脉冲响应 状态空间方程

第1章 控制系统的状态空间表达式1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令θ(s)=y ，则y =x 1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[ x 1•x 2•x 3•x 4•x 5•x 6•]=[ 01000000K b J 200000−K p J 1−K n J 11J K p J 100100000−K 100K 1−K 1p−K 1p ][ x 1x 2x 3x4x 5x 6]+[ 00000K 1K p ]uy =[100000][ x 1x 2x 3x 4x 5x 6]1-2有电路如图1-28所示。

以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。

L1L2U图1-28 电路图解：由图，令i 1=x 1,i 2=x 2,u c =x 3，输出量y =R 2x 2 有电路原理可知：R 1x 1+L 1x 1•+x 3=uL 2x •2+R 2x 2=x 3x 1=x 2+Cx 3•既得 x 1•=−R1L 1x 1−1L 1x 3+1L 1ux •2=−R 2L 2x 2+1L 2x 3 x 3•=−1C x 1+1C x 2y =R 2x 2写成矢量矩阵形式为：[ x 1。

x 2。

x 3。

] =[−R 1L 10−1L 10−R 2L 21L 21C−1C 0][x 1x 2x 3]+[1L 100]u y =[0R 20][x 1x 2x 3] 1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.解:以弹簧的伸长度y 1，y 2 质量块M 1， M 2的速率c 1，c 2作为状态变量 即 x 1=y 1，x 2=y 2，x 3=c 1，x 4=c 2根据牛顿定律，对M 1有：M 1dc1dt =f 1-k 1(y 1-y 2)-B 1(c 1-c 2) 对M 2有：M 2dc2dt =f 2+k 1(y 1-y 2)+B 1(c 1-c 2)-k 2y 2-B 2c 2将x 1,x 2,x 3,x 4代入上面两个式子，得 M 1ẋ3=f 1-k 1(x 1-x 2)-B 1(x 3-x 4) M 2ẋ4=f 2+k 1(x 1-x 2)+B 1(x 3-x 4)-k 2x 2-B 2x 4B 1\y 2 c 2 y 1 c 1f 2(t)M 2M 1f 1(t) B 2 K 2K 1整理得 ẋ1=x 3ẋ2=x 4ẋ3=1M 1f 1-k 1M 1x 1+k 1M 1x 2-B 1M 1x 3+B1M 1x 4ẋ4=1M 2f 2+k1M 2x 1-k 1+k 2M 2x 2+B1M 2x 3-B 1+B 2M 2x 4输出状态空间表达式为 y 1=c 1=x 3 y 2=c 2=x 4 1-4两输入u 1，u 2，两输出y 1，y 2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

状态方程和输出方程状态方程和输出方程是系统理论中的重要概念，用于描述动态系统的行为。

状态方程描述了系统的状态如何随时间变化，而输出方程则描述了系统的输出如何由状态决定。

在这篇文章中，我们将详细介绍状态方程和输出方程的概念、推导方法和应用。

一、状态方程状态方程又称为状态空间方程或系统方程，用数学表示为：x(t)=A·x(t-1)+B·u(t)其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统在其中一时刻的状态；A为状态转移矩阵，描述了系统的状态如何随时间变化；x(t-1)为系统在上一时刻的状态；B为输入矩阵，描述了外部输入信号如何影响系统的状态；u(t)为外部输入信号，表示系统在其中一时刻的输入。

状态方程的物理意义是描述系统的动态行为。

通过状态方程，我们可以了解系统的状态如何由前一时刻的状态和当前的输入决定。

状态方程是描述系统动态行为的基础，可以用于系统的建模、分析和控制。

推导状态方程的方法有两种：物理建模和数学建模。

物理建模是通过系统的物理原理和方程来推导状态方程；数学建模是通过对系统的输入输出进行数学分析，从而推导出状态方程。

物理建模适用于具有物理背景的系统，如机械系统、电路系统等；数学建模适用于所有类型的系统。

二、输出方程输出方程又称为观测方程或测量方程，用数学表示为：y(t)=C·x(t)其中，y(t)为系统的输出向量，表示系统在其中一时刻的输出；C为观测矩阵，描述了系统的输出如何由状态决定；x(t)为系统在其中一时刻的状态。

输出方程的物理意义是描述系统的输出如何由状态决定。

通过输出方程，我们可以了解系统的输出如何与系统的状态相关。

输出方程是描述系统的输出特性的关键，可以帮助我们理解系统的性能和行为。

推导输出方程的方法有直接测量和模型匹配。

直接测量是通过对系统的输出进行实际测量，从而得到输出方程；模型匹配是通过对系统进行数学建模，从而推导出输出方程。

直接测量适用于系统的输出直接可测量的情况；模型匹配适用于系统的输出无法直接测量或想要通过模型进行预测的情况。

脉冲响应函数注意VAR模型过程中的格兰杰检验与变量间的格兰杰检验不是一回事啊！变量间的格兰杰因果是前提是同阶单整Var模型后的格兰杰前提是非同阶单整后差分平稳做VAR模型是非结构化的，且模型形式已被确定为线性形式，需要确定哪些变量间有相互作用及反应变量彼此之间相互影响的最大可能滞后阶数。

