数学人教版七年级下册一元一次方程

一元一次方程第1节 一元一次方程的基本概念【知识梳理】1.方程的相关概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程．（2）方程的已知数和未知数．已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用a b c m n 、、、、等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x y z 、、等字母表示，如：关于x y 、的方程2ax by c -=中，2a b c -、、是已知数，,x y 是未知数．（3）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．（4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程．（5）方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．2.一元一次方程的定义(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程．(2)一元一次方程的形式标准形式：0ax b +=（其中0,,a a b ≠是已知数）．最简形式：ax b =（其中0,,a a b ≠是已知数）．注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） ①只含有一个未知数（系数不为零）．②未知数的最高次数是1．③方程是整式方程．3.等式的概念和性质(1)等式的概念：用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式．若a b =，则.a m b m ±=±．等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是O ），所得结果仍是等式．若a b =，则,(0)a b am bm m m m==≠ (3)等式的其他性质①对称性：若a b =，则b a =，②传递性：若,a b b c ==，则a c =． 【诊断自测】1、下列叙述中，正确的是（ ）A ．方程是含有未知数的式子B ．方程是等式C ．只有含有字母x ，y 的等式才叫方程D ．带等号和字母的式子叫方程2、下列说法中，正确的是（ ）A ．代数式是方程B ．方程是代数式C ．等式是方程D ．方程是等式3、下列各式不是方程的是（ ）A ．3x 2+4=5B ．m+2n=0C ．x=﹣3D ．4y ＞3 4、下列各式中：①x=0；②2x＞3；③x 2+x ﹣2=0；④+2=0；⑤3x﹣2；⑥x=x﹣1；⑦x﹣y=0；⑧xy=4，是方程的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【考点突破】类型一：方程的概念例1、下列式子中，是方程的是（ ）A ．x ﹣1≠0B ．3x ﹣2C ．2+3=5D ．3x=6答案：D解析：A、是不等式，故A错误；B、是多项式，故B错误；C、不含未知数的等式，故C错误；D、含有未知数的等式叫方程，故D正确；故选：D．例2、在①2x+1；②1+7=15﹣8+1；③；④x+2y=3中，方程共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：（1）2x+1，含未知数但不是等式，所以不是方程．（2）1+7=15﹣8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程．（3），是含有未知数的等式，所以是方程．（4）x+2y=3，是含有未知数的等式，所以是方程．故有所有式子中有2个是方程．故选B．例3、下列判断正确的是（）A．方程是等式，等式就是方程 B．方程是含有未知数的等式C．方程的解就是方程的根 D．方程2x=3x没解答案：B解析：含未知数的等式叫方程，故A错误，B正确；一元方程的解就是方程的根，但是多原方程的解不能叫作方程的根，故C错误；方程2x=3x的解为x=0，故D错误．故选：B．例4、已知下列式子：①6x﹣3=8；②6﹣2=4；③x+y；④；⑤3x﹣4y；⑥；⑦x=3；⑧x+2＞3，其中方程的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8答案：A解析：①6x﹣3=8符合方程的定义，故本小题正确；②6﹣2=4不含有未知数，故本小题错误；③x+y不是等式，故本小题错误；④符合方程的定义，故本小题正确；⑤3x﹣4y不是等式，故本小题错误；⑥符合方程的定义，故本小题正确；⑦x=3符合方程的定义，故本小题正确；⑧x+2＞3不是等式，故本小题错误．所以①④⑥⑦是方程．故选A．例5、下列四个式子中，是方程的是（）A．π+1=1+πB．|1﹣2|=1 C．2x﹣3 D．x=0答案：D解析： A、π是常数，不是未知数，所以π+1=1+π不是方程．B、|1﹣2|=1不含未知数，不是方程．C、2x﹣3不是等式，不是方程．D、x=0是含有未知数的等式，是方程．故选D．类型二：方程的解例6、方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2，则a等于（）A．﹣8 B．0 C．2 D．8答案：D解析：把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0，得到：﹣4+a﹣4=0解得a=8．故选D．例7、已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5答案：A解析：把x=2代入方程得：6+a=0，解得：a=﹣6．故选：A ．例8、下列方程的根是x=0的是（ ）A ．=0B ．=1C ．﹣5x=0D ．2（x ﹣1）=0答案：C解析：A 、=≠0，故A 错误；B 、0不能作除数，故B 错误；C 、﹣5x=﹣5×0=0，故C 正确；D 、2（x ﹣1）=2（0﹣1）≠0，故D 错误；故选：C ．例9、已知关于x 的方程3x+2a=2的解是a ﹣1，则a 的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．