波函数和薛定谔方程-力学量算符

薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。

薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。

薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。

薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。

通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。

波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。

通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。

波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。

波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。

2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。

波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。

3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。

不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。

求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。

4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。

在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。

通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。

5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。

通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。

波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。

波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。

本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。

一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。

对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。

波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。

波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。

另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。

二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。

薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。

薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。

三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。

解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。

薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。

波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。

波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。

四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。

首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。

这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。

其次，波函数还包含了粒子的相位信息。

(其中 C1 , C2 , ... ,Cn ,...为复常数) 也是体系的一个可 能状态。
处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于 2态…,部分的处于n,...
求解定态问题的具体步骤如下：
（1）、列出定态Schrödinger方程
2
[ 2 V (r )] (r ) E (r )
2m
（2）、求解S—方程,写出通解
Ylm* (lˆx2 lˆy2 )Ylmd l(l 1) 2 m2 2
lx2 ly2 l(l 1) 2 m2 2
lx2
l
2 y
lx2
l
2 y
1 [l(l 2
1)
m2 ]
2
则测不准关系：
(lx )2
lx2
2
lx
l y2
(ly )2
l
2 y
2
ly
l
2 y
(lx )2 (ly )2 lx2 ly2
Lz Cn 2 Lz 0
n
2 dx2 2
2
2 2
2
E' E e2 2 2 2
2 d 2 1 2 x'2 E' 2 dx2 2
E'n
(n
1 ) ,
2
n 0,1,2,
n (x')
1 2x'2
NnHn (x')e 2
所求的解为：
En
(n
1 )
2
e2 2 2 2
,
n 0,1,2,
n[ (x
m ( )
1 eim
2
m 0,1,
Acos2
A
2
2
0
A
2

量子力学理论处理问题的思路① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点；④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤ 联系实际问题，应用所得结果。

有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动量算符ˆp和坐标算符ˆx 之间的关系是ˆx p i x∂=-∂，在动量表象中它们之间的关系为ˆˆx x i p ∂=∂，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。

这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。

所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。

第一部分 薛定谔方程与波函数在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。

(四） 自由粒子旳波函数
自由粒子， E, p 拟定
E / h, h / p
平面单色波 y Acos 2 ( x t ) T
Acos 2 ( px Et )
hh Acos 1 ( px Et)
h
量子力学中这么旳平面波
A
cos
1
(
p
r
Et)
h
表达为指数形式：
A
exp
i
(
p•
（五）
动量空间（表象）旳波函数
波函数Ψ (r,t) 可用多种不同动量旳平面波表达，
证明。
则 Ψ可按Фp 展开
令
1
i
p
(r
)
（2）3/ 2
exp[
p•r]
展开 系数
(r,t)
c(
p,
t
)
p
(
r
)dp
1
(2)3/ 2
c(
p,
t
)
exp[i
p • r ]dpxdpydpz
c( p, t)
性质： ( x) ( x)
0
x0
x
(x
x0 )
1
2
dk
e ik ( x x0 )
(x
x0 )
1
2
e dp i
px
(
x
x0
)
x
(ax) 1 ( x)
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
作代换：px x，px x0，则
(
px
px
)
1
2
[
E
E
]t
p *

（1） 时能量的取值几率及能量平均值；
（2） 时波函数 ；
（3） 时能量的取值几率及能量平均值。
三、表象理论
1.已知在 和 的共同表象 中，当 时，算符 的矩阵形式为
求其本征值及相应的本证函数。
解答：在 和 的共同表象 中， 的本证方程为
相应的久期方程为
于是得到 满足的代数方程
显然 。当 时，将其代回本证方程得
（3）
在 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
（4）
得到
（5）
于是有
（6）
此即能量满足的超越方程。
当 时，由于
（7）
故
（8）
最后，得到势阱的宽度为
（9）
7.设粒子处于如下势场
若 ， ，求在 处的反射系数和透射系数。
解答：具有能量 的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为
（1）
（2）
式中
（3）
利用波函数在 处的连接条件，得到
一、波函数及薛定谔方程
1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;
解答：由波函数的概率波解释可知，当 已经归一化时，坐标的取值概率密度为
（1）
将上式的两端分别对时间 求偏微商，得到
（2）
若位势为实数，即 ，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式
（3）
（4）
将上述两式代入（2）式，得到
（5）
若令
（6）
证明： （1）
用算符 作用（1）式两端，有
（2）
由上式可知 也是算符 的对应本征值 的本征态，它与 只能差一个常数，若设其为 ，则有
（3）
说明 不但是算符 的本征态，而且也是算符 的本征态。
13.证明下述两个平均值公式

