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2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.2.1

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高一数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换

高一数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换

一、求值问题 对半角公式的四点说明 (1)半角公式的正弦、 余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到 的. ������ (2)半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只
2
需知道 cos α 的值及相应 α 的条件,sin ,cos ,tan 便可求出. (3)由于 tan =
2 ������ sin ������ 1+cos ������
1
2
1.降幂公式与半角公式
降幂公式 sin2 =
2 α 1-������������������ α 2
半角公式 sin =±
2 α 1-������������������ α 2
续表
降幂公式 cos
2α
半角公式
2
2 α 2
=
1+������������������ α 1-������������������ α 1+������������������ α
������
1+cos 2
=-
1+������
.
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
知识精要
迁移应用
二、三角函数式的化简 三角恒等变换中常见的变换方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数,使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种 代换称之为常值代换 ,如 “1” 的代换就是一种特殊的常值代换. (2)切化弦 当待化简式中,既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角三角函 数的基本关系 tan α=
������ 2
预习新知
导学探究
典题例解
a a 2 +b 2

2015年高中数学人教A版必修4课件：3.2简单的三角恒等变换

2015年高中数学人教A版必修4课件：3.2简单的三角恒等变换

课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测
与三角函数性质有关的问题 (2014·天津高考)已知函数 f(x)＝cos x·sin x＋π3－ 3cos2x＋ 43，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
数学 ·必修4(A)
数学 ·必修4(A)
第三十页，编辑பைடு நூலகம்星期五：十一点 六分。
课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测
(2)当 f(x)取得最大值时， sin2x－π3＝1， 有 2x－π3＝2kx＋π2， 即 x＝kx＋51π2(k∈Z)， ∴所求 x 的集合为 xx＝kπ＋51π2，k∈Z .
第十五页，编辑于星期五：十一点 六分。
课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测
【互动探究】
若本例条件不变，求 tan2θ的值． 解：方法一：由例题解题过程可知，
sin2θ＝ 1－a2，
θ
故 tan2θ＝sin2θ＝
1－a2 a.
cos2
数学 ·必修4(A)
第十六页，编辑于星期五：十一点 六分。
第二十一页，编辑于星期五：十一点 六分。
课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测
1．(1)化简：2tanπ42－coαs2αsi－n21π4＋α. (2)求证：1＋sin α＝2cos2π4－α2.
数学 ·必修4(A)
第二十二页，编辑于星期五：十一点 六分。
课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测
＝11＋＋22ssiinn
θ·cos θ·cos

高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换

高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~

高一数学人教A版必修四课件：第三章 《三角恒等变换》3 章末高效整合 课件资料

高一数学人教A版必修四课件：第三章 《三角恒等变换》3 章末高效整合 课件资料
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
第三章
三角恒等变换
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
知能整合提升
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
1．记忆和(差)角公式，明晰公式间的关系 (1)公式 C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的， 体现了向量的工具性． (2) 公 式 C(α ＋ β) 是 推 导 其 他 公 式 的 出 发 点 ， 公 式 S(α ＋ β) 就 是 转 化 为
π π 1 ∴sin4＋α· cos4＋α＝ ， 6 π 1 sin2＋2α＝ ，即 3
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
热点考点例析
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
解析：
1 1 (1)由 sin x＋cos x＝ ，平方得 1＋sin 2x＝ ， 5 25

2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.1.2 第2课时

2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.1.2 第2课时

3 D．18 π π [探究] 角 α＋β、β－4、α＋4之间的关系．
运用S(α±β)．
[解析] 1 ＝2. (2)原式＝sin[(54° －x)＋(36° ＋x)]＝sin90° ＝1. (1)原式＝sin20° cos10° ＋cos20° sin10° ＝sin(20° ＋10° )
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
优效预习
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
3．两角和与差的三角函数公式间的关系
第三章
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
●预习自测 4 1．若 tanα＝3，tanβ＝3，则 tan(α－β)＝(
3.1
3.1.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
π 1 1 3． 若 α， β∈(0， tanβ＝3， 则 tan(α＋β)＝________. 2)且 tanα＝2， [答案] 1 1 1 tanα＋tanβ 2＋3 [解析] tan(α＋β)＝ ＝ 1＝1. 1－tanαtanβ 1－6

