2019年高三理科数学一轮复习：空间中的垂直关系(解析版)

空间中的垂直关系[基础梳理] 1．直线与平面垂直(1)定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理：⎭⎬⎫a ，b αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念：①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl β⇒α⊥β⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl βα∩β＝al ⊥a⇒l ⊥α1．判定定理的理解若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α. 2．性质定理α⊥β，P ∈β，PQ ⊥α⇒PQβ时垂直于第三个平面，[四基自测]1．下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为() A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交答案：C3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案：C4．如图所示，在三棱锥V ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案：4考点一线面垂直的判定与性质◄考基础——练透[例1](2019·河南商丘模拟)如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．解析：由P A⊥平面ABC，BC平面ABC，可得P A⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上一点，则有BC⊥AC，又P A∩AC＝A，所以BC⊥面P AC，又AF面P AC，所以BC⊥AF，故③正确；因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥面PBC，又PB面PBC，所以AF⊥PB，故①正确；因为AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，又EF平面AEF，所以PB⊥EF，故②正确；由于AF⊥平面PBC，AF∩AE＝A，所以AE不与面PBC垂直，故④错误．综上可知正确命题的序号为①②③.答案：①②③证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线.如图所示，三棱锥P ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC＝AC ＝2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F.(1)求证：AP⊥FB；(2)求多面体PFBCE的体积．解析：(1)证明：由题意得BE⊥AC，又PC⊥平面ABC，∴PC⊥BE.又AC∩PC＝C，∴BE⊥面P AC.∴BE⊥AP.又EF ⊥AP ，EF ∩BE ＝E ，∴AP ⊥面BEF . ∴AP ⊥FB .(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，E 为AC 中点， ∴AE ＝1，BE ＝ 3.在△PCA 中，∠PCA ＝90°，AC ＝PC ＝2，∴∠P AC ＝45°.又EF ⊥P A ，∴EF ＝AF ＝22，S △AEF ＝12EF ·AF ＝14.易知，BE ⊥平面AFE .∴V ABEF＝V B AFE ＝13BE ·S △AEF ＝312，又V P ABC ＝13PC ·S △ABC ＝233，∴多面体PFBCE 的体积为V P ABC －V A BEF ＝7312. 考点二 平面与平面垂直的判定与性质◄考能力——知法[例2] (1)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为22a,2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ； ③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为5πa 2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝52a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确，综上，正确命题的序号为①②③④.答案：①②③④(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM ＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.①证明：平面ACD⊥平面ABC；②Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q－ABP的体积．解析：①证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.②由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ， 所以BP ＝2 2.如图所示，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.应用线面垂直的判定与性质定理的思维(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)如图所示，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x .故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.考点三 空间垂直关系的探索与转化◄考基础——练透[例3] (1)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 的轨迹的周长等于________．解析：分别取BB 1，CC 1的中点E ，F ，连接AE ，EF ，FD ，则BN ⊥平面AEFD ，过点M 作平面α，使α∥平面AEFD ，则平面α与正方体表面的交线即为点P 的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等，又矩形AEFD 的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋5(2)如图所示，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．①求证：CD⊥平面SAD；②若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．解析：①证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.②存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.证明：连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.探索垂直关系，常采用逆向思维一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直．(2)矩形的相邻边垂直．(3)直径所对的圆周角的两边垂直．(4)菱形的对角线垂直．(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．(2019·安阳模拟)如图所示，平面ABDE⊥平面ABC，AC＝BC，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD＝12AE，O，M分别为CE，AB的中点．(1)求证：OD∥平面ABC.(2)能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．