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考点03 圆周运动的规律及应用基础知识一、常见的传动方式及特点同轴转动同缘传动装置图基本特点、、相同轮缘处______相同转动方向相同______【例题1】如图所示,三个齿轮的半径之比为1:3:5,当齿轮转动时,小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B 点,若A轮顺时针转动,则B轮会_____ 转动,AB两轮的转速之比为______。
【总结】同缘传动,线速度大小相同;同轴转动,角速度、周期、转速相同。
二、圆周运动的多解性问题【例题2】一位同学玩飞镖游戏,已知飞镖距圆盘为L,对准圆盘上边缘的A点水平抛出,初速度为v0,飞镖抛出的同时,圆盘以垂直圆盘且过盘心O点的水平轴匀速转动。
若飞镖恰好击中A点,空气阻力忽略不计,重力加速度为g,则飞镖打中A点所需的时间为______;圆盘的半径R为______;圆盘转动的线速度的可能值为______。
【总结】分析思路:1.两个物体运动的有关联性; 2.物体做圆周运动有周期性。
三、匀速圆周运动1.特点：速度与加速度的不变、不断变化。
2.性质：匀速圆周运动是一种___________________________运动。
3.离心运动和近心运动①当时,物体做匀速圆周运动;②当时,物体沿切线飞出;③当时,物体做离心运动; ④当时,物体做近心运动。
四、向心力的来源运动模型汽车转弯水平转台(光滑) 火车转弯图示向心力提供动力学问题【例题3】如图所示,一同学用轻绳拴住一个装有水(未满)的水杯,让水杯在水平面内做匀速圆周运动,不计空气阻力,下列说法中正确的是( )A.水杯匀速转动时,杯中水面呈水平B.水杯转动的角速度越大,轻绳与竖直方向的夹角越大C.水杯转动的周期越小,轻绳在水平方向上的分力越大D.水杯转动的线速度越大,轻绳在竖直方向上的分力越大【总结】思路：1.确定研究对象。
2.确定圆周运动的轨道平面,以及、。
3.对物体进行分析,确定向心力来源。
4.根据牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为的小球，kg m 1.0=上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为m l 2=与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，o 30o45当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，的中心与圆孔距离为kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。
（）m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）0v C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，rvm mg 20=，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
gr v =00v （1） （刚好到最高点，轻绳无拉力）0v v =（2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）0v v >（3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）0v v <例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，kg m 1=绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为，m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界= （可理解为恰好转过Rg 或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠Rg ②能过最高点的条件：v ≥，当v ＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．Rg Rg ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤，则有关小球能够上升到最大高gR 310度（距离底部）的说法中正确的是（ ）A 、一定可以表示为B 、可能为 g v 2203R C 、可能为R D 、可能为R 35【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥gr v 面不能对汽车产生拉力．（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）②当 0＜v ＜时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，Rg F N 为支持力．③当v =时，F N ＝0Rg ④当v ＞时，F N 为拉力，F N随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心）Rg典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。
ʏ赵世渭 吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为 恰好出现 ,也可理解为 恰好不出现 ㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂ 图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半 图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂ 图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。
圆周运动的多解性问题
圆周运动是物体沿着圆形轨道运动的一种运动形式，它是物理学中的一个重要概念，也是许多现实中的运动现象。
圆周运动的多解性问题是指圆周运动的解决方案有多种，可以根据不同的情况来选择最合适的解决方案。
首先，圆周运动的多解性问题可以从物理学的角度来考虑。
圆周运动的物理学解决方案可以分为动力学和动能学两种。
动力学解决方案是指利用力的作用来改变物体的运动状态，从而实现圆周运动；动能学解决方案是指利用物体的动能来改变物体的运动状态，从而实现圆周运动。
其次，圆周运动的多解性问题也可以从数学的角度来考虑。
数学解决方案可以分为几何学和微积分两种。
几何学解决方案是指利用几何学的方法来求解圆周运动的问题；微积分解决方案是指利用微积分的方法来求解圆周运动的问题。
最后，圆周运动的多解性问题还可以从计算机科学的角度来考虑。
计算机科学解决方案可以分为算法学和计算机图形学两种。
算法学解决方案是指利用算法学的方法来求解圆周运动的问题；计算机图形学解决方案是指利用计算机图形学的方法来求解圆周运动的问题。