人教A版高中数学高一必修4课件第三章三角恒等变换

人教A版高中数学高一必修4课件第三章三角恒等变换

章末复习提升
17
跟踪演练 2 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝61，α∈π2，π， 求1＋sinco4sα2α的值. 解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13，
章末复习提升
18
即 cos 2α＝31.
又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
章末复习提升
19
∴1＋sinco4sα2α＝2sin12＋α·ccooss 1＋ 2
22αα＝2×1－＋213＋2213×13
＝－4152.
章末复习提升
20
题型三 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要是利用sin2α＋cos2α＝1， sin α ＝
∴|ka＋b|2＝|a－kb|2.
∴2kcos(α－β)＝－2kcos(α－β).
∵k≠0，∴cos(α－β)＝0.
∴cos(β－α)＝0.
又∵0<α<β<π，
∴β－α＝π2.
章末复习提升
31
跟踪演练 4 设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cos x,1)，
b＝(cos x， 3sin 2x).若 f(x)＝1－ 3，且 x∈－π3，π3，求 x. 解 由题设 f(x)＝2cos2 x＋ 3sin 2x ＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x＝2sin2x＋6π＋1. 若 f(x)＝1－ 3，则 2sin2x＋π6＝－ 3，
章末复习提升
32
即
sin2x＋6π＝－
3 2.
∵x∈－π3，π3，
∴2x＋π6∈－π2，56π.

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4


2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关

高中数学人教版必修四配套课件第1部分第三章32简单的三角恒等变换


(2)求f(x)的单调递增区间．
返回
解：(1)由sin x≠0得，x≠kπ，k∈Z，
所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
f(x)＝（sin
x－cos x）2sin sin x
xcos
x＝2sin
xcos
x－2cos2x
＝sin 2x－cos 2x－1＝ 2sin(2x－π4)－1
所以最小正周期T＝22π＝π.
返回
(3)降幂与升幂．由 C2α 变形后得到 sin2α＝12(1－cos 2α)，cos2α ＝12(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．
反过来，直接运用倍角公式或变形公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1 －cos 2了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：
（sin 2|cos
2α2α－|＋cos2|sα2in）2α2|，
∵π<α<32π，
∴π2<α2<34π，
∴cos
α2<0，sin
α 2>0.
返回
∴原式＝－（2s（ins2iαn＋α2c＋oscoα2s）α22）＋
（sin α2－cos α2）2 2（sin α2－cos 2α）
sin ＝－
α2＋cos
所以S矩形PQCR＝PQ·PR
＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ
(4分) (7分)
返回
令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则sin θcos θ＝t2－2 1，
所以S矩形PQCR＝10
[思路点拨] 可设∠PAB＝θ，并用θ表示PR，PQ， 建立面积的函数关系式，再求其最大值、最小值．

2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 章末归纳总结3


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
又 tanα＝4 3，
2 2 sin α tan α 48 2 ∴sin α＝ 2 ＝ ＝ . sin α＋cos2α 1＋tan2α 49
4 3 1 2 ∴sinα＝ 7 ，从而 cosα＝ 1－sin α＝7， 故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－14)×7＋ 14 × 7 ＝2.
第三章
章末归纳总结
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专题三 三角恒等式的证明
1 ．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是
三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果
1 2 1 2 sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x 1－2sin 2x 1－2sin 2x ＝ ＝ 1 ＝1 1 2 2 sin 2 x sin 4 4 2x 81－cos4x 8－4sin22x 4＋4cos22x 4＋21＋cos4x ＝ ＝ ＝ 1－cos4x 1－cos4x 1－cos4x 23＋cos4x ＝ ＝右边． 1－cos4x 原式得证．
用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调
性求得角．
第三章 章末归纳总结
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[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换， 则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．