解析：(1)证明：取AC中点F，连接OF，FB.∵F为AC中点，O为CE中点，∴OF∥EA且OF＝12EA.又BD∥AE且BD＝12AE，∴OF∥DB，OF＝DB，∴四边形BDOF是平行四边形，∴OD∥FB.∵FB平面ABC，OD平面ABC，∴OD∥平面ABC.(2)当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE.取EM中点N，连接ON，CM.∵AC＝BC，M为AB中点，∴CM⊥AB.又∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，CM平面ABC，∴CM⊥平面ABDE.∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM，∴ON⊥平面ABDE.直观想象——立体几何中高维与低维转化中的学科素养立体几何中的点与点、点与线、线与线、线与面、面与面之间的关系是由低维逐步到高维的转化过程，解决立体几何问题不仅用到高维、也要用到低维．其中直观想象是重点的核心素养，是培养空间想象能力的基本方法．[例]如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，若二面角C－AB－C1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为________．解析：设所求距离为d ，两次计算三棱锥C 1－ABC (即三棱锥C －ABC 1)的体积，得：13×34×32＝13×12×1×3×h ，解得h ＝34.答案：34点评：本题将点到平面的距离问题转化为三棱锥的体积问题.课时规范练 A 组 基础对点练1．(2019·惠州模拟)P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( ) A ．P A ⊥BC B ．BC ⊥平面P AC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC解析：由P A ⊥平面ACB ⇒P A ⊥BC ，故A 不符合题意；由BC ⊥P A ，BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，故B ，D 不符合题意；无法判断AC ⊥PB ，故C 符合题意． 答案：C2．(2019·石家庄模拟)已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．答案：D3．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m∥n，nα，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β解析：若m∥n，nα，则m∥α或mα，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或nα，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.答案：D4．(2019·长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABD解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.答案：C6．(2019·南昌调研)如图所示，四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：如图所示，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P －ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.答案：B7.如图所示，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.如图所示，四棱锥P ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证：(1)AP∥平面BEF；(2)BE⊥平面P AC.证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△P AC中，可得AP∥OF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面P AC，所以BE⊥平面P AC.9．(2019·唐山统考)已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求点P到平面AEC的距离．解析：(1)证明：如图所示，连接BD，交AC于点F，连接EF，∵底面ABCD 为矩形，∴F 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴EF ∥PB ， 又PB平面AEC ，EF平面AEC ，∴PB ∥平面AEC . (2)∵PD ⊥平面ABCD ， AC平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又PB ⊥AC ，PB ∩PD ＝P ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵BD平面PBD ，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 为正方形．又E 为PD 的中点，∴P 到平面AEC 的距离等于D 到平面AEC 的距离，设D 到平面AEC 的距离为h ，由题意可知AE ＝EC ＝5，AC ＝22，S △AEC ＝12×22×3＝6，由V D AEC＝V E ADC 得13S △AEC ·h ＝13S △ADC ·ED ，解得h ＝63，∴点P 到平面AEC 的距离为63.B 组 能力提升练10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 相交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF 平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ， 则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2， 所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.答案：A11．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，nα，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α解析：选项A.若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交、异面，故A 错误；B ．若m ⊥α，nα，则m ⊥n ，显然成立；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或nα，故C 错误；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α或n ∥α或n 与α相交． 答案：B12.如图所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角 形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在 下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ；③四面体FECG 体积的最大值是13.真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①正确，因为AB ⊥平面BCD ，且AB平面ABE ，由面面垂直的判定定理可知平面ABE ⊥平面BCD ；②错误，若两平面平行，则必有AD ∥EF ，而点E 是棱CD 上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF ⊥平面GCE ，且GF ＝12AB ＝1， 而S △GCE ＝12GC ·CE ·sin45°＝24CE ≤1，故V F －GCE ＝13S △GCE ·FG ≤13. 