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第三章_LSI系统的时域分析和信号卷积

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第3章离散系统的时域分析ppt课件

第3章离散系统的时域分析ppt课件

3.1.1离散时间信号 连续系统的激励和响应都是连续时间信号,它们是
连续变量t的函数,离散系统的激励与响应都是离散时间 信号,表示这种信号的函数,只在一系列互相分离的时间 点上才有定义,而在其它点上则未定义,所以它们是离散 变量tk的函数〔或称序列〕.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
行取样.进行取样的取样器一般由电子开关组成.其工作 原理如图3.2所示.
x(t)
y(t)
T
x(t) 脉冲 y(t) 调制
p(t)
《 信号与线性系统》
图3.2 取样原理图
第3章 离散系统的时域分析
x (t)
p (t)
T
y (t)
(a ) t
(b ) t
(c ) t
图 3.3 信号的取样 <a>连续信号x<t>波形；<b>取样脉冲p<t>波形；<c>取样信号y<t> 波形
=sin<n ω0 ＋2kπ>
=sin<n ω0 >=x<n>
所以,x<n>=sin<n ω0 >是一个周期序列.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
3.3 离散时间系统的描述和响应
3.3.1 离散时间系统的描述 离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函
数〔序列〕.这种系统的工作情况,不能用连续时间系统 的微分方程来描述,而必须采用差分方程来描述.
y<2>=1,y<3>=2,y<4>=3,y<5>=5,…
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
信号与线性系统分析第三章

信号与线性系统分析第三章


系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
信号与系统第三章

信号与系统第三章

例3.1-2 描述一阶LTI系统的常系数微分方程如 式（3.1-3）所示
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
第三章 LSI系统的时域分析和信号卷积

第三章 LSI系统的时域分析和信号卷积

1.将 x(n) 和 h(n) 的自变量换 成 k;
h( k
) x(k )
-1 1 n -1
1 0 1 0 1 2 1 2
…
k
…
k
2.将 h(k) 翻转并右移 n 得到
h(n-k)； 3.将 x(k) 和 h(n-k) 相乘得到
…
h(n-k), n≥0
h(n-k), n<0
0 1 2 1 -1 0 1 -1 1 n k k
这一性质表明，一方面，若干个 LSI 系统级联的系统仍是一个
LSI 系统，总系统的单位单位冲激响应等于级联的所有 LSI 系 统的单位冲激响应的逐次卷积。另一方面，任意改变 LSI 系统
级联的先后次序是无关紧要的。
2. LSI系统的卷积及性质
分配律
x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
如果能够找到一类基本信号 ϕ(t) 或 ϕ(n)，它满足： 用它们能构成相当广泛的信号； LSI系统对每个 ϕ(t) 或 ϕ(n) 的响应十分简单。 则系统对任意输入信号的响应将会具有一个简单的表达式。 单位冲激信号 δ(t) 或 δ(n)、复正弦信号 ejΩt 或 ejωt、复指数信号 est 和 zn 同时具有上述两个性质。 如果 ϕ(n) 为单位冲激信号，即为时域分析方法。
x(n) B

n
h( n )
kh(k ) x(n k ) h(k ) x(n k ) B h(k )
k

3. 卷积的收敛和周期卷积


-T
0
T
t
2. LSI系统的卷积及性质
数字信号处理 实验作业：离散LSI系统的时域分析

数字信号处理 实验作业：离散LSI系统的时域分析

实验2 离散LSI 系统的时域分析一、.实验目的：1、加深对离散系统的差分方程、单位脉冲响应、单位阶跃响应和卷积分析方法的理解。

2、初步了解用MA TLAB 语言进行离散时间系统时域分析的基本方法。

3、掌握求解离散时间系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、线性卷积以及差分方程的程序的编写方法，了解常用子函数的调用格式。

二、实验原理：1、离散LSI 系统的响应与激励由离散时间系统的时域分析方法可知，一个离散LSI 系统的响应与激励可以用如下框图表示：其输入、输出关系可用以下差分方程描述：[][]NMkk k k ay n k b x n m ==-=-∑∑2、用函数impz 和dstep 求解离散系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

