下载文档原格式
《积分不等式_（全文）》第1章积分不等式1.1 定积分不等式的证明定理1.1 方法1：柯西-施瓦茨不等式设f(x),g(x)在[a,b]上连续,则有∫b a f2(x)dx∫bag2(x)dx≥(∫baf(x)g(x)dx)2等号成立的必要条件是存在常数k使得 f(x)=kg(x). 习题1.1: 设f(x)在区间[0,1]上连续,且1≤f(x)≤3,证明:1≤∫10f(x)dx∫11f(x)dx≤43证明:由Cauchy-Schwarz不等式:∫1 0f(x)dx∫11f(x)dx≥(∫1√f(x)√1f(x)dx)2=1又由基本不等式得：∫1 0f(x)dx∫13f(x)dx≤14(∫1f(x)dx+∫13f(x)dx)2再由条件1≤f(x)≤3,有((f(x)-1)(f(x)-3)≤0,则f(x)+3f(x)≤4⇒∫1(f(x)+3f(x))dx≤4即可得1≤∫10f(x)dx∫k1f(x)dx≤43□定理1.2 方法2：琴声不等式连续的凸函数，则有：g(1b−a ∫baf(x)dx)≤1b−a∫bag(f(x))dx若g(x)是[m，M]上的连续凹函数时，上式中的不等号相反。
习题1.2: 证明:对于连续函数f(x)>0, 有ln∫10f(x)dx≥∫1lnf(x)dx证明:令g(x)=lnx,则. g′′(x)=1x ,g′′(x)=−1x2<0,所以g(x)为凹函数，可由上式琴声不等式定理，可得ln∫10f(x)dx≥∫1lnf(x)dx或利用定积分定义，将[0，1]分』等分，可取x=1n,由“算术平均数≥几何平均数“得：1 n ∑k=1n f(kn)≥√f(1n)⋯f(nn)n=e1n∑k=1n lnf(k n)⇒∫10f(x)dx≥e lim n→∞1n∑k=1n lnf(kn)=e∫10lnf(x)dx然后两边取对数即证.∫b a tf(t)dt≤2b−a6[(2b+a)f(b)+(2a+b)f(a)]事业证明：利用琴声不等式，对于任意R∈[0，1]，则有：Rf(x₁)+(1﹣R)f(x₂)≥f(Rx₁+(1﹣R)x₂) 所以再令t=xb+(1-x)a有:∫b a lf(t)dt=(b−a)∫1[xb+(1−x)a]f(xb+(1−x)a)≤(b−a)∫1[xb+(1−x)a][xf(b)+(1−x)f(a)]dx≤2b−n6[(2b+a)f(b)+(2a+b)f(a)]证明：对任意x∈[0,π2],有1-cosx ≤ sinx, 即得到∫x 0sintdt≤∫xcostdt,显然有∫π2sinxdx=∫π2cosxdx=1,且函数11+x2在[0,π2]上单调递减，所以可以利用斯蒂文森不等式,若f(x)在[a,b]上单调递减,则∫b a f(x)g1(t)dt≤∫baf(x)g2(t)dt,即有：∫n2sinx1+x2dx≤∫n2cosx1+x2dx习题1.4: 证明:∫π20sinx1+x2dx≤∫π2cosx1+x2dx习题1.5: 设a>0, f(x)在[0,a]上连续可导,证明:|f (0)|≤1a ∫a|f (x )|dx +∫a|f ′(x )|dx证明：由积分第一中值定理，有1a∫a 0|f (x )|dx =|f (ξ)|,ξ∈[0,a ] ∫z|f ′(x )|dx ≥∫z|f ′(x )|dx ≥|∫ḡf ′(ξ)dx|=|f (ξ)−f (0)|≥|f (0)|−|f (ξ)|习题1.6: 设 f(x)在[0,1]上连续可导,证明:|f (12)|≤∫10|f (x )|dx +12∫1|f ′′(x )|dx证明：由积分第一中值定理，有 [0,12],f (ξ)|dx =12|f (ξ)|,ξ∈[0,12]. 再由N-L 公式, f (12)=f (ξ)+∫12ξf ′(x )dx,04所以有：|f (12)|≤|f (ξ)|+∫120|f ′(x )|dx ≤2∫ℎ|f (x )|dx ∫1|f ′(x )|dx′(1)即1a ∫a|f (x )|dx +∫a|f ′(x )|dx ≥|f (ξ)|+|f (0)|−|f (ξ)|=f (0)|f (12)|≤|f (ξ)|+∫112|f ′(x )|dx ≤2∫112|f (x )|dx ∫112|f ′(x )|dx (2)用(1)与(2)式相加即证.习题1.7: 设f(x)在[a,b]上有一阶连续导数,f(a)=f(b)=0,求证:∫b a|f (x )|dx ≤(b−a )24M其中M 为|f'(x)|在[a,b]上的最大值。
柯西不等式定积分公式柯西不等式定积分公式，这可是数学领域里一个相当重要的知识点！咱先来说说啥是柯西不等式。
柯西不等式啊，简单来讲就是对于两组实数 a1, a2,..., an 和 b1, b2,..., bn ，有(a1b1 + a2b2 +... + anbn)² ≤ (a1²+ a2² +... + an²)(b1² + b2² +... + bn²) 。
这就好像是数学世界里的一个“平衡法则”，两边得保持一种“和谐”的关系。
那柯西不等式和定积分又有啥关系呢？定积分呢，就是求一个函数在某个区间上的面积或者积累量。
把柯西不等式用到定积分里，那就变得更强大啦！记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子其他数学知识都学得不错，可就是对柯西不等式定积分公式理解得不太透彻。
有一次课堂练习，遇到一个要用柯西不等式定积分公式解决的题目，他愣是半天没做出来，急得抓耳挠腮的。
我走过去看了看他的解题过程，发现他根本没搞清楚公式的本质。
我就给他打了个比方，我说：“小李啊，你看这个柯西不等式定积分公式就像是搭积木，左边是搭好的造型，右边是组成这个造型的积木块。
咱们得清楚每个积木块的作用，才能搭出想要的形状。
” 小李听了，眼睛一亮，好像有点明白了。
我接着给他详细讲解，一步一步地引导他运用公式。
最后，他终于把那道题做出来了，脸上露出了开心的笑容。
在实际应用中，柯西不等式定积分公式用处可大了。
比如说，在研究物理问题的时候，计算变力做功，或者在工程计算中，评估某个系统的性能，都可能会用到它。
咱们再深入讲讲这个公式的证明。
证明的方法有好几种，不过不管哪种方法，都需要咱们对数学的基本概念和定理有很扎实的掌握。
这就像是盖房子，基础打得牢，房子才能盖得高、盖得稳。
而且啊，柯西不等式定积分公式还能和其他的数学知识结合起来，形成更复杂、更强大的工具。
比如说和微积分的基本定理结合，就能解决更多更难的问题。
定积分中的柯西不等式在数学的世界里，有一个非常酷的家伙叫做柯西不等式。
这家伙就像是我们生活中的一位老朋友，可能不常见，但一出现，总能让我们感受到它的魅力。
你看，定积分本身就像一场美妙的旅程，像是在寻找隐藏的宝藏。
而柯西不等式就像是给我们指路的明灯，让我们在这条路上走得更顺畅，找到那些意想不到的惊喜。
什么是柯西不等式呢？它简单得让人惊叹，像是老天爷给我们留的一个小秘密。
我们知道，在任何一个数列中，如果我们把两个数的平方相乘再求和，通常会得到一个比我们想象中还要大的结果。
这就是柯西不等式的精髓所在。
这家伙让我们意识到，合在一起的东西，往往能产生出意想不到的力量。