因为经济问题中长出现伪回归问题，即经济意义表明几乎没有联系的序列可能出项较大的相关系数。

因此格兰杰检验是做VAR模型必须的。

var的前提是系统稳定(并不一定是各个变量都是稳定的)例如对于3变量的var若有2个水平不平稳有1个水平平稳但是他们3个都是一阶平稳则需要做协整判断用水平的还是用一阶差分的变量进行var若水平的存在协整关系且做单位圆检验系统稳定则可以直接用水平变量做var但是若不存在协整或则系统不稳定则就得用一阶差分变量来做若3个变量都是水平的则直接var就好了用s-plus进行多元VAR-GARCH估计时，是用的MGARCH命令，比如var.bekk=mgarch(It.St.getreturns[,c("interestrate","stockindex")]~ar( 2),~bekk(1,1),armaType="full")。

这时var.bekk的类型是mgarch,即class(var.bekk)="mgarch"。

能不能将模型估计的var部分提取出来，形成一个var对象?这样就可以进行脉冲响应分析了。

请高人指点啊。

建议看一下Nakatani,T.and T.Terasvirta(2009)."Testing for volatilityinteractions in the Constant Conditional Correlation GARCH model."Econometrics Journal 12(1)：147-163.Impulse Response Function for Conditional Volatility in GARCH Models Wen-Ling Lin Journal of Business&Economic Statistics,Vol.15,No.1(Jan.,1997),pp.15-25 VAR模型中方程的特征根的倒数要在单位圆内，否则VAR模型不稳定，不能做脉冲响应脉冲响应分析很多时候是根据既定的条件进行的，比如经济意义。

脉冲响应函数Cholesky1. 概述在信号处理和系统建模中，脉冲响应函数是一个重要的概念。

它描述了系统对突然输入的响应，是系统的重要特征之一。

在实际应用中，我们常常需要利用脉冲响应函数来分析系统的性能和特性。

Cholesky分解则是一种用来求解线性方程组和矩阵求逆的数值方法。

本文将介绍脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。

2. 脉冲响应函数的基本概念脉冲响应函数是描述系统对突然输入的响应的函数。

在信号处理中，我们经常用脉冲响应函数来描述系统对瞬变输入的响应。

在时域中，脉冲响应函数可以用冲激响应来描述，通常用h(t)表示。

在频域中，脉冲响应函数可以用系统的频率响应来表示，通常用H(ω)表示。

3. Cholesky分解的基本原理Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为下三角阵的方法。

对于一个对称正定矩阵A，可以将其分解为A=LL^T，其中L为下三角矩阵。

Cholesky分解的求解过程很简单，可以通过矩阵的迭代求解来实现。

4. 脉冲响应函数与Cholesky分解的关系在实际系统中，我们经常需要利用脉冲响应函数描述系统的响应。

而系统的响应可以通过系统的传递函数来描述。

对于一个线性时不变系统，其传递函数与脉冲响应函数存在一定的关系。

而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。

5. Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用在实际应用中，我们经常需要根据系统的脉冲响应函数来计算系统的传递函数。

而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。

Cholesky分解可以帮助我们快速且准确地求解系统的传递函数，从而进一步分析系统的性能和特性。

6. 结论本文介绍了脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。

在实际系统建模和信号处理中，这两个概念是非常重要的。

通过深入理解脉冲响应函数和Cholesky分解的原理及应用，可以帮助我们更好地分析和优化系统性能，为实际工程应用提供帮助。

3-2 脉冲响应函数对于线性定常系统，其传递函数)(s Φ为)()()(s R s C s =Φ式中)(s R 是输入量的拉氏变换式，)(s C 是输出量的拉氏变换式。

系统输出可以写成)(s Φ与)(s R 的乘积，即)()()(s R s s C Φ= （3-1） 下面讨论，当初始条件等于零时，系统对单位脉冲输入量的响应。

因为单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统输出量的拉氏变换恰恰是它的传递函数，即)()(s s C Φ= （3-2） 由方程(3-2)可见，输出量的拉氏反变换就是系统的脉冲响应函数，用)(t k 表示，即1()[()]k t s -=Φ 脉冲响应函数)(t k ，是在初始条件等于零的情况下，线性系统对单位脉冲输入信号的响应。

可见，线性定常系统的传递函数与脉冲响应函数，就系统动态特性来说，二者所包含的信息是相同的。

所以，如果以脉冲函数作为系统的输入量，并测出系统的响应，就可以获得有关系统动态特性的全部信息。

在具体实践中，与系统的时间常数相比，持续时间短得很多的脉动输入信号就可以看成是脉冲信号。

设脉冲输入信号的幅度为11t ，宽度为1t ，现研究一阶系统对这种脉动信号的响应。

如果输入脉动信号的持续时间t )0(1t t <<，与系统的时间常数T 相比足够小，那么系统的响应将近似于单位脉冲响应。

为了确定1t 是否足够小，可以用幅度为12，持续时间(宽度)为21t 的脉动输入信号来进行试验。

如果系统对幅度为11t ，宽度为1t 的脉动输入信号的响应，与系统对幅度为12t ，宽度为21t 的脉动输入信号的响应相比，两者基本上相同，那么1t 就可以认为是足够小了。

