冲激响应和卷积分析

清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。

+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。

例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。

清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。

解f (t ) 分成两段表示。

1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。

补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。

在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。

本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。

§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。

本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。

单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。

若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。

单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。

例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。

说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。

它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。

在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。

2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。

冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。

冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。

3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。

阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。

阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。

三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。

对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。

具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。

这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。

系统并联
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联，框图表示：
h(t )
f (t )
f (t ) f (t )
h1 (t )
f (t ) * h1 (t )
g (t )
f (t ) h1 (t ) f (t ) h2 (t )


可表示为:
e(t ) e(t ) (t )
三．利用卷积求系统的零状态响应
当一个信号作用于系统时，响应为
e( ) (t ) d r (t ) H e(t ) H e( ) H (t ) d 当系统为线性时

3. i ( t ) e( ) h(t ) d
e
1 2


i (t )
L 1H
u( ) u( 2) e ( t ) u(t ) d

e t e 2 u( )u( t )d e t e 2 u( 2)u( t )d


卷积积分中积分限的确定是非常关键的。
四．卷积的计算
已知e( t ) e
u(t ) u(t 2)，求i(t )的零状态响应。 R 1 d i t 1．列写KVL方程 L Ri t et

t 2
2．冲激响应为


dt h( t ) e t u( t )
u (t )
H
g (t )
系统的输入 e t u t ，其响应为 r t gt 。系统方程的 右端将包含阶跃函数 ut ，t>0时输入不为0，所以其响应除 了齐次解外，还有特解项。

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对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
lim
∆→0
∞
ˆ f (t) = f (t ) = ∫
∞ −∞
f (τ )δ (t −τ ) d τ
第 任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 的定义： 根据 的定义 由时不变性： 由时不变性：
∞
LTI系统 LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
3 .卷积积分的定义 卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 1(t) ， ）上的两个函数f 和f2(t)，则定义积分 ，
∞
f (t) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t −τ )dτ
−∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的 为积分变量 下进行的， 为积分变量， 注意：积分是在虚设的变量 下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为 的函数。 为参变量。 为参变量 结果仍为t 的函数。

一、实验目的通过本次实验，加深对卷积算法的理解，掌握离散时间系统中的卷积运算方法，并学会使用MATLAB进行卷积运算的仿真。

二、实验原理卷积是一种线性时不变（LTI）系统的数学运算，用于描述系统输入信号与系统冲激响应的卷积结果。

在离散时间系统中，卷积运算可以表示为：\[ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] \]其中，\( y[n] \) 是系统的输出信号，\( x[k] \) 是系统的输入信号，\( h[n] \) 是系统的冲激响应，\( n \) 是时间变量。

MATLAB提供了`conv`函数来进行卷积运算，其语法为：\[ y = conv(x, h) \]其中，\( x \) 和 \( h \) 分别是输入信号和冲激响应的向量。

三、实验内容1. 创建输入信号和冲激响应使用MATLAB创建一个简单的输入信号 \( x[n] \) 和一个冲激响应 \( h[n] \)。

```matlab% 创建输入信号 x[n] = cos(2pi0.5n)n = 0:100;x = cos(2pi0.5n);% 创建冲激响应 h[n] = u[n] - u[n-10]h = [ones(1,10), zeros(1,90)];```2. 进行卷积运算使用`conv`函数进行卷积运算，并绘制输入信号、冲激响应和输出信号的图形。

```matlab% 进行卷积运算y = conv(x, h);% 绘制图形figure;subplot(3,1,1);stem(n, x);title('输入信号 x[n]');subplot(3,1,2);stem(n, h);title('冲激响应 h[n]');subplot(3,1,3);stem(n, y);title('输出信号 y[n]');```3. 分析卷积结果分析卷积结果，观察输出信号的特性，并与理论预期进行对比。