就像是你和朋友一起合作做个项目，结果总比你一个人要强大许多。
现在，咱们来聊聊这位不等式的具体应用。
想象一下，我们在做积分时，想要评估某个函数的表现。
这里，柯西不等式就像是一位数学界的老顽童，总能给你带来灵感。
通过将两个函数的积分进行结合，我们能轻松地估计出它们的关系。
就像在厨房里，拿出几个材料，按照自己的想法调配出一道美味的菜肴，意外的美味总能让人惊喜连连。
使用柯西不等式的时候，我们可以大胆地组合不同的函数，就好比拼图游戏，努力把每一块拼得恰到好处。
比如说，假设我们有两个函数，f(x)和g(x)，通过柯西不等式，我们能知道它们的积分的平方和总是大于等于它们的乘积的积分的平方。
听上去是不是有点复杂？但别担心，慢慢来，像是在研究一个新的游戏规则，最后你会发现，掌握这个不等式后，数学的世界瞬间变得更加有趣。
这个不等式对我们有什么启示呢？它提醒我们，在生活中，我们和他人之间的关系也是如此。
无论是工作还是学习，团队的力量总是超过个体的总和。
想想看，几个人一起加班，气氛轻松了，效率也提高了，真是一举两得。
柯西不等式正是这种理念的数学体现，让我们懂得团结的重要性。
咱们还得说说如何使用这个不等式来解决实际问题。
举个例子，假设你想要估算某个不规则图形的面积，直接计算可能会让你头疼不已。
二 一般形式的柯西不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）.定理 3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni ini ini ii ba b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1;（2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2.由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2.当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xb x a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(x b x b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=x bx a cos sin +≥(a 32+b 32)32. 于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以na a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a na a a nn2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a -c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a -c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4. 人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
柯西积分不等式的公式柯西积分不等式，哎呀，这个名字听起来挺高大上的，但其实它背后蕴藏的道理可简单了。
想象一下，你在咖啡店里，点了一杯拿铁，旁边的小伙伴点了杯美式，咱们俩对比一下，各自的咖啡味道。
嘿，谁说拿铁就一定比美式好？这里就有点像柯西不等式的味道。
它告诉咱们，某种情况下，两个看似不相干的事物可以通过一种特殊的方式相互联系，产生某种“关系”，而这种关系又是有界限的。
说白了，柯西积分不等式就像一条隐形的线，把不同的元素拉在一起，告诉你们彼此的“最大值”和“最小值”在哪里。
就拿数学来说吧。
设想一下，有一堆数字和函数，它们就像一个大家庭，互相嬉闹，有时候吵得不可开交。
这时候，柯西不等式就像是那个和事老，轻轻一摆手：“嘿，安静点！你们的和谐关系应该是这样的。
”所以，数学家们把它当成了非常重要的工具，帮助他们解锁各种复杂的题目。
再说说这不等式怎么用。
大家可以把它想象成一把钥匙，开启那些艰深的数学大门。
比如，你有一群数字，你可以用柯西不等式来证明，某些条件下它们的和、积会有怎样的表现。
就像你炒菜时，必须得有盐，少了它可就没味道了。
同样的，柯西不等式也在很多数学理论中占据着不可或缺的地位。
然后，咱们来聊聊它的应用吧。
哦，不得不提的就是在优化问题上。
这不就像你去逛街，得找最划算的折扣一样。
数学家们用柯西不等式来找最优解，帮助解决各种现实生活中的问题，像是最优分配、资源调配等等。
试想一下，咱们要把有限的资源用得妥妥的，不让一分钱打水漂，这时候柯西不等式可就派上用场了。
再回过头来看，柯西不等式真是个了不起的家伙，它让很多看似复杂的事情变得简单明了。
比如在物理学中，光的传播、能量的分配等，背后都有柯西不等式的身影。
它就像那种隐形的手，时刻在调整着一切的平衡。
想象一下，平时咱们上班，下班回家，生活节奏忙得不可开交，这时候柯西不等式就像是提醒你：“别忘了适当放慢脚步，寻找内心的平静。
”柯西不等式在统计学上也有着广泛的应用。
柯西不等式知识点总结一、柯西〔Cauchy〕不等式：()22211n n b a b a b a +++ ()()2222122221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立〔k 为常数，n i 2,1=〕现将它的证明介绍如下：证明：构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()2222122112222212nn n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥ ()()()44222212222122211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a 即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+即1212n na a ab b b === 时等号成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式构造和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题〔1〕证明不等式例1正数,,a b c 满足1a b c ++=证明2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式()23131312222222222ab ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2333a b c a b c =++++()1a b c ++=又因为222a b c ab bc ca ++≥++在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c++得：()()2222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab()()()()()22233323332222c b a 3c b a c b a c b ac b a++⋅++≤++++≤++故2223333a b c a b c ++++≥〔2〕三角形的相关问题例2设p 是ABC 的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，证明+≤证明：由柯西不等式得：+=≤记S 为ABC 的面积，那么2242abc abc ax by cz S R R++===+≤故不等式成立。