总之，圆周运动的多解性问题可以从物理学、数学和计算机科
学三个方面来考虑，每个方面都有不同的解决方案，可以根据实际情况选择最合适的解决方案。
圆周运动实例分析与临界问题圆周运动是高考命题的热点，命题点围绕弹力和摩擦力的临界态展开，具体表现为水平、竖直面和斜面内的圆周运动，命题中凸显学生对临界思想的理解和分析能力，有些问题还涉及图象，复习中要抓住热点，掌握解决的方法。
一、水平面内的圆周运动【例1】如图1所示，叠放在水平转台上的物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动,A 、B 、C 的质量分别为 3m 、2m 、m ，A 与B 、B 和C 与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B 、C 离转台中心的距离分别为r 、l.5r 。
设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 （ ） A.B 对A 的摩擦力一定为3μmg B.B 对A 的摩擦力一定为3m ω2rC.转台的角速度一定满足gr μω≤D.转台的角速度一定满足23grμω≤【解析】B 对A 的摩擦力是A 做圆周运动的向心力，所以23fBA F m r ω=，A 项错误，B 项正确;当滑块与转台间不发生相对运动，并随转台一起转动时,转台对滑块的静摩擦力提供向心力，所以当转速较大，滑块转动需要的向心力大于最大静摩擦力时，滑块将相对于转台滑动，对应的临界条件是静擦力提供向心力，即2mg m r μω=,g rμω=,所以，质量为m 、离转台中心距离为r 的滑块，能够随转台一起转动的条件是g rμω≤;对于本题，物体C 需要满足的条件23grμω≤，物体A 和B 需要满足的条件均是g rμω≤所以， 要使三个物体都能够随转台转动，转台的角速度一定满足23grμω≤, C 项错误,D 项正确。
【答案】BD【总结】水平面内的圆周运动主要涉及的问题是摩擦力临界。
常见问题如下(图中物体质量为m ，距离圆心为r ，转盘转动的角速度为ω,最大静摩擦力为F m ，绳的拉力为F T )：【例2】（2016 •山东临沂教学质检)质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质细杆的A 点和B 点，如图2所示,绳a 与水平方向夹角为θ， 绳b 沿水平方向且长为l ，当轻杆绕轴AB 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做勻速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）A.a 绳张力不可能为零B.a 绳的张力随角速度的增大而增大C.当角速度cos g lθω>，b 绳将出现弹力 D.若b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变【解析】小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a 绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a 绳的张力不可能为零,故A 项正确;根据竖直方向上平衡得，sin a F mg θ=，解得/sin a F mg θ=，可知a 绳的拉力不变，故B 项错误;当b 绳拉力为零时，有2cot mg ml θω=，解得cot g lθω=，可知当角速度cot g lθω>时，b 绳出现弹力，故C 项错误；由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变，故D 项正确。
圆周运动分类整理熙励师范教育物理导学案教师: 学⽣: ⽇期: 时段:课题圆周运动中的临界问题年级⾼⾼⼀学习⽬标与考点分析 1.熟练处理⽔平⾯内的临界问题 2.掌握竖直⾯内的临界问题 3.圆周运动动⼒学特征及应⽤ 4.匀速圆周运动的多解问题学习重点1.圆周运动动⼒学特征及应⽤2.匀速圆周运动的多解问题学习内容与过程1、竖直平⾯内：（1）、如图所⽰，没有物体⽀撑的⼩球，在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况：①临界条件：⼩球达最⾼点时绳⼦的拉⼒（或轨道的弹⼒）刚好等于零，⼩球的重⼒提供其做圆周运动的向⼼⼒，即rmv mg 2临界=rg =临界υ（临界υ是⼩球通过最⾼点的最⼩速度，即临界速度）。
②能过最⾼点的条件：临界υυ≥。
此时⼩球对轨道有压⼒或绳对⼩球有拉⼒mg rv m N -=2③不能过最⾼点的条件：临界υυ<（实际上⼩球还没有到最⾼点就已脱离了轨道）。
（2）图所⽰，有物体⽀持的⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的⽀撑作⽤，⼩球恰能达到最⾼点的临界速度0=临界υ。
②图（a ）所⽰的⼩球过最⾼点时，轻杆对⼩球的弹⼒情况是：当v=0时，轻杆对⼩球有竖直向上的⽀持⼒N ，其⼤⼩等于⼩球的重⼒，即N=mg ；当0v m mg N 2-=，⼤⼩随速度的增⼤⽽减⼩；其取值范围是mg>N>0。
GF F GF当rg =υ时，N=0；当v>rg 时，杆对⼩球有指向圆⼼的拉⼒mg rv m N -=2，其⼤⼩随速度的增⼤⽽增⼤。
③图（b ）所⽰的⼩球过最⾼点时，光滑硬管对⼩球的弹⼒情况是：当v=0时，管的下侧内壁对⼩球有竖直向上的⽀持⼒，其⼤⼩等于⼩球的重⼒，即N=mg 。
当0v m mg N 2-=，⼤⼩随速度的增⼤⽽减⼩，其取值范围是mg>N>0。
当v=gr 时，N=0。
当v>gr 时，管的上侧内壁对⼩球有竖直向下指向圆⼼的压⼒mg rv m N -=2，其⼤⼩随速度的增⼤⽽增⼤。
近5年的北京高考中，《圆周运动》一章内容为必考内容，难度以中等题为主，偶有较难的新情景题出现。
本章概念与知识点较繁琐，本讲复习之首要任务在于建立完整的概念与知识树。
其次通过训练加强对概念的理解，加强圆周运动向心力规律的实际应用能力。
1．圆周运动基本公式：考试说明考情分析考点知识查缺补漏知识框图第6讲 圆周运动⑴ 几个物理量之间的关系：1T f =，2π2πf T ω==，2π2πv r r fr Tω=== ⑵ 匀速圆周运动：线速度大小不发生变化的圆周运动。
⑶ 匀速圆周运动的加速度：22v a r rω==，方向始终指向圆心，只用于改变速度的方向。
************************************************************************************教师说明：由于圆周运动动力学复习内容较多，所以提前复习圆周运动参数关系，基于时间关系，本模块设置内容约30分钟。
仅仅讲清楚概念和基本换算即可。
************************************************************************************【例1】图示为某一皮带传动装置。
主动轮的半径为1r ，从动轮的半径为2r 。
已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑。