量子力学的五个基本假设
量子力学五大假设是指微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述；微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程；力学量由相应的线性厄米算符表示；力学量算符之间有确定的对易关系；全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性。

量子力学的理论框架是由下列五个假设构成的：
（1）波函数假设：微观体系的运动状态被一个属于
希尔伯特空间波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。

（2）演化假设：微观体系的运动状态波函数随时间的演化满足薛定谔方程。

（3）算符假设：力学量用厄米算符表示。

（4）量子测量假设：当对一个量子体系进行某一力学量的测量时，测量结果一定为该力学量算符的本征值当中的某一个，测量结果为|k>的概率为|<k|ψ>|的平方,当测量完成后，该量子体系塌缩至|k>,（即不管再对该量子态重新测量多少次，测得的该力学量的值一定为第一次所测得的值k）。

（5）全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。

《微电子学物理基础》Fundamental of Microelectronics Physics教学大纲一、课程性质与目的《微电子物理基础》是微电子学专业的专业选修课。

该课程在普通物理、高等数学、线性代数等基础上，使学生树立起微观粒子运动的基本图像，深刻理解微观粒子运动的表述方式、基本原理及普遍规律，掌握典型微观体系的基本特征。

通过该课程的学习，能够理解波函数的意义，力学量算符的概念，掌握晶体结构，晶格振动和能带理论。

解决一些与专业有关的问题，为今后进一步学习有关专业基础课程奠定必要的理论基础。

二、课程内容及要求：第一章经典物理学的困难1、教学基本内容1.1 经典物理学的困难2、教学基本要求了解：十九世纪末二十世纪初经典物理所遇到的困难第二章波函数及薛定谔方程1、教学基本内容2.1波函数2.2不确定关系2.3薛定谔方程2.4粒子流密度和粒子数守恒2.5定态薛定谔方程2.6一维无限势阱模型2.7一维有限势阱模型2.8一维线性谐振子2.9势垒贯穿2、教学基本要求掌握：微观粒子波函数的Schrödinger方程，定态Schrödinger方程、无限深势阱中粒子的运动、势垒贯穿、线性谐振子等具体问题的求解过程理解：微观粒子的波、粒二重性及其本质；微观粒子所遵循的态叠加原理了解：不确定关系原理第三章量子力学中的力学量1、教学基本内容3.1量子力学中的算符3.2 厄米算符的本征函数的正交性和完全性3.3 动量算符角动量算符3.4 电子在库仑场中的运动3.5 基本的对易关系两力学量同时确定的条件不确定关系2、教学基本要求掌握：力学量算符的本征值方程、本征值和本征函数的物理意义；动量、角动量等常见力学量算符的表达式，中心力场问题的求解理解：力学量与其算符表示之间的对应关系了解：力学量的不确定度概念，对易关系第四章微扰理论1、教学基本内容4.1 非简并微扰理论4.2 简并定态微扰2、教学基本要求掌握：能够用定态微扰理论求解简单的定态微扰问题理解：简并和非简并定态微扰理论求解的实质了解：微扰理论的概念第五章晶体结构1、教学基本内容5.1晶体的共性、密堆积、晶体的周期性5.2晶列、晶面、倒格子5.3晶体的对称性5.4晶格结构的分类2、教学基本要求掌握：堆积类型，晶格、原胞、布喇菲格子和复式格子、正格矢、晶体的周期性、倒格矢等物理概念，正格子和倒格子的关系理解：几种常见晶体的结构类型了解：晶体的共性，晶体的对称性，晶体结构的分类第六章晶体的结合1、教学基本内容6.1 原子的电负性6.2晶体结合的类型6.3 结合力及结合能2、教学基本要求掌握：电离能、电负性、电子亲和能等物理概念理解：掌握原子之间的相互作用势能和相互作用力及其物理性质了解：晶体的几种结合方式及各自的特点第七章晶格振动与晶体的热学性质1、教学基本内容7.1 一维晶格振动（Ⅰ）7.2 一维晶格振动（Ⅱ）7.3 三维晶格的振动2、教学基本要求掌握：格波，声子，长光、声学波，晶格振动模式密度，声子的热容量；理解：一维简单格子和复式格子中格波的求解过程、一维原子链中色散关系了解：三维晶格振动的求解、晶格热容的量子理论。

