空间向量的正交分解
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3.1.4 空间向量的正交分解(共57张ppt)
2.空间一点的坐标的确定方法 对空间的一点P(x,y,z)，如图(1)所示，过点P作面xOy的垂线， 垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴，y轴的垂线，垂足 分别为A，C，则|x|=P′C,|y|=AP′,|z|=PP′,根据点A，C， D的位置即可确定x,y,z的符号.
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，
3.空间向量的坐标表示： 空间任一向量p作正交分解可得p=x i+y j+z k，则______ x,y,z 称 作向量p在单位正交基底i,j,k下的坐标，记作__________ p=(x,y,z)， 这也是p在空间直角坐标系Oxyz中的_____. 坐标 思考：向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一吗？ 提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解 不变，故其坐标也不变.
【解题探究】1.在空间中，用基底表示向量时一般会用到哪 些法则? 2.什么是三角形的重心？三角形的重心有何性质？
探究提示： 1.在空间中用基底表示向量，一般是把空间问题转化为平面 问题来解决，在一个平面中，需要利用平行四边形法则或三 角形法则. 2.三角形中各边上中线的交点叫做三角形的重心 .设△ABC的 重心为G，边BC上的中线为AD，则 AG 2， 其他边上的中线也
OA=1，OB=2，OC=3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以
OA ， OB ， OC 方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系
Oxyz，求EF中点P的坐标.
【解题探究】1.什么是某向量在一个基底下的坐标？解决此
类问题的关键是什么？
2.空间直角坐标系中，以原点为起点的向量的坐标和该向量
终点的坐标有何关系？
探究提示： 1.根据空间向量基本定理，空间的任一向量都可用一个基底 表示，如空间一向量a用一组不共面的向量m,n,k表示为a= x m+y n+z k，则(x,y,z)称之为a在基底{m,n,k}下的坐标. 因此求某向量在一个基底下的坐标，关键是用这个基底表示 出这个向量. 2.空间直角坐标系中，以原点为起点的向量的坐标就是该向 量终点的坐标.
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
空间向量的正交分解及其坐标表示
OP xOA yOB zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}
或{e1,e2,e3}表示.
(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底
{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、
y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,
点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是(
)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知向量a,b,c共面,
故③为假命题.
答案:C
【做一做3】 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2jk,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称
它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O
3[1].1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
![3[1].1.4空间向量的正交分解及其坐标表示](https://img.taocdn.com/s1/m/24395a48cf84b9d528ea7a20.png)
3.1.4空间向量的 3.1.4空间向量的
正交分解及其坐标表示
u r 问题： 问题： 我们知道， r r 我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 来表示（ 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 对于空间任意一个向量， 理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ 对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢？
M A
Q
P
C
B
N
练习：课本P 练习：课本P94
1.已知空间四边形 练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 uuu r uuu r uuu r r r r 中点, 中点,且 OA = a , OB = b , OC = c , r r r uuuu uuur r ⑴用 a 、 、 表示 MN , MP ; b c uuuu uuur r ⑵求 MN ⋅ MP .
三、空间向量的坐标表示
z P(x,y,z) e3 e1 O e 2 x
y
r uuu 则 OP = ( x, y, z ) ⇔ P( x, y, z )
OP =xe1+ye2+ze3
M OABC的边 如图， 例 1.如图， ，N分别是四面体 OA，BC的中点， ，Q是M 的三等分用向 的中点， P N . OAOB OC OP OQ 量 ， ， 表示 和 . O
二、空间向量基本定理
存在有序实数组{x,y,z}使 p = xa + yb + zc. 量 P,存在有序实数组 存在有序实数组 使
如果三个向量a, , 不共面,那么所有空间向量组 bc 成的集合就是{P P = xa + yb + zc, x, y, z ∈ R},这个 集合可以看做是由向量a, b, c生成的. r r r ur ur ur 故{a, b, c}叫做空间的一个基底. a , b , c 都叫做基向量
正交分解及其坐标表示
u r 问题： 问题： 我们知道， r r 我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 来表示（ 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 对于空间任意一个向量， 理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ 对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢？
M A
Q
P
C
B
N
练习：课本P 练习：课本P94
1.已知空间四边形 练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 uuu r uuu r uuu r r r r 中点, 中点,且 OA = a , OB = b , OC = c , r r r uuuu uuur r ⑴用 a 、 、 表示 MN , MP ; b c uuuu uuur r ⑵求 MN ⋅ MP .
