一次函数的教学分析
一、知识点的地位与作用
一次函数是初中阶段学生所要学习的各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式,因此学好一次函数是学好其他函数的基础。由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用,因此,在具体的教学过程中,可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解,促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成,也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题。
二、教材分析与学情分析
1、教材分析
由于一次函数与现实生活联系密切,在引入一次函数概念时,教材(华东师大版课标教材八年级下册第17章)充分考虑概念的实际背景与形成过程,通过学生较熟悉的实际问题,让学生观察和分析实际问题中变量关系的变化规律,使学生领会和理解函数的基本概念及其思想方法。同时,淡化对函数概念过分形式化的定义,使学生对一次函数的认识从感性认识
上升到理性认识,增强他们对一次函数的应用意识。
研究一次函数离不开对图象特征的研究,数形结合思想是学习一次函数时必须体现的一种重要思想。教材通过设置较多实际问题的一次函数图象,让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律,探讨函数中的数与形的对应关系,便于学生掌握正确的学习方法,逐步形成解决一次函数问题的技能。
运用一次函数解决实际问题时,考虑的面比较广,需要结合一次函数的解析式、图象和性质,有时会遇到比较复杂的问题情境,不但需要结合图象特征,还要进行数学建模,如运用方程、不等式等其他数学模型解决问题。所以,运用一次函数的知识解决复杂的实际问题对部分学生来说有一定的困难,需要选择适当的方法给予引导、突破。
2、学情分析
学习一次函数,意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习,学生的思维方式要随之而变,这是对学生思维能力的考验,也是其数学认识的一次重要飞跃。学生在学习一次函数的过程中,对简单问题(如简单地应用待定系数法求一次函
数、直接应用图象特征判别问题特征等)往往能根据课堂所学的概念知识,加上参阅书本知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度。但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数解析式的直接应用多些,对解析式与图象问的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、总结经验。学生在学习中遇到的困难主要表现在以下三个方面:
(1)将复杂问题情境转化为一次函数图象;
(2)结合题意理解一次函数所表达的信息;
(3)结合题意把图象信息转化为数量关系。
三、教学思想与教学突破点
考虑到学生在学习中遇到的困难,一次函数的教学应重点围绕三个方面展开:(1)从数形结合角度理解一次函数的概念,认识一次函数图象;(2)探索一次函数解析式与图象的内在对应关系,做到能够根据一次函数解析式准确画出对应图象,能够根据函数图象提取信息,求得一次函数解析式;(3)在具体问题情境中能运用一次函数的知识和数形结合思想解决有关问题具体教学中,应对(2)、(3)实施重点突破以数形结合的思想使一次函数图象化,让学生能直观地认识一次函数,理解一次函数,运用一次函数。具体可落实以下三个教学突破点。
突破点1:培养学生及时把问题信息转化到函数图象上的能力。
在初学函数的过程中,需要根据题目信息画出函数图象,这是学好函数的一个必要条件,也是学好函数的一个基本技能。
例1星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩。从家出发2小时到达目的地,游玩3小时后按原路以原速返回小强离家4小时40分钟后,妈妈开车沿相同路线迎接小强,已知小强骑车的速度为15千米/日寸,妈妈开车的车速为60千米/时。
(1)小强家与游玩地的距离是多少?
(2)妈妈出发多长时问与小强相遇?
