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清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。
+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。
例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。
解f (t ) 分成两段表示。
1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。
补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。
在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。
本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。
§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。
本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。
单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。
若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。
单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。
例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。
它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。
在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。
2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。
冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。
冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。
3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。
阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。
阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。
三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。
对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。
具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。
这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。
一、实验目的通过本次实验，加深对卷积算法的理解，掌握离散时间系统中的卷积运算方法，并学会使用MATLAB进行卷积运算的仿真。
二、实验原理卷积是一种线性时不变（LTI）系统的数学运算，用于描述系统输入信号与系统冲激响应的卷积结果。
在离散时间系统中，卷积运算可以表示为：\[ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] \]其中，\( y[n] \) 是系统的输出信号，\( x[k] \) 是系统的输入信号，\( h[n] \) 是系统的冲激响应，\( n \) 是时间变量。
MATLAB提供了`conv`函数来进行卷积运算，其语法为：\[ y = conv(x, h) \]其中，\( x \) 和 \( h \) 分别是输入信号和冲激响应的向量。
三、实验内容1. 创建输入信号和冲激响应使用MATLAB创建一个简单的输入信号 \( x[n] \) 和一个冲激响应 \( h[n] \)。
```matlab% 创建输入信号 x[n] = cos(2pi0.5n)n = 0:100;x = cos(2pi0.5n);% 创建冲激响应 h[n] = u[n] - u[n-10]h = [ones(1,10), zeros(1,90)];```2. 进行卷积运算使用`conv`函数进行卷积运算，并绘制输入信号、冲激响应和输出信号的图形。
```matlab% 进行卷积运算y = conv(x, h);% 绘制图形figure;subplot(3,1,1);stem(n, x);title('输入信号 x[n]');subplot(3,1,2);stem(n, h);title('冲激响应 h[n]');subplot(3,1,3);stem(n, y);title('输出信号 y[n]');```3. 分析卷积结果分析卷积结果，观察输出信号的特性，并与理论预期进行对比。
卷积冲激响应零状态响应的关系在数字信号处理中，卷积是一种重要的运算方式，用于处理信号的线性系统。
而卷积的一组重要概念就是卷积响应、冲击响应和零状态响应。
本文将从这三方面来阐述它们之间的关系。
首先，我们需要明确卷积这个概念。
卷积就是对两个信号进行加权平均的过程，其中一个为原始信号，另一个为特定的函数，称为卷积核。
卷积核的重要作用是对原始信号进行变换，从而让我们能够从信号中提取出特定信息。
卷积过程可以表述为：（f*g)(n)=Σf(m)g(n-m)其中f和g代表两个原始信号，m和n代表信号的时间变量，*代表卷积操作。
接下来，我们来介绍冲击响应，也称为单位脉冲响应或卷积核响应。
冲击响应是指当输入信号为单位脉冲信号（即一个宽度极窄的信号）时，系统输出的响应信号。
由于单位脉冲信号中只有一个时间点有信号，其余时间都为0，因此冲击响应相当于系统对该时间点的响应值。
在数字信号处理中，我们通常用h(n)来表示该响应值。
最后，我们需要了解的是零状态响应。
零状态响应是指在没有输入信号的情况下，系统生成的响应信号。
此时，系统处于稳定状态，且其初始状态为零。
在离散时间下，我们通常用y(n)来表示该零状态响应。
那么，这三个概念之间有什么关系呢？其实它们都是在描述同一个系统的特性，只是分别从不同角度来衡量。
首先，我们可以将卷积响应分解为冲击响应的加权平均，即：h(n)=Σh(k) δ(n-k)其中δ(n)为单位脉冲信号。
也就是说，任何系统的卷积响应都可以分解为许多个单位脉冲信号所引起的响应的加权平均。