三、空间向量的坐标表示
z P(x,y,z) e3 e1 O e 2 x
y
r uuu 则 OP = ( x, y, z ) ⇔ P( x, y, z )
OP =xe1+ye2+ze3
M OABC的边 如图， 例 1.如图， ，N分别是四面体 OA，BC的中点， ，Q是M 的三等分用向 的中点， P N . OAOB OC OP OQ 量 ， ， 表示 和 . O
二、空间向量基本定理
存在有序实数组{x,y,z}使 p = xa + yb + zc. 量 P,存在有序实数组 存在有序实数组 使
如果三个向量a, , 不共面,那么所有空间向量组 bc 成的集合就是{P P = xa + yb + zc, x, y, z ∈ R},这个 集合可以看做是由向量a, b, c生成的. r r r ur ur ur 故{a, b, c}叫做空间的一个基底. a , b , c 都叫做基向量
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
向量的正交分解
向量的正交分解向量的正交分解是在数学中讨论向量空间时经常用到的一个概念。
正交分解是指将一个向量空间中的任意向量表示为与该向量空间的一个子空间正交的两个子空间上的向量的和。
在了解向量的正交分解之前，我们首先需要了解几个相关的概念。
1.向量空间：向量空间是指一个集合，其中的元素被称为向量，并且满足加法运算和标量乘法运算的封闭性、结合律、分配律、单位元等一系列规定的条件。
2.子空间：子空间是指向量空间的一个子集，符合向量空间的定义条件，也就是满足加法运算和标量乘法运算的封闭性、结合律、分配律、单位元等条件。
3.正交：两个向量的内积为0时，我们称这两个向量是正交的。
内积为0意味着两个向量之间夹角为90度，也就是垂直于彼此。
现在我们来讨论向量的正交分解。
假设V是一个n维的向量空间，W是V的一个子空间，那么我们可以将V进行正交分解为两个子空间上的向量的和：V = W⊕W⊥其中，W⊥表示与W正交的向量构成的一个子空间。
具体来说，对于V中的任意一个向量v，存在唯一的，满足下面两个条件的向量v1和v2：1. v1属于W，表示v1是W中的一个向量；2. v2属于W⊥，表示v2是与W正交的向量。
那么我们可以得到v = v1 + v2。
也就是说，每个向量v都可以写成子空间W中的一个向量和与W正交的向量之和。
这个正交分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来进行。
Gram-Schmidt正交化方法是一种用来将一个线性无关的向量组正交化的方法。
假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，我们希望将它们正交化得到{u1, u2, ..., un}。
那么可以按照如下步骤进行：1.令u1 = v1；2.对于i = 2, 3, ..., n，执行如下操作：a.令ui = vi - proj(vi, u1) - proj(vi, u2) - ... - proj(vi, ui-1)；b.其中，proj(vi, uk)表示向量vi在向量uk上的投影，计算方式为proj(vi, uk) = (vi・uk) / (uk・uk) * uk；c.注意，这里的"・"表示点乘运算。
空间向量的正交分解
1 1 2 2 3 3
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a
(a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
C
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
y
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a 与 b 反向； （2）当 cos a , b 1 时，
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0 时， 的夹角在什么范围内？
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
z
a
A(x,y,z) O j y
k i x
三、空间向量基本定理