【说明】此题是一道普通的行程类题目可以通过列方程解答,也可以转化为函数问题,结合函数图象解决。若采用函数方法解决,则需要画出图象并把问题信息反应到图象上。若纵轴为离家的路程y(千米)横轴为时间x(时),建立坐标系,则图象为如图1所示。学生能够从问题情境中提取信息并构画出函数图象需要一个能力培养的过程,需要通过多次训练才能养成这种能力习惯突破点2:培养学生从图象中获取有效信息并将其与实际情境相结合的能力。
根据图象信息联想问题情境,并进行有效处理,有助于培养学生的想象力和推理能力,大多数学生正是由于缺乏这方面的能力,导致在处理动态的空间图形变化时,总是得不出其中对应量之间的关系。这种能力是教学中创新思维的一个发展点,需要大力提倡培养。
例2图2是韩老师早晨出门散步时,离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象。若用黑点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是( )。
【说明】此题只给出一个函数图象,需要学生根据图象中的距离与时间关系想象出问题的实际情境,再通过对每个答案进行对比想象作出正确判断。此题的思想是由图象想象出实际问题情境,使学生能真正做到题目一图象之间的融会贯通。
在对图象的观察、分析及提取信息的过程中,有时由于生活经验等原因造成从图象中获得的信息看似不合题意,需要根据题意综合思考,这有助于对问题的深入理解,也有助于提高学生的综合思维能力。
例3小明早晨从家里出发匀速步行去上学,小明的妈妈在小明出发后10分钟发现小明的数学课本没带,于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明,结果与小明同时到达学校。已知小明在整个上学途中,他出发t分钟后所在的位置与家的距离为s千米,且s与t之间的函数关系的图象如图3中的折线段OA-AB所示。
(1)试求折线段OA-AB所对应的函数关系式;
(2)请解释图中线段A日的实际意义;
(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中,她所在位置与家的距离s(千米)与小明出发后的时问t(分)之间函数关系的图象。
【说明】此题中对干线段AB的实际意义,从图象角度往往可理解成:小明在学校等妈妈把课本送来,也可理解成小明绕着以他家为圆心、1千米为半径的圆弧形道路匀速步行了8分钟。但由干平时训练资料中较少有类似题型,学生可能一下子找不到对应模型,既然题意已说明小明还没到校,那么可以肯定小明是在去学校的路上。此题不怛要求从图象中获取正确的信息,同时还要求考虑题中的问题情境,这类问题对学生综合思考能力的提高有一定的帮助。
突破点3:培养学生在分析和解决问题的过程中运用数学思想的能力。
在解决数学问题的过程中,经常会遇到复杂情境,需要合理运用数学思想方法才能理清题意以及各量之间的关系,同时也能增加解题说服力。
例4某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完。该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图4中的折线表示的是市场日销售量y与上市时间t的关系;图5中的折线表示的是每件产品A的日销售利润w与上市时间£的关系。
(1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式;
(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大利润是多少?
【说明】在解决第(2)小问时,有两种方法。(D用分类思想,考虑到不同时间段曰销售量与每件产品的销售利润有所差异,因此要分时间段考虑确定最大日销售利润;总共有三个时间段,0~20天、20~30天、30~40天,可分别计算这三个时问段中的最大日销售利润,最后取三个时间段中的最大值即可。②根据图象提取信息直接解答,由图4可知,在第30天时,曰销售量最大,由图5可知,在20~40天中每件产品的销售利润最大,因此可得在第30天时日销售利润最大,最大值为60×60=3 600(万元)。这两种方法中,运用分类思想的思维要求比较高,很多学生达不到要求,但运用分类思想最大的优点是分析问题时条理比较清楚,把复杂问题拆分成几个简单问题,只需考虑全面即可。这种思想能促进学生全面考虑问题、分解问题能力的提高,促进学生思维能力日趋成熟。
在一次函数的教学过程中,有许多有效的教学方法,只要教师能切实了解学生的思维方式,走进他们的思维,帮助他们寻找解决思维障碍的突破点,那么学好一次函数对于他们来说也就不是困难的事了。
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《EXCEL函数的使用》教学案例 一、教学目标分析 “EXCEL中函数的使用”是高等教育出版社出版的《计算机应用基础》第四章的内容。EXCEL中的函数很多,功能也非常强大,如能掌握一些常用的函数,将给日常的数据处理带来很大的便利。在本案例中,我将结合学生的生活和学习实际创设一个合适的问题情境,激发学生在活动过程中掌握应用信息技术解决问题的思想与方法,鼓励学生将所学的信息技术积极地应用到生产、生活乃至信息技术革新等各项实践活动中去,让学习成为他们自己的需要。在学习方式上,我强调学生在信息技术学习中的主体性,倡导主动探究学习。通过本节课的学习,应该达到以下目标: 1、知识与技能 通过任务的解决,掌握几个较常用函数(SUM、AVERAGE、MAX、MIN等)的名称、功能与用法,进一步理解单元格的引用。 2、过程与方法 通过任务的解决,学生们不仅学到本节课的知识,更重要的是体会到探索新知的过程和学习方法的培养(如自主探究、小组协作、查看帮助等),这对他们今后的学习将带来正迁移效应。 3、情感、态度与价值观 通过任务的解决,学生获得成就感,增强自信心,并加强学生间的友谊,增强自觉运用信息技术解决一些实际问题的意识。 二、教学内容分析 本节课的教学内容的实践性较强,主要是围绕着Excel函数来展开教学的,其主要内容是Excel函数的名称、功能、用法。 教学的重点放在: ①Excel函数的功能; ②Excel函数的用法 教学的难点是: ①函数的单元格区域选择 ②Excel函数在实践中的运用与拓展;