这种分解方式成为卷积定理。
另外，我们可以通过卷积操作来计算系统的零状态响应。
具体来说，如果我们知道系统的冲击响应和输入信号f(n)，那么系统的零状态响应y(n)可以由以下方程得到：y(n)=f(n)*h(n)综上所述，卷积响应、冲击响应和零状态响应是数字信号处理中非常重要的概念。
它们可以从不同的角度来描述同一个系统的特性。
我们需要深入理解它们之间的关系，才能更好地应用它们来处理信号。
滤波器的时域理解刚接触数字滤波器概念的时候，从频域理解是最直观的。
但是在很多时候，⽐如说⼤部分的教科书在描述数字滤波器的时候，往往是从时域描述开始的。
在时域来描述滤波器的⼯具是卷积。
卷积可以说是数字信号处理中最重要也最基本的概念之⼀了，但由于其更多依赖数学公式，因此也往往不易被理解。
要在时域理解滤波器的⼯作过程，其实质就是理解卷积的⼯作过程。
卷积的概念通常可以从两个⽅⾯来理解。
⼀是从输⼊信号的⾓度来看，卷积的过程相当于是把⼀个相对复杂的信号分解成多个单位冲激信号之和，输出则是多个单位冲激响应之和。
单位冲激信号是最简单的信号，每个信号都可以分解成不同幅度及不同延时的单位冲激信号之和，根据线性时不变系统的特征，不同幅度及不同延时的单位冲激信号其对应的系统响应是对应幅度及延时的单位冲激响应。
对这些不同幅度及延时的单位冲激响应求和即得到系统的输出，及卷积的结果。
这种思路的实质是将⼀个相对复杂的信号分解为相对简单的信号，再利⽤相对简单的信号其系统响应也相对简单的特点，在线性时不变系统的框架下，在输出端再重新相加得到最终的结果。
这种“分解——分析——叠加”的思路是数字信号处理最基本的思路之⼀。
卷积的另⼀种是从输出信号的⾓度看，每个输出信号是对输⼊信号乘以不同的权值，然后累加的结果。
我们通常的数学描述多是从这个⾓度来看的。
初学卷积概念的时候，很不好理解为什么要将⼀个信号翻转呢？实际上，从输⼊信号的⾓度看，对单位冲激响应的翻转是很⾃然的。
假定输⼊信号为x(m), m="0",1,…,M-1，单位冲激响应为h(n), n="0",1,…,N-1。
对x(0)来说，对输出端造成的系统响应是x(0)h(n)，即是说，x(0)造成的系统响应仅仅是对单位冲激响应乘上了⼀个幅度，这个幅度值为x(0)，响应的长度为N。
对x(1)来说，因为延迟了单位时间，因此除考虑幅度的影响外，还要考虑延时的影响，根据线性时不变系统的特性可知，此时的系统响应为x(1)h(n-1)。
实验2离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析
一、实验目的
1 加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。
二、实验原理
离散系统
其输入、输出关系可用以下差分方程描述：
∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][ 输入信号分解为冲激信号：∑-=∞-∞
=m m n m x n x ][][][δ
记系统单位冲激响应 ： ][][n h n →δ
则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞-∞=-=
*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数
y=Conv(x,h)计算卷积。
二、实验内容
编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。
(1): y [n ]+0.75y [n -1]+0.125y [n -2]=x [n ]-x [n -1]
(2)： y [n ]=0.25{x [n -1]+x [n -2]+x [n -3]+x [n -4]+x [n -5]}
程序（1）：
A=[1,0.75,0.125];
B=[1,-1];
x1=[1,zeros(1,10)];
x2=ones(1,20);
y1=filter(B,A,x1);
subplot(2,2,1);
stem(y1);
title('y1单位冲击响应')
y2=filter(B,A,x2);
subplot(2,2,2);
stem(y2);
title('y2阶跃响应');
y3=conv(x1,y1);
subplot(2,2,3);
stem(y3);
title('y3卷积');
y4=conv(x2,y1);
subplot(2,2,4);
stem(y4);
title('y4卷积')
程序（1）图
程序（2）：
A=[1];
B=[0,0.25,0.25,0.25,0.25];
x1=[1,zeros(1,10)];
x2=ones(1,20);
y1=filter(B,A,x1);
subplot(2,2,1);
stem(y1);
title('y1单位冲击响应')
y2=filter(B,A,x2);
subplot(2,2,2);
stem(y2);
title('y2阶跃响应');
y3=conv(x1,y1);
subplot(2,2,3);
stem(y3);
title('y3卷积');
y4=conv(x2,y1);
subplot(2,2,4);
stem(y4);
title('y4卷积')
程序（2）图
三、理论计算：
经计算：
系统(1)： y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]
理论冲激响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：
X[n]= δ(n)
当n<0时，h(n)=0
h(0)=1, h(1)=-7/4, h(2)=19/16, h(3)=-43/64 ..... ......
h(z)=7.5*(-0.5).^n*u(n)- (-0.25).^n*u(n)
理论阶跃响应为：因为y[n]为因果函数，由递归计算所得：
X[n]=u(n)
当n<0时，g(n)=0
g(0)=1, g(1)=-3/4, g(2)=7/16, g(3)=-9/64......
.......
g(z)=1.5*(-0.5).^n-(-0.25).^n
系统(2)：y[n]=0.25{x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]}
同理，由递归方法可得：
理论冲激响应为：h(z)=0.25*[δ（n-1）+ δ（n-2）+ δ（n-3）+ δ（n-4]
理论阶跃响应为：g(z)=0.25*[u（n-1）+ u（n-2）+ u（n-3）+ u（n-4)]
将n值分别代入理论式h(z)和g(z)，将结果与程序结果图比较可知理论与程序结果一致。
四、实验小结
通过这次实验，基本学会了用MATLAB软件编程求离散系统的单位脉冲响应和单位冲击响应，对解离散系统差分方程有了进一步学习。