前面我们定义了空间向量的加、减 、数乘、数量积四 种运算，从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四 种运算来处理. 另外，我们还发现类似平面向量基本定理，空间也有 空间向 量基本定理，也就 是说： 已知三个不共面 向量 a 、 b、 c ，那么对于空间任一向量 p ，都存在有序实数组
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a
(a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
C
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
y
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a 与 b 反向； （2）当 cos a , b 1 时，
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0 时， 的夹角在什么范围内？
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
z
a
A(x,y,z) O j y
k i x
三、空间向量基本定理
前面我们定义了空间向量的加、减 、数乘、数量积四 种运算，从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四 种运算来处理. 另外，我们还发现类似平面向量基本定理，空间也有 空间向 量基本定理，也就 是说： 已知三个不共面 向量 a 、 b、 c ，那么对于空间任一向量 p ，都存在有序实数组
正交分解定理
正交分解定理正交分解定理（Orthogonal Decomposition Theorem）是线性代数中的一个重要定理，其描述了一个向量空间可以表示为两个正交子空间直和的形式。
正交分解定理被广泛应用于信号处理、图像压缩和最小二乘解等领域。
在线性代数中，一个向量空间V的两个子空间U和W被称为正交的，如果对于U中的任意向量u和W中的任意向量w，它们的内积为零，即<u,w>=0。
正交的子空间意味着其中的向量在空间中是互相垂直的。
根据正交分解定理，对于任意一个向量空间V，它可以表示为两个正交子空间U和W的直和形式，即V=U⊕W。
其中，U是一个U空间的基的生成子空间，W是一个W空间的基的生成子空间。
直和符号⊕表示V中的任意向量可以唯一地表示为空间U和空间W中的向量的和。
正交分解定理的一个重要应用是最小二乘解（Least Square Solutions）。
最小二乘解是一种对于超定方程组的解的近似方法。
当一个方程组存在无解或者解不唯一的情况时，最小二乘解可以找到一个向量使得方程组的残差最小。
最小二乘解可以通过正交分解定理来推导。
设A为m×n的矩阵，其中m>n，对于任意向量b∈ℝ^m，我们希望找到一个解x∈ℝ^n，使得Ax≈b。
根据正交分解定理，我们将A分解为两个正交子空间的直和形式，即A=[U|W]，其中U∈ℝ^m×n，W∈ℝ^m×(m-n)。
则最小二乘解可以表示为x=(U^TU)^-1U^Tb。
在信号处理领域，正交分解定理被广泛应用于信号压缩和噪声去除等问题上。
对于一个信号，可以将其正交分解为不同频率的分量信号。
利用这种分解，可以将信号的主要信息保留下来，而滤除掉无关的噪声或者干扰。
例如，将一个音频信号进行正交分解，可以得到频谱图。
频谱图展示了信号在不同频率上的能量分布情况，可以帮助我们分析和理解信号的特性。
在图像压缩方面，也可以利用正交分解定理将图像分解为不同类别的子图像，然后根据子图像的重要性进行压缩，从而实现对图像的高效压缩和传输。
3.1.4空间向量的正交分解课件
则(x,y,z)=_(_1__, _0_, . 1 ) 2
类型 三 空间向量(点)的坐标表示
【典型例题】
1.已知在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为
D1C1,B1C1的中点，若以{A uu B u r,A uu D u r,A uu A ur1}为基底，则向量
uur AE
2
答案：3a+3b-5c
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设 A u u B u r = a , A u u D u r = b , A u u A u r 1 = c , A 1 C 1 与
B1D1的交点为E，则
uur BE=______.