例2-1 已知描述某因果系统的差分方程为6y(n)+2y(n-2)=x(n)+3x(n-1)+3x(n-2)+x(n-3) 满足初始条件y(-1)=0，x(-1)=0，求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

解： 将y(n)项的系数a 0进行归一化，得到y(n)+1/3y(n-2)=1/6x(n)+1/2x(n-1)+1/2x(n-2)+1/6x(n-3)分析上式可知，这是一个3阶系统，列出其b k 和a k 系数： a 0=1， a ,1=0， a ,2=1/3， a ,3=0 b 0=1/6，b ,1=1/2， b ,2=1/2， b ,3=1/6程序清单如下： a=[1,0,1/3,0]; b=[1/6,1/2,1/2,1/6]; N=32; n=0:N-1; hn=impz(b,a,n); gn=dstep(b,a,n);subplot(1,2,1);stem(n,hn,'k');课程名称 数字信号处理 实验成绩 指导教师 ***实 验 报 告院系 班级学号 姓名 日期title('系统的单位序列响应'); ylabel('h(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(hn),1.1*max(hn)]); subplot(1,2,2);stem(n,gn,'k'); title('系统的单位阶跃响应'); ylabel('g(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(gn),1.1*max(gn)]); 程序运行结果如图2-1所示：102030系统的单位序列响应h (n )n1020300.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2系统的单位阶跃响应g (n )n图2-13、用函数filtic 和filter 求解离散系统的单位序列响应和单位阶跃响应。

信号与线性系统分析--第三章

信号与线性系统分析--第三章

信号与线性系统分析
第三章 离散系统的时域分析
本章概述
离散时间域的方程求解
连续时间域 时间函数 微分方程 卷积积分 离散时间域 离散序列 差分方程 卷积求和
求解方法
迭代法 经典法 卷积法
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号
f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外 对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数 的波形一般具有平滑曲线的形状，一般也称模拟 信号
f (n) .... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) ...
i
f (i) (n i)
f(k ) f(2) f(-1) f(1) f(0) … 1 2 i f(i) … k

可推出：离散系统的零状态响应
y zs (n)
m
f (m) (n m)

单位阶跃序列
与阶跃函数的不同？
延时的单位阶跃序列
用单位样值序列来表示
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
( n) u(n) u( n 1)
题目中 y0 y1 0 ,是激励加上以后的,不是初始状 态,需迭代求出 y 1, y 2 。
n 1 y1 3 y0 2 y 1 2u 1 2 u 0
0
0 0 2 y1 2 1 1
1 y 1 2
n0
y0 3 y 1 2 y 2 2 u 0 2 u 1
0 1
0 3 y 1 2 y 2 1
y 2 5 4
将初始状态代入方程求系数
93第3章系统的时域分析(全)课件

93第3章系统的时域分析(全)课件


f (t) h(t)
f ( ) h(t )d
=
3u
(
)
2e3(t
)u
(t
)d
=
t 3 2e-3(t- )d
0
0
2(1 e3t ) =
0
t0 t0 t0 t0
= 2(1 e3t )u(t)
§3.3 连续系统的冲激响应
单位冲激响应：零状态下, f(t)=δ(t)的响应，简称冲激响应 h(t)
齐次方程
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y (t) a0 y(t) 0
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y (t) a0 y(t) 0
齐次解yh(t)的形式
sn an1sn1 a1s a0 0
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
h(t) ce3tu(t)
??：dh(t) 3h(t) d (t) (t)
dt
dt
② n=m时，有
h(t) c(t) n cieit u(t)
i1
③ n<m时，h(t)中还包含冲激函数的导数。
例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为
dy(t) 3y(t) 2 f (t), t 0 dt
2. yf (t)：初始状态为零，仅由f(t)产生的响应
f (t)
卷积法
f (kD)
δ(t)
系统 h(t)
D 0 D 2D
kD (k 1)D
连续信号表示为冲激信号的迭加
(t ) h(t )
t
f ( ) (t ) f ( )h(t )
f (t) f ( ) (t )d
y f (t)
f(t) f1(t) f2(t) f1()f2(t )d
信号与系统教案第3章