图3-3(a)表示一阶系统脉动输入信号的响应曲线；图3-3(c)表示一阶系统对脉冲输入信号的响应曲线。

应当指出，如果脉动输入信号T t 1.01<(图3-3(b)所示)，则系统的响应将非常接近于系统对单位脉冲信号的响应。

绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。

根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。

我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。

2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。

3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。

本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。

我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。

在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。

本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！2014年6月2日第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

脉冲响应原理脉冲响应原理是信号处理和系统控制中的一个重要概念。

它描述了一个系统对于脉冲输入信号的响应方式。

本文将介绍脉冲响应的概念、脉冲响应函数的计算方法以及应用案例。

脉冲响应是指在时域上以零时刻为中心的脉冲输入信号对系统的激励响应。

在信号处理和系统控制领域，我们经常需要了解一个系统对于不同输入信号的响应情况以便进行分析和设计。

脉冲响应原理提供了一种便捷的方法来描述和计算系统的响应。

脉冲响应函数（Impulse Response Function）是一个系统对于单位脉冲函数输入信号的响应。

单位脉冲函数是一个在零时刻为中心，幅度为1的短时间信号。

当单位脉冲函数作为输入信号传递给系统时，系统的输出即为脉冲响应函数。

计算脉冲响应函数的方法有多种，其中一种常用的方法是利用系统的差分方程。

对于线性时不变系统，其差分方程可以表示为：y[n] = a0 * x[n] + a1 * x[n-1] + ... + an * x[n-N]其中y[n]为输出信号，x[n]为输入信号，a0至an为系统的系数，N为系统的阶数。

利用差分方程可以推导出脉冲响应函数，其形式为：h[n] = a0 * δ[n] + a1 * δ[n-1] + ... + an * δ[n-N]其中h[n]即为所求的脉冲响应函数，δ[n]为单位脉冲函数。

脉冲响应函数在信号处理和系统控制中有广泛的应用。

例如，在音频处理中，我们可以利用脉冲响应函数对音频信号进行均衡和滤波处理。

脉冲响应函数还可以用于系统辨识，通过对系统的输入输出信号进行分析，可以得到该系统的脉冲响应函数，从而了解系统的特性和性能。

此外，脉冲响应函数还可以用于系统的时频分析。

通过对脉冲响应函数进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应函数，从而分析系统在不同频率上的响应情况。

这对于设计滤波器、均衡器和系统控制器等至关重要。

总之，脉冲响应原理是信号处理和系统控制中的重要概念，描述了一个系统对于脉冲输入信号的响应方式。

脉冲响应曲线与时间轴面积公式证明脉冲响应曲线和时间轴面积公式，这俩家伙听起来是不是有点让人摸不着头脑？别慌，让咱慢慢捋捋。

我记得有一次在课堂上，给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这都是啥呀，感觉比外星人的语言还难懂。

”我笑着告诉他：“别着急，等咱们一点点剖析，你就会发现它其实没那么可怕。

”先来说说脉冲响应曲线。

想象一下，你往平静的湖水里扔了一块石头，水面上泛起的一圈圈涟漪就是脉冲。

而脉冲响应曲线呢，就是描述系统对这个脉冲输入的反应随时间变化的情况。

比如说，一个电路系统接收到一个瞬间的电流脉冲，它输出的电压变化就可以用脉冲响应曲线来表示。

那时间轴面积公式又是啥呢？这就好比我们要计算这些脉冲响应曲线在时间轴上覆盖的“面积”。

这个“面积”可不是简单地拿尺子去量，而是通过一系列的数学运算得出的。

咱们拿一个简单的例子来说明。

假设我们有一个机械系统，当施加一个瞬间的力时，它的位移随时间的变化符合某个特定的规律，形成了一条脉冲响应曲线。

我们想要知道在一定时间内，这个系统的总能量变化，那就得靠时间轴面积公式来帮忙啦。

在推导这个公式的过程中，可真是费了不少脑细胞。

得运用到微积分的知识，把曲线分割成无数个小的部分，然后一点点去计算累加。

这就像是拼拼图一样，每一块都很小，但组合起来就能呈现出完整的画面。

再回到学习中，有些同学总是抱怨说：“老师，这些公式太难记啦，根本搞不懂。

”其实啊，理解它们背后的物理意义和实际应用，比死记硬背公式要有用得多。

就像刚才说的那个机械系统，如果能在脑子里想象出具体的场景，理解了能量的传递和变化，那公式自然就变得亲切起来。

当我们真正掌握了脉冲响应曲线和时间轴面积公式，就能解决好多实际问题。

比如说在通信领域，分析信号的传输和处理；在控制系统中，优化系统的性能；在经济学里，研究市场的动态变化等等。

总之，脉冲响应曲线和时间轴面积公式虽然看起来复杂，但只要我们有耐心，肯钻研，就一定能把它们拿下！就像面对生活中的其他难题一样，一步一个脚印，总能找到解决的办法。