【解析】如图所示，B u u E r= B u u B u r 1+ B u u 1 u E r= c+ 1 2 (B u u A u r+ B u u C r)
u A
u ur B1
1.下列各组向量能构成一个基底的是( )
A.长方体ABCD-A1B1C1D1中的向量
uuu ruuu ruuu r A B ， A C ， A D
B.三棱锥A-BCD中的向量
uuu ruuu ruuu r A B ， A C ， A D
C.三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
y
B
p
j
o i Ax
P=x i+y j p=(x,y)
z C
p
B
o
y
A Q
x P=x i+y j+z k
p=(x,y,z)
在空间中，如果用任意三个不C 共面 p
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1 → → 1 → → ＝a＋ (OB－OA)＋ (OC－OA) 3 3 1 1 1 1 ＝a＋ b－ a＋ c－ a 3 3 3 3 1 1 1 ＝ a＋ b＋ c. 3 3 3 2→ 2 1 → → 1 1 ON＝ OP＝ × (OB＋OC)＝ b＋ c. 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 MN＝ON－OM＝ b＋ c－ b－ c－ a＝－ a. 3 3 3 3 3 3
→
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上 的向量的坐标吗？
提示 xOy 平面上的点的坐标为(x，y，0)，xOz 平面上的点
的坐标为(x，0，z)，yOz 平面上的点的坐标为(0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x，0，0)，y 轴上的点的坐标为(0，y， 0)，z 轴上的点的坐标为(0，0，z)．另外还要注意向量OP的 坐标与点 P 的坐标相同．
解
假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面，
1＝μ， ∴1＝λ， 此方程组无解． 0＝λ＋μ， ∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间一个基底．
活页规范训练
[规范解答](1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
→
→
→
→
→ 1 → → → 1→ 1→ ＝－[OO1＋ (OA＋OB)]＝－OO1－ OA－ OB. 2 2 2
又|OO1|＝4，|OA|＝4，|OB|＝2， ∴DO＝(－2，－1，－4). → → (2)∵A1B＝OB－OA1＝OB－(OA＋AA1) ＝OB－OA－AA1. 又|OB|＝2，|OA|＝4，|AA1|＝4， ∴A1B＝(－4，2，－4).
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理 解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空 间向量的一个基底．判断a，b，c三个向量是否共面，常 用反证法，即判断三个向量是否满足a＝λb＋μb，若满足 则共面，若不满足则不共面．
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→
→
→
→
规律方法 唯一的；
(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向
量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是
(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关 键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
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活页规范训练
四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形， PO⊥平面 OABC， 【变式2】 如图， 设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 → → → a，b，c 表示BF，BE，AE，EF.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【课标要求】 理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问 1．
题． 理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 2．
掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量 3．
的坐标． 【核心扫描】 空间向量基本定理．(重点) 1． 2． 用基底表示已知向量．(难点)
活页规范训练
【变式1】 以下四个命题中正确的是________． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向 量； ③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空 间直角坐标系O－xyz.
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(3)空间向量的坐标表示：如图，对于空间 任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它 → 的起点与原点 O 重合，得到向量OP＝p， 由空间向量基本定理可知，存在有序实数 xe1＋ye2＋ze3 组(x，y，z)，使得 p＝______________．我 们称 xe1，ye2，ze3 为向量OP在 e1，e2，e3 x，y，z 上的分向量，把________称作向量 p 在单 位正交基底 e1 ，e2 ，e3 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) ______(易错点) 3．
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自学导引
1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量
xa＋yb＋zc p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝___________，其中 基底 基向量 {a，b，c}叫做空间的一个_____，a，b，c都叫做_______． 试一试：空间的基底是唯一的吗？
→
→
→
→
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解
1→ 1 → → 1 1 连结 BO，则BF＝ BP＝ (BO＋OP)＝ (c－b－a)＝－ a 2 2 2 2
→
1 1 － b＋ c . 2 2 1→ 1 → → 1 1 BE＝BC＋CE＝－a＋ CP＝－a＋ (CO＋OP)＝－a－ b＋ c. 2 2 2 2 1 → → AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋ (PO＋OC) 2 1 1 1 ＝－a＋c＋ (－c＋b)＝－a＋ b＋ c. 2 2 2 1→ 1→ 1 EF＝ CB＝ OA＝ a. 2 2 2
→
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名师点睛
1． 基底的选择 为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一 是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的
模及其夹角已知或易求．
选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量 在该基底下的坐标．同一基底下的向量运算可以简化为坐
标进行．一般情况下，选的基底是单位正交基底．
提示 由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都 可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因 此不唯一．
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空间向量的正交分解及其坐标表示 2．
(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向 量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，
作x轴、y轴的垂线，垂足分别为
A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z|＝ PP′.