故正确的命题为①③. 答案：C13．已知平面α，β和直线m .给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m ∥β. (2)当满足条件________时，有m ⊥β. 解析：(1)当mα，且α∥β时，有m ∥β，故填③⑤.(2)当m ⊥α，且α∥β时，有m ⊥β，故填②⑤. 答案：(1)③⑤ (2)②⑤14．(2019·北京东城区模拟)如图所示，在四棱锥E -BCD 中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD ＝3AB .(1)求证：平面ACE⊥平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：因为CD⊥平面ADE，AE平面ADE，所以CD⊥AE.又AE⊥DE，CD∩DE＝D，所以AE⊥平面CDE，因为AE平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F，且EFED＝13，使AF∥平面BCE.设F为线段DE上一点，且EF ED＝13.过点F作FM∥CD交CE于点M，连接BM，AF，则FM＝13CD.因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB.又FM∥CD，所以FM∥AB.因为CD＝3AB，所以FM＝AB.所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM.又AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF∥平面BCE.提能练(四) 立体几何A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π .9π2 C ．6π .32π3解析：设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2， ∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2. 答案：B2.(2019·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4πB ．16πC ．24πD ．25π 解析：由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R ＝22＋22＋42＝26，则R ＝6，故该球的表面积为4πR 2＝24π，故选C.答案：C3．(2019·洛阳模拟)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823πB.833πC.863πD.1623π解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.答案：A4．(2019·石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )A.83B.43C.823D.423解析：记由三视图还原后的几何体为四棱锥A －BCDE ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D ，E 分别为所在棱的中点，分析知平面ABE ⊥平面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即四棱锥的高，设为h ，在△ABE 中，易知AE ＝BE ＝5，cos ∠ABE ＝55，则sin ∠ABE ＝255，所以h ＝455，故四棱锥的体积V ＝13×2×5×455＝83，故选A.答案：A5．(2019·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．15πB ．16πC ．17πD ．18π解析：由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D 1－BCD ，将其放在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为9＋4＋4＝17，球O 的直径为17，所以球O 的表面积S ＝17π，故选C.答案：C6．(2019·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r ＞0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5，令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0＜r ＜6时，f ′(r )＞0，f (r )单调递增，当r ＞6时，f ′(r )＜0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝13π×108＝23π.答案：23π7．(2019·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为________．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P －ABC ，其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，P A ⊥平面ABC ，BC ＝27，P A 2＋y 2＝102，(27)2＋P A 2＝x 2，所以xy ＝x 102－[x 2－(27)2]＝x 128－x 2≤x 2＋(128－x 2)2＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.答案：648.如图，已知四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点．(1)证明：平面PCD ⊥平面PDE ；(2)若PD ＝3AD ，求点E 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AB ，连接DB ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，所以△DAB 为等边三角形，又E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE ，又PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PDE ，因为CD ∥AB ，所以CD ⊥平面PDE ，因为CD 平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PDE .(2)因为AD ＝2，所以PD ＝23，在Rt △PDC 中，PC ＝4，同理PB ＝4，易知S △PBC ＝15，S △EBC ＝32，设点E 到平面PBC 的距离为h ，连接EC ，由V P －EBC ＝V E －PBC 得，13S △EBC ·PD ＝13S △PBC ·h ， 所以h ＝155.B 组 能力提升练9．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D －ABC 中，(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F －BCE 的体积． 解析：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22，∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4， ∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF .∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线．