§2.5卷积积分与卷积和( Convolution)
2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应
信号分解为冲激信号之和：
求和变积分
e(t) t1
e(t1 )
t1
e(t)
lim
t1 0
e(t1 )t1
t1
(t
t1 )
e( ) (t )d
t1 d t1
e(t1)t1 (t t1) e(t1)t1h(t t1)
f (t)
f1(1) (t) *
f2(1) (t)
d dt
f1 t *
t
f 2 ( )d
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
（1）与冲激函数卷积
1. f (t) * (t) (t) * f (t) ( ) f (t )d f (t)
某函数与冲激函数的卷积是其本身
2. f (t) * (t t0) (t t0) * f (t)
t
t
f1() * f2 ()d f1() * f2 ()d
t
f2 () * f1()d
类似地：对高阶导数和积分
f (t) f1(t) * f2(t)
则：
f
(i ) (t)
f1( j) (t) *
f
(i 2
j
)
(t)
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
r(t)
r(t
) lim t10 t1
e(t1)t1h(t t1)
r(t) e( )h(t )d
e(t)
lim
t1 0
e(t1)t1
t1
(t
t1)
卷积的物理含义图解：
k (t t1)

t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
卷积是在时域求解LTI系统对任意激励的零状态响应的好方法，可以避免直接求解复杂的微分方程。
从数学上来说卷积就是定义两个函数的一种乘法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。
在现实中,卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中.比如调制.这是频率卷
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
卷积的物理意义，解释的真幽默！
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。

卷积冲激响应零状态响应的关系在数字信号处理中，卷积是一种重要的运算方式，用于处理信号的线性系统。

而卷积的一组重要概念就是卷积响应、冲击响应和零状态响应。

本文将从这三方面来阐述它们之间的关系。

首先，我们需要明确卷积这个概念。

卷积就是对两个信号进行加权平均的过程，其中一个为原始信号，另一个为特定的函数，称为卷积核。

卷积核的重要作用是对原始信号进行变换，从而让我们能够从信号中提取出特定信息。

卷积过程可以表述为：（f*g)(n)=Σf(m)g(n-m)其中f和g代表两个原始信号，m和n代表信号的时间变量，*代表卷积操作。

接下来，我们来介绍冲击响应，也称为单位脉冲响应或卷积核响应。

冲击响应是指当输入信号为单位脉冲信号（即一个宽度极窄的信号）时，系统输出的响应信号。

由于单位脉冲信号中只有一个时间点有信号，其余时间都为0，因此冲击响应相当于系统对该时间点的响应值。

在数字信号处理中，我们通常用h(n)来表示该响应值。

最后，我们需要了解的是零状态响应。

零状态响应是指在没有输入信号的情况下，系统生成的响应信号。

此时，系统处于稳定状态，且其初始状态为零。

在离散时间下，我们通常用y(n)来表示该零状态响应。

那么，这三个概念之间有什么关系呢？其实它们都是在描述同一个系统的特性，只是分别从不同角度来衡量。

首先，我们可以将卷积响应分解为冲击响应的加权平均，即：h(n)=Σh(k) δ(n-k)其中δ(n)为单位脉冲信号。

也就是说，任何系统的卷积响应都可以分解为许多个单位脉冲信号所引起的响应的加权平均。

这种分解方式成为卷积定理。

另外，我们可以通过卷积操作来计算系统的零状态响应。

具体来说，如果我们知道系统的冲击响应和输入信号f(n)，那么系统的零状态响应y(n)可以由以下方程得到：y(n)=f(n)*h(n)综上所述，卷积响应、冲击响应和零状态响应是数字信号处理中非常重要的概念。

它们可以从不同的角度来描述同一个系统的特性。

我们需要深入理解它们之间的关系，才能更好地应用它们来处理信号。

滤波器的时域理解刚接触数字滤波器概念的时候，从频域理解是最直观的。

但是在很多时候，⽐如说⼤部分的教科书在描述数字滤波器的时候，往往是从时域描述开始的。

在时域来描述滤波器的⼯具是卷积。

卷积可以说是数字信号处理中最重要也最基本的概念之⼀了，但由于其更多依赖数学公式，因此也往往不易被理解。

要在时域理解滤波器的⼯作过程，其实质就是理解卷积的⼯作过程。

卷积的概念通常可以从两个⽅⾯来理解。

⼀是从输⼊信号的⾓度来看，卷积的过程相当于是把⼀个相对复杂的信号分解成多个单位冲激信号之和，输出则是多个单位冲激响应之和。

单位冲激信号是最简单的信号，每个信号都可以分解成不同幅度及不同延时的单位冲激信号之和，根据线性时不变系统的特征，不同幅度及不同延时的单位冲激信号其对应的系统响应是对应幅度及延时的单位冲激响应。