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空间中一点P(a，b，c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y 轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，－c)， P2(a，－b，c)，P3(－a，b，c)，P4(a，－b，－c)，P5(－a， b，－c)，P6(－a，－b，c)，P7(－a，－b，－c)．
→
→
→
→
→
→
[思路探索] 可结合图形，利用空间向量的加法、减法和数乘 运算，把OM和ON用已知向量 a，b，c 表示．
→
→
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解
如图，取 BC 中点 P，则 A、M、P，O、N、P 分别共线，连
结 AP，OP.
→ → → 2→ 2 1 → → OM＝OA＋AM＝a＋ AP＝a＋ × (AB＋AC) 3 3 2
1 C10， ，2， 2 所以AA1＝(0，0，2)，AB1＝－ A 3 1 3 ，A1 ，B10，－ ，2， ，0，0 ，0，2 2 2 2
→
→
→
→
→
3 1 ，－ ，2， 2 2
AC1＝－
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题型一
基底的判断
【例1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c ＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路探索] 可先用反证法判断a＋b，b＋c，c＋a是否共
面，若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基 底．
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→
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建系时必须保证三条轴的垂直关系，本题易出 → → → 现以AB，AC，AA1的方向为正方向建系的错误．
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[正解] 分别取 BC， 1C1 的中点 D， 1， D 为原点， B D 以 分别以DA， DC，DD1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标 系，如图所示，则
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3分 5分 6分
→
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→
→
9分
→
→
→
11 分 12 分
活页规范训练
【题后反思】 根据空间向量基本定理，任一向量都可表
示为基向量的线性关系式．三个基向量的对应系数即为向 量在这个基底下的坐标．所以，求向量的坐标，关键是灵
活应用基底表示该向量．
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解析
因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面
的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定 理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空 间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 答案 ②③
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题型二
用基底表示向量
M， △OBC 的重心， 【例2】 空间四边形 OABC 中， N 是△ABC， 设OA＝a， ＝b， ＝c， OB OC 用向量 a， c 表示向量OM， ， b， ON MN.
→
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试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上 的向量的坐标吗？
提示 xOy 平面上的点的坐标为(x，y，0)，xOz 平面上的点
的坐标为(x，0，z)，yOz 平面上的点的坐标为(0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x，0，0)，y 轴上的点的坐标为(0，y， 0)，z 轴上的点的坐标为(0，0，z)．另外还要注意向量OP的 坐标与点 P 的坐标相同．
解
假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面，
1＝μ， ∴1＝λ， 此方程组无解． 0＝λ＋μ， ∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间一个基底．
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[规范解答](1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
→
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→ 1 → → → 1→ 1→ ＝－[OO1＋ (OA＋OB)]＝－OO1－ OA－ OB. 2 2 2
又|OO1|＝4，|OA|＝4，|OB|＝2， ∴DO＝(－2，－1，－4). → → (2)∵A1B＝OB－OA1＝OB－(OA＋AA1) ＝OB－OA－AA1. 又|OB|＝2，|OA|＝4，|AA1|＝4， ∴A1B＝(－4，2，－4).
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规律方法 判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理 解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空 间向量的一个基底．判断a，b，c三个向量是否共面，常 用反证法，即判断三个向量是否满足a＝λb＋μb，若满足 则共面，若不满足则不共面．
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规律方法 唯一的；
(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向
量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是
(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关 键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
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四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形， PO⊥平面 OABC， 【变式2】 如图， 设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 → → → a，b，c 表示BF，BE，AE，EF.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【课标要求】 理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问 1．
题． 理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 2．
掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量 3．
的坐标． 【核心扫描】 空间向量基本定理．(重点) 1． 2． 用基底表示已知向量．(难点)
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【变式1】 以下四个命题中正确的是________． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向 量； ③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空 间直角坐标系O－xyz.