人教A版高中数学必修四课件3.2简单的三角恒等变换课件


2cos 20° cos 10° sin 30° ＋ sin 10° cos 30° ＝ － 2cos 40° sin 20° 2cos 20° sin 40° －2sin 20° cos 40° 2sin 20° ＝ ＝ ＝2. sin 20° sin 20° 1－ cos 2α－ 60° 1－ cos 2α＋ 60° 1－ cos 2α (2)原式＝ ＋ － 2 2 2 1 1 ＝ － [cos(2α－60° )＋ cos(2α＋ 60° )－ cos 2α] 2 2 1 1 1 ＝ － (2cos 2αcos 60° － cos 2α)＝ . 2 2 2
α 2 5 sin 2 5 α tan ＝ ＝ ＝－2. 2 α 5 cos 2 －5
【名师点评】
已知三角函数式的值，求其他三角函数
式的值，一般思路为： (1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系 (从三角函数名及
角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练
12 3π 1．已知 sin 2α＝－ ，π<2α< ，求 sin α， cos α. 13 2
第三章
三角恒等变换
3．2
简单的三角恒等变换
学习导航
学习目标 和差公式 ― ― → 二倍角公式 ― ― →
理解 掌握
化简、求值或证明 重点难点 重点：运用和差的正余弦公式进行相关计算
及化简、证明． 难点：运用半角公式求值．
新知初探思维启动
1．和、差角公式及倍角公式 sinαcosβ＋cosαsinβ (1)sin(α＋β)＝__________________________ ； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； 2sinαcosα (2)sin 2α＝__________________ ； cosαcosβ－sinαsinβ (3)cos(α＋β)＝________________________ ； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
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第三章
3.2
3.2.1
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2π 4π 8π 4．cos 7 cos 7 cos 7 ＝________. [答案] 1 8
第三章
3.2
3.2.1
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●自主预习
1．半角公式(不要求记忆)
●知识衔接 1．若角α满足条件sin2α<0，cosα－sinα<0，则α在( A．第一象限 B．第二象限 )
C．第三象限
[答案] B
D．第四象限
第三章
3.2
3.2.1
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2．在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos 2 ，则△ABC 是( A．等边三角形 C．不等边三角形 [答案] B
α π [解析] ∵α∈(0，π)，∴2∈0，2. α ∴cos2＝ 1＋cosα 2 ＝ 2 6 3＝ 3 .
第三章 3.2 3.2.1
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3π 4 α 2．已知 cosα＝5，α∈ 2 ，2π，则 sin2等于(
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用) x ＋y x －y sinx＋siny＝2sin 2 cos 2 ， x＋y x－y sinx－siny＝2cos 2 sin 2 ， x＋y x－y cosx＋cosy＝2cos 2 cos 2 ， x＋y x－y cosx－cosy＝－2sin 2 sin 2 .
1＋cos2x 1－cos2x 1 2 2 2 (2)sin x ＝ ， cos x ＝ _____________ ， sinxcosx ＝ 2 2
sin2x ______.
第三章
3.2
3.2.1
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●预习自测
1 α 1．若 cosα＝3，且 α∈(0，π)，则 cos2的值为( 6 A． 3 6 C．± 3 [答案] A 6 B．－ 3 3 D．± 3 )
1＋cosα ± 1－cosα α α 2 ， cos 2 ＝ _____________ ， tan 2 ＝ 2
α sin 2 ＝ ± 1－cosα 1－cosα sinα α ± 1＋cosα ＝ _____________ sinα ＝1＋cosα.符号由2所在的象限决定．
第三章路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用) 1 sinαcosβ＝2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， 1 cosαsinβ＝2[sin(α＋β)－sin(α－β)]， 1 cosαcosβ＝2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， 1 sinαsinβ＝－2[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
3．3sinx－ 3cosx＝(
π A．sinx－6
)
π B．3sinx－6
C．
π 3sinx＋6
D．2
3
π 3sinx－6
[答案]
D
[解析] 3sinx－ 3cosx＝2 ＝2
3 1 sin x － cos x 2 2 π 3sinx－6.
π π 3sinxcos6－cosxsin6＝2
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
4．sin2x－sinxcosx＋2cos2x＝( 3π 3 2 A． 2 sin2x＋ 4 ＋2
3.2.1
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1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
优效预习
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
2．常见的三角恒等变换 2 2 a ＋ b (1)asinx＋bcosx＝_____________sin(x＋φ)(ab≠0)，其中 tanφ 3 b b ＝a， φ 所在象限由 a 和 b 的符号确定． 仅仅讨论a＝± 1， ± 3， ±3 的情况．
3．已知 tanθ＝2，则 sin2θ＋cos2θ 等于( 1 A．3 1 C．－3 [答案] B 1 B．5 1 D．－5
)
[解析] sin2θ＋cos2θ＝2sinθcosθ＋2cos2θ－1 2sinθcosθ＋2cos2θ 2tanθ＋2 ＝ －1＝ 2 －1 sin2θ＋cos2θ tan θ＋1 2×2＋2 1 ＝ －1＝5. 4＋1
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第三章
三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
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第三章
3.2 简单的三角恒等变换
3.2.1 三角恒等变换
第三章
3.2
[解析 ]
2C
)
B．等腰三角形 D．直角三角形
2C
cosC＋1 1－cosA＋B sinAsinB＝cos 2 ＝ ＝ ，展开整 2 2
理可得 cos(A－B)＝1，因为－π<A－B<π，故 A＝B．则△ABC 是 等腰三角形．
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
)
10 A．－ 10 3 C．10 3 [答案] B
10 B． 10 3 D．－5
[解析]
3π α 3π ∵α∈ 2 ，2π，∴2∈ 4 ，π.
α ∴sin2＝
1－cosα 10 2 ＝ 10 .
第三章
3.2
3.2.1
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