含参变量的有限n重积分的分析性质

含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。

设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。

这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。

其次，含参量积分具有可微性。

设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。

这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。

此外，含参量积分还具有积分区间可微性。

设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。

这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。

1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。

例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。

2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。

例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。

3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。

例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。

4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。

重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中，自变量不再是一个，而是两个或两个以上。

例如，z=f(x,y)就是一个的二元函数。

无论是一元函数，还是二元函数，其基本概念都是“输入-处理-输出”。

其中输入就是参数，也就是变量，处理就是函数规定的运算。

这一基本概念在重积分中也是适用的。

2. 多元函数的极限多元函数的极限，与一元函数的极限类似，只是在多个自变量的情况下，我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。

其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。

3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性，我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。

多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但要求更加严格。

在重积分中，对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。

4. 重积分的意义重积分的最基本的意义，就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。

而在物理学上，重积分的意义就更加明显了。

在空间当中，一定有一个虚拟的某一点，作为观察点。

而对整个空间进行积分，就是将所有的观察点都进行积分，求得整个空间的某一个物理量。

二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。

它影响到重积分的很多性质，例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。

2. 保号性和保序性对于多元函数来说，保号性和保序性是非常重要的性质。

在重积分中，保号性和保序性也是一个非常重要的概念，它们影响到多元函数的积分值的大小。

3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。

对称性不仅在理论证明中起到了重要作用，而且在实际应用中，对称性也常常起到了非常重要的作用。

4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说，交换积分次序是一个很基本的性质。

但是在实际应用中，交换积分次序同样是需要一些技巧的，有时候并不是直接可行的，需要一些特殊的条件。

5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。

而对于多元函数的重积分来说，分部积分法同样是非常重要的。

云南大学2020年考研专业课初试大纲
823-《数学分析》考试大纲
一、考试性质
《数学分析》是基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业、运筹学与控制论专业、系统理论专业硕士学位研究生入学考试的科目之一。

《数学分析》考试要求能反映数学学科的特点，科学、公平、准确地测试考生的基本素质和综合能力，很好地选拔具有科研发展潜力的优秀人才进入硕士阶段学习，为国家培养掌握现代数学方面的基础理论知识，具有较强分析与解决实际问题能力的高层次的应用型的和复合型的数学专业人才。

二、考试要求
考查考生对《数学分析》里的基本概念、基础知识的掌握情况，考察考生的分析能力、计算能力和对知识的综合运用能力。

三、试卷分值、考试时间和答题方式
本科目试卷满分为150分，考试时间为180分钟，答题方式为闭卷、笔试。

四、试题结构
（1）试卷题型结构
填空题：30分
计算题：60分
证明题：60分
（2）内容结构
各部分内容所占分值为
1。

课程论文选题第一篇：课程论文选题司法制度与职业道德课程论文选题及写作要求司法制度与职业道德课程以写论文方式考核，请同学们选择老师提供的以下题目中任意一题或者自主选题作一篇课程论文。

论文成绩占考核成绩80%。

阿布都热西提老师提供的选题，学生可任选一题：1、试论我国检察监督制度的完善2、论我国民事检察制度的改革和完善3、我国法院调解制度的重新构建4、试论我国法官职业道德建设5、论依法独立行使检察权及其保障机制构想6、法官自由裁量权的运用与规范7、论违法审判责任追究8、论法律思维与司法裁判9、论司法改革10、论司法公正11、完善我国法官选任制度的思考12、我国司法评价标准的建构13、论我国法官制度改革14、我国法官遴选制度简论15、法院困境与司法改革的出路16、检察机关预防职务犯罪问题研究17、试论公证诚信制度18、论我国现代司法理念的架构19、论法官职业化20、论新闻自由与司法独立的关系21、论我国的司法体制改革22、传媒与司法关系的现状与重构23、法律职业化与统一司法考试24、司法公正与舆论监督25、试论新闻自由与司法独立26、司法改革——司法公正的必由之路27、试论司法独立与媒体监督的关系28、法律职业道德的内化和养成29、中国检察官法律职业道德的培植30、中国法学教育中职业道德教育的缺失及其改革维度31、法学教育对法律职业道德意义的探讨32、法官、检察官职业道德和职业责任33、浅谈对法律职业道德的认识34、试论法律职业道德的社会功能35、试论法律职业精神及其培养写作要求：1.论点明确、思路清晰、有理有据、论证清楚2.逻辑合理、语言流畅，行文规范，字数不少于3000字3.自选题目应当在课程学习（含自学）范围内4.遵从学术规范，引文必须采取脚注方式说明引文来源，发现不合乎学术规范者论文以“0”分计。