信号与系统教案第3章


k [C cos(k ) D sin( k )] A k cos(k 0 )
（4）当λ为r重共轭复根时，齐次解形式为：
k [ Ar 1k r 1 cos(k r 1 ) Ar 2 k r 2 cos(k r 2 ) A0 cos(k 0 )]
例2：若描述某系统的差分方程为
6y(k) - 5y(k – 1) + y(k – 2) = f (k)
初始条件 y(0)=0，y(1)= 1；激励f (k)=10cos(0.5πk)，k≥0。 求方程的全解。 解： 特征方程为 特征根 齐次解为 特解为 6λ2 -5λ+ 1 = 0 λ1=1/2，λ2= 1/3， yh (k)= C1(1/2)k +C2 (1/3)k yp(k) = Pcos(0.5πk ) + Qsin(0.5πk )，k≥0 P = Q =1 得特解： yp(k) = cos(0.5πk ) + sin(0.5πk )，k≥0
②当a是r重特征根时， yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak （3）激励 f (k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于 e±jβ : yp(k) = P cos(βk) + Q sin(βk)
特解yp(k):
f (k ) km
yp (k )
Pm k m Pm 1 k m 1 P1 k P0 k r Pm k m Pm 1 k m 1 P1k P0
若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
例：若描述某系统的差分方程为
y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f (k) 初始条件y(0)=0，y(1)=2，激励 f (k)= 2kε(k)，求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + 2kε(k) y(2) = – 3y(1) – 2y(0) + f (2) = -2 y(3) = – 3y(2) – 2y(1) + f (3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。
信号与系统第4讲卷积与LTI系统的时域分析

信号与系统第4讲卷积与LTI系统的时域分析


x
ht
d
x(t) * h(t) x( )h(t )d
卷积积分
单位冲激响应可以唯一地确定LTI系统的特性
单位脉冲函数的筛选性质
xn n x0 n
x[n]
xn n k xk n k
xn n k xk n k
k
k
xn xk n k k
单位脉冲响应与卷积和
[n] h[n]
y[n] 4 nk n4 7 , 6 n 10
k n6
1
y[n] 0, n 10
内容提要
➢ 从筛选性质到LTI系统的时域分析 ➢ 卷积的运算性质 ➢ LTI系统的基本性质
交换律
➢ 数学描述
yt xt*ht ht* xt yn xn*hn hn* xn
➢ 物理意义
xt
ht
➢ 例2. 求以下两个信号的卷积：
1, 0 n 4 x[n] 0, else
n , 0 n 6
h[n] 0, else
y[n] 0, n 0
y[n] n nk 1 n1 , 0 n 4
k 0
1
y[n] 4 nk n4 n1 , 4 n 6
k 0
1
卷积和
单位脉冲响应可以唯一地确定LTI系统的特性
筛选性质
x(t) x( ) (t )d x(t)* (t)
xn xk n k x[n]*[n] k
任何信号与单位冲激/单位脉冲信号的卷积仍 等于该信号本身
恒等系统满足：hn [n] h(t) (t)
几种重要系统的冲激/脉冲响应
yn xn*hn yn yn 1 xn xn 1*hn
➢ 积分/求和性质
xn*hn hn 1
信号的时域分解和卷积积分

