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第二章-波函数与薛定谔方程

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第二章波动方程和薛定谔方程

第二章波动方程和薛定谔方程

1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ

任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。

量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程

量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程

x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )

2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：

2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e

(r ) p
1 (2)

3 2
e
i pr
(r , t )


( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的

第二章波函数和薛定谔方程

第二章波函数和薛定谔方程

2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
（2）3/ 2
exp[
p•
r]
则 Ψ可按Фp 展开
1
i
(r , t)
c(
p,
t )
p
Байду номын сангаас(r
)dp
(2)3/ 2
c( p, t)exp[ p • r ]dpxdpydpz
展开系数
c( p, t)
p
(r
)(r
,
t
)dr
1
（2）3/ 2
(r , t)exp[
i
p • r ]dxdydz
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
P
P
电子源
O
感
Q光
屏
O Q
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：

2波函数和薛定谔方程

2波函数和薛定谔方程

第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1

归一化
C
1


( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )

量子力学2波函数和薛定谔方程

量子力学2波函数和薛定谔方程
传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加： c11 c21（c1 ，c2是复数）也是这个体系 的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
的线性迭加： c11 c22 cn n cn n

第二章 波函数和薛定谔方程

第二章 波函数和薛定谔方程

2.波恩（Born）对波函数的统计解释，概率波 2.波恩 Born）对波函数的统计解释， 波恩（ 水波的双狭缝干涉： 水波的双狭缝干涉：
I12 = h1 + h2 = h1 + h2 + (h h + h h )
2 2 2 * 1 2 * 1 2
= I1 + I2 +干涉项
11
子弹点射
•
1 2
ψ ψ
P1
1
2Байду номын сангаас
P
P 2
P= P +P 1 2
12
电子双缝衍射
电子的干涉现象与水波干射完全相似，但与子弹点射 完全不同。与水波干射的含意也有着本质的不同，前 者是强度，后者是接收到的电子多少！
13
电子干涉实验的结论： 电子干涉实验的结论： 大量电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 大量电子在同一个实验中的统计结果， 电子在多次相同实验中的统计结果。 电子在多次相同实验中的统计结果。
8
何为波包？ 何为波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包的频率是 波矢的函数（ ω = ω(k)），我们将频率作泰勒展开
dω 1 d 2ω 2 ω(k) = ω(0) + k+ k +L 2 dk 2! dk dω d 2ω 是波包的群速度； 2 表示 ω(0)是基波，为常数；
波包的扩散；若 扩散。 由于
r Ψ(r , t) 的变化遵从薛定谔方程。 4） 的变化遵从薛定谔方程。
5
二、波函数的统计解释
r 如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(r , t) 中，它 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）， ），粒子 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子 的状态就不能用平面波描写， 的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描 一般记为： 写，一般记为：

量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件

知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几

第二章 波函数和薛定谔方程

思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程

质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理

第二章状态波函数和薛定谔方程

第二章 状态波函数和薛定谔方程本章引入描述量子体系状态的波函数，给出波函数的几率波解释和态的叠加原理两个量子力学的基本假设，在此基础上建立非相对论量子力学的基本方程——薛定谔(Schr ödinger)方程，并通过几个具体实例介绍定态薛定谔方程的解法。

§2.1 波函数的几率波解释1.波函数由第一章的讨论可知，微观粒子的波粒二象性是对粒子运动的一种统计性的反映。

数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量ψ来描述，称为波函数。

它是位置),,(z y x 和时间t 的复值函数，表示为ψ或),,,(t z y x ψ。

微观体系的状态总可以用一个波函数(,)t ψr 来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且(,t)ψr 和C t ψ(r,)（C 为比例常数）描写同一量子状态。

引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一。

2.波函数的几率波解释在历史上，人们对波函数的解释曾有过不同的看法。

有人认为波是由它所描写的粒子组成的；也有人认为粒子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包。

除以上两种观点外，还有其它一些不同的看法。

但是，这些看法都与实验事实相矛盾，而被物理学家们普遍接受的解释是玻恩(Born)提出的统计解释，即几率波解释。

为了说明玻恩的解释，我们首先来考察电子的双缝衍射试验。

在电子的双缝衍射实验中，电子枪发射强电子束时，荧光屏上马上显示出明暗相间的双缝衍射条纹，这是电子的波动性的表现。

当电子枪发射弱电子束时，屏上接收的只是一个一个的亮点（电子），这体现了电子的微粒性。

若对弱电子束的衍射作长时间的曝光，则得到的衍射花样与强电子束的衍射花样完全相同。

实验表明，在出现亮条纹的地方，亮点较密集，电子投射的数目较多，即电子投射几率较大；而在比较暗的地方，达到的电子数目较少，即电子投射的几率较小。

电子在衍射实验中所揭示的波动性质，可看成是大量电子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个电子在多次相同实验中显示的统计结果。

第2章 波函数与薛定谔方程



二、波函数的统计解释


电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6

子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。

ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20

可表为
ˆ ) p (，p
动量算符

上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12

注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。

e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析



1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
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第二章 波函数与薛定谔方程
1、量子力学中的态迭加原理是说 。

答：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：
1122c c ψ=ψ+ψ（12,c c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。

2、波函数),(t r
ψ在其空间变量变化的全部范围内必须满足的标准化条件为 ； ；和 。

答：连续性，有限性，单值性。

3、|Ψ(x,y,z,t)|2表示的物理意义是 。

答：在时刻t 、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率。

4、表达式|ψ(x,y,z,t)|2dτ的物理意义是 。

答：在时刻t 、在坐标x 到x+dx 、y 到y+dy 、z 到z+dz 的无穷小区域内找到粒子的几率。

5、波函数完全描述了微观粒子的运动状态是指： 。

答：粒子在空间的几率分布。

6、定态波函数的形式是 ，当体系处于定态时，其粒子坐标的几率分布是 变化的。

答：；()(),E t r t r e -ψ=ψ ；不随时间变化。

7、粒子处在定态波函数Et i e r t r -=)(),(ψψ所描写的状态中，其空间坐标
几率分布的特点是 。

答：；不随时间变化。

8、粒子的质量为m ，它在有心力场中的势能为r k
r U -=)(，其中k 为
常数，则粒子的定态薛定谔方程为 。

答：2
22k E r
μ-∇ψ-ψ=ψ 。

9、当入射粒子的能量E 小于势垒高度U 0时，粒子仍能穿透势垒的现象称为 。

答：隧道效应。