第二篇：课程论文选题1、内蒙古草原旅游环境承载力评价与预警研究2、内蒙古能源消费、碳排放与经济增长的关系研究3、内蒙古工业部门能源消耗变化及影响因素分析4、内蒙古草地生产力及草畜平衡状况研究5、中国入境旅游市场特征分析与对策6、中国区域旅游经济与生态环境系统耦合协调度比较研究7、R&D经费投入带动内蒙古经济增长的实证分析8、内蒙古产业结构变迁的生态环境效应研究9、企业规模、R&D与生产率——对内蒙古的实证研究10、内蒙古产业结构变动与能源消费关系研究11、我国科技创新能力的区域差异研究12、省域视阈下的中国旅游业发展差异分析13、内蒙古入境旅游区域差异的时空演变特征分析14、内蒙古城市化进程及驱动力研究15、内蒙古文化产业发展与经济发展的耦合研究16、内蒙古金融发展对产业升级影响的实证研究17、内蒙古产业集群与城市化互动发展研究18、内蒙古工业化水平与环境污染关系的实证研究19、我国省会城市工资差异分析20、内蒙古行业工资差距及其影响因素的实证研究21、我国工资与劳动生产率关系的实证研究22、我国农民工资性收入及其影响因素分析23、工资上涨与经济增长方式转变——基于内蒙古的实证研究24、内蒙古工资对产业结构升级的影响25、工资增长指数模型与应用研究26、低碳减排对内蒙古就业的影响研究27、我国区域就业弹性的比较分析28、内蒙古生产性服务业就业吸纳能力的比较分析29、内蒙古入境旅游客源市场结构与效益的实证分析30、内蒙古区域旅游产业集聚及其竞争态势比较研究31、内蒙古区域旅游经济联系度演变及其动力机制第三篇：数学分析课程论文选题1.初等函数的定义及分类。

目录1引言 ................................................... 1 2含参变量积分 . (1)2.1一元含参变量的有限积分函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ的定义及其分析性质 (1)2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 ............................................ 4 2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质 .. (4)2.2.2含参变量的有限n 重积分函数的分析性质 (10)3例题 .................................................. 11 4结束语 ................................................ 14 参考文献 ............................................... 15 致谢 (16)含参变量积分的性质数学系0803班 陈璐指导教师 王芳摘 要：含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的,所以它在积分计算中起着桥梁作用，本文通过对一元含参变量的有限积分函数:A ()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ的定义及其在区间[]b a ,上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，阐述了含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n 重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式，最后给出了一些应用实例。

关键词：含参变量，积分函数，分析性质。

Including the nature of the integral depending on a parameterChen LuClass 0803, Mathematics DepartmentTutor: Wang FangAbstract : Contain integral depending on a parameter is a kind of a special points, because it is an integral form and function are given, so it plays in the integral calculation bridge. This paper, with a yuan of parameter of the integral function limited definition A and in the analysis of the interval nature (continuity, the differentiability and integrality) article, expatiates the heavy integral depending on a parameter with limited definition and nature of the function analysis, were deduced with the double integral depending on a parameter, function and the parameter with limited heavy continuity of integral function, can the sex and integrable theorems and formula. Finally gives some practical examples.Key words: including parameter, integral function, analysis of the interval nature.1引言目前，许多学者对含参变量积分的性质的研究已经达到了一定的深度，主要研究了许多运用含参变量积分的性质解决实际问题的方法。