信号的时域分解和卷积积分


一、三角函数形式的傅利叶级数
这种正交函数集为：
{1, cos Ωt,sin Ωt, cos 2Ωt,sin 2Ωt,..., cos kΩt,sin kΩt,...}
其中： Ω =
2π T
= 2π t2 − t1
或将正交函数集表示为：
{cos(nΩt),sin(nΩt) n = 0,1,2,...}
显然，如果知道了标准矢量 Ai 和响应的 系数 ci ，就可以确定任意矢量。
如何确定最佳的系数 ci ？情况比较复杂， 对于特定的 i 而言，ci 不仅与特定的 Ai 有
关，与其它的标准矢量也有关系。但是如
果矢量 Ai 两两正交，可以证明：
ci
=
AiA AiAi
4、标准矢量基的几个限制条件： 1）归一化：标准矢量的模等于 1——方便计算 2）正交化：标准矢量两两正交 3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量
c1
=
A1A A1A1
其中的 c1 称为矢量 A 和 A1 的相似系数。如果 c1 = 0（或 A1A = 0 ），则表明 A 和 A1 相垂直（又
称为正交）。
2） 矢量的多矢量基分解：
将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组 合：
n
∑ A = c1A1 + c2A2 + ... + cnAn = ciAi i =1
1非周期信号的ft2周期信号的ft3周期信号的傅利叶级数对照傅利叶级数和傅利叶变换的定义可以得引入奇异函数后很多原来不存在ft的函数也可以有ft我们称之为广义傅利叶变换
第三章 信号的时域分解
§3-1 引 言 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简 单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响 应求解系统对复杂信号的响应。 在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信 号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出 系统对信号的响应。而在频域法中，我们将信号 分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统 对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。 频域在工程中也有很重要的意义。很多信号 的特性与频域都有很重要的关系。研究频域可以 得到很多具有实用价值的结论。
[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应

[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应


2、冲激平衡法 求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
求解系统的零状态响应yzs (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。
2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合
2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 —— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意 信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs (t) 。
?线性时不变系统的描述及特点?连续时间lti系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质?离散时间lti系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质?冲激响应表示的系统特性第第3章系统的时域分析lti系统分析方法概述一系统理论中的主要问题
§3.1 线性时不变系统的描述及特点
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
解
1 电阻 iR t vt R
iR
iL
L C
电感
d vt 电容 iC t C dt iR t iL t iC t iS t 根据KCL
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1

数字信号处理 实验作业：离散LSI系统的时域分析

实验2 离散LSI 系统的时域分析一、.实验目的：1、加深对离散系统的差分方程、单位脉冲响应、单位阶跃响应和卷积分析方法的理解。

2、初步了解用MA TLAB 语言进行离散时间系统时域分析的基本方法。

3、掌握求解离散时间系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、线性卷积以及差分方程的程序的编写方法，了解常用子函数的调用格式。

二、实验原理：1、离散LSI 系统的响应与激励由离散时间系统的时域分析方法可知，一个离散LSI 系统的响应与激励可以用如下框图表示：其输入、输出关系可用以下差分方程描述：[][]NMkk k k ay n k b x n m ==-=-∑∑2、用函数impz 和dstep 求解离散系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

例2-1 已知描述某因果系统的差分方程为6y(n)+2y(n-2)=x(n)+3x(n-1)+3x(n-2)+x(n-3) 满足初始条件y(-1)=0，x(-1)=0，求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

解： 将y(n)项的系数a 0进行归一化，得到y(n)+1/3y(n-2)=1/6x(n)+1/2x(n-1)+1/2x(n-2)+1/6x(n-3)分析上式可知，这是一个3阶系统，列出其b k 和a k 系数： a 0=1， a ,1=0， a ,2=1/3， a ,3=0 b 0=1/6，b ,1=1/2， b ,2=1/2， b ,3=1/6程序清单如下： a=[1,0,1/3,0]; b=[1/6,1/2,1/2,1/6]; N=32; n=0:N-1; hn=impz(b,a,n); gn=dstep(b,a,n);subplot(1,2,1);stem(n,hn,'k');课程名称 数字信号处理 实验成绩 指导教师 ***实 验 报 告院系 班级学号 姓名 日期title('系统的单位序列响应'); ylabel('h(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(hn),1.1*max(hn)]); subplot(1,2,2);stem(n,gn,'k'); title('系统的单位阶跃响应'); ylabel('g(n)');xlabel('n');axis([0,N,1.1*min(gn),1.1*max(gn)]); 程序运行结果如图2-1所示：102030系统的单位序列响应h (n )n1020300.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2系统的单位阶跃响应g (n )n图2-13、用函数filtic 和filter 求解离散系统的单位序列响应和单位阶跃响应。