﹣1答案：A解析：根据题意得：3（a ﹣1）+2a=2，解得a=1故选：A ．例10、下列方程的解是x=2的方程是（ ）A ．4x+8=0B ．﹣x+=0C ．x=2D ．1﹣3x=5答案：B解析：把x=2代入各方程验证可得出x=2是方程﹣x+=0的解．故选：B ．例11、已知x=1是方程x+2a=﹣1的解，那么a 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2答案：A解析：把x=1代入方程，得：1+2a=﹣1，解得：a=﹣1．故选A ．例12、已知是方程09432=+-my x 的一个解，那么m 等于（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣ 答案：B解析：把已知代入方程09432=+-my x 可得：12﹣12m+9=0，解得m=，故选B ．类型三：等式的性质例13、已知方程x ﹣2y+3=8，则整式x ﹣2y 的值为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．15答案：A解析：由x ﹣2y+3=8得：x ﹣2y=8﹣3=5，故选A例14、下列说法正确的是（ ）A ．如果ac=bc ，那么a=bB ．如果，那么a=bC ．如果a=b ，那么D ．如果，那么x=﹣2y答案：B解析：A 、根据等式性质2，需加条件c ≠0；B 、根据等式性质2，两边都乘以c ，即可得到a=b ；C 、根据等式性质2，当c ≠0时成立； D 、根据等式性质2，两边都乘以﹣3，应得到x=﹣18y ；故选B ． 例15、下列各式说法错误的是（ ）A ．如果x=y ，那么﹣3ax=﹣3ayB ．如果=，那么x=yC ．如果ac=bc ，那么a=bD ．如果a=b ，那么-a=-b答案：C.解析：A 、如果x=y ，﹣3ax=﹣3ay ，故A 正确；B 、如果，那么x=y ，故B 正确C 、如果ac=bc （c ≠0），那么a=b ，故C 错误；D 、如果a=b ，那么-a=-b ，故D 正确；故选：C ．例16、如果a=b ，那么下列结论中不一定成立的是（ ）A ．=1B ．a ﹣b=0C ．2a=a+bD ．ab a =2答案：A.解析： A 、b=0时，两边除以0无意义，故A 错误；B 、两边都减b ，故B 正确；C 、两边都加a ，故C 正确；D 、两边都乘以a ，故D 正确；故选：A ．例17、已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．3a ﹣5=2bB ．3a+1=2b+6C ．3ac=2bc+5D ．a= 答案：C解析：A 、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5，得3a ﹣5=2b ；B 、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，得3a+1=2b+6；D 、根据等式的性质2：等式的两边同时除以3，得a=； C 、当c=0时，3ac=2bc+5不成立，故C 错．故选：C ． 类型四：一元一次方程的定义例18、若方程22(1)20m x mx x ---+=是关于x 的一元一次方程，则代数式|m ﹣1|的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．﹣2 答案：A解析：由已知方程，得∵方程22(1)20m x mx x ---+=是关于x 的一元一次方程，∴且﹣m ﹣1≠0，解得，m=1，则|m ﹣1|=0．故选：A ．例19、若关于x 的方程03)2(2=+--m x m 是一元一次方程，则m 的值是（ ）A ．±3B ．3C ．﹣3D ．都不对答案：A 解：∵方程03)2(2=+--m x m 是一元一次方程，∴|m|﹣2=1，且m ﹣2≠0，解得m=±3，故选：A ．例20、若方程075)12(52--++-b x x a 是一元一次方程，则方程ax+b=1的解是（）A ．x=6B ．x=﹣6C ．x=﹣8D ．x=8答案：A 解析：∵方程03)2(2=+--m x m 是一元一次方程，∴2a+1=0，b ﹣3=1，解得：a=﹣，b=4，代入方程ax+b=1得：﹣x+4=1，解得：x=6，故选：A ．例21、若6)2(32=--m x m 是一元一次方程，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数答案：A 02)1()1(22=++--x m x m 012=-m解析：根据一元一次方程的特点可得， 解得m=1．故选A ．例22、已知18)3(2=--m xm 是关于x 的一元一次方程，则（ ） A ．m=2 B ．m=﹣3C ．m=±3D ．m=1 答案：B 解析：已知18)3(2=--m xm 是关于的一元一次方程，则|m|﹣2=1，解得：m=±3，又∵系数不为0，∴m ≠3，则m=﹣3．故选B ． 【易错精选】1、在下列方程中①122=+x x ，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 2、下列方程=x ，=2，x 2﹣3x=1，x+y=2是一元一次方程的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3D ．4 3、已知关于x 的方程04222=-+-b xax 是一元一次方程，则b a x +的值为（ ） A ．2 B ．﹣4 C ．6 D ．8【精华提炼】1、等式（1）用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．（2）在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．（3）等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则.2、方程方程：含有未知数的等式叫方程，如21x +=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数3、方程的解方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。