对这些不同幅度及延时的单位冲激响应求和即得到系统的输出，及卷积的结果。

这种思路的实质是将⼀个相对复杂的信号分解为相对简单的信号，再利⽤相对简单的信号其系统响应也相对简单的特点，在线性时不变系统的框架下，在输出端再重新相加得到最终的结果。

这种“分解——分析——叠加”的思路是数字信号处理最基本的思路之⼀。

卷积的另⼀种是从输出信号的⾓度看，每个输出信号是对输⼊信号乘以不同的权值，然后累加的结果。

我们通常的数学描述多是从这个⾓度来看的。

初学卷积概念的时候，很不好理解为什么要将⼀个信号翻转呢？实际上，从输⼊信号的⾓度看，对单位冲激响应的翻转是很⾃然的。

假定输⼊信号为x(m), m="0",1,…,M-1，单位冲激响应为h(n), n="0",1,…,N-1。

对x(0)来说，对输出端造成的系统响应是x(0)h(n)，即是说，x(0)造成的系统响应仅仅是对单位冲激响应乘上了⼀个幅度，这个幅度值为x(0)，响应的长度为N。

对x(1)来说，因为延迟了单位时间，因此除考虑幅度的影响外，还要考虑延时的影响，根据线性时不变系统的特性可知，此时的系统响应为x(1)h(n-1)。

1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
解：y f (t) f (t) h(t) f ( ) h(t )d = 3u( ) 2e3(t )u(t )d
= 0t 3 2e 3(t )d
0 2(1 e3t ) = 0 = 2(1 e3t )u(t)
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y(t)

yh (t)
yp (t)
Ae 2t

Be 4t

1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)

2A
3 4B

1

2
解得 A=5/2，B= 11/6
解得 K1= 6，K2= 5
yx (t) 6e2t 5e3t , t 0
[例2] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。
系统的初始状态为y(0) = 1，y' (0) = 3， 求系统的零输入响应yx(t)。

matlab 卷积法求解系统对激励信号的响应文章标题：深度解析：使用Matlab卷积法求解系统对激励信号的响应在工程学和数字信号处理领域，我们经常需要分析系统对输入信号的响应。

在Matlab中，使用卷积法可以方便地求解系统对激励信号的响应。

本文将深入探讨Matlab中卷积法的原理和应用，帮助读者更好地理解系统响应的求解过程。

一、卷积法的基本原理在Matlab中，卷积可以通过conv函数来实现。

卷积的基本原理是利用输入信号和系统的冲激响应进行卷积运算，从而得到系统对输入信号的响应。

具体而言，卷积可以表示为以下公式：y(t) = x(t) * h(t)其中，y(t)为系统对输入信号x(t)的响应，h(t)为系统的冲激响应。

在Matlab中，可以使用conv函数来进行卷积运算，其使用方法为y = conv(x, h)。

通过这一公式和函数，我们可以在Matlab中方便地求解系统对激励信号的响应。

二、卷积法在系统分析中的应用卷积法在系统分析中有着广泛的应用。

通过求解系统对激励信号的响应，我们可以确定系统的稳定性、频率特性和时域特性。

在实际工程中，通过分析系统的响应，我们可以对系统进行优化和改进，从而提高系统的性能和稳定性。

在Matlab中，利用卷积法求解系统响应是非常方便和高效的。

三、使用Matlab进行系统响应的求解在Matlab中，利用卷积法求解系统响应的过程可以分为以下几个步骤：1. 确定输入信号和系统的冲激响应。

首先需要确定输入信号x(t)和系统的冲激响应h(t)。

2. 利用conv函数进行卷积运算。

在Matlab中，可以使用conv函数进行卷积运算，即y = conv(x, h)。

3. 分析系统响应的时域特性。

通过卷积法求解得到的系统响应y(t)，我们可以进一步分析系统的时域特性，如波形、幅频特性等。

通过以上步骤，我们可以在Matlab中方便地求解系统对激励信号的响应，并分析系统的时域特性。

这对于工程领域的信号处理和系统分析具有重要的意义。

实验三系统的冲激响应和阶跃响应分析一、实验目的掌握系统的冲激响应和阶跃响应的概念及其时域求解方法二、原理说明在L TI系统的时域分析中，除了可以利用经典方法求解某些系统的零状态响应外，还可以利用卷积积分求解系统的零状态响应。

