圆周运动的周期性引起的多解问题

带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。

一、粒子的带电性质不明的情况【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。

现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.二、磁场方向的不确定带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。

【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0三、临界条件不唯一的情况【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。

有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？四、运动的反复性带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。

【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。

2019年高考高三物理圆周运动的多解问题 由于圆周运动具有周期性，所以在处理与圆周运动有关的物理问题时，往往需要考虑由于圆周运动的周期性而引起的多解问题．这类问题是本章中一种常见的问题，也是本章中的一类易错问题，下面通过几个实例来看一下这类问题的求解方法．例1 如图1所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O 上装有3个叶片．它们互成120°．当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是 ( )图1A. 600r ／minB. 900r ／minC. 1200r ／minD. 3000r ／min【解析】风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T 内，风扇转过的角度是120°的整数倍，即31圈的整数倍．由于闪光周期T=s 301，所以风扇的转速n=301k 31r ／s=10krs=600kr/min(k=1,2,3) 故选项A 、C 、D 正确．【点评】分析此类问题，关键是抓住周期性这一特点．得出可能的多解通式．解题过程中．常出现的错误是只考虑k=1的情况．而没有注意问题的多解性.例2 如图2所示，一个水平放置的圆桶正绕中轴匀速转动，桶上有一小孔，桶壁很薄．当小孔运动到桶的上方时，在孔的正上方h 处有一个小球由静止开始下落．已知圆孔的半径略大于小球的半径，为了让小球下落时不受任何阻碍而穿过圆桶，h 与桶的半径R 之间应满足什么关系?(不考虑空气阻力)图2【解析】设小球下落h 所用的时间为t 1，则h=21gt 21 ① 要使小球通过圆孔，则小球下落h ，即到达圆桶表面时，圆孔也应该到达同一位置，所以应有ωt 1=2n π(n=1，2，3…) ②设小球通过圆桶所用的时间为t 2，则有 h+2R=221)t (t g 21+ ③要使小球从小孔穿出，则在t ，时间内，圆桶转过的角度应为ωt 2=(2k-1)π(k=1，2，3…) ④联立①②③④式可解得 h=)1k 2)(1k 2n 4(R n 82--+ 其中 n=1，2，3…；k=1，2，3……【点评】本题的关键在于找出小球能够穿过圆桶的条件．以及由于圆桶的转动而引起的多解问题．。

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8月14日 圆周运动的多解问题
高考频度：★★★☆☆
难易程度：★★★★☆
（2018·玉溪江川一中）如图所示，半径为R 的圆板匀速转动，当半径OB 转动到某一方向时，在圆板中心正上方高h 处以平行OB 方向水平抛出一小球，要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为B ，求：
(1)小球的初速度的大小；
(2)圆板转动的角速度。

【参考答案】(1)2g R h (2)2π(123g n n h
=⋯、、） 【试题解析】（1）小球平抛的水平位移：R =v 0t
小球平抛的竖直位移：h =
12gt 2 得2h t g 代入可得0==2R g v t h
（2）设在小球运动的时间内圆板转动了n 圈，角速度为：2π2π2n g n t h h
g
ω=，n =1，2，3… 【知识补给】
圆周运动中多解的成因及解法
（1）多解原因：因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这将造成多解。

（2）多解问题模型：常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他运动。

一、匀速圆周运动的基本概念：1、匀速圆周运动的定义质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。

2、描述匀速圆周运动快慢的物理量（1）线速度v①物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。

②定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度。

③大小：，单位：④方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。

由于质点做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。

（2）角速度①物理意义：描述质点转过圆心角的快慢。

②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值，就是质点运动的角速度。

③大小：单位：。

④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

（3）周期T和频率f①物理意义：周期和频率都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。

②定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

用T表示，单位：s。

做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。

用f表示，单位：Hz。

在国际单位制中是，在一些实际问题中常用的是每分钟多少转，用n表示，转速的单位为转每秒，即。

3、线速度、角速度、周期之间的关系（1）线速度和角速度间的关系如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在时间t 内通过的弧长是s，半径转过的角度是，由数学知识知，于是有，即。

上式表明：①当半径相同时，线速度大的角速度也大，角速度大的线速度也大，且成正比。

如图（a）所示。

②当角速度相同时，半径大的线速度大，且成正比。

如图（b）所示。

③当线速度相同时，半径大的角速度小，半径小的角速度大，且成反比。

如图（c）、（d）所示。

（2）线速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为，所以有。

上式表明，只有当半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。

（3）角速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为，则有。

专题强化圆周运动的传动问题和周期性问题[学习目标] 1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系，掌握圆周运动中传动的特点(重点)。