包头师范学院“数学分析”课程教学大纲《数学分析》教学大纲课程编号： 课程性质： 基础必修课适用专业： 数学与应用数学专业（本科） 选用教材：《数学分析讲义》 （第五版） 刘玉琏等编著高等教育出版社 2008 年 10 月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教学大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》（第四版），高等教育出版社，2002 年10月。

参考书：陈传璋等编著《数学分析》（第二版），高等教育出版社，1983 年7 月。

1987 年获全国优秀教材一等奖。

华东师大编《数学分析》，面向21 世纪课程教材一、课程性质、目的和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业（信息与计算科学专业）的一门重要基础课。

本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。

通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。

二、教学基本要求在教学中，应注意本课程的整体结构，各部分知识的内在联系，以及与初等数学和后继课程的联系。

要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。

通过课堂教学及进行大量的习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，能综合应用所学知识解决实际问题，并且了解分析学的基本概念及物理、几何意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。

三、教学内容及要求依据《2001 年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》，本课程教学在第1、2、3、4 学期进行，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》。

《数学分析Ⅰ》第一章函数 §1.1. 函数一、函数概念，二、函数的四则运算，三、函数的图象四、数列 §1.2. 四类具有特殊性质的函数一、有界函数，二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3. 复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数的概念，函数的表示，函数的复合运算和具有特殊性质的函数。