在七年级下册数学中，解一元一次方程是一个重要的课题。

一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的指数为1的方程。

下面是一些解一元一次方程的基本步骤和示例。

1.解一元一次方程的基本步骤
1)去分母：如果方程中有分数，首先去分母，使方程变为整数形式。

2)去括号：如果方程中有括号，应用分配律去掉括号。

3)移项：将所有包含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。

4)合并同类项：将方程两边的同类项合并。

5)系数化为1：通过除法或乘法，使未知数的系数为1。

2.示例
解方程：3x - 7 = 2x + 5
1)去分母：本方程没有分数，所以此步跳过。

2)去括号：本方程没有括号，所以此步跳过。

3)移项：将包含x的项移到方程的一边，常数项移到另一边。

3x - 2x = 5 + 7
4)合并同类项：合并x的系数。

x = 12
3.注意事项
1)确保在解方程时，每一步都正确无误。

2)在移项和合并同类项时，要特别注意符号的变化。

3)在解出未知数后，最好将解代入原方程检验是否正确。

解一元一次方程是数学基础的一部分，通过不断的练习，可以逐渐掌握这一技能。

《一元一次方程数学活动》教学设计一、内容和内容解析1.内容活动1：阅读一段选自新闻报道中的统计数据，运用一元一次方程求出某些数据.活动2：通过动手操作，发现杠杆的平衡条件，学生进一步根据规律，用一元一次方程求杠杆平衡状态时的物体位置.2.内容解析活动1，学生结合统计内容，得到一些信息，再将实际问题转化为数学问题，运用一元一次方程求出某些数据. 其核心是:从实际问题中抽象出数学问题，用数学符号建立方程，求出结果并解释问题，也就是数学建模的思想.活动2，通过动手操作，运用由特殊到一般的方法，发现规律，再运用规律，通过数学建模解决实际问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点：用一元一次方程解决实际问题，体会数学建模的思想方法.运用从特殊到一般的方法发现规律.二、目标和目标解析1.目标（1）从实际问题中抽象出数学问题，根据等量关系列出一元一次方程，从而解决实际问题；会解含有字母系数的方程.（2）体会数学建模的思想方法；掌握由特殊到一般的方法，发现规律.（3）在积极参与数学活动中，合作交流，体验用数学解决实际问题的乐趣，获得成功的乐趣.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生阅读题目，分析题目中的量，分清已知量、未知量，设未知量为x，根据等量关系列出方程，解出方程，能解释实际问题。

活动2的方程中x,n,l为字母，其中,n,l为已知数，学生要正确解出x.目标（2）是活动中蕴含的思想方法，学生解题过程中，体会从实际问题抽象出数学问题，用数学符号建立方程，求出结果并解释实际问题；在实验操作中，从记录的特殊数据入手，再扩展到一般，感受由一般到特殊的发现规律的方法.达成目标（3）的标志是：学生在小组活动中积极思考，敢于表达，合作解决问题，感受数学在解决实际问题中的价值.三、教学问题诊断分析活动1中的题意理解，“扣除价格上涨因素”不容易理解，学生充分理解后才能将其转化为数学问题.活动2，学生要在操作中分析哪些数据需要记录，把它转化为数学问题进一步分析.本节课的教学难点是：从实际问题中抽象出数学问题.四、教学支持条件分析根据本节课的特点，学生需要一步智能手机，教师录制微课，提前发布在UMU互动上，制作PPT，从物理实验室借杠杆的相关器材.五、教学过程设计数学活动1统计资料表明，山水市去年的人均收入为11664元，与前年相比增长8%，扣除价格上涨因素，实际增长6.5%.根据上面的数据，你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（1）山水市前年居民的人均收入为多少元？（2）在山水市，去年售价为1000元的商品在前年的售价为多少元？师生活动学生阅读题目，理解题意，由多名学生发言，理解“扣除价格上涨因素”.小组合作，解决（1）（2）问.将分析解题的过程写在学案卷上，并拍照上传至UMU互动，由小组代表展示解题过程.学生在探究过程中，教师可以帮助理清思路，题目中涉及了哪些量？哪些是已知量，哪些是未知量？三个量之间有什么等量关系？将未知量设为x，根据等量关系列方程解题.师生共同总结活动1，列方程解题的步骤是什么?在解题过程中运用了什么思想方法？运用了什么数学知识？数学活动2用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体做下列实验：（1）在木杆中间处栓绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；（2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；（3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；（4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；（5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录.根据记录你能发现什么规律？如图，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡.设木杆长为l cm,支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，把n,l作为已知数，列出关于x的一元一次方程.师生活动学生动手操作（1）（2）两步，教师引导学生思考，在操作过程中，哪些量是需要记录的？协助学生用表格记录操作数据.学生动手操作，并记录填表，小组合作发现规律，将表格，发现规律，一起拍照上传至UMU互动.小组代表展示发言.然后利用规律，尝试应用规律解决问题.将解题过程上传至UMU互动，一名学生上前展示解题过程.在探究规律时，需要记录哪些量，怎样清晰的记录，以便易于发现规律，教师协助学生分析.在解含有字母系数的方程时，教师引导学生思考，怎么变形的？依据什么性质？使学生注意到，在解带有字母系数的方程，系数化为1时，应考虑字母系数不能为0.师生共同总结活动2，活动2发现规律经历了什么过程？在活动2中，运用了什么数学思想方法？运用了什么数学知识？小结教师和学生一起回顾本节课内容，并请学生谈收获.课堂反馈“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2400kg，含油率为40%.“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了300kg，含油率提高了10个百分点.某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少32hm，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高3750kg.这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？布置作业再收集一些数据资料，想一想利用这些数据之间的关系，利用一元一次方程，能否从中再计算出一些新数据.教学反思平时的教学，更注重知识的学习和方法的训练，而数学活动课，更开放，让学生体会到，数学是可以解决实际问题的，数学也是学习其它学科的重要工具，所以，这一课，学生和我都是很期待的。