这就需要求解系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。

单位冲激响应h(t) 定义为系统初始状态为零，系统在冲激函数δ(t)作用下所产生的零状态响应.即h(t)=T[{0},δ(t)]其中T 为系统的变换算子。

而系统在任意激励f(t)作用下所形成的零状态响应Yf(t)=f(t)*h(t).单位冲激响应不仅在此有重要意义，而且对于描述系统的时域特性也有非常重要的意义。

单位阶跃响应g(t)定义为系统初始状态为零且在单位阶跃信号ε(t)作用下产生的零状态响应，即g(t)═ T[{0},ε(t)]。

二阶系统是工程中最常见的系统,在不同阻尼比ξ下，系统的阶跃响应不同。

三、预习要求单位冲激响应及阶跃响应的经典求解方法四、内容和步骤1. 二阶系统的传递函数为：2222)(nn n s s s H ωξωω++= 可用如下程序作出其单位阶跃响应和冲激响应波形曲线.(简单起见令n ω=1).参考程序一、CloseHold onzeta=[0.1 0.2 0.4 0.7 1.0];num=[1];t=0:0.01:12;for k=1:5den1=[1 2*zeta(k) 1];printsys (num,den1,’s’);[y1(:,k),x]=step(num,den1,t);den2=[1 zeta(k) 1];[y2(:,k),x]=impulse(num,den2,t);subplot(2,1,1),plot(t,y1(:,k));hold onsubplot(2,1,2),plot(t,y2(:,k));hold onend2. 自己构造一四阶以上连续系统系统函数,并求其阶跃响应和冲激响应波形.五、报告要求1.调试四1中程序,记录运行结果.2.用解析法求解步骤四1中系统的冲激响应和阶跃响应.3.若步骤四1中给定系统增加一个0 s处零点，系统时域特性有什么变化？4.写出步骤四1程序中各主要部分的功能5.分析系统时域响应波形，得出系统时域参数（上升时间和误差）永磁交流伺服电机位置反馈传感器检测相位与电机磁极相位的对齐方式2008-11-07 来源：internet 浏览：504主流的伺服电机位置反馈元件包括增量式编码器，绝对式编码器，正余弦编码器，旋转变压器等。

冲激响应和卷积分析(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验2离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析一、实验目的1 加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。

二、实验原理离散系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][输入信号分解为冲激信号：∑-=∞-∞=m m n m x n x ][][][δ记系统单位冲激响应 ： ][][n h n →δ则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。

在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数y=Conv(x,h)计算卷积。

二、实验内容编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。

(1): y [n ]+[n -1]+[n -2]=x [n ]-x [n -1](2)： y [n ]={x [n -1]+x [n -2]+x [n -3]+x [n -4]+x [n -5]}程序（1）：A=[1,,];B=[1,-1];x1=[1,zeros(1,10)];x2=ones(1,20);y1=filter(B,A,x1);subplot(2,2,1);stem(y1);title('y1单位冲击响应')y2=filter(B,A,x2);subplot(2,2,2);stem(y2);title('y2阶跃响应');y3=conv(x1,y1);subplot(2,2,3);stem(y3);title('y3卷积');y4=conv(x2,y1);subplot(2,2,4);stem(y4);title('y4卷积')程序（1）图程序（2）：A=[1];B=[0,,,,];x1=[1,zeros(1,10)];x2=ones(1,20);y1=filter(B,A,x1);subplot(2,2,1);stem(y1);title('y1单位冲击响应')y2=filter(B,A,x2);subplot(2,2,2);stem(y2);title('y2阶跃响应');y3=conv(x1,y1);subplot(2,2,3);stem(y3);title('y3卷积');y4=conv(x2,y1);subplot(2,2,4);stem(y4);title('y4卷积')程序（2）图三、理论计算：经计算：系统(1)： y[n]+[n-1]+[n-2]=x[n]-x[n-1]理论冲激响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：X[n]= δ(n)当n<0时，h(n)=0h(0)=1, h(1)=-7/4, h(2)=19/16, h(3)=-43/64 ..... ......h(z)=*.^n*u(n)- .^n*u(n)理论阶跃响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：X[n]=u(n)当n<0时，g(n)=0g(0)=1, g(1)=-3/4, g(2)=7/16, g(3)=-9/64.............g(z)=*.^n-.^n系统(2)： y[n]={x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]}同理，由递归方法可得：理论冲激响应为：h(z)=*[δ（n-1）+ δ（n-2）+ δ（n-3）+ δ（n-4]理论阶跃响应为： g(z)=*[u（n-1）+ u（n-2）+ u（n-3）+ u（n-4)]将n值分别代入理论式h(z)和g(z)，将结果与程序结果图比较可知理论与程序结果一致。