三、学生学习状态分析 在本节课中,学生应采取自主学习和互相协作学习相结合的方法,这样既可以提高学习的效果,也有利于培养学生的合作精神和人际交往能力。Excel作为一种在工作生活中应用十分普遍的软件,操作性比较强,如果能够结合有趣的案例,学生在学习的过程中,一定会表现出浓厚的学习兴趣,学习的积极性比较高,课堂气氛也会比较好。 四、教学过程 教师出示一张学校演讲比赛的得分表,提出任务:谁得了冠军? 师:大家谈谈处理策略。 学生们利用已有的数学、EXCEL知识与平常的处理经验,得出:求出每人的平均分或总分,谁得分最高谁就是冠军。处理方法有自定义公式或自动求和法。大家统一意见后,开始着手工作。学生独自实践操作解决问题,也可以互相交流,协作讨论各自的方法。教师巡视,并进行个别指导(教导在这一过程中引导学生掌握求和、求平均数函数)。 生:王静同学得了冠军! 设计意图:这一环节目的是复习巩固并深化上一节课的内容:单元格引用、自定义公式、等内容的应用,同时引入自动求和、求平均函数,分析、比较它们之间的优劣及其在统计学上的意义。学生通过分析比较不同的方法,对和种函数的利用取长补短,丰富了处理问题的途径,增长了处理问题的信心,培养了发散思维,并内化为自己解决问题的能力。一波刚平,一波又起。 生:老师,在实际处理中,是不是要去掉每位选手得分中的最高分和最低分? 师:提得很好。谁能说一说,我们为什么要去掉最高分和最低分呢? 生:使人为等各方面误差因素尽量减少到最低,让得分更合理,符合统计学意义。 设计意图:整合数学知识,使学生知其然更知其所以然,从而引出新的任务,激起学生控索的欲望。 师:怎么办?大家能否利用已有的知识进行解决? 设计意图:充分体现”以学生为主体“的教学思想,放手让学生们自己去尝试,培养大家自主探索与实践的能力和不怕困难的精神。 学生们个个摩拳擦掌,想一试高低。但没过多久,他们发现自己的方法很麻烦,有点灰心。为什么呢?原以为用一下公式就可以解决,但遇到这个问题却不灵了。因为每位选手的最低分和最高分所在的单元格不在同一列(没有规律),所以不能利用填充的办法来解决,要一个一个剔去。学生处于无奈和焦噪状态,这时教师适当点拔。
确定二次函数表达式 一、导入新课 复习回顾:先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数,反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法。 二、学习目标 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思 想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以 便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 三、教学过程 1、先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数, 反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法----待定系数法。 2、指出本节课的教学目标: (1)经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识. (2)会利用待定系数法求二次函数的表达式.
(3)灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 3、精讲例题1,学习具体求解方法。 例1 已知二次函数y=ax2+c 的图象经过点(2,3)和 (-1,-3),求出这个二次函数的表达式. 解:将点(2,3)和(-1,-3)分别代入二次函数y=ax 2+c 中,得 ? ??4a+c=3a+c=-3 解这个方程组,得? ??a=3c=-5 ∴所求二次函数表达式为:y=2x 2-5. 4、让学板演评测题:做一做,并点评,介绍两种解法。说明什么时候设一般式。 做一做:已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式. 5、继续学习例题2,例3,并讲解不同解法,说明什么时候设顶点式,什么时候设交点式 例题2二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点A(0,5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=3,求这个二次函数的解析式。 例3已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点,求二次函数的表达式。
初中数学《二次函数》的教学案例分析及反思 一、教材研读与剖析 1.教材分析:本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数,要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系,掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何描述变量之间的数量关系,感悟新旧知识的关系,深刻的体会数学中的类比思想方法. 2.教学目标:第一,理解和掌握二次函数的概念、性质,会做二次函数的图像,掌握二次函数的形式;第二,会建立二次函数模型,并能确定实际问题的自变量的取值范围;第三,会用待定系数法求二次函数的解析式;第四,从实际情景和实例中让学生探索分析,建立两个变量之间的二次函数,使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题,学会用数学符号和数学方法解决最值问题,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣. 3.教学重点和难点:第一,经历探究和表示二次函数的过程,获得二次函数的定义;第二,能够表示简单变量之间的二次函数关系;第三,探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题,其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂,要求学生有较强的概括能力. 