含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续,则函数()x ϕ=⎰dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分⎰=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x<y 则⎰==101)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则⎰⎰-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则⎰-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ⎰-→+11220limα; (2)⎰→220cos lim xdx x αα.解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]⨯[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ⎰-+1122在[-1,1]上连续.则⎰⎰⎰--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==⎰⎰→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-⨯=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ⎰⎰+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=⎰⎰,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞ 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求⎰+→++αααα12201limx dx. 解 记⎰+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==⎰→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ⎰-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明 对),(+∞-∞∈∀y ,令x-y=t,可推得⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分⎰--02yt dt e ,由连续性定理可得⎰--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ⎰+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数x∂∂f ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ϕ=dy y x f d c⎰),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(⎰⎰∂∂=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=⎰定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则⎰⎰-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=⎰⎰⎰.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得⎰=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o⎰-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ⨯--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间.再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ⎰=求)('y F .解 应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2⋅-⋅+=⎰yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-⎰--=ϕ （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =ϕ解 由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得⎰----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理⎰----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(ϕ ⎰---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ特别当1-=n k 时有⎰=-xn dt t f x 0)1(,)()(ϕ于是).()()(x f x n =ϕ例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ⎰++=.解 考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ⎰++=ααϕ 显然,)1(,0)0(I ==ϕϕ且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]⨯[0,1]上满足定理3的条件,于是⎰++=102'.)1)(1()(dx x x xααϕ.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('αϕ)111(11101010222⎰⎰⎰+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+⋅+=因此⎰10')(ααϕd ⎰+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102ϕααπ-++= )1(2ln 82ln 8ϕππ-+=)1(2ln 4ϕπ-=.另一方面⎰=-=10'),1()0()1()(ϕϕϕααϕd 所以.2ln 8)1(πϕ==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ϕ和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ϕ=()⎰d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()⎰ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,与()dy dx y x f dcb a ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,简便记为()dyy x f dx b adc⎰⎰,与()dx y x f dy dcba⎰⎰,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c⎰⎰,=()dx y x f dy d cba⎰⎰,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba⎰,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba⎰⎰,=()()dx x g y x f dy d cba⎰⎰,.注意 推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ⎰-1ln （b>a>0）. 解 由xx x dy x ab bayln -=⎰得I=dx dy x b a y ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛10=⎰⎰10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ⎰⎰1=dy y ba ⎰+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ⎰⎰+-10122222与()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ⎰⎰+-101022222=()dx dy y x y x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++101022222=()()dx y x y x d y y x dy ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++10101022221=dx x ⎰+10211=0arctan 1arctan -=4π. ()⎰⎰+-1122222dx y xy x dy =()dx x y x y dy ⎰⎰+--10122222,由()dy y xy x dx ⎰⎰+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ⎰⎰+-10122222=4π,所以()⎰⎰+-101022222dx y x y x dy =–4π.即()dy yxy x dx⎰⎰+-10122222≠()⎰⎰+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0⨯上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xx x ab ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ ()0>>a b . 解 令()xx x x x g ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛=,x x x dy x a b b a yln -=⎰.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续.所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=()⎰10x g =dx dy x x b a y ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin . 令()y x f ,= yx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛1lnsin , 10≤<x , 0 , 0=x .则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0⨯上连续,由定理可知dx dy x x b ay ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin =dx x x dy yba ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛101ln sin =()⎰⎰+∞+-baty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++⎰1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=⎰+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在⨯I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy⎰+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明 ⑴∀ x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ⎰+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy⎰+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ⎰+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy⎰+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ⎰+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？ 解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→⎰⎰x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-⎰⎰∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye⎰∞+-022在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分⎰+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=⎰+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明 由于⎰+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱⎰+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,⎰+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱⎰A dx u x f a),(-⎰A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()u ϕ-()0u ϕ︱=︱⎰+∞adxu x f ),(-⎰+∞adxu x f ),(0︱≤︱⎰A dxu x f a),(-⎰A dxu x f a),(0︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(︱+︱⎰+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了ϕ在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以ϕ在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：⎰⎰⎰+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(αϕdx x x x)2(arctan 3+⎰+∞α的连续性区间.解 先看函数)(αϕ的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α收敛.当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+⎰+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(αϕ的定义域是（-2,2）.我们只需证明ϕ在任意[a,b]⊂（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+⎰在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2<a ≤α,xxx xa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+⎰∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx xx x)2(arctan 3+⎰+∞α在[a,b]⊂（-2,2）上一致收敛,故ϕ在（-2,2）上连续.注意 与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证ϕ连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是ϕ连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ⨯[,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -⎰+∞-. 解 记J(y)= dx xxy e x 20cos -⎰+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0⎰+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxye x20cos 1-⎰+∞-=)(y J =⎰y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==⎰.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理 验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞⎰=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解 由于⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞⎰∂∂在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞⎰==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而⎰⎰+∞--+∞-=∂∂0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理） 设),(y x f 与),(y x f x 在⨯I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(⎰+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('⎰+∞=Φ.证明 设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ⎰-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(⎰+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(⎰+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==⎰∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(⎰+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(⎰+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(⎰⎰+∞+∞∂∂=. 定理12 如果函数f 和u f ∂∂都在[)[]βα,,⨯+∞a 上连续,积分dx uu x f a ⎰+∞∂∂),(在[]βα,上一致收敛,那么⎰+∞=adx u x f u ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明 对于任意正整数a n >,令⎰=n an dx u x f x ),()(ϕ.又因为若函数f 及其偏导数uf∂∂都在闭矩形[][]βα,,⨯=b a I 上连续,那么函数⎰=b a dx u x f x ),()(ϕ在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(⎰∂∂=ϕ.所以n ϕ在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ⎰∂∂=),()('ϕ. 由于.),(dx uu x f a⎰+∞∂∂在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ϕ在[]βα,上一致收敛,且因{}n ϕ在[]βα,上收敛于ϕ,故ϕ在[]βα,上连续可微,且βαϕ≤≤∂∂=⎰+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222⎰∞+---﹥0,b ﹥0.解 把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ⎰+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ⎰+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ⎰+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02dx ea I ax ⎰+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若dy y x f x c⎰+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a⎰⎰+∞),(=dx y x f dy bac⎰⎰+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]⨯[c, )∞+上连续,若（1）⎰+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分⎰⎰+∞+∞a cdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy⎰-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ⎰∞+---0（b>a>0）.解 因为xy e -在[0,)∞+⨯[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<ax xy e e --≤而dx e ax ⎰+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ⎰+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ⎰+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ⎰⎰-+∞=dx x e e bx ax ⎰∞+---0=dx e dy xyb a ⎰⎰+∞-0=⎰+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a xy dy e y 01=⎰bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ⎰⎰+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-⎰0102=⎰10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-=-⎰⎰⎰02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ⎰⎰-+∞-1303)22(=dx e x ⎰+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy⎰+∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。