下列说法正确的是 A ．从动轮做顺时针转动 B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为12rn rD ．从动轮的转速为21rn r【答案】 B C【例2】图1是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料。
当盘转到某一位置时，接收器可以接受到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信转变成电信，在示波器显示屏上显示出来（如图2所示）。
⑴ 若图2中示波器显示屏横向的每大格（5小格）对应的时间为-25.0010s ⨯，则圆盘的转速为__________r/s 。
圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动一．解答题（共6小题）1．（2015?宿迁模拟）如图所示，绳长为I的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时轻绳拉直，0A在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面内做圆周运动．求（1）小球运动到最低点B时的速度大小；（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小；（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，求0C距离的最小值．2．（2015?眉山模拟）根据公式F向=m和F向=mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力．如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体40cm处标为点A，80cm处标为点B．将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时．操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1．操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2．操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3．（1）小物体做匀速圆周运动的向心力由提供；（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的相同；（3）如果在上述操作中突然松手，小物体将做运动．3．（2015?天水一模）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？4．（2015春?保定校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动．5．（2014?宿州模拟）如图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P 上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少？6．（2014?象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=1.0kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上的A、B两个固定点相连接．绳a、b长都是1.0m，AB长1.6m．求：（1）直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有作用力？（2）当转速等于最低转速的2倍时，a、b绳上的张力各是多少？圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．（2015?宿迁模拟）如图所示，绳长为I的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时轻绳拉直，0A在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面内做圆周运动．求（1）小球运动到最低点B时的速度大小；（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小；（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，求0C距离的最小值．考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）根据动能定理或机械能守恒求小球运动到最低点时的速度大小；（2）小球在最低点时所受重力和绳的拉力合力提供向心力，由牛顿第二定律求解绳子对小球的拉力大小；（3）根据小球运动到最高点的临界条件由机械能守恒或动能定理求得小球圆周运动的半径大小，再根据半径大小确定OC距离的大小．解答：解：（1）小球从A到B的过程中，只有重力对小球做功，根据动能定理有：可得小球到达B点时的速度大小（2）小球在最低点时，绳的拉力和重力的合力提供圆周运动的向心力有：可得（3）令小球碰到钉子后做圆周运动的半径为R，则小球能通过最高点时重力恰好提供圆周运动向心力有：mg=可得v小球从A开始到圆周运动最高点时只有重力对小球做功，根据动能定理有：mg（L﹣2R）=代入可解得R=所以OC间的最小距离为x=L﹣R=答：（1）小球运动到最低点B时的速度大小为；（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小为3mg；（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，0C距离的最小值为．点评：小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意，小球恰好到达最高点时，重力提供向心力．2．（2015•眉山模拟）根据公式F向=m和F向=mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力．如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体40cm处标为点A，80cm处标为点B．将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时．操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1．操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2．操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3．（1）小物体做匀速圆周运动的向心力由绳子拉力提供；（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速）相同；（3）如果在上述操作中突然松手，小物体将做匀速直线运动．