hu(t) = (t)，t = 0。即
hu(t) = (t) – R/L ·e – tR/L (t) V
i(t) uL(t)
+
+ L–
+
R
– (t)
– (t)
– R
uL(t) L +
i(t) R
电路分析基础——第二部分：9-4
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例9-9 试求下图所示电路中电感电流的 iL(t) 冲击响应。
解 根据冲击响应的定义，电感的初始电流为零相当于开路、 电容的初始电压为零相当于短路。因此在 t ≤ 0 冲击电流作用的 瞬间，电阻、电感没有作用。
C
–
例9-8 试求下图所示电路的电流及电感电压的冲击响应。
解 根据冲击响应的定义，电感的初始电流为零。因此在 t ≤ 0 时，电感相当于开路。冲击电压作用的瞬间，电阻没有作用。
i(t) uL(t)
+
+ L–
R
– (t)
+ – (t)
– R
uL(t) L +
i(t) R
电路分析基础——第二部分：9-4
e – t sin
dt
A，t
>
0
dK2
=
uC(0) L
=
1 LC
iL(t) = K1e s1t + K2e s2t ， t > 0
iL(0) = K1 + K2 = 0
i’L(0) = K1 s1 + K2 s2
=
uC(0) L
=
1 LC
K1 =
1 s2 – s1
s2 iL(0) –
uC(0) L
=
–

y(t) 1 f1(τ ) f2( t - ) τ y(3)
0 (e) t >3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1(t )和 f2 (t )的卷积积 分.
2
f1 (t ) f 2 (t )
3 4
2
0 2
2
f1 (τ )
t
0
2
f 2 ( τ )
3 4
t
解(1) )
2
0
2
τ -2
0
τ
(2) )
由前面分析知: 由前面分析知:
y zs (t ) = ∫ f (τ )h(t τ )dτ
0
tHale Waihona Puke = f (t ) h(t )
这是求解零状态响 应的另一种方法. 应的另一种方法
二,卷积的图示法
第一步, 波形,将波形图中的t轴 第一步,画出 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形,将波形图中的 轴 ) 改换成τ轴 的波形. 改换成 轴,分别得到 f1 ( τ) f 2 ( τ的波形. 和 第二步, 波形以纵轴为中心轴翻转180° 第二步,将 f 2 (τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°, 波形. 得到 f 2 ( τ)波形. 第三步,给定一个t值 波形沿τ轴平移 轴平移|t|. 第三步,给定一个 值,将 f 2 ( τ) 波形沿 轴平移 . 在t<0时, 波形往左移;在t>0时,波形 时 波形往左移; 时 往右移. 的波形. 往右移.这样就得到了 f 2 ( t τ) 的波形.
2
2
-1
0
t
f2 (t )
1
-1
0
1

f (n n1)* (n n2 ) (n n1)* f (n n2 ) f (n n1 n2 )
二、卷积和的图解说明

f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k )
卷积和的图解步骤：
k
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k), f2(k)--> f2(k) (2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k) (3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
h(n)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的
形式
（3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)

r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
3.1 卷积的性质 与图解 3.2 与冲激函数的卷积及其推广

n k
0 k n, h(n k) 0
0 k
n

r(n) e(k)u(k)h(n k)u(n k) k
n
e(k)h(n k) k 0
(2)任意两个序列的卷积和

f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k ) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)

e(k)h(n k) k
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列 r(n) e(n)* h(n) e(k)h(n k) k