⼈教版七年级数学下册第六章6.2解⼀元⼀次⽅程课后作业6.2 解⼀元⼀次⽅程A 卷⼀、选择题1．判断下列移项正确的是（）A ．从13-x=-5，得到13-5=xB ．从-7x+3=-13x-2，得到13x+7x=-3-2C ．从2x+3=3x+4，得到2x-4=3x-3D ．从-5x-7=2x-11，得到11-7=2x-5x2．若x=m 是⽅程ax=5的解，则x=m 也是⽅程（）的解A ．3ax=15B ．a x-3=-2C ．ax-0.5=-D ．ax=-101112123．解⽅程=1时，去分母正确的是（）2110136x x ++- A ．4x+1-10x+1=1 B ．4x+2-10x-1=1C ．2（2x+1）-（10x+1）=6D ．2（2x+1）-10x+1=6⼆、填空题4．单项式-a x+1b 4与9a 2x-1b 4是同类项，则x-2=_______．125．已知关于x 的⽅程2x+a=0的解⽐⽅程3x-a=0的解⼤5，则a=_______．6．若关于x 的⼀元⼀次⽅程=1的解是x=-1，则k=______．2332x k x k ---三、计算题7．解⼀元⼀次⽅程．（1）-7=5+x ；（2）y-=y+3；2x 131212（3）（y-7）- [9-4（2-y ）]=1．3223四、解答题8．利⽤⽅程变形的依据解下列⽅程．（1）2x+4=-12；（2）x-2=7．139．关于x 的⽅程kx+2=4x+5有正整数解，求满⾜条件的k 的正整数值．10．蜻蜓有6条腿，蜘蛛有8条腿，现有蜘蛛，蜻蜓若⼲只，它们共有360条腿，且蜘蛛数是蜻蜓数的3倍，求蜻蜓，蜘蛛各有多少只？五、思考题11．由于0.=0.999…，当问0.与1哪个⼤时？很多同学便会马上回答： “当然0.9 9 9<1，因为1⽐0.⼤0.00…1．”如果我告诉你0．=1，你相信吗？请⽤⽅程思想说明9 9理由．B 卷⼀、提⾼题1．（⼀题多解题）解⽅程：4（3x+2）-6（3-4x ）=7（4x-3）．2．（巧题妙解题）解⽅程：x+ [x+（x-9）]= （x-9）．131319⼆、知识交叉题3．（科内交叉题）已知（a 2-1）x 2-（a+1）x+8=0是关于x 的⼀元⼀次⽅程．（1）求代数式199（a+x）（x-2a）+3a+4的值；（2）求关于y的⽅程a│y│=x的解．三、实际应⽤题4．⼩彬和⼩明每天早晨坚持跑步，⼩彬每秒跑6⽶，⼩明每秒跑4⽶．（1）如果他们站在百⽶跑道的两端同时相向起跑，那么⼏秒后两⼈相遇？（2）如果⼩彬站在百⽶跑道的起点处，⼩明站在他前⾯10⽶处，两⼈同时同向起跑，⼏秒后⼩彬追上⼩明？四、经典中考题5．（2008，重庆，3分）⽅程2x-6=0的解为________．6．（2008，⿊龙江，3分）如图，某商场正在热销2008年北京奥运会的纪念品，⼩华买了⼀盒福娃和⼀枚奥运徽章，已知⼀盒福娃的价格⽐⼀枚奥运徽章的价格贵120元，则⼀盒福娃的价格是________元．7．（2008，北京，5分）京津城际铁路将于2008年8⽉1⽇开通运营，预计⾼速列车在北京、天津间单程直达运⾏时间为半⼩时．某次试车时，试验列车由北京到天津的⾏驶时间⽐预计时间多⽤了6分钟，由天津返回北京的⾏驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京⽐去天津时平均每⼩时多⾏驶40千⽶，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每⼩时多少千⽶？C卷：课标新型题⼀、开放题1．（条件开放题）写出⼀个⼀元⼀次⽅程，使它的解是-11，并写出解答过程．⼆、阅读理解题2．先看例⼦，再解类似的题⽬．例：解⽅程│x│+1=3．解法⼀：当x≥0时，原⽅程化为x+1=3，解⽅程，得x=2；当x<0时，原⽅程化为-x+1=3，解⽅程，得x=-2．所以⽅程│x│+1=3的解是x=2或x=-2．解法⼆：移项，得│x│=3-1，合并同类项，得│x│=2，由绝对值的意义知x=±2，所以原⽅程的解为x=2或x=-2．问题：⽤你发现的规律解⽅程：2│x│-3=5．（⽤两种⽅法解）三、图表信息题3．（表格信息题）2007年4⽉18⽇是全国铁路第六次⼤提速的第⼀天，⼩明的爸爸因要出差，于是去⽕车站查询列车的开⾏时间，下⾯是⼩明的爸爸从⽕车站带回家的时刻表：2007年4⽉18⽇起××次列车时刻表始发站发车时间终点站到站时间A站上午8：20B站次⽇12：20⼩明的爸爸找出以前同⼀车次的时刻表如下：2006年××次列车时刻表始发站发车时间终点站到站时间A站14：30B站第三⽇8：30⽐较了两张时刻表后，⼩明的爸爸提出了如下两个问题，请你帮⼩明解答：（1）提速后该次列车的运⾏时间⽐以前缩短了多少⼩时？