考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）匀速圆周运动的向心力是合外力提供向心力，通过分析受力即知．（2）根据向心力公式F=mω2r，采用控制变量法，结合牛顿第二定律进行求解．（3）突然松手，小物体将做离心运动，结合物体的受力情况，分析其运动情况．解答：解：（1）小物体做匀速圆周运动时，竖直方向受到重力与支持力，二力平衡，向心力由绳子拉力提供．（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速）相同．（3）在上述操作中突然松手，绳子的拉力突然消失，小物体将做匀速直线运动．故答案为：（1）绳子拉力．（2）周期（或角速度、转速）．（3）匀速直线．点评：本题关键选择向心力公式的恰当形式结合题意讨论，并掌握牛顿第二定律的应用，及控制变量法的思想．3．（2015•天水一模）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω0．（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求解．解答：解：（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平．在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgta n θ=mωlsin θ解得：ω=，即ω0==rad/s．（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：mgtan α=mω′2lsin α解得：ω′2=，即ω′===2rad/s．答：（1）小球的角速度ω0至少为rad/s．（2）小球的角速度ω′为=2rad/s．点评：本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解．4．（2015春•保定校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动．考点：向心力；牛顿第二定律．专题：牛顿第二定律在圆周运动中的应用．分析：取物体A为研究对象，物体A随转盘转动的向心力应由绳的拉力和摩擦力提供，摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，绳的拉力F总等于B物体的重力mg．根据牛顿第二定律即可解题．解答：解：由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它受的合外力必然指向圆心，而其中重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径，或指向圆心，或背离圆心．当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A受力分析如图（甲）所示，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即：F+F m′=mω12r①由于B静止，故：F=mg；②由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即：F m′=μF N=μmg．③由①、②、③解得：ω1=当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，A受力分析如图（乙）所示，这时向心力为：F﹣F m′=mω22r④由②③④解得ω2=则转盘转动的角速度的范围是≤ω≤．答：转盘转动的角速度≤ω≤，物体A才能随盘转动．点评：该题要注意摩擦力摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，再根据牛顿第二定律解题．5．（2014•宿州模拟）如图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P 上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少？考点：向心力；胡克定律．专题：匀速圆周运动专题．分析：横杆P随竖直转轴在水平面内匀速转动，B球靠弹簧的弹力提供向心力，A靠拉力和弹簧的弹力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律和胡克定律求出细绳的拉力大小和弹簧的总长度．解答：解：设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，对A球有：F T﹣F=Mω2L对B球有：F=mω2（2L+x）F=Kx解以上方程组可得：则弹簧的总长为：答：当弹簧长度稳定后，细绳的拉力为，弹簧的总长度为．点评：解决本题的关键搞清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．6．（2014•象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=1.0kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上的A、B两个固定点相连接．绳a、b长都是1.0m，AB长1.6m．求：（1）直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有作用力？（2）当转速等于最低转速的2倍时，a、b绳上的张力各是多少？考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）当b绳刚好伸直还无张力时的角速度为球旋转的最小角速度．此时小球靠重力和a绳的拉力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律和几何关系求出最小的角速度大小．（2）对小球分析，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力求出两根绳子的拉力大小．解答：解：抓住临界条件，当b绳刚好伸直还无张力时的角速度为球旋转的最小角速度．已知a、b绳长均为1m，如图所示，即AC=BC=1m，AO==0.8m，在△AOC中，cos=0.8得sinθ=0.6，θ=37°小球做圆周运动的轨道半径r=OC=AC•sinθ=1×0.6m=0.6mb绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力F Ta的合力F提供向心力，其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为F=mgtanθ根据牛顿第二定律得F=mgtanθ=mr•ω2解得直杆和球的角速度为．（2）当角速度，则有F a cosθ=mg+F b cosθ代入数据解得F a=31.25N，F b=18.75N．答：（1）直杆和球旋转的角速度等于rad/s时，b绳上才有拉力；（2）a、b绳的张力分别为：31.25N、18.75N．点评：解决本题的关键抓住临界状态，搞清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．。