课程论文题目 _________________________________________学生______________ 毛文龙_______________所在院系____________ 理学院 ___________________指导教师_____________ 职称___________________完成日期2011年6月20日性质2（可微性）若函数f x,u 及其偏导数丄在矩形区域uRax b ， u 上连续，则函数 ub、f x,u dx 在区间a可导，且du含参变量有限积分的计算含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习 中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、 含参变量积分函数的相 关计算（极限、求导）等等。

1. 积分限固定的情形定义 设二元函数f x,u 在矩形域R a x b, x有定义，bu ,，一元函数f x,u 在a,b 可积，即积分 f x,u dx 存在。

u , 都 a对应唯一一个确定的积分（值）f x,u dx 。

于是，积分 f x,u dx 是定义在区aab间，的函数，表为 u fx,udx ，称为含参变量的有限积分，u 称为参变 a 量。

性质1（连续性） 设函数f x,u 在矩形域R a x b, x 连续，则函数 u " f x,u dx 在区间，也连续。

a这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可同理可证，若f x,u 在矩形域R a x b, xd积分 u fu,ydy 也在区间，上连续c引言、定义及性质交换的。

即对任意u 0b，limu u 0ax,u dxblim f x,u dx 。

au u 0上连续，则含参变量的说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换顺序的。

（积分号下求导定理）性质3（可积性）若函数f x,u在矩形区域Rax b，u 连续，则bufa f x, u dx在区间，上可积，且b bu du f x,u dx du f x,u du dxa a表明定义在举行区域上的连续函数，关于不用变数的积分（简称累次积分）可交换积分次序。

525第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。

但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ⎰-2/022sin 1π，从形式可以看出，积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。

显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。

因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。

§1含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。

设),(y x f 在],[],[d c b a D ⨯=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。

考虑其积分dx y x f ba ⎰),(0，显然其与0y 有关，记为dx y x f y I ba⎰=),()(00，更一般，引入dx y x f y I ba⎰=),()(，称其为含参变量y 的积分。