（2）若该次列车提速后的平均速度为每⼩时200千⽶，那么，该次列车原来的平均速度为多少？（结果精确到个位）4.解关于x的⽅程：kx+m=（2k-1）x+4．参考答案A卷⼀、1．C 点拨：A．-x从左边移到右边变成x，但-5从右边移到左边没有改变符号，不正确；B．-7x没有移项，不能变号，不正确；C．3移项变号了，4移项变号了，正确；D． -5x移项没变号，不正确．拓展：（1）拓展是从⽅程⼀边移到另⼀边，⽽不是在⽅程的⼀边交换位置；（2）移项要变号，不变号不能移项．2．A 点拨：因为x=m是⽅程ax=5的解，所以am=5，再将x=m分别代⼊A，B，C，D中，哪个⽅程能化成am=5，则x=m就是哪个⽅程的解．3．C 点拨：去分母，切不可漏乘不含分母的项，不要忽视分数线的“括号”作⽤．⼆、4．0 点拨：根据同类项的概念知x+1=2x-1，解得x=2．5．-6 点拨：⽅程2x+a=0的解为x=-，⽅程3x-a=0的解为x=，由题意知-=2a 3a 2a 3a +5，解得a=-6．6．1 点拨：把x=-1代⼊，求关于k 的⼀元⼀次⽅程．三、7．解：（1）移项，得-x=5+7，合并同类项，得-=12，系数化为1，得x=-24．2x 2x （2）去分母，得2y-3=3y+18，移项，得2y-3y=18+3，合并同类项，得-y=21，系数化为1，得y=-21．（3）去分母，得9（y-7）-4[9-4（2-y ）]=6，去括号，得9y-63-4（9-8+4y ）=6， 9y- 63-36+32-16y=6．移项，得9y-16y=6+36+63-32，合并同类项，得-7y=73．系数化为1，得y=-737．点拨：按解⼀元⼀次⽅程的步骤，根据⽅程的特点灵活求解．移项要变号，去分母时，常数项也要乘分母的最⼩公倍数．四、8．解：（1）⽅程两边都减去4，得2x+4-4=-12-4，2x=-16，⽅程两边都除以2，得x=-8．（2）⽅程两边都加上2，得x-2+2=7+2，x=9，1313 ⽅程两边都乘以3，得x=27．点拨：解简单⼀元⼀次⽅程的步骤分两⼤步：（1）将含有未知数⼀边的常数去掉；（2）将未知数的系数化为1．9．解：移项，得kx-4x=5-2，合并同类项，得（k-4）x=3，系数化为1，得x=， 34k -因为是正整数，所以k=5或k=7．34k - 点拨：此题⽤含k 的代数式表⽰x ．10．解：设蜻蜓有x 只，则蜘蛛有3x 只，依据题意，得6x+8×3x=360，解得x= 12，则3x=3×12=36．答：蜻蜓有12只，蜘蛛有36只．点拨：本题的等量关系为：蜻蜓所有的腿数+蜘蛛所有的腿数=360．此题还可设蜘蛛有x 只，列⽅程求解，同学们不妨试⼀下．五、11．解：理由如下：设0. =x ，⽅程两边同乘以10，得9. =10x ，即9+0．9 9 9=10x ，所以9+x=10x ，解得x=1，由此可知0．=1．9 B 卷⼀、1．分析：此题可先去括号，再移项求解，也可先移项，合并同类项，再去括号求解．解法⼀：去括号，得12x+8-18+24x=28x-21，移项，得12x+24x-28x=-21+18-8，合并同类项，得8x=-11，系数化为1，得x=-．118解法⼆：移项，得4（3x+2）+6（4x-3）-7（4x-3）=0，合并同类项，得4（3x+2）-（4x-3）=0．去括号，得12x+8-4x+3=0．移项、合并同类项，得8x=-11，系数化为1，得x=-118．点拨：此⽅程的解法不唯⼀，要看哪种解法较简便，解法⼆既减少了负数，⼜降低了计算的难度．2．分析：此题采⽤传统解法较繁，由于×（x-9）=（x-9），⽽右边也有（x-9），13131919故可把（x-9）看作⼀个“整体”移项合并．19解：去中括号，得x+x+（x-9）=（x-9），131919移项，得x+x+（x-9）-（x-9）=0，131919合并同类项，得x=0，所以x=0．点拨：把（x-9）看作⼀个“整体”移项合并，能化繁为简，正是本题的妙解之处．19⼆、3．分析：由于所给⽅程是⼀元⼀次⽅程，故x2项的系数a2-1=0且x项的系数- （a+1）≠0，从⽽求得a值，进⽽求得原⽅程的解，最后将a，x 的值分别代⼊所求式⼦即可．解：由题意，得a2-1=0且-（a+1）≠0，所以a=±1且a≠-1，所以a=1．故原⽅程为-2x+8=0，解得x=4．