第3章-时域分析法lj


④假如高阶系统中距虚轴最近的极点的实部绝对值仅为其他极 点的1/5或更小，并且附近又没有闭环零点，则可以认为系统的 响应主要由该极点（或共轭复数极点）来决定。
3.5 系统的稳定性分析
3.5.1 系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件
所谓稳定性，是指系统受到扰动作用后偏离原来的平衡状态， 在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否恢复到原来的平衡 状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。
特征方程式的根为
要使系统稳定，特征方程式的根必须有负实部。因此二阶系 统稳定的充分必要条件是：
（3.26）
3.5.2 劳斯判据
（1）首先列出系统特征方程式
（2）根据特征方程式列出劳斯数组表 （3）根据劳斯表中第一列各元素的符号，用劳斯判据来判 断系统的稳定性。劳斯判据的内容如下：
①如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征 方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定
暂态性能
在本章中，时域中评价系统的暂态性能，通常以系 统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据。
图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应
暂态性能指标（1） 1)延迟时间td ：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 2)上升时间tr ：响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短， 响应速度越快。对于有振荡的系统，单位阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所 需的时间为上升时间。 3)峰值时间tp ：阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。
（3.6）
图3.5 单位阶跃输入信号下的暂态响应
稳态性能
稳态误差ess ：
在图3.5所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表示。
定义：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即

信号与系统第三版课后习题答案

信号与系统第三版课后习题答案信号与系统第三版课后习题答案信号与系统是电子信息类专业中一门重要的基础课程，它是研究信号的产生、传输、处理和识别的学科。

在学习这门课程时，课后习题是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高解决问题的能力。

下面是信号与系统第三版课后习题的答案。

第一章：信号与系统的基本概念1. 信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的物理量。

系统是指能够对输入信号进行处理并产生输出信号的物理设备或数学模型。

2. 连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号，可以用连续函数表示。

离散时间信号是在离散时间范围内定义的信号，可以用数列表示。

3. 周期信号是指在一定时间间隔内重复出现的信号，具有周期性。

非周期信号是指不具有周期性的信号。

4. 奇对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=-f(-t)。

偶对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=f(-t)。

5. 系统的线性性质是指系统满足叠加原理，即对于输入信号的线性组合，输出信号也是这些输入信号的线性组合。

6. 系统的时不变性质是指系统对于不同时间的输入信号，输出信号的特性是不变的。

7. 系统的因果性质是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号，而不依赖于未来的输入信号。

第二章：连续时间信号与系统的时域分析1. 奇偶分解是将一个信号分解为奇对称和偶对称两个部分的过程。

奇偶分解的目的是简化信号的处理和分析。

2. 卷积是信号处理中常用的一种操作，它描述了两个信号之间的相互作用。

卷积的定义为：y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ。

3. 系统的冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。

冲激响应可以用来描述系统的特性和性能。

4. 系统的单位阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。

单位阶跃响应可以用来描述系统的稳定性和响应速度。

5. 系统的单位斜坡响应是指系统对于单位斜坡信号的输出响应。

单位斜坡响应可以用来描述系统的积分特性。

第3章 LTI系统的时域分析和信号卷积


3.2 时移单位冲激线性组合的信号表示法(续)
上述求和的极限就成为如下 的一个积分
( x t)
-D 0
x (t )
x (t ) x( ) (t )d
D
t
这就是用时移单位冲激函数 的一个连续的线性组合来表 示任何处处连续的有界信号 x(t ) 的表示法。 例如： u (t ) 和单边指数信号
●
{e st }和{z n }，由此导出 LTI 系统的复频域分析方法。
3.2 时移单位冲激的线性组合的信号表示法
本节分别导出用δ(t)和δ[n]能构成任意的连续时间和离 散时间信号的表达式。下面先看离散时间的情况： x[n] 从右图可以写出
x[ n] x[ 2] [ n 2] + x[-1]d[n + 1] + x[0]d[n]
这表明 LTI 系统的响应可以分别用与x(t)和x[n]相同的线 性组合形式构造出来。
3.1 引 言(续)
由此可以得到启示：如果能找到称为基信号或基函数的基本 信号 i (t ) 或 i [ n]， 它们具有如下两个性质： (1) 用它们能线性组合成相当广泛的连续时间和离散时间信号; (2) LTI 系统对它们的响应结构上又十分简单，使得 LTI 系统 对任意输入信号的响应有一个简便的表达式。 这就是基于充分利用 LTI 系统的良好特性，获得简便有效的 系统分析方法的基本思路。 遵循这样的思路，前人找到了几类同时满足这两个性质的基 信号或基函数，以及相应的 LTI 系统分析方法： ● δ(t)派生的奇异函数及其离散时间对偶δ[n]、u[n]等， 由它们导出了分析 LTI 系统的卷积方法； {e jt } 和 {e j n }，由此导出了LTI 系统的频域分析方法； ●