来凤一中2014届高三理科数学第三轮复习 柯西不等式1.设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,a b cx y z ++=++ （ ）A ．14B ．13C ．12D ．342.（2013年湖北理）设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=___________．3. 设+∈R c b a ,,且9=++c b a ，则cb a 1694++之最小值为4.已知+∈R c b a ,,，则))(111c b a ac c b b a +++++++（的最小值是___________．5.函数x x x f -+-=532)(的最大值为______________6.若2222=++z y x ，则z y x 32+-的最大值为______________7.已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．8已知R c b a ∈,,，2=++c b a ，则222)1()1()1cc bb aa +++++（的最小值为___________9.已知0632222=-++a z y x ，02=-+++a z y x ，则实数a 的取值范围是___________．10.若存在实数x 使a x x >-++1463成立，求常数a 的取值范围11.设x ，y ，z ∈ R 且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x + y + z 之最大值和最小值分别是______________12.设+∈R x i ，,,...2,1n i =且11=∑=ni i x ，若不等式∑=++≤-≤ni i i x x n t 121)1(|13|1对一切正实数n x x x ,...,21恒成立，则实数t 的取值范围______________13.已知正数x,y,z 满足x+y+z=xyz,且不等式λ≤+++++xz z y y x 111恒成立,求λ的范围14.设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+的最小值为________，又此时=y ________。
15．设x ，y ，z ∈ R ，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为16．已知332,0,0,0=++>>>z y x z y x 那么222)213()612()41xz z y y x +++++（的最小值为_____________17．空间中一向量a与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为α，β，γ（α，β，γ 均非象限角），求γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值______________（提示：sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2 ）18．若正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231231231+++++c b a 的最小值是______________19.已知空间直角坐标系xyz O -中的动点),,(z y x P 满足12=++z y x ，则||OP 的最小值等于______________20．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++定积分 1．（2013江西理）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰ 则321,,S S S 的大小关系（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S <<2.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J3.dx x x x )2(12--⎰等于 （ ）A.42-π B.22-π C ．21-π D. 41-π 4.定积分dx x x x )sin 24222-2--⎰（的值为 （ ）A. π2B. π22C.1-πD.12-π5．物体A 以速度132+=t v （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ，）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体j5}在物体A 的正前方5 m 处以速度t v 10=的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是 （ ） A.1 20 m B. 1 30 m C ．140 m D. 1 50 m 6若y ＝x⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C ．－72D ．07.设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎰nmdx x g )(的值是 （ ）A ．－52B ．－43C ．－54D ．－768.甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为 （ ）A ．13B ．23C ．12D ．349.12208(16)x x dx π-+=⎰.10.求定积分20cos 2cos sin xdx x xπ+⎰= .11.关于式子5220254x dx -⎰的结果，有以下结论：①半径为52的圆的面积的二分之一 ②半径为52的圆的面积的四分之一 ③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一 ④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一 ⑤该式子的值为258π ⑥该式子的值为2516π 其中正确结论的序号为 . 