（1）将a=1，x=4代⼊199（a+x）（x-2a）+3a+4中，得原式=199（1+4）×（4-2×1）+3 ×1+4=1997．（2）将a=1，x=4代⼊a│y│=x中，得│y│=4，解得y=±4．点拨：本题综合考查了⼀元⼀次⽅程的定义、解⼀元⼀次⽅程及代数式求值等知识．三、4．分析：（1）实际上是异地同地相向相遇问题；（2）实际上是异地同时同向追及问题．解：（1）设x秒后两⼈相遇，依据题意，得4x+6x=100，解得x=10．答：10秒后两⼈相遇．（2）设y秒后⼩彬追上⼩明，依据题意，得4y+10=6y，解得y=5．答：5秒后⼩彬能追上⼩明．点拨：⾏程问题关键是搞清速度、时间、路程三者的关系，分清是相遇问题还是追及问题．拓展：相遇问题⼀般从以下⼏个⽅⾯寻找等量列⽅程：（1）从时间考虑，两⼈同时出发，相遇时两⼈所⽤时间相等；（2）从路程考虑，①沿直线运动，相向⽽⾏，相遇时两⼈所⾛路程之和=全路程．②沿圆周运动，两⼈由同⼀地点相背⽽⾏，相遇⼀次所⾛的路程的和=⼀周长；（3）从速度考虑，相向⽽⾏，他们的相对速度=他们的速度之和．追及问题可从以下⼏个⽅⾯寻找等量关系列⽅程：（1）从时间考虑，若同时出发，追及时两⼈所⽤时间相等；（2）从路程考虑，①直线运动，两⼈所⾛距离之差=需要赶上的距离．②圆周运动，两⼈所⾏距离之差=⼀周长（从同⼀点出发）；（3）从速度考虑，两⼈相对速度=他们的速度之差．四、5．x=3点拨：2x-6=0，移项，得2x=6，系数化为1，得x=3．6．145 点拨：设⼀盒福娃x 元，则⼀枚奥运徽章的价格为（x-120）元，所以x+（ x-120）=170，解得x=145．7．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每⼩时x 千⽶，则由天津返回北京的平均速度是每⼩时（x+40）千⽶．依题意，得=（x+40），解得x=200．30660+12答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每⼩时200千⽶．点拨：本题相等关系为：北京到天津的路程=天津到北京的路程．采⽤间接设未知数⽐较简单．C 卷⼀、1．分析：只要写出的⽅程是⼀元⼀次⽅程，并且其解是-11即可．解：．去分母，得3（x+1）-12=2（2x+1），121146x x ++-=去括号，得3x+3-12=4x+2，移项，得3x-4x=2+12-3，合并同类项，得-x=11．系数化为1，得x=-11．拓展：此类问题答案不唯⼀，只要合理即可．有利于培养同学们的逆向思维及发散思维．⼆、2．分析：解答此题的关键是通过阅读，正确理解解题思路，然后仿照给出的⽅法解答新的题⽬即可．解：法⼀：当x ≥0时，原⽅程化为2x-3=5，解得x=4；当x<0时，原⽅程化为-2x-3=5，解得x=-4．法⼆：移项，得2│x │=8，系数化为1，得│x │=4，所以x=±4，即原⽅程的解为x=4或x=-4．点拨：由于未知数x 的具体值的符号不确定，故依据绝对值的定义，分x ≥0或x< 0两种情况加以讨论．三、3．分析：分别求出该次列车提速前后的运⾏时间，再求差，求列车原来的平均速度，需求出A ，B 两站的距离．解：（1）提速后的运⾏时间：24+12：20-8：20=28（⼩时），提速前的运⾏时间： 24：00-14：30+24+8：30=42（⼩时），所以缩短时间：42-28=14（⼩时）．答：现在该次列车的运⾏时间⽐以前缩短了14⼩时．（2）设列车原来的平均速度为x 千⽶/⼩时，根据题意得，200×28=42x ，解得x=133≈133．13答：列车原来的平均速度为133千⽶/时．点拨：弄懂表格给出的信息，求出各段相应的时间是解答本题的关键．4.分析：由于未知数x 的系数含有字母，因此⽅程解的情况是由字母系数及常数项决定的．解：化简原⽅程，得（k-1）x=m-4．当k-1≠0时，有唯⼀解，是x=41m k --；当k-1=0，且m-4≠0时，此时原⽅程左边=0·x=0，⽽右边≠0，故原⽅程⽆解；当k-1=0，且m -4=0时，原⽅程左边=（k-1）·x=0·x=0，⽽右边=m-4=0，故不论x 取何值，等式恒成⽴，即原⽅程有⽆数解．合作共识：将⽅程，经过变形后，化为ax=b 的形式，由于a ，b 值不确定，故原⽅程的解需加以讨论．点拨：解关于字母系数的⽅程，将⽅程化为最简形式（即ax=b ），需分a ≠0，a=0 且b=0，a=0且b ≠0三种情况加以讨论，从⽽确定出⽅程的解．。