信号与系统的时域分析

信号与系统的时域分析信号与系统是电子信息类专业中的重要基础课程，它涉及到信号的产生、传输和处理以及系统的特性和行为。

在学习信号与系统的过程中，时域分析是其中一个必不可少的内容，它可以帮助我们理解信号与系统的性质和特点。

本文将围绕信号与系统的时域分析展开，介绍其基本概念、常用方法和应用。

一、时域分析的基本概念时域分析是指通过对信号在时间上的特性进行观察和分析，从而获取有关信号的信息。

在时域分析中，我们通常关注信号的幅度、频率、周期性以及与时间的变化关系等方面。

1.1 信号的时域表示信号可以用函数来表示，通常使用时间作为自变量，信号的值作为因变量。

在时域分析中，我们将信号表示为一个函数s(t)，其中t表示时间，s(t)表示信号在不同时间点的幅度。

1.2 时域分析的基本操作时域分析的基本操作主要包括时域加减、时域乘除以及时域平移等。

时域加减是指将两个信号的对应时间点的幅度相加或相减；时域乘除是指将两个信号的对应时间点的幅度相乘或相除；时域平移是指将信号在时间轴上进行移动。

二、时域分析的常用方法时域分析的常用方法主要包括信号的能量和功率分析、信号的平均值和方均根分析、信号的自相关和互相关分析等。

2.1 信号的能量和功率分析信号的能量表示信号在时间上的总体大小，通常使用E表示。

信号的功率表示信号在时间上的变化情况，通常使用P表示。

能量和功率是信号的两个重要特征，通过对信号进行能量和功率分析，我们可以了解信号的强度和稳定性。

2.2 信号的平均值和方均根分析信号的平均值表示信号在一段时间内的平均大小，通常使用μ表示。

信号的方均根表示信号在一段时间内的均方根值，通常使用RMS表示。

通过对信号进行平均值和方均根分析，我们可以获得信号的直流成分和有效值。

2.3 信号的自相关和互相关分析信号的自相关分析是指将信号与自身进行相关计算，可以用来判断信号的周期性和重复性。

信号的互相关分析是指将两个不同的信号进行相关计算，可以用来判断信号的相关程度和相似性。

LTI系统的时域分析和信号卷积

LTI系统的时域分析和信号卷积
LTI系统对信号的响应
将信号表示成一类基本信号的线性组合， 满足
由这类基本信号能构成相当广泛的信号 LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上应
十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一 个很方便的表达式
例：δ(t)、δ[n]及其派生 例：复指数信号