其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当

(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。

d骣b ç r ( x, t ) dx÷ ÷= ç 蝌 桫 a dt
b a
Ò
S
r r r J (r , t ) dS
得
dJ x ( x, t ) = J x (a, t )- J x (b, t )
J x (a, t )和 J x (b, t ) 分别表示流入和流出Vab
r d 3r r r , t d r=( ) dt 蝌 V
抖 2 y* * y y =y + y 抖 t t t
对于一维的薛定谔方程
抖 ih y ( x, t ) = 抖 t 轾 h2 2 犏 + U ( x, t ) y ( x, t ) 犏 2m x 2 臌
则对于上式，可写为
抖 r ( x, t ) + 抖 t x J x ( x, t ) = 0
有
ì ï 抖 y ih 2y i ï = - Uy ï 2 ï 抖 t 2m x h ï í ï 抖 y* ih 2 y * i * ï = + U y ï 2 ï t 2m x h ï î 抖
不稳定粒子
发生衰变、或湮灭-再生过程的 粒子，则
P (t ) =

ò
¥
么？
守恒性
归一化条件是非相对论性粒子概率意义 的自然要求，也是薛定谔方程的结果。
r d 3r r r , t d r® 0 ( ) ò dt ¥
ò
+
-
y (x, t ) dx = e- t t
2
P (t )是粒子出现在全空间的概率， t 为粒子衰变的寿命。
算符
在位形空间里，描述动量的函数不再 是一般的函数，而是微分算符
ˆx px ? p - ih ¶ ¶x

13
直到1926年波恩提出统计诠释，大多数物理学家接受
在已知给定的条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些 可能结果的概率 粒子的运动遵守概率定律，但概率本身还是受因果规律支配的 但争论仍在继续：
哥本哈根学派：玻尔、海森伯坚持波函数的概率或统计解释 认为它表明了自然界的最终实质 爱因斯坦不喜欢量子力学的“不完备性” 上帝不是跟宇宙玩掷骰子游戏
满足归一化条件 d 3r 1 的波函数
16
例
17
例
18
续
19
例
20
薛定谔方程引言
21
16-2 薛定谔方程
量子力学基本原理之二： 微观粒子体系的波函数ψ满足
薛定谔方程.
起源： 1926年薛定谔对德布罗意的工作了漂亮又简
洁的说明,-----德拜听后说“要真正研究波动,必须
有波动方程.” 几个星期后,薛定谔找到了这个方程.
也是这个体系的一个可能态。
c11 c2 2 cn n cn n
c1, c2, cn为任意常数 n
波函数遵从叠加原理由实验证实： 以双缝实验为例
1、子弹通过双缝的射击实验 （经典）
子弹
宏观粒子 可以跟踪
a P1
b
P2
P
P P1 P2概率叠加

H
i


t
如果知道了 U ，可列出微分方程，解得Ψ，即找到 Ψ 随时 间变化的规律。
27
定态薛定谔方程：如果粒子所处的势场 U( r ) 与时间无关(即
不显含时间), 可用分离变量法求解.
令

H i
r, t

t r
f

t

陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。

(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。

(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。

(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。

这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。

2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。

本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。

3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。

对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。

4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。

对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。

5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。

其中a和b分别是A和B的本征值。

6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。

如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。

第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。

动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。

动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。

《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。

2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。

第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。

（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。

波函数和薛定谔⽅程波函数和薛定谔⽅程⼀、波函数的统计解释、叠加原理和双缝⼲涉实验微观粒⼦具有波粒⼆象性（德布罗意假设）；德布罗意关系（将描述粒⼦和波的物理量联系在⼀起） k n h p h E ====λων物质波（微观粒⼦—实物粒⼦）引⼊波函数（概率波幅）—描述微观粒⼦运动状态对于微观粒⼦来说，如果不考虑“⾃旋”⼀类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。