第三章《一元一次方程》单元练习题一、选择题1.小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个2.解方程3-=1，在下列去分母运算中，正确的是（）A． 3-（x+2）=3B． 9-x-2=1C． 9-（x+2）=3D． 9-x+2=33.若a、b互为相反数，则关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解是（）A．x=1B．x= 1C．x=1或x= 1D．不能确定4.方程3x=-6的解是（）A．x=-2B．x=-6C．x=2D．x=-125.如果用“a=b”表示一个等式，c表示一个整式，d表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c=b±c”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（）A．a•c=b•d，a÷c=b÷dB．a•d=b÷d，a÷d=b•dC．a•d=b•d，a÷d=b÷dD．a•d=b•d，a÷d=b÷d（d≠0）6.某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间．若设完成此项工程共用x天，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．7.希望中学九年级1班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，则下列方程中，正确的是（）A． 2（x-1）+x=49B． 2（x+1）+x=49C．x-1+2x=49D．x+1+2x=498.方程去分母后可得（）A． 3x-3=1+2xB． 3x-9=1+2xC． 3x-3=2+2xD． 3x-12=2+4x二、填空题9.当m=时，关于x的方程（m3）x22mx+1=0是一元一次方程.10.一通信商场今年2月份销售国产手机--努比亚Z5Mini的价格为每台1880元，共售出600台．3月份，由于该型号手机价格上涨10%，使销售量下降了30%．3月底，国家主席夫人彭丽媛在德国访问时使用该型号手机的照片在新闻中播出后，极大地影响了4月份国货的销售，进入4月份，商场也开展促销活动支持国货，在3月份销售价格的基础上实行九折优惠，使该型号手机销售量增加，预计4月份，该商场此型号手机的销售额比2月份增加15.5%，则预计4月份该型号手机销售量比3月销售量增加台．11.古代有个寓言故事，驴子和骡子一起走路，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨什么？如果你给我一袋，那我负担的就是你的2倍；如果我给你一袋．我们才恰好驮的一样多．”试问驴子原来所驮的货物是多少袋？设驴子原来所驮的货物为x袋，可列出方程为.12.方程2x=10的解是.13.一个两位数，十位数字比个位数字大2，如果把十位数字和个位数子对调得到的新两位数比原两位数小13，设原数的个位数为x，则列方程为.14.甲仓库的货物是乙仓库货物的2倍，从甲仓库调5吨到乙仓库，这时甲仓库剩余的货物恰好比乙仓库的一半多1吨，设乙仓库原有x吨，则可列方程为.15.若与互为相反数，则a=.16.在一场NBA篮球比赛中，姚明共投中a个2分球，b个3分球，还通过罚球得到9分．在这场比赛中，他一共得了分．三、解答题17.2015-2016赛季中国男子篮球职业联赛（即CBA）激战正酣，浙江广厦队表现不俗，暂居榜首，马布里领衔的卫冕冠军北京首钢队战绩不佳，截止12月23日，在前21轮比赛中，积35分位列第七位，按比赛规则，胜一场得2分，负一场得1分，那么截止12月23日北京首钢队共胜了多少场？18.已知x=1是关于x的方程3x33x2+kx+5=0的解，求2k3+k25k8的值.19.甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元．（1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；（2）当x=6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．（3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？20.当x为何值时，2x-5与-3x的值相等．21.已知方程（m3）4=m2是关于x的一元一次方程.求：（1）m的值；（2）写出这个一元一次方程.第三章《一元一次方程》单元练习题答案解析1.【答案】B【解析】设他本场比赛3分球进了x个，根据题意得5+2（x+5）+3x=25，解得x=2．故他本场比赛3分球进了2个．故选B．2.【答案】C【解析】方程两边同乘以3，得9-（x+2）=3，故选择C.3.【答案】A【解析】因为a、b互为相反数，所以a+b=0，在关于x的方程ax+b=0（a≠0）中，当x=1时，ax+b=a+b=0，则方程的解是：x=1．故选A.4.【答案】A【解析】3x=-6两边同时除以3，得x=-2故选A．5.【答案】D【解析】等式的第二条性质的是：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．其符号表达式：a•d=b•d，a÷d=b÷d（d≠0）．故选D．6.【答案】D【解析】设完成此项工程共用x天，根据题意得：，故选D．7.【答案】A【解析】设男生人数为x人，则女生为2（x-1），根据题意得：2（x-1）+x=49，故选A．8.【答案】B【解析】方程两边同时乘以6，得3x-9=1+2x，所以B选项正确.9.【答案】3【解析】由关于x的方程（m3）x22mx+1=0是一元一次方程，得m3=0.解得m=3.故答案为：3.10.【答案】280【解析】设4月份该型号手机销售量比3月销售量增加的百分率为x，依题意有[1880×（1+10%）×0.9]×[600×（1-30%）（1+x）]=1880×600×（1+15.5%），解得x=，600×（1-30%）×=600×0.7×=280（台）．答：4月份该型号手机销售量比3月销售量增加280台．故答案为：280．11.【答案】x+1=2（x1） 2【解析】设驴子原来所驮的货物为x袋，由题意，得x+1=2（x1） 2.12.【答案】x=5【解析】方程2x=10，解得：x=5，故答案为：x=513.【答案】10（x+2）+x-[10x+（x+2）]=13【解析】设原数的个位数为x，则十位数为（x+2），根据题意得：10（x+2）+x-[10x+（x+2）]=13，14.【答案】2x-5=（x+5）+1【解析】首先设乙仓库原有x吨，则甲仓库的货物有2x吨，从甲仓库调5吨到乙仓库后甲仓库有（2x-5）吨，乙仓库有（x+5）吨，根据关键语句“甲仓库剩余的货物恰好比乙仓库的一半多1吨，”可得方程2x-5=（x+5）+1．15.【答案】【解析】根据题意列出方程+=0，直接解出a的值，即可解题．解：根据相反数和为0得：+=0，去分母得：a+3+2a-7=0，合并同类项得：3a-4=0，移项得：3a=4，系数化为1得a=.故答案为．16.【答案】2a+3b+9【解析】2×a+3×b+9=2a+3b+9（分）．答：他一共得了（2a+3b+9）分．故答案为：2a+3b+9．17.【答案】解：设截止12月23日北京首钢队共胜了x场，则负了（21-x）场，由题意得2x+（21-x）=35，解得x=14.答：截止12月23日北京首钢队共胜了14场.【解析】设截止12月23日北京首钢队共胜了x场，则负了（21-x）场，再根据共得35分列出方程求解即可.18.【答案】解：把x=1代入方程3x33x2+kx+5=0，得，解得k=.则2k3+k25k8==16.【解析】19.【答案】解：（1）甲商场的费用为：4000+（x-4000）80%=0.8x+800(元)；乙商场的费用为：3000+（x-3000）90%=0.9x+300(元).（2）当x=6000时，甲商场的费用为：0.8+800=5600（元）；当x=6000时，乙商场的费用为：0.9+300=5700(元).由5600，所以在甲商场购买更优惠.（3）由题意得0.8x+800=0.9x+300，解得x=5000.答：当x为5000元时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同.【解析】（1）甲商场的费用为：4000+超过4000元部分80%；乙商场的费用为：3000+超过3000元部分90%.（2）当x=6000时，分别计算出在甲、乙两商场的费用进行比较即可；（3）根据两商场的费用相等列出方程求解即可.20.【答案】解：∵2x-5与-3x的值相等，∴2x-5=-3x，移项得，2x+3x=5，合并同类项得，5x=5，把x的系数化为1得，x=1．【解析】根据题意列出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．21.【答案】解：（1）由方程（m3）4=m2是关于x的一元一次方程，得，m30，解得m=.（2）当m=时，方程为.【解析】。