∵V F －BCE ＝V B －CEF ＝13×S △CEF ×BC ，∴S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F －BCE ＝13×12×22＝23.10．(2019·南昌调研)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1＝3，AC ⊥BC ，点M 在线段AB 上．(1)若M 是AB 的中点，证明：AC 1∥平面B 1CM ；(2)是否存在点M 使得三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19？若存在，试求BM 的长度；若不存在，请说明理由． 解析：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接ME . 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以侧面BB 1C 1C 为矩形．又M 是AB 的中点，所以ME 为△ABC 1的中位线，所以ME ∥AC 1. 因为ME 平面B 1CM ，AC 1平面B 1CM ，所以AC 1∥平面B 1CM .(2)存在点M 使得三棱锥B 1BCM 的体积是三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积的19. 理由如下：假设存在点M 使得三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19.由题意知VB 1－BCM ＝13S △BCM ·BB 1，VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·BB 1，设BM ＝λBA,0＜λ＜1，则13λS △ABC ·BB 1＝19S △ABC ·BB 1，所以λ＝13，即BM ＝2，故当BM ＝2时，三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19.。

2019年高考数学一轮复习：空间中的垂直关系空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2017江西宜春四校联考)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解：对于选项A，可在α内作直线平行于交线即可，A正确；对于选项B，假设在α内存在直线垂直于平面β，则α⊥β，这与已知矛盾，所以原命题成立，B正确；对于选项C，因为平面α⊥平面γ，所以在平面γ内存在一条直线m⊥α.所以m⊥l.同理可知在平面γ内存在直线n⊥β，n⊥l.若直线m，n重合，则面α与β重合或平行，这与已知矛盾，所以直线m，n相交，又l⊥m，l⊥n，所以l⊥面γ，C正确；对于选项D，易知α与β的交线l并不垂直于面β，D错误．故选D.(2017甘肃马营中学月考)若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系可能平行也可能相交或m⊂α，则A为假命题；选项B中，α与β可能平行也可能相交，则B为假命题；选项D 中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D为假命题．故选C.(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的________条件．解：若l⊥m，m⊥平面α，则l∥α或l⊂α；若l∥α，m⊥平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故填必要不充分．(2017重庆八中适应性考试)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面ABC.解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故①正确；若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面P AE，故②正确；由PO⊥平面ABC，PO⊂平面P AE，可得平面P AE⊥平面ABC，故④正确，平面PDF不过PO，故③不正确．故填①②④.类型一线线垂直问题如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，D1D ⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.证明：(1)因为D1D⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，所以D1D⊥BD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2.所以AD⊥BD.又因为AD∩D1D＝D，所以BD⊥面ADD1A1.又AA1⊂面ADD1A1, 所以AA1⊥BD.(2)连接AC，A1C1，设AC∩BD＝E，连接A1E.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝12AC.由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形．所以CC1∥A1E.又因为A1E⊂面A1BD，CC1⊄面A1BD，所以CC1∥面A1BD.【点拨】本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD中没有与CC1平行的直线，故需作辅助线．(2017武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V＝S△ABC×OA1＝3.类型二线面垂直问题如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)证明：因为P A⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以P A⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又P A∩AD＝A，所以CE⊥平面P AD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，CE＝CD·sin45°＝1，DE＝CD·cos45°＝1，又因为AB＝1，则AB＝CE.又CE∥AB，AB⊥AD，所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形．因为AD＝3，所以BC＝AE＝AD－DE＝2，S ABCD＝12(BC＋AD)·AB＝12(2＋3)×1＝52，V P­ABCD＝13S ABCD·P A＝13×52×1＝56.于是四棱锥P-ABCD的体积为56.【点拨】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积．(2017锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)如图，连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝ 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A1B1∩B1M＝B1，由①②得BM⊥平面A1B1M.而BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．(2017武汉市第四十三中学月考)如图，在五棱锥P-ABCDE中，P A⊥平面ABCDE，AB∥CD，∠ABC＝45°，AB＝22，BC＝2AE＝4，三角形P AB 是等腰三角形．求证：平面PCD⊥平面P AC.证明：因为∠ABC＝45°，AB＝22，BC＝4，所以在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝(22)2＋42－2×22×4cos45°＝8，解得AC＝22，所以AB2＋AC2＝8＋8＝16＝BC2，即AB⊥AC，又P A⊥平面ABCDE，所以P A⊥AB.又P A∩AC＝A，所以AB⊥平面P AC，又AB∥CD，所以CD⊥平面P AC.