二、教学过程与设计 (1)温故而知新,回顾有关函数的知识,激发兴趣. 教师在课堂的开始,可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结,并在ppt上给出一次函数y=kx+b(其中k,b是常数,且k≠ 0)正比例函数y=kx(k是不为0的常数)反比例函数y=■ (x是不为0的常数)的形式. (2)创设问题情境,激发兴趣. 教师在ppt上给出实际问题一,例如:现有60米的篱笆要围成一个矩形场地,若矩形的长为10米,它的面积是多少?若矩形的长分别为15米、20米、30米时,它的面积分别是多少?从上两问同学们发现了什么?教师提问后,学生可独立回答. 在活动中,教师应重点关注:学生是否能准确的建立函数关系;学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积;学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围. 问题的设计,旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值,学会用函数的观点认识问题,解决问题,让学生在合作学习中共同解决问题,培养合作精神. 最后,提出问题:由矩形问题你有什么收获?让学生经过短时间的讨论与思考后,师生共同归纳总结出函数解析式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式. 在ppt上给出概念:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数. 称a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项. 通过层层设问,引导学生不断思考,积极探索,让学生感受到数学的应用价值,激发其学习的热情. (3)利用图像激发兴趣. 学习性质最好的方法就是根据图像来探索. 例如,教师可以给出以下的问题,让学生进行自由探索:填空:根据下边已画好抛物线y=-2x2的顶点坐标是_____,对称轴是_____,在_____侧,即x_____0时,y随着x的增大而增大;在_____侧,即x_____0时,y随着x的增大而减小.当x=_____时,函数y的最大值是____. 当x____0时,y<0. 教师让学生根据问题进行探究,并归纳出:二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图像和性质,顶点坐标与对称轴,位置与开口方向,增减性与最值. (4)小组合作探索二次函数与一元二次方程. 教师向学生展示二次函数y=x2+2x,y=
2.4.1《函数的零点》教学设计 一、教材与教学分析 1.函数的零点在教材中的地位 本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容,它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上,对函数知识的进一步延伸和拓展,为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用,地位至关重要。 2.教学目标分析 ①知识能力方面: (1).掌握函数零点的概念,会求函数的零点. (2).掌握二次函数零点的判定方法. (3).会运用性质做出简单三次函数的大致图像. ②数学核心素养方面: (1).在探索方程根与函数零点的关系中,构建函数零点的概念,提升学生数学抽象与数学建模素养; (2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中;培养学生数形结合与直观想 象的核心素养. 3.教学的重点:函数零点的概念与性质;判定二次函数零点的个数;会求函数的零点. 教学的难点:函数零点的应用
值为 四、函数零点的性质 性质1, 问题1.请同学们通过列表研究一次,二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的? 问题2.如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 问题3.如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴一定有什么关系? 性质2, 问题4.通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 1.通过列表,学生从数上理解函数零点的性质1 2.通过几何画板的演示,使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。 3.培养学生分析问题探究问题的能力,培养学生数形结合思想,直观想象的核心素养。 师:观察函数12-=x y , 2()6f x x x =--的图像,在零点两侧 附近函数值的符号是如何变化的? 一生投影展示,大胆给出结论 师:性质1.(板书) 师:如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 生:不变号 师:如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴有什么关系? 生:相交 师:通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 师:性质2(板书) 五、性质简单应用 1.运用零点的性质,求函数 22)(23+--=x x x x f 的 零点,画出函数的图像。 2.变式:求函数 f (x )= 通过例题的练习,初步掌握利用三次函数图像的大致 画法。 例2教师板书:规范步骤。 强调:(1)求函数的零点 (2)取值列表 取与x 轴交点,与y 轴交点,以及零点分成区间内部至少一点。遇到对称值,可以再取点。 (3)描点连线,用平滑的曲线连接。 师:明确了作三次函数图像的步骤,变式:求f (x )=12432 3 +--x x x 的零点,并画出它的图象.
