空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

令 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C， a＋b＋c＝A→C1. 可知向量 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 不共面，故选 B.
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝e1＋2e2－e3，O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能 否作为空间的一个基底．
所以－ x＋3xy＝＋2y＝1，此方程组无解． 2x－y＝－1
即不存在实数 x，y，使得O→A＝xO→B＋yO→C成立，所以O→A，O→B，
O→C不共面．
故{O→A，O→B，O→C}能作为空间的一个基底．
空间向量基本定理 四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设O→A ＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a， b，c 表示B→F，B→E，A→E，E→F.
因为A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， 所以A→1B＝－4i＋2j－4k. 所以A→1B＝(－4，2，－4)．
解：分别取 BC，B1C1 的中点 D，D1，以 D 为原点，分别以D→C， D→A，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐 标系，如图所示，则 A(0， 23，0)，A1(0， 23，2)， B1(－12，0，2)，C1(12，0，2)，
所以A→A1＝(0，0，2)， A→B1＝(－12，－ 23，2)，A→C1＝(12，－ 23，2)．
在直三棱柱 ABO­A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2， AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中(其 中 i，j，k 为单位向量)以 i，j，k 为基底，求D→O、A→1B的坐标．
解：因为D→O＝－O→D＝－(O→O1＋O→1D)＝－[O→O1＋12(O→A＋O→B)] ＝－O→O1－12O→A－12O→B. 又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， 所以D→O＝－12×4i－12×2j－4k， 所以D→O＝(－2，－1，－4)．
A→N＝12(A→B′＋A→C′) ＝12(A→B＋B→B′＋A→C′) ＝12A→B＋12C→C′＋12A→C′ ＝12A→B＋12(A→C′－A→C)＋12A→C′ ＝12A→B＋A→C′－12A→C ＝12b＋a－12c.
空间向量的坐标表示 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知△ABC 的边长为 1，三棱 柱的高为 2，建立适当的空间直角坐标系，并写出A→A1，A→B1， A→C1的坐标．
空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的基底
设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个
基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，
③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有
() A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
解析：选 B.因为 x＝a＋b， 所以向量 x，a，b 共面． 如图，
解：连接 BO，
则B→F＝12B→P ＝12(O→P＋B→O)＝12(c－b－a) ＝－12a－12b＋12c.
B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P) ＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C) ＝－a＋c＋12(－c＋b) ＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
A→N＝A→A′＋A→′N ＝A→A′＋12(A→′B′＋A→′C′) ＝A→A′＋12(A→B＋A→C) ＝a＋12b＋12c.
[变式] 若把本题中的“A→A′＝a”改为“A→C′＝a”，其他条件 不变，则结果是什么？ 解：因为 M 为 BC′的中点，N 为 B′C′的中点， 所以A→M＝12(A→B＋A→C′) ＝12a＋12b.
解：假设O→A，O→B，O→C共面，由向量共面的充要条件知，存在 实数 x，y，使得O→A＝x O→B＋y O→C成立， 即 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以 e1，e2，e3 不共面，
Байду номын сангаас
如图，在三棱柱 ABC-A′B′C′中，已知A→A′＝a，A→B＝b，A→C ＝c，点 M，N 分别是 BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c} 表示向量A→M，A→N.
解：连接 A′N(图略)． A→M＝A→B＋12B→C′＝A→B＋12(B→C＋C→C′) ＝A→B＋12B→C＋12C→C′ ＝A→B＋12(A→C－A→B)＋12A→A′ ＝12A→B＋12A→C＋12A→A′ ＝12(a＋b＋c)．