又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面P AC.类型四垂直综合问题(2017大连经济技术开发区一中月考)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′­CD-B的平面角的余弦值．解：(1)证明：在图1中，易得OC＝3，AC＝32，AD＝2 2.如图示，连接OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A′D＝22，易得A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE.又因为OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.(2)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H，连接A′H，因为A′O⊥平面BCDE，易知A′H⊥CD，所以∠A′HO为二面角A′­CD-B的平面角.结合图1可知，H为AC中点，又O为BC中点，故OH＝12AB＝322，从而A′H＝OH2＋OA′2＝302，所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155.所以二面角A ′­CD -B 的平面角的余弦值为155. 【点拨】本题主要考查线面垂直及二面角的计算等．折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，又DF ∩FE ＝F ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)．由已知得，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，故∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3)，连接AC ，则EC →＝(1，0，3)，EB→＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0， 所以可取n ＝(3，0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m|＝－21919，结合图形，得二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.1．判断(证明)线线垂直的方法 (1)根据定义；(2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ； (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α；(2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β； (4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ.3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β； (2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ.4．平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC .1．(2016·浙江) 已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β， 则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 解：由题意知α∩β＝l ，所以l ⊂β.因为n ⊥β，所以n ⊥l .故选C .2．已知α，β为两个不同的平面，l 为直线，若α⊥β，α∩β＝l ，则( )A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC ．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直 解：由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直．故选D .3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β解：若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错；对于D 项，由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α，又知n ∥β，故α⊥β，所以D 项正确．故选D .4．(2017沈阳市第一中学月考)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当α⊥β时，由面面垂直的性质定理知b ⊥α，则b ⊥a .所以“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分条件．而当a ⊂α，且a ∥m 时，因为b ⊥m ，所以b ⊥a ，而此时平面α与平面β不一定垂直．所以“α⊥β”不是“a ⊥b ”的必要条件．故选A .5．(2015·福建质量检查)如图，AB 是圆O 的直径，VA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ∥ABB ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC解：依题意，MN ∥AC ，又直线AC 与AB 相交，因此MN 与AB 不平行，A 错误；注意到AC ⊥BC ，因此MN 与BC 所成的角是90°，B 错误；注意到直线OC 与AC 不垂直，因此OC 与平面VAC 不垂直，C 错误；由于BC ⊥AC ，BC ⊥VA ，因此BC ⊥平面VAC .又BC ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面VAC ，D 正确．故选D .6．(2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：(1)SG ⊥平面EFG ； (2)SD ⊥平面EFG ； (3)GF ⊥平面SEF ； (4)EF ⊥平面GSD ； (5)GD ⊥平面SEF . 正确的是( )A ．(1)和(3)B ．(2)和(5)C ．(1)和(4)D ．(2)和(4)解：因为正方形中折叠前后都有SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.(1)正确，(2)错误．因为SG⊥GF，SG⊥GD，所以GF并不垂直于SF，GD并不垂直于SD，即(3)(5)错误．因为EF⊥GD，EF⊥SG，GD∩SG＝G，所以EF⊥面GSD.(4)正确．故选C.7．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD′E为平行四边形，①正确；若四边形BFD′E是正方形，则BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，所以BE⊥面ADD′A′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E，F分别为棱AA′，CC′的中点时，EF∥AC，又AC⊥平面BB′D，所以EF⊥面BB′D，④正确．故填①③④.8．(2017沈阳市回民中学月考)ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且P A⊥平面ABCD，则平面P AB，平面PBC，平面PCD，平面P AD，平面ABCD 这五个平面中，互相垂直的平面有________对．解：因为P A⊥平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD.又因为AD⊥平面P AB，所以平面P AD⊥平面P AB，同理可得平面PBC⊥平面P AB，平面P AD⊥平面PCD，故互相垂直的平面有5对．