n
n
n
(x[k]h[k]) x[n]( h[k]) ( x[k]) h[n]
k
k
k
卷积的性质及其在LTI系统分析中的作用
卷积运算与相关函数之间的关系和匹配滤 波器
Rxg (t) x(t) g*(t) Rxg[n] x[n] g*[n]
n m1
mk 1
x[n]h[n] k{x[n]} h[mk ] x[mk ] k{h[n]}
m1 m2mk m1 m2mk
k次
k次
奇异信号及其在信号与系统理论和方法中的 作用
δ(t)及其派生的一类奇异函数及其离散时间 对偶都可以作为分析连续和离散时间系统 的基本信号
y[n] x[n] s[n] (x[k] x[k 1])s[n k]
k
LTI系统的单位阶跃响应
与单位冲激响应起着相同的作用
系统全部功能和特性的充分表征 体现LTI系统的各种属性 可表征LTI系统的三种互联
与单位冲激响应的关系
t
s(t) u(t) h(t) h( )d h(t) s' (t)
卷积积分的微分及卷积和的差分性质
d [x(t) h(t)] x(t) [ d h(t)] [ d x(t)] h(t)
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2. LSI系统的卷积及性质
卷积的计算方法：
图解法 解析法
习题：已知某离散时间LSI系统的输入 x(n) 和单位冲激响应 h(n)
分别为
x(n) a nu (n), 0 a 1 h(n) u (n)
求系统输出 y(n)，并画出它的序列图形。
2. LSI系统的卷积及性质
计算步骤：
电器信息工程学院 蔡超峰
引言
如果某个 LSI 系统对离散时间信号 ϕ(n) 的响应为 φ(n)，则基于 时不变性有：
(n k ) (n k )
LSI
再根据 LSI 系统的线性性质，系统对输入
x(n) ak (n k )
k
的响应为：
y(n) ak (n k )
这一性质表明，若干个 LSI 系统的并联系统仍是 LSI 系统，它 的单位冲激响应是各个并联的 LSI 系统单位冲激响应的代数和。 时移性质 若有 x(t ) h(t ) y(t ) ，则
x(t t0 ) h(t ) x(t ) h(t t0 ) y(t t0 )
这一性质表明，一方面，若干个 LSI 系统级联的系统仍是一个
LSI 系统，总系统的单位单位冲激响应等于级联的所有 LSI 系 统的单位冲激响应的逐次卷积。另一方面，任意改变 LSI 系统
级联的先后次序是无关紧要的。
2. LSI系统的卷积及性质
分配律
x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
t T / 2 t T / 2 d u (t T ) d u (t ) T / 2 T / 2 t T / 2 t T / 2 d u ( t ) T / 2 T / 2 d u (t T ) (t T )u (t T ) 2tu (t ) (t T )u (t T )
4. 对所有的你重复上述2-4
的步骤。
1 a n 1 , n0 y ( n) 1 a 0, n 0
x(k)h(n-k), n≥0
0
1 -1
1
n
k
y(n)
…
0
1
n
2. LSI系统的卷积及性质
习题：假定 x(t) 和 h(t) 均为矩形脉冲信号，试求 y(t)= x(t)*h(t)
解答： 由定义，将 x(n) 换成 δ(n)
h(n) b(0) (n) b(1) (n 1) b(2) (n 2)
所以
b(0), b(1), h( n) b(2), 0, n0 n 1 n2 Otherwise
此类系统称为有限冲激响应（Finite Impulse Response, FIR）系统。
a n , n 0 h( n) 0, n 0
此类系统称为无限冲激响应（Infinite Impulse Response, IIR）系统。
1. 单位冲激响应
习题2：求系统
y ( n) b( k ) x ( n k )
k 0 2
的单位冲激响应。其中 b(0)、b(1) 、b(2) 为常数。
y (t ) x(t ) h(t )
y (t )



x( )h(t )d


x( ) d h(t ) d


如果参与卷积运算的两个信号或序列中一个是有界的，而另
外一个满足模可积或模可和，则它们的卷积积分与卷积和必定
收敛。
y(n) x(n) h(n)
x ( n)
k
x(k ) (n k )

假设 x(n) 是某离散 LSI 系统的一个输入信号，y(n) 是相应的输 出信号。
2. LSI系统的卷积及性质
假设该 LSI 系统的单位冲激响应为 h(n)，根据系统的时不变性 有： 再根据叠加性质有：
k
( n k ) h( n k )
如果 φ (n) 为复正弦信号和复指数信号，即为变换域分析方法。
第三章 LSI 系统的时域分析和信号卷积
1. 单位冲激响应
2.
3. 4.
LSI 系统的卷积及性质
卷积的收敛和周期卷积 单位冲激响应与 LSI 系统的特性之间的关系
1. 单位冲激响应
系统对冲激信号 δ(t)、δ(n) 的响应 h(t)、h(n)称为单位冲激响应。

