--17.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图7-3 - 15所示），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏点B 的直线距离是多少千米．1537--18.两个正方形如下图并列排列，要求剪两刀（剪切线为直线哦），使之拼成一个新的正方形．(1)如图7 -3 - 16所示，若正方形边长分别为1，2，请在图中画出剪切线；(2)如图7-3 -17所示，若正方形边长分别为),(,b a b a >请画出剪切线并标出各边的长度；(3)若要求剪三刀拼成一个正方形，请在图7-3 - 18中画出剪切线．1637-- 1737-- 1837--19.如图7-3 - 19所示，在Rt△Poo 中，M OQ OP ,4==是PQ 中点，把一三角尺的直角顶角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△P OQ 的两直角边分别交于点.,B A(1)求证：;MB MA =(2)连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由，1937--拓展创新20.如图7-3 - 20所示，圆柱形玻璃杯，高为6 cm ，底面周长为16 cm ，在杯内离杯底2 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，在离杯上沿2 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.拓展1．为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，如图7 -3 - 21所示，已知柱子的底面周长为1 m ，高为3 m.如果要求彩带从柱子底端的A 处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处，那么至少应购买彩带 m.2037-- 2137-- 2237--拓展2．如图7 -3 - 22所示，长方体的底面边长分别为1 cm 和3 cm ，高为6 cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm.极限挑战21.将两块斜边长相等的等腰直角三角尺按如图7-3 - 23摆放．(1)点M ，N 在AB 上（不与A ，B 重合）时，若,15,12cm MN cm AM ==求BN 的长；(2)当点M 在AB 上，点N 在AB 的延长线上（如图7-3 - 24）时，若==BM cm AM ,20,16cm 求BN 的长．2337-- 2437--答案。

第三章勾股定理培优专题折叠问题中的勾股定理应用（含解析）中小学教育资源及组卷应用平台第三章勾股定理培优专题折叠问题中的勾股定理应用类型1 勾股定理在三角形折叠中的应用1.如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,△B=90°,将△ABC折叠,使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN 的长为( )C.4D.5第1题图第2题图2.如图，三角形纸片ABC中，△BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C 与点D重合，若折痕与AC 的交点为E,则AE 的长是( )3.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A 与B 重合，折痕为DE.(1)如果AC=6 cm,AB=10 cm,可求得△ACD的周长为___________cm;(2)如果△CAD:△BAD=1:4,可求得△B 的度数为_____________;操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,AB=15 cm,请求出CD的长.类型2 勾股定理在四边形折叠中的应用4.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F 处,则CE 的长为_____________.第4题图第5题图5.如图,有一张长方形纸片ABCD,AB=8cm,BC=10 cm,点E为CD上一点,将纸片沿AE折叠,BC的对应边. 恰好经过点D，则线段DE的长为_____________cm.6.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP 沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,BE与CD 相交于点F,则AP 的长为____________.7.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A 落在点P处,折痕为EF.(1)试说明:△PDE△△CDF;(2)若CD=4 cm,EF=5cm ,求BC 的长.参考答案1. C 【解析】由折叠知DN=AN=9-BN.因为点D为BC的中点，所以因为△B=90°,所以NB +DB =DN ,即BN +3 =(9-BN) ,解得BN=4.故选C.2. A 【解析】因为沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，所以AD=AB=2,△B=△ADB.因为折叠纸片，使点C与点D重合，所以CE=DE,△C=△CDE.因为△BAC=90°,所以△B+△C=90°.所以△ADB+△CDE=90°.所以△ADE=90°.所以AD +DE =AE .设AE=x,则CE=DE=3-x.所以2 +(3-x) =x ,解得所以故选A.3.解:操作一:(1)14【解析】在Rt△ABC 中,AC=6 cm,AB=10 cm,根据勾股定理,得BC=8cm .由折叠知AD=BD.所以△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+8=14(cm).(2)40°.操作二:在Rt△ABC中,AC=9 cm,AB=15 cm,根据勾股定理,得BC =AB -AC =15 -9 =144.所以BC=12 cm.由折叠知AE=AC=9 cm.因为AB=15 cm,所以BE=AB-AE=6cm.设CD=x cm,则BD=(12-x) cm,DE=CD=x cm.在Rt△BDE中,根据勾股定理,得DE +BE =BD ,即x +6 =(12-x) .解得x=4.5.所以CD=4.5cm .【解析】设CE=x,则BE=6-x.由折叠性质,知EF=CE=x,DF=CD=AB=10.在Rt△DAF中,AD=6,DF=10,所以AF=8.所以BF=AB-AF=10-8=2.在Rt△BEF中,BE +BF =EF ,即((6-x) +2 =x .解得5.5 【解析】因为将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，所以C'E,所所以所以因为,即DE =4 +(8-DE) ,所以DE=5cm .6. 【解析】因为OD=OE,△D=△E=90°,△DOP=△EOF,所以△DPO△△EFO(ASA).所以PO=FO,EF=DP.所以PE=DF.设AP的长为x,则PE=DF=x,DP=EF=6-x,所以BF=BE-EF=8-(6-x)=2+x,CF=DC-DF=8-x.在Rt△BCF中,.BF =BC +CF ,即(2+x) =6 +(8-x) .所以7.解:(1)因为四边形ABCD是长方形,所以△A=△ADC=△B=△C=90°,AB=CD.由折叠得AB=PD,△A=△P=90°,△B=△PDF=90°,所以PD=CD.因为△PDF=△ADC=90°,所以△PDE=△CDF.在△PDE和△CDF中,所以△PDE△△CDF(ASA).(2)如图,过点E作EG△BC于点G,所以△EGF=90°,EG=CD=4 cm.在Rt△EGF中,由勾股定理,得FG =EF -EG =5 -4 =9,所以FG=3cm.设CF=x cm,则PE=AE=BG=x cm.因为△PDE△△CDF,所以DF=DE=CG=(x+3) cm.在Rt△CDF中,由勾股定理,得DF =CD +CF ,即x +4 =(x+3) ,所以所以所以BC的长为21世纪教育网 精品试卷·第2 页（共2 页）21世纪教育网()。