故填5.9．(2017钟祥市实验中学月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a.求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD.证明：(1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝2a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.同时AC⊂平面P AC，所以平面P AC⊥平面PBD.10．(2017谷城县第一中学月考)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)因为P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.因为AC⊥CD，P A∩AC＝A，所以CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，所以CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥AB.又因为AB⊥AD且P A∩AD＝A，所以AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.11．(2017·天津)如图，在四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：(1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝ 5.故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2＝42＋22＝20，DF＝25，所以在Rt△DPF中可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.(2015·安徽)如图，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．解：(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝12·AB·AC·sin60°＝32.由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥P­ABC的高，又P A＝1，所以三棱锥P-ABC的体积V＝13·S△ABC·P A＝36.(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面P AC内，过点N作MN∥P A，交PC于点M，连接BM.由P A⊥平面ABC知P A⊥AC，又MN∥P A，所以MN⊥AC.又BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，所以AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥P A，得PMMC＝ANNC＝13.2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。

第九单元　立体几何初步与空间向量 1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“lα”是“lm且ln”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： α⊥γ，βγ?α⊥β； α⊥γ，βγ?α⊥β； l∥α，lβ?α⊥β. 其中正确的命题有( C ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：对于，α与β可能平行、相交或垂直，故错；正确，故选C. 3.(2013·辽宁鞍山五模)已知m是平面α的一条斜线，点Aα，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( C ) A．lm，lα B．lm，lα C．lm，lα D．lm，lα 解析：对于A，由lm，lα，则mα，与已知矛盾；对于B，由lm，lα，可知mα或mα，与已知矛盾；对于D，由lm，lα可知mα或mα，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C. 4.(2012·浙江省高考5月份押题)已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，lα，mα，mγ，则有( B ) A．αγ且mβ B．αγ且lm C．mβ且lm D．αβ且αγ 解析：mα，mγ?α⊥γ，又lγ?m⊥l，故选B. 5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点Pα，PBα，C是α内异于A和B的动点，且PCAC，则BC与AC的位置关系是　垂直　. 解析：因为PBα，所以PBAC. 又因为PCAC，且PC∩PB＝P， 所以AC平面PBC，所以ACBC. 6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： m⊥n；α⊥β；n⊥β；m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　或　. 7.(2012·皖南八校第二次联考)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“αβ，且αγ?β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有　2　个． 解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“ab，且aγ?b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“aβ，且ab?b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“aα，且bα?a⊥b”，此命题为真命题． 8.如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点． (1)证明：ABMN； (2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO平面PDC. 证明：(1)因为N为PC的中点， 所以ONPA. 而PA平面ABCD，所以ON平面ABCD. 所以ONAB. 又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点， 所以OMAB，所以AB平面OMN， 所以ABMN. (2)PA⊥平面ABCD，ADDC，则PDDC. 故PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即PDA＝45°，所以PA＝AD＝BC. 连接MC， 由RtBCM≌RtAPM知，MC＝MP，所以MNPC. 因为ABMN，所以MNCD， 又PC∩CD＝C，所以MN平面PCD， 所以平面MNO平面PCD. 9.(2012·黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点． (1)求证：AEDA1； (2)求在线段AA1上找一点G，使AE平面DFG. 解析：(1)连接AD1，BC1， 由正方体的性质可知， DA1AD1，DA1AB， 又AB∩AD1＝A， 所以DA1平面ABC1D1， 又AE平面ABC1D1， 所以AEDA1. (2)所求G点即为A1点，证明如下： 由(1)知AEDA1， 取CD的中点H，连接AH，EH， 由平面几何知识易得DFAH， 又DFEH，AH∩EH＝H，所以DF平面AHE， 所以DFAE， 又因为DF∩A1D＝D， 所以AE平面DFA1，即AE平面DFG.。