注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。

更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。

为此，先研究含参量积分的分析性质。

526定理1：（连续性）设)(),(D C y x f ∈，则],[)(d c C y I ∈。

欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第25章含参变量的积分25.1复习笔记一、含参变量的常义积分1．含参变量积分的概念（1）称如下形式的积分为含参变量x的积分．（2）当为常值时，称为固定限参变量积分，否则称为可变限参变量积分．2．含参变量积分的分析性质（1）不变限情形①连续性定理设f（x，y）于矩形[a，b]×[c，d]上二元连续，c，d有限，则函数于[a，b]上也连续．②可导性定理设f（x，y）和于矩形[a，b]×[c，d]上连续，则F（x）于[a，b]上也可导且．（2）可变限情形①连续性定理设f（x，y）于上二元连续，，且于[a，b]上连续，则于[a，b]上也连续．②可导性定理设f（x，y）于上二元连续，，且于[a，b]上连续，若导数存在且连续，则也存在，且二、含参变量的广义积分1．含参变量广义积分的一致收敛（1）定义设已给含参变量的广义积分（I是任意区间），假定对每个x∈I，上述积分已收敛．设为“余积分”，它是x，d的二元函数，于矩形I×[C，＋∞）上有定义．①含参变量广义积分在奇点＋∞处一致收敛的定义若数，使得“余积分”绝对值|r（x，d）|在矩形上点点小于ε（图25-1），即则称于奇点＋∞处，积分在x∈I时一致收敛．图25-1②含参变量广义积分在有限奇点处一致收敛的定义若，使得在矩形上点点小于，即则称在奇点c处积分在x∈I时一致收敛．③当一个含参变量积分有限多个奇点时，只有积分在每个奇点处都一致收敛时才称该积分一致收敛．（2）Abe1不等式（u（x）单调，v'（x）可积）也常用来估计“余积分”．2．一致收敛的判别法（1）Cauchy收敛原理如果一致收敛存在，使得，有（2）Weierstrass判别法设①收敛；②收敛，则，一致收敛．（3）A．D．判别法已给若u（x，y）关于y单调，且u，v有一个是有界函数，另一个在y→＋∞时在区间x∈I上一致收敛于零，则上述积分一致收敛（假定偏导数存在且关于y连续）．3．含参变量广义积分的性质（1）定理1设f（x，y）于矩形I×[c，＋∞）上连续且积分，x∈I内闭一致收敛，则于I上连续（连续性）．（2）定理2设f（x，y）于矩形I×[c，＋∞）上连续且积分，x∈I内闭一致收敛，若区间I＝[a，b]有界，则（3）定理3设于上连续，积分，内闭一致收敛，又存在一点，积分收敛，则内闭一致收敛，且（4）定理4设上连续，公式在下列条件之一满足时成立：①②③（5）定理5设f（x，y）于[a，＋∞）×[c，＋∞）上连续且两个“里层”积分都存在．若存在充分大的及函数满足：其中函数一个可积，另一个局部有界（即在任一个内闭区间上有界），则成立三、B函数和Γ函数1．B函数和Γ函数的定义B函数和Γ函数是指2．B函数和Γ函数的性质（1）连续性B（p，q），Γ'（s）都是连续的．（2）对称性B（p，q）＝B（q，P）；（3）Γ函数是阶乘的拓广Γ（s＋1）＝sΓ（s），s>0．特别Γ（n＋1）＝n!；（4）B函数与Γ函数的关系；（5）余元公式；（6）Legendre公式．3．当s→＋∞时Γ（s）的性态公式特别，当s＝n（自然数）时，得。

三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义，[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u dx +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈都对应唯一一个无穷积分（值）(,)af x u dx +∞⎰，于是，(,)af x u dx +∞⎰是[,]αβ上的函数，表为()(,),[,]au f x u dx u ϕαβ+∞=∈⎰，称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，u 是参变量．已知无穷积分()af x dx +∞⎰与数值级数1n n u ∞=∑的敛散性概念、敛散性判别法及其性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分(,)af x u dx +∞⎰与函数级数1()nn u x ∞=∑之间亦应如此．讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致收敛性起着重要作用；同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用．[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u dx +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈，有(,)lim(,)AaaA f x u dx f x u dx +∞→+∞=⎰⎰，即0,,u u A a A A ε∀>∃≥∀>，有(,)(,)(,)AaaAf x u dx f x u dx f x u dx ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰． （4）一般来说，相等的ε之下，不同的,u u A 也不同。

是否存在一个通用的0A a ≥，0,[,]A A u αβ∀>∀∈，有（4）式成立呢？事实上，有些参变量的无穷积分在[,]αβ上存在0A ，于是，有下面的一致收敛概念：定义 若000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)(,)(,)AaaAf x u dx f x u dx f x u dx ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰，则称无穷积分(,)af x u dx +∞⎰在区间I 一致收敛；若无穷积分(,)af x u dx +∞⎰在区间I不存在通用的0A a ≥，就称(,)af x u dx +∞⎰在区间I 非一致收敛．现将一致收敛与非一致收敛对比如下： 一致收敛： 000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)Af x u dx ε+∞<⎰；非一致收敛：0000,,,A a A A u I ε∃>∀≥∃>∃∈，有000(,)A f x u dx ε+∞≥⎰．例5 证明：积分0xu ue dx +∞-⎰在区间[,](0)a b a >一致收敛，在[0,)+∞上非一致收敛．证：设0A >，则1()xu t t Au Aa A Au Auue dx xu t ue dt e dt e e a u b u +∞+∞+∞-----===≤≤≤⎰⎰⎰． 0ε∀>，要使不等式Aa e ε-<成立，只要11ln 0A a ε>≥。