⾄少在⽬前量⼦⼒学框架中，我们不能获得⽐波函数更多的物理信息。

微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述——量⼦⼒学中的⼀条基本原理该原理包含三⽅⾯内容：粒⼦的状态⽤波函数表⽰、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。

要明确“完全”的含义是什么。

按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量⼦态，若已知单粒⼦（不考虑⾃旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒⼦的位置概率分布，⽽且如动量等粒⼦的其它⼒学量的概率分布也均可通过波函数⽽完全确定。

由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的⼀切物理信息。

从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述。

必须强调指出，波函数给出的有关粒⼦的“信息”本质上是统计性质的。

例如，在适当条件下制备动量为p 的粒⼦，然后测量其空间位置，我们根本⽆法预⾔测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。

很⾃然，⼈们会提出这样的疑问：既然量⼦⼒学只能给出统计结果，那就只需引⼊⼀个概率分布函数（象经典统计⼒学那样），何必假定⼀个复值波函数呢？事实上，引⼊复值波函数的物理基础，乃是量⼦⼒学中的⼜⼀条基本原理——叠加原理。

这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，数学求和）。

正因如此，在双缝⼲涉实验中，我们才能看见屏上的⼲涉花纹。

实物粒⼦双缝⼲涉实验分析我们⾸先只打开⼀条狭缝，根据粒⼦的波动性，可以预⾔屏上将显⽰波长p / =λ（p 为粒⼦动量）的单缝衍射花纹。

但是，根据粒⼦的微粒性，它们将是⼀个⼀个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将⼊射粒⼦束强度降低，直到只⼀个粒⼦通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒⼦只能作为⼀个不可分割的整体打到屏上的⼀个点，从⽽出现⼀个⼩斑点。

量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。

薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。

本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。

首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。

薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。

薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。

在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。

波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。

因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。

解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。

对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。

定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。

对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。

这样，就可以得到波函数的解析表达式。

波函数的具体形式与实际问题密切相关。

对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。

这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。

对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。

在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。

量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。

在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。

玻尔在解释氢原子光谱时就提出了定态的概念雏形.定态也是量子力
学中最重要的概念之一，本节就从薛定谔方程出发，对定态的性质做一些
概括性的讨论.
若势能V(r)与时间无关，则可以设
Ψ(r,t)=Ψ(r)f(t)
（15- 41）
把式（15- 41）代入式（15- 40）,得到
波函数 薛定谔方程
两边同除以Ψ(r)f(t)，就可以分离变量，即
波函数 薛定谔方程
薛定谔方程描述微观粒子运动的一般方程，自然也可以描 15- 36
解，由式（15- 36）可得
（15- 37）
波函数 薛定谔方程
由式（15- 35）可得
波函数 薛定谔方程
（1）这并不是薛定谔方程的证明，薛定谔方程是量子力学的基本 假定，是对大量实验观测结果的概括，它和经典力学中的牛顿三定律一 样，是不能被证明的.
波函数 薛定谔方程
图15- 13 无限深方势阱中的波函数
波函数 薛定谔方程
图15- 14所示为 无限深方势阱中的粒 子分布密度Ψ2(x).容 易看出，当n→∞时， 粒子分布密度会趋于 均匀，即在大量粒子 数条件下，量子力学 将回到经典情况.
图15- 14 无限深方势阱中的粒子分布密度
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波函数 薛定谔方程
若定态波函数能够满足归一化条件，即
则在无限远处，定态波函数必然迅速趋于0，即粒子不可能出现 在无穷远处，也就是粒子被限制在有限的范围内运动，这种状态就称 为束缚态，否则就称为游离态.
波函数 薛定谔方程
在经典情况下，粒子当然也不能出现在阱外，这一点与量子 力学的解并无区别.若是经典粒子，在阱内各处的势场都为零， 因此粒子在阱内均匀分布.在量子力学情况下，容易解得粒子出 现在各处的概率并不相同，随着位置的变化而变化，即粒子分布 是不均匀的.此外，在经典情况下，粒子的能量可以取任意的有 限值，即粒子的能量是可以连续变化的，但在量子力学情况下， 粒子的能量只能取一系列分立值，即能级是量子化的.图15-13所 示为无限深方势阱中的波函数Ψ(x).