中考一轮复习一次函数教学设计 一、教学内容分析 一次函数是初中数学中的一种最简单、最基本的函数,是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一,它的研究方法具有一般性和代表性,是进一步研究反比例函数及二次函数的基本工具,也是学习高中代数、解析几何及其他数学分支的重要基础。这部分的难点是构建一次函数模型解决实际问题的能力以及综合运用所学知识解决、分析问题的能力,学好这部分知识对发展学生的数学应用意识和建模能力起着至关重要的作用。一次函数在中考中常常考察一次函数关系式的确定、图像和性质、一次函数的实际应用、一次函数与反比例函数、二次函数的综合题等., 二、学情分析 大部分学生都感觉函数比较难,有些学生对一次函数的性质与图像遗忘了,还有些同学上新课时对这部分知识没有理解,学好这部分知识很重要一点就是会用数形结合思想去解决问题、构建一次函数模型解决实际问题,目前这两部分都是学生的难点,综合复习时与其他知识联系也较多,所以对于解决综合题学生感觉难度也较大。鉴于以上分析本节课分三个模块来进行复习,第一模块复习一次函数的定义、图像及性质,第二模块复习确定一次函数的表达式,第三模块复习用一次函数解决实际问题。 三、教学目标、重难点分析
新课标指出,三维目标是紧密联系的一个有机整体,在教学中应以知识与技能为主线,渗透情感态度价值观,并把前面两者充分体现在过程与方法中。因此确定本节课的教学目标为: 知识目标:1、掌握一次函数的系统知识,提高学生解题能力。 2、利用数形结合思想,解决函数问题,破解中考难点。 过程与方法:通过问题的解决体会用数形结合解题的优越性,培养学生的观察能力。 情感目标:体会数学来源于生活,增强用数学的意识 教学重点:一次函数的图像、性质,确定一次函数的表达式以及实际应用。 教学难点:一次函数的实际应用,数形结合的灵活运用。 四、教学媒体:电子白板、几何画板、课件 五、教学过程分析 一次函数复习 学习目标: (1)结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式。 (2)会画一次函数的图象,并理解其性质。 (3)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解、求不等式的解。 (4)能用一次函数解决实际问题、体会数形结合。
《一次函数》教案 教学目标 1、理解一次函数和正比例函数的概念. 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 3、经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力. 教学重点 理解一次函数和正比例函数的概念. 教学难点 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力. 教学过程 一、引入新课 展示一些与学生生活中有关的图片,如弹簧、橡皮筋等等的实物,请同学们思考一些问题.承接上节课函数的关系,让同学们感受到变量之间关系式通过多种形式表达出来的,感受到研究函数的必要性.生活中的实例,更能激发学生学习的激情,起到很好的导入新课的效果. 二、探究新知 例1某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y 增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表: 例2某辆汽车油箱有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L. (1)完成下表: (3)你能写出剩油量z与汽车形式路程x之间的关系吗? 例3我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于3500元的部分不收税;月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如果某人月收入
3860元. (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴纳所得税y(元)与月收入x (元)之间的关系式. (2)某人月收入为4160元,他应该缴纳所得税多少元? (3)如果某人本月缴所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金是多少以元? =+(,k b为常数,k≠0)的形一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成y kx b b=时,则y是x的式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当0 正比例函数. 三、拓展练习 例1、写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系; (2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系; (3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x个月后这棵树的高度为y(厘米),则y 与x的关系. 例2:我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于3500元的部分不收税:月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税,如某人月收入38 60元,他应缴个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8(元). (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式. (2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元? (3)如果某人本月应缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元? 四、课堂小结 =+这节课我们学习了一类很有用的函数-一次函数,只要解析式可以表示成y kx b b=时的特(,k b为常数,k≠0)的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当0 殊情形. 五、布置作业 习题6.2