空间中的平行与垂直1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.则以上说法中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析对于①，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于②，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于③，α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，正确；对于④，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交．故选B.2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为( )A．①②B．③④C．①③D．②④答案 D解析由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为②④.3．给出下列四个命题：①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C4．已知m ，n ，l 1，l 2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件．故选D.5．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫324，52 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 答案 B解析 如图所示，分别取棱BB 1，B 1C 1的中点M ，N ，连接MN ，BC 1，NE ，A 1N ，A 1M ，∵M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，∴MN ∥BC 1，EF ∥BC 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF .∵AA 1∥NE ，AA 1＝NE ，∴四边形AENA 1为平行四边形，∴A 1N ∥AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴A 1N ∥平面AEF ，又A 1N ∩MN ＝N ，A 1N ，MN ⊂平面A 1MN ，∴平面A 1MN ∥平面AEF .(2)求三棱锥N －PCE 的体积．(1)证明 取A 1E 的中点F ，连接MF ，CF ，∵ M 为棱A 1D 的中点，∴MF ∥DE 且MF ＝12DE ，在△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC 且DE ＝12BC ， ∴MF ∥BC ，即MF ∥NC ，且MF ＝14BC ＝NC ， ∴四边形MFCN 为平行四边形，∴MN ∥FC ，∵MN ⊄平面A 1EC ，FC ⊂平面A 1EC ，∴MN ∥平面A 1EC .(2)解 取BD 的中点H ，连接PH ，则PH 为△A 1BD 的中位线，∴PH ∥A 1D ，∵在△ABC 中，AB ⊥BC ，DE ∥BC ，∴在空间几何体中，DE ⊥DA 1，∵A 1D ⊥BD ，DB ∩DE ＝D ，DB ，DE ⊂平面BCED ，∴A 1D ⊥平面BCED ，∵PH ∥A 1D ，∴PH ⊥平面BCED ，∴PH 为三棱锥P －NCE 的高，∴PH ＝12A 1D ＝14AB ＝1，S △NCE ＝12NC ·BD ＝12×12×2＝12， ∴V N －PCE ＝V P －NCE ＝13PH ·S △NCE ＝13×1×12＝16. 9．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M ，N 分别为B 1C 1，BB 1的中点．现有下列四个结论： p 1：AC 1∥MN ；p 2：A 1C ⊥C 1N ；p 3：B 1C ⊥平面AMN ；p 4：异面直线AB 与MN 所成角的余弦值为24. 其中正确的结论是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4答案 C 解析 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M ，N 分别为B 1C 1，BB 1的中点．对于p 1：如图①所示，MN ∥BC 1，BC 1∩AC 1＝C 1，∴AC 1与MN 不平行，是异面直线，p 1错误；对于p 2：如图②所示，连接AC 1，交A 1C 于点O ，连接ON ，易知A 1C ⊥AC 1，ON ⊥平面ACC 1A 1，∴ON ⊥A 1C ，又ON ∩AC 1＝O ，ON ，AC 1⊂平面ONC 1，∴A 1C ⊥平面ONC 1，又C 1N ⊂平面ONC 1，∴A 1C ⊥C 1N ，p 2正确；对于p 3：如图③所示，取BC 的中点O ，连接AO ，BC 1，过点O 作OP ∥BC 1，交CC 1于点P ，连接AP ，则AO ⊥平面BCC 1B 1，又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AO ⊥B 1C ，又BC 1∥OP ，BC 1⊥B 1C ，∴B 1C ⊥OP ，又AO ∩OP ＝O ，AO ，OP ⊂平面AOP ，∴B 1C ⊥平面AOP ，又平面AMN 与平面AOP 有公共点A ，∴B1C与平面AMN不垂直，p3错误；对于p4：如图④所示，连接BC1，AC1，则MN∥BC1，∴∠ABC1是异面直线AB与MN所成的角，设AB＝1，则AC1＝BC1＝2，∴cos∠ABC1＝22＋12222×2×1＝24，p4正确．综上，其中正确的结论是p2，p4.10.如图，多面体ABCB1C1D是由三棱柱ABC－A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．(1)若F在CC1上，且CC1＝4CF，E为AB的中点，求证：直线EF∥平面C1DB1；(2)若AD＝AC＝1，A D⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到平面B1C1D的距离．(1)证明方法一取AC的中点G，CC1的中点H，连接AH，GF，GE，如图所示．∵AD∥C1H且AD＝C1H，∴四边形ADC1H为平行四边形，∴AH∥C1D，又F是CH的中点，G是AC的中点，∴GF∥AH，∴GF∥C1D，又GF⊄平面C1DB1，C1D⊂平面C1DB1，∴GF∥平面C1DB1，又G ，E 分别是AC ，AB 的中点，∴GE ∥BC ∥B 1C 1，又GE ⊄平面C 1DB 1，B 1C 1⊂平面C 1DB 1，∴GE ∥平面C 1DB 1，又GE ∩GF ＝G ，GE ⊂平面GEF ，GF ⊂平面GEF ，∴平面GEF ∥平面C 1DB 1，又EF ⊂平面GEF ，∴EF ∥平面C 1DB 1.方法二 取B 1D 的中点M ，连接EM ，MC 1，则EM 是梯形ABB 1D 的中位线，∴EM ∥BB 1∥CC 1∥AD ，∴EM ＝12(AD ＋BB 1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12CC 1＋CC 1＝34CC 1， 又C 1F ＝CC 1－CF ＝34CC 1， ∴ EM ∥C 1F 且EM ＝C 1F ，故四边形EMC 1F 为平行四边形，∴C 1M ∥EF ，又EF ⊄平面C 1DB 1，C 1M ⊂平面C 1DB 1，∴EF ∥平面C 1DB 1.(2)解 ∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC ，又AD ＝AC ＝1，CC 1＝2AD ，AD ∥CC 1，∴C 1D 2＝DC 2＝AC 2＋AD 2＝2AD 2＝2，C 1C 2＝4，故CC 21＝CD 2＋C 1D 2，即C 1D ⊥CD ，又BC ⊥AC ，AD ⊥BC ，AC ∩AD ＝A ，AC ，AD ⊂平面ACC 1D ，∴BC ⊥平面ACC 1D ，又CD ⊂平面ACC 1D ，∴BC ⊥CD ，又B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥CD ，又DC 1∩B 1C 1＝C 1，DC 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，∴CD ⊥平面B 1C 1D ， ∴点C 到平面B 1C 1D 的距离为CD 的长，即为 2.11．