u ( T / 2)u (t T / 2 )d u ( T / 2)u (t T / 2 )d


u ( T / 2)u (t T / 2 )d u ( T / 2)u (t T / 2 )d
2. LSI系统的卷积及性质
卷积积分的微分与积分性质：
d d d [ x(t ) h(t )] x(t ) [ h(t )] [ x(t )] h(t ) dt dt dt

t

[ x( ) h( )]d x(t ) [ h( )d ] [ x( )d ] h(t )
k
连续情况下与此类似。
引言
如果能够找到一类基本信号 ϕ(t) 或 ϕ(n)，它满足： 用它们能构成相当广泛的信号； LSI系统对每个 ϕ(t) 或 ϕ(n) 的响应十分简单。 则系统对任意输入信号的响应将会具有一个简单的表达式。 单位冲激信号 δ(t) 或 δ(n)、复正弦信号 ejΩt 或 ejωt、复指数信号 est 和 zn 同时具有上述两个性质。 如果 ϕ(n) 为单位冲激信号，即为时域分析方法。
1. 将 x(n) 和 h(n) 的自变量 换成 k;
h(k)
-1
1 0 1 -1 0 1 2 1 2
…
k
x(k)
…
k
2. 将 h(k) 翻转并右移 n 得
到h(n-k)； 3. 将 x(k) 和 h(n-k) 相乘得
…
n
1
h(n-k), n<0
0 1 2 1 -1 0 1 -1 1 n k k
h(n-k), n≥0
x( k ) y ( n k )
从上述公式可以看出，卷积与相关函数非常类似：这两种运算 过程都包含时移、相乘和无限积分（或求和）三个步骤；只有
一个差别，即卷积运算要对第二个信号先进行翻转然后再时移，
而相关运算无此步骤。
2. LSI系统的卷积及性质
卷积与相关存在如下关系：
rxy (t ) x(t ) y* (t ) rxy (n) x(n) y* (n)
x(n) B

n
h( n )
k

y(n)
k
h(k ) x(n k ) h(k ) x(n k ) B h(k )
2. LSI系统的卷积及性质
用时移单位冲激信号的线性组合表示离散信号：
x(n) x(3) (n 3) x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1) x(2) (n 2） x(3) (n 3)
习题1：求系统
y(n) ay(n 1) x(n)
的单位冲激响应，其中 a 为常数，初始条件为 h(−1) = 0。
解答： 由定义及初始条件可知:
h(n) ah(n 1) (n) h(0) 0 (0) 1 h(1) ah(0) 0 a h(2) ah(1) 0 a 2 h( n) a n
涉及单位冲激的卷积
x(t ) (t ) (t ) x(t ) x(t ) x(n) (n) (n) x(n) x(n)
这就表明任何信号和序列与单位冲激卷积，将分别等于原信号
和原序列。此外，任何信号和序列都可以用单位冲激激励一个
LSI系统来获得，只要该系统的单位冲激响应是所需信号本身。

t
t
卷积和的差分与累加性质：
[ x(n) h(n)] x(n) [h(n)] [x(n)] h(n)
n n n
k
[ x(n) h(n)] x(n) [ h(n)] [ x(n)] h(n)
k k
2. LSI系统的卷积及性质
计算步骤：
3. 求和; n<0时，
y ( n) 0
h(k)
-1
1 0 1 -1 0 1 2 1 2
…
k
x(k)
…
k
…
n
k
ห้องสมุดไป่ตู้
1
h(n-k), n<0
0 1 2 1 -1 0 1 -1 1 n k k
n≥0时， n
1 a n1 y(n) a 1 a k 0
h(n-k), n≥0
…
1 -T/2 0 T/2 t
解答：不难写出
x(t ) h(t ) u(t T / 2) u(t T / 2)
2. LSI系统的卷积及性质
则有：
y (t ) x( )h(t )d

[u ( T / 2) u ( T / 2)][u (t T / 2 ) u (t T / 2 )]d
…
到被求和序列 x(k)h(n-k)
n<0时，
x ( k ) h( n k ) 0
x(k)h(n-k), n≥0
0
1 -1
1
n
k
n≥0时，
a k , 0 k n x ( k ) h( n k ) 0, k 0, k n