人教版七年级数学《一元一次方程》教案授课章节：第三章一元一次方程授课日期：课题：教学目标知识：了解方程、一元一次方程的概念．根据方程解的概念，会判断一个数是否是一个方程的解．能力：通过对多种实际问题的分析，能列出该问题的方程，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义．情感、态度、价值观：鼓励学生进行观察思考，发展合作交流的意识和能力．教学重点：了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件，设未知数，列出简单的一元一次方程，并会估计方程的解．教学难点：找出问题中的相等关系，列出一元一次方程以及估计方程的解。

教学过程：问题 1.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发，沿同一公路同向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早一小时经过B地，A,B两地间的路程是多少？（1）你会用算术方法解决这个问题吗？列式试试.（2）如果设A,B两地相距xkm，你能分别列式表示客车与卡车从A地到B地的行驶时间吗？客车时间，货车时间.（3）如何用式子表示两车行驶时间之间的关系？.问题2：对于上述问题，你还能列出其他的方程吗？问题3：比较列算式和列方程解决这个问题个有什么特点？2、探讨新知问题4：你能归纳出方程的概念么？方程是含有未知数的等式.三、典型例题例1.按照下列问题，设未知数并列方程.（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？（2）一台计算机已使用了1700h，预计每月再用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h?(3)某校女生占部分学生数的52%，比男生多80人，这个黉舍有多少学生？小结：列方程时，要先设未知数，然后按照问题中的等量关系，写出方程.问题5：窥察上面的例题，列出的三个方程有什么特点？只含有一个未知数（元），而且未知数的指数都是1（次），等号双方都是整式的方程叫一元一次方程.练下列式子哪些是方程？哪些是一元一次方程？（1）2x1；（2）（3）（4）x22x6；（5）3x 1.83y；2m153；3x55x4；（6）3a915；（7）15（8）2x311；x 3问题6：能满足方程4x=24的未知数的值是多少？可以发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程等号左右两边相等，x=6叫做方程4x=24的解.练：x=1000和x=2000中哪一个是方程（）x=80的解？课堂练依据下列问题，设未知数，列出方程.（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，能够跑3000m？（2）甲铅笔每支元，乙铅笔每支元，用9元钱买了两种铅笔共220支，两种铅笔各买了多少支？（3）一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底.（4）用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯单价多5元，两种水杯的单价各是多少？四、小结：（1）本节课学了哪些首要内容？（2）一元一次方程的三个特征各指什么？（3）从实际问题中列出方程的关键是什么？课后反思：授课章节：第三章一元一次方程授课日期：课题：教学目标：知识：通过窥察、阐发，将有理数的运算推广到字母运算，掌握用字母表示等式的两条性质.能力：培养观察能力、思考能力、归纳能力和创新能力.会用等式的两条性质解一元一次方程.情感、态度、价值观：鼓励学生对事物进行观察和思考，发展合作交流的意识和能力．教学重点：等式的性质的推导和应用.讲授难点：对等式性质的理解.讲授过程：问题1：等式具有什么样的性质呢？我们不妨做一个实验，请同学们认真观察，然后用“>、<、=”填空：5=5 5+6 5+6；-7=-7 -7-5 -7-5；a=ba+5 b+5a=ba-2 b-2；x=y x+my+ma=ba+（m+n）b+（m+n）问题2：我们再看一个实验，请同学们认真窥察后然后用“>、<、=”填空：6=6 6×56×5；-3=-3 -3×（-2）-3×（-2）；a=b 6a6b18=8 8÷28÷2；-10=-10 -10÷（-5）-10÷（-5）；m=nm81n8归纳：m n n m，x2x3x，33152，3x15y这样的式子叫等式.问题3：通过以上窥察，你能说说等式有什么性质么？等式性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于的数，结果仍相等；如果a b，那么a ca如果a b，那么ac；如果a b，c那么。