如图，矩形AB ′DE (AE ＝6，DE ＝5)，被截去一角(即△BB ′C )，AB ＝3，∠ABC ＝135°，平面PAE ⊥平面ABCDE ，PA ＋PE ＝10.(1)求五棱锥P －ABCDE 的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明：BC ⊥PB .在平面PAE 内，PA ＋PE ＝10>AE ＝6，P 在以A ，E 为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当点P 为短轴端点时，P 到AE 的距离最大，此时PA ＝PE ＝5，OA ＝OE ＝3，所以PO ma ＝4，所以(V P －ABCDE )ma ＝13S ABCDE ·PO ma ＝13×28×4＝1123.(2)证明连接OB，如图，由(1)知，OA＝AB＝3，故△OAB是等腰直角三角形，所以∠ABO＝45°，所以∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝135°－45°＝90°，即BC⊥BO.由于PO⊥平面ABCDE，BC⊂平面ABCDE，所以PO⊥BC，又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面POB，所以BC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，所以BC⊥PB.12. 如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在题图(2)中，A1E⊥EF，又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点的直线与平面A1BE平行．理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接M，因为点为棱A1F的中点，所以M∥FP.因为FP∥BE，所以M∥BE.因为M⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以M∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点的直线M与平面A1BE平行．。

第54讲空间中的垂直关系1．(2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．与β平行的直线．．．，则在α内不存在D．若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能可以结合图形逐项判断．A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．2．l，m，n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(D) A．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βB．若l⊥n，m⊥n，则l∥mC．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n D．若l⊥α，l∥β，则α⊥βA选项中，α⊥β，l⊂α，则l与β可能相交或平行；B选项中，l⊥n，m⊥n，则l与m可能相交或异面；C选项中，α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n可能异面；D选项中，l⊥α，l∥β，所以β⊥α是正确的，选D.3．如图，ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的点，则下面结论中，错误的是(C)A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥CED．平面ADE⊥平面BCE因为BE⊥AE，BE⊥DA⇒BE⊥平面ADE⇒BE⊥ED，平面ADE⊥平面BCE.同理可证AE⊥CE.故A、B、D都为真命题．对于C，假设DE⊥CE，又DE⊥BE⇒DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE⇒DE∥AE，这显然矛盾．故选C.4．(2016·吉林长春模拟)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确的是(D)A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m由线面垂直的性质知，若l⊥α，m⊂α，则l⊥m，故A正确．显然B正确．根据垂直于同一平面的两直线平行知，若l⊥α，m⊥α，则l∥m，故C正确．由线面平行的性质知，若l ∥α，m ∥α，则l 与m 的位置关系是平行、相交或异面，故D 错误．5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取AB ＝4，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AC ＝3，BD ＝12，则CD ＝ 13.连接AD，则CD ＝AC 2＋AD 2＝AC 2＋AB 2＋BD 2＝13.6．已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，将它沿AE 、AF 和EF 折起，使点B 、C 、D 重合为一点P ，则必有AP ⊥ 平面PEF .折起后，有⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PFAP ⊥PE PF ∩PE ＝P ⇒AP ⊥平面PEF .7．(2016·深圳市二模节选)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，侧面ABB 1A 1是边长为2的正方形．点E ，F 分别在线段AA 1，A 1B 1上，且AE ＝12，A 1F ＝34，CE ⊥EF .证明：平面ABB 1A 1⊥平面ABC.取线段AB 中点M ，连接EM ，CM .在正方形ABB 1A 1中，AM ＝1，A 1E ＝32， 在Rt △EAM 和Rt △F A 1E 中，AE A 1F ＝AM A 1E ＝23， 又∠EAM ＝∠F A 1E ＝π2，所以Rt △EAM ∽Rt △F A 1E ， 所以∠AEM ＝∠A 1FE ，从而∠AEM ＋∠A 1EF ＝∠A 1FE ＋∠A 1EF ＝π2， 所以∠FEM ＝π2，即EF ⊥EM . 又EF ⊥CE ，ME ∩CE ＝E ，所以EF ⊥平面CEM ，因为CM ⊂平面CEM ，所以CM ⊥EF ，在等腰三角形CAB 中，CM ⊥AB ，又AB 与EF 相交，知CM ⊥平面ABB 1A 1，因为CM ⊂平面ABC ，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.8．(2016·广东华附等四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(B)A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确，B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确．9．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是①③.(写出所有真命题的序号)对于命题①，取BC的中点E，连接AE、DE，则BC⊥AE，BC⊥DE，所以BC⊥AD.对于命题③，过A向平面BCD作垂线AO.连接BO与CD交于E.则CD⊥BE.连接CO与BD交于点F，同理CF⊥BD.所以O为△BCD的垂心，连接DO，则BC⊥DO，BC⊥AO.所以BC⊥AD.10．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.。