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(3)空间向量的坐标表示：如图，对于空间 任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它 → 的起点与原点 O 重合，得到向量OP＝p， 由空间向量基本定理可知，存在有序实数 xe1＋ye2＋ze3 组(x，y，z)，使得 p＝______________．我 们称 xe1，ye2，ze3 为向量OP在 e1，e2，e3 x，y，z 上的分向量，把________称作向量 p 在单 位正交基底 e1 ，e2 ，e3 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) ______(易错点) 3．
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1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量
xa＋yb＋zc p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝___________，其中 基底 基向量 {a，b，c}叫做空间的一个_____，a，b，c都叫做_______． 试一试：空间的基底是唯一的吗？
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解
1→ 1 → → 1 1 连结 BO，则BF＝ BP＝ (BO＋OP)＝ (c－b－a)＝－ a 2 2 2 2
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1 1 － b＋ c . 2 2 1→ 1 → → 1 1 BE＝BC＋CE＝－a＋ CP＝－a＋ (CO＋OP)＝－a－ b＋ c. 2 2 2 2 1 → → AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋ (PO＋OC) 2 1 1 1 ＝－a＋c＋ (－c＋b)＝－a＋ b＋ c. 2 2 2 1→ 1→ 1 EF＝ CB＝ OA＝ a. 2 2 2
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1． 基底的选择 为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一 是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的
模及其夹角已知或易求．
选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量 在该基底下的坐标．同一基底下的向量运算可以简化为坐
标进行．一般情况下，选的基底是单位正交基底．
提示 由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都 可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因 此不唯一．
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空间向量的正交分解及其坐标表示 2．
(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向 量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，
作x轴、y轴的垂线，垂足分别为
A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z|＝ PP′.
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空间中一点P(a，b，c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y 轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，－c)， P2(a，－b，c)，P3(－a，b，c)，P4(a，－b，－c)，P5(－a， b，－c)，P6(－a，－b，c)，P7(－a，－b，－c)．
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[思路探索] 可结合图形，利用空间向量的加法、减法和数乘 运算，把OM和ON用已知向量 a，b，c 表示．
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解
如图，取 BC 中点 P，则 A、M、P，O、N、P 分别共线，连
结 AP，OP.
→ → → 2→ 2 1 → → OM＝OA＋AM＝a＋ AP＝a＋ × (AB＋AC) 3 3 2
1 C10， ，2， 2 所以AA1＝(0，0，2)，AB1＝－ A 3 1 3 ，A1 ，B10，－ ，2， ，0，0 ，0，2 2 2 2
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3 1 ，－ ，2， 2 2
AC1＝－
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题型一
基底的判断
【例1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c ＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路探索] 可先用反证法判断a＋b，b＋c，c＋a是否共
面，若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基 底．
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建系时必须保证三条轴的垂直关系，本题易出 → → → 现以AB，AC，AA1的方向为正方向建系的错误．
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[正解] 分别取 BC， 1C1 的中点 D， 1， D 为原点， B D 以 分别以DA， DC，DD1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标 系，如图所示，则
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3分 5分 6分
→
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9分
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11 分 12 分
活页规范训练
【题后反思】 根据空间向量基本定理，任一向量都可表
示为基向量的线性关系式．三个基向量的对应系数即为向 量在这个基底下的坐标．所以，求向量的坐标，关键是灵
活应用基底表示该向量．
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因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面
的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定 理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空 间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 答案 ②③
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题型二
用基底表示向量
M， △OBC 的重心， 【例2】 空间四边形 OABC 中， N 是△ABC， 设OA＝a， ＝b， ＝c， OB OC 用向量 a， c 表示向量OM， ， b， ON MN.