2.会分析圆周运动中多解的原因，掌握解决圆周运动中的多解问题的方法(难点)。

一、圆周运动的传动问题1．常见的传动装置及特点项目装置特点转动方向规律同轴转动A、B两点在同轴的一个圆盘上A、B两点角速度、周期相同相同(填“相同”或“相反”)线速度与半径成正比：v Av B＝rR皮带传动两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点A、B两点线速度大小相等相同(填“相同”或“相反”)角速度与半径成反比：ωAωB＝rR周期与半径成正比：T AT B＝Rr齿轮传动两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，N1、N2分别为大齿轮和小齿轮的齿数A、B两点线速度大小相等相反(填“相同”或“相反”)角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比：ωAωB＝r2r1＝N2N1周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比：T AT B＝r1r2＝N1N2摩擦传动两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点A、B两点线速度大小相等相反(填“相同”或“相反”)角速度与半径成反比：ωAωB＝rR周期与半径成正比：T AT B＝Rr2.求解传动问题的思路：(1)分清传动特点：若属于皮带传动、齿轮传动或摩擦传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴转动，则轮上各点的角速度相等。

(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。

(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝1r 分析；若角速度大小相等，则根据v ∝r 分析。

例1 (多选)(2022·包头市高一期末)图中A 、B 两点分别位于大、小轮的边缘上，C 点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，两轮没有相对滑动。

下列说法正确的是( )A ．A 、B 两点的角速度跟半径成反比 B ．A 、B 两点的角速度跟半径成正比C ．A 、C 两点的线速度大小跟半径成反比D ．A 、C 两点的线速度大小跟半径成正比 答案 AD解析 大轮与小轮靠摩擦传动，且两轮没有相对滑动，则可知A 、B 两点的线速度大小相等，根据v ＝ωr ，可知它们的角速度跟半径成反比，故A 正确，B 错误；A 、C 两点同轴转动，它们的角速度相同，根据v ＝ωr ，可知它们的线速度大小跟半径成正比，故C 错误，D 正确。

6.1圆周运动（2）：圆周运动的传动及多解问题学习目标：1.通过实例分析，掌握处理皮带传动、齿轮传动问题的方法。

2.通过实例分析，掌握处理同轴传动问题的基本方法。

3.通过实例分析，掌握圆周运动的周期性和多解性。

情景导入我们都骑过自行车，但你注意过这个问题吗：快速转动自行车车轮，你可以看清轮轴附近的一段辐条，但你能看清轮圈附近的辐条吗？怎样解释这种现象？合作探究、自主学习学习目标一、同轴传动问题：如图所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，当圆盘转动时，A点和B点沿着不同半径的圆周运动，它们的半径分别为r和R：①此传动方式有什么特点（转动方向、周期）②A、B两点的v、ω有什么关系？知识生成：同轴转动①A、B两点做圆周运动的角速度关系：②A、B两点做圆周运动的线速度关系：应用探究：例1、如图所示是一个玩具陀螺。

a、b和c是陀螺上的三个点。

当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )。

A.a、b和c三点的线速度大小相等B.a、b和c三点的角速度相等C.a、b的角速度比c的大D.c的线速度比a、b的大学习目标二 皮带传动、齿轮传动问题问题1：如图所示，A 点和B 点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．回答下列问题： ①此传动方式有什么特点？ ②A 、B 两点的v 、ω有什么关系？问题2：如图所示，A 点和B 点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮的轮齿啮合： ①此传动方式有什么特点？(相同时间内转过的齿数、转动方向）②若r 1、r 2分别表示A 、B 两齿轮的半径，请分析A 、B 两点的v 、ω的关系，与皮带传动进行对比，你有什么发现？知识生成：皮带传动（摩擦传动、齿轮传动）① A 、B 两点做圆周运动的线速度关系： 。

②A 、B 两点做圆周运动的角速度关系： 。

（A 、B 为两个轮子边缘上的点） 应用探究：例2、(多选)在如图所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是r A ＝r C ＝2r B ，若皮带不打滑，则A 、B 、C 三轮边缘上a 、b 、c 三点的( )。

周期运动的多解问题上海师范大学附属中学 李树祥宅家学习期间，老师上课时所讲授内容一般比较基础，对较复杂的周期运动的多解问题涉及不多。

但由于多解问题是周期运动常见且易错的问题，所以有必要对其进行梳理一、圆周运动的多解问题圆周运动的多解问题主要是由于圆周运动的周期性引起，所涉及的题目除了单一的圆周运动外，还常涉及两个物体的两种不同的运动，即一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。

对此问题的求解基本思路是依据等时性建立等式求解待求量。

例1、如图1所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O 上装有3个叶片，它们互成120°。

当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（） A.600r/min B.900r/min C.1200r/min D.3000r/min 解析：风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T 内，风扇转过的角度是120°的整数倍，即13圈的整数倍。

由于闪光周期1=30T s ，所以风扇的转速3n /=10k /600/min 130k r s r s kr ==(k 123)=，，… 故选项A 、C 、D 正确．例2、质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。

当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。

为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？解析：速度相同包括大小相等和方向相同。

由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同。

即质点P 应转过()n +34周（n =0123，，，…），经历的时间t n T n =+=()()()3401231，，，…质点P 的速度v RT =22π() 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得v =F m t ()3联立以上三式，解得：F mRn T n =+=84301232π()()，，，…二、简谐振动的多解问题简谐运动的多解问题主要是由简谐运动的周期性和对称性引起。