“函数的单调性”案例分析 连江一中数学组李锋 数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点,重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验,让学生进行深入的思考和全方位的探索。对于提高学生学习数学的兴趣,培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。现以《函数的单调性》教学实例来进行分析: 一、案例课题:函数的单调性(第一课时) 二、实施过程(注:课堂实录已经简化) 1.问题引入 师:我们观察某自来水厂在一天24小时内,水压Y随时间X的的变化情况。不妨设其函数解析式:y=f(x); x [0,24] 师:“在哪些时间段内,水压在逐渐上升?在哪能些时间段内,水压在下降?” (很快得出正确答案。) 师:在某一时间段内水压在上升,实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大,于是我说函数y=f(x)在区间[0,3]上,是单调递增函数。同理,函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。 2.定义探究 师:在某个区间上:①函数值Y随X的增大而增大(图象从左——右,呈上升趋势),就说这个函数在这个区间上是增函数。②函数值Y随X的增大而减小(图象从左——右,呈下降趋势),就说这个函数在这个区间上是减函数。 提出问题1:请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义,思考课本定义方法和上面定义方法是否一致?如果一致,定义中哪一句表达了该意思? 生:我认为是一致的.定义中的“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”描述了y随x的增大而增大;“当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”描述了y随x的增大而减少. 师:说得非常正确.定义中用了两个简单的不等关系“x1<x2”和“f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)”,它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质.这就是数学的魅力!定义中只用了两个简单的不等关系,就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征,把文字语言表达为数学语言,简单明了。 师:提出问题2:我们思考这样一个问题:定义中有哪些关键的词语或句子至关重要?能不能把它找出来。(有的同学回答不准确) 生1:我们认为在定义中,有一个词“给定区间”是定义中的关键词语.(阐述了理由)。
个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师:张老师授课时间:年11 月16 日
图像性质 1.作法与图形:通过如下3个步骤: (1)列表. (2)描点;[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。] 一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点。(3)连线,可以作出一次函数的图象——一条直线。 因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。 (通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b). 2.性质: (1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。 (2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。 () () ()3 2 1 . k ? ? ? ? ? < = > < b b b 3. 在一次函数y=kx+b中: 当0 k>时,y随x的增大而增大, 当0 b>时,直线交y轴于正半轴,必过一、二、三象限; 当0 b<时,直线交y轴于负半轴,必过一、三、四象限. 当0
三、例题讲析 一次函数的图像及性质 1、一次函数的图象过点(0,2),且函数y的值随自变量x的增大而增大,请写出一个符合条件的函数解析式: 2、已知关于x、y的一次函数()12 y m x =--的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限,那么m的取值范围是 3、函数(0) y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是() 4.一次函数21 y x =-的图象大致是() 5.在平面直角坐标系中,直线1 y x =+经过() A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限 6、如图,直线l上有一动点P(x, y),则y随x的增大而_____________。 7、已知f (x)为一次函数。若f (-3)>0且f (-1)=0,判断下列四个式子, 哪一个是正确的?( ) A (A) f (0)<0 (B) f (2)>0 (C) f (-2)<0 (D) f (3)>f (-2) 8、已知一次函数的图象过点(03) ,与(21),,则这个一次函数y随x的增大而. O x y O x y O x y y x O A.B.C.D.
函数单调性的教学案例 西安市培华职业中专王买霞 【学生】职一某班. 【教学环境】电脑教室,每生一台机,教师机可以控制学生机,例如观察某一台学生机学生的操作,让某一学生机学生观看教师机的操作,让所有学生观看教师机的操作,等等。 【理论指导】建构主义学习理论强调的是学生的认知主体作用,也就是认为学生是信息加工的主体,是意义的主动建构者,教师扮演组织者、指导者、帮助者和促进者的角色。 数学课堂生态化研究,强调的是一种动态的、生长的、可持续发展的课堂教学氛围,而不是以牺牲学生个性为代价追求效率的做法。数学课堂生态化研究,注重在教学过程中,教师、学生、内容和环境各个要素内部以及各个要素之间的相互沟通。 多媒体信息具有直观性强的特点,对学生形成多感官刺激,能引起学生的强烈兴趣和注意。利用多媒体的交互性,学生获得了对信息的完全控制,能激发学生的求知欲、创造欲。所以,以学生为中心、教师为主导的多媒体辅助教学往往能营造出一个让学生发现问题、讨论问题的全新的学习环境。 【构想及教学目的】在建构主义学习理论及生态学理论的指导下,我们的课堂教学应该为学生创造一个全新的学习环境,指导学生自主学习,让学生更注重知识的发生过程,为学生营造出一个在体验中发现、在发现中讨论、在讨论中解决的学习环境。为了深入学习函数单调性,我利用电脑辅助,创设问题情境,激发学习兴趣,让学生在充实背景下分析问题,思考问题,从而发现规律,抓住问题的本质。 本节课的教学目的是: (1)要求学生掌握函数单调性的定义,并激发学生思考函数单调性的判断方法。 (2)渗透数形结合思想,了解数形结合方法。 【教学过程】 创设情境引入新课 师:上节课,我们学习了函数的三种表示法,分别为: (师语音拉长,师生一块儿回答) 生:列表法、公式法、图像法。 师:它们的区别是什么?生:列表法就是用表格来表示函数的方法;公式法是用函数解析式来表示函数的方法;图像法是使用平面直角坐标系里的图形来表示函数的方法。 师:这三者之间又有密切的联系,它们之间可以相互转化。我们要研究一个函数,可