12设dx x c dx x b dx xa ⎰⎰⎰===5131211,1,1，则5,3,2c b a 的从大到小的顺序是 .13．已知⎰+=2)cos sin πdx x x a （，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．14．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．15．若f (x )是一次函数，且1⎰f (x )d x ＝5，1⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________．16如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．柯西不等式 参考答案 1.C2.31473. 94.29 5.10 6.72 7..98.1216911∵14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x 由柯西不等式知 [42+(5)2+22]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-222)23()52()41(z y x ≥．．．2)52(5)41(4++⎢⎣⎡+-y x 2)23(⎥⎦⎤-z ⇒ 25 ⨯ 1 ≥ (x + y + z - 2)2 ⇒ 5 ≥ |x + y + z - 2| ⇒ - 5 ≤ x + y + z - 2 ≤ 5 ∴ - 3 ≤ x + y + z ≤ 7 故x + y + z 之最大值为7，最小值为 - 312.}320{， 13.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得xz z y y x +++++111≤)(21212121zy x yz y x xz y x z zxzy xy++++++++=++23))(111(21222=++++++++++≤z y x y z y x x z y x z 故λ的取值范围是［23,+∞).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式xz z y y x +++++111≤λ恒成立,等价于(x z z y y x +++++111)max ≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=xz z y y x +++++111的最大值.14.解： 332=+-z y x ⇒ 2x - 3(y - 1) + z =( )，考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , ) 解析：1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222≥+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值718 1, 233,2(2)3(31)3231x y z t x y z t t t -===-+=∴--++=- ∴73=t ∴72-=y15.解： 2x + 2y + z + 8 = 0 ⇒ 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , )222)(v u v u ⋅≤⋅[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 ≤ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2]．(22 + 22 + 12)⇒ (x - 1)2+ (y + 2) 2+ (z - 3) 2≥9)9(2-= 916. 42717.18 18. 19.20.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++证明：由三角形中的正弦定理得 RaA 2sin =，所以2224sin 1a R A =，同理2224sin 1b RB =，2224sin 1c R C =于是左边= 2222222222236)222()444)((R c R a b R a a R a cR b R a R c b a =⋅+⋅+⋅≥++++。
定积分参考答案 1. 2. 3.A 4.A 5,B6.B 解析：解析：y ＝x⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ＝x⎰(sin t ＋12sin2t )d t＝(－cos t －14cos2t )0x ＝－cos x －14cos2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2.7.A 解析：由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎰mndx x g )(＝⎪⎪－x 2614＝－52.8 A 解析 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝13.9解析：.1112222088(16)16x x dx x dx x dx ππ-+=-+⎰⎰⎰，1201x dx -⎰等于单位圆面积的14，12088124x dx πππ-=⋅=⎰， 112300622x dx x ==⎰，1112222088(16)1622 4.x x dx x dx x dx ππ-+=-+=+=⎰⎰⎰13.解析 ,2=a (2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.14.解析方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|－42＝18.15.解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由1⎰(ax ＋b )d x ＝5得(12ax 2＋bx )10＝12a ＋b ＝5，① 由1⎰xf (x )d x ＝176得1⎰(ax 2＋bx )d x ＝176，即 (13ax 3＋12bx 2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝176， ② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是21⎰f (x )xd x ＝21⎰4x ＋3xd x ＝21⎰(4＋3x)d x＝(4x ＋3ln x )21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.答案：4＋3ln2 16.[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12， 令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，S min ＝14.。
