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信号与系统知识点总结信号与系统是电子信息科学与技术专业中的一门重要课程，它研究的是信号的产生、传输、处理和系统的分析、设计与控制等内容。
信号与系统是电子信息工程及其相关专业的基础课程，对于学习与工程实践有着重要的意义。
下面是信号与系统知识点的总结。
1.信号的分类信号是信息的载体，它可以是连续的或离散的，可以是周期的或非周期的，可以是冲激的或非冲激的。
根据信号的不同属性，可以将其分为连续信号和离散信号、周期信号和非周期信号、冲激信号和非冲激信号等。
2.连续信号与离散信号连续信号是定义在连续时间域上的信号，用函数表示；离散信号是定义在离散时间域上的信号，用数列表示。
连续信号和离散信号可以通过采样和重构的方法相互转换。
3.周期信号与非周期信号周期信号是在一定时间内重复出现的信号，其周期可以是有限的也可以是无限的；非周期信号是不具有周期性的信号，其能量或功率可以是有限的也可以是无限的。
4.冲激信号与非冲激信号冲激信号是单位面积上的单位冲量信号，可以看作是宽度趋近于零、幅度趋近于无穷大的矩形信号；非冲激信号是在一定时间范围内的非零函数。
5.信号的基本操作信号的基本操作包括平移、反褶、放大、缩小等。
平移操作是将信号在时间轴上平移，反褶操作是将信号在时间轴上反转，放大操作是增大信号的幅度，缩小操作是减小信号的幅度。
6.系统的分类系统是对信号进行操作或变换的装置或过程，可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统等。
线性系统具有叠加性和比例性质，时不变系统的输出与输入的延迟无关。
7.线性时不变系统的性质线性时不变系统具有线性叠加性、时域平移不变性、时域卷积性质和频域相应性质。
线性时不变系统可以通过其单位冲激响应来描述，单位冲激响应与系统的输入信号进行卷积运算可以得到系统的输出信号。
8.系统的稳定性系统的稳定性是指对于有界输入信号，系统的输出是否有界。
稳定系统的输出信号不会无限增长，而不稳定系统的输出信号可能会无限增长。
信号与系统知识点整理信号与系统是电子、通信、自动化等领域中的基础课程之一，主要研究信号的产生、传输、处理和分析等内容。
下面是信号与系统的知识点整理。
1.信号的分类：-连续信号：在时间和幅度上都是连续的信号，如声音、电压波形等。
-离散信号：在时间上是离散的信号，如数字音频、数字图像等。
-周期信号：在一定时间周期内重复出现的信号，如正弦信号、方波等。
-非周期信号：在一定时间段内不重复出现的信号，如脉冲信号、矩形波等。
2.基本信号：-阶跃信号：在其中一时刻突然跃变的信号。
-冲击信号：在其中一时刻瞬间出现并消失的信号。
-正弦信号：以正弦函数表示的周期信号。
-方波信号：由高电平和低电平构成的周期信号。
3.系统的分类：-时不变系统：输出不随时间变化而变化的系统。
-线性系统：满足叠加性质的系统。
-因果系统：输出仅依赖于当前和过去的输入的系统。
-稳定系统：有界的输入产生有界的输出的系统。
4.线性时不变系统的特性：-线性性质：满足叠加性质。
-时不变性：系统的输出只取决于输入信号的当前和过去的值。
-冲激响应：线性时不变系统对单位冲激信号的响应。
5.离散时间系统的表示：-差分方程：用差分方程表示离散时间系统。
-传输函数：用传输函数表示系统的输入和输出之间的关系。
6.离散时间信号的分析：-Z变换：将离散时间信号从时域变换到Z域的方法。
-序列的频率表示：幅度谱、相位谱和角频率。
7.连续时间系统的表示：-微分方程：用微分方程表示连续时间系统。
-传递函数：用传递函数表示系统的输入和输出之间的关系。
8.连续时间信号的分析：-傅里叶级数：将连续时间周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。
-傅里叶变换：将连续时间非周期信号从时域变换到频域。
9.信号处理的应用：-通信系统：对信号进行调制、解调、编码、解码等处理。
-图像处理：对图像进行滤波、增强、压缩等处理。
-音频处理：对音频信号进行降噪、消除回声、变声等处理。
-生物医学信号处理：对生理信号如心电图、脑电图等进行分析和识别。
信号与系统基本知识信号与系统是电子信息类专业中的重要基础课程，它涉及信号的产生、传输、处理和分析等方面。
通过学习信号与系统，可以帮助我们理解和分析各种实际问题，并为解决这些问题提供方法和工具。
我们来了解一下信号的概念。
信号可以理解为一种随时间或空间变化的物理量，它可以是连续的或离散的。
在通信系统中，常见的信号有模拟信号和数字信号。
模拟信号是连续变化的信号，可以用连续函数表示；数字信号是离散的信号，它是由连续信号经过采样和量化得到的。
信号的产生可以是自然界中的物理现象，也可以是人工产生的。
自然界中的信号有声音、光线、温度等，而人工产生的信号有电压、电流、数字编码等。
在工程中，我们常常需要对信号进行处理和分析，以满足特定的需求。
接下来，我们来了解一下系统的概念。
系统是对信号进行处理的装置或方法。
它可以是物理系统，如滤波器、放大器等；也可以是数学模型，如差分方程、传输函数等。
系统可以对信号进行放大、滤波、调制等操作，改变信号的特性。
在信号与系统中，我们主要研究信号在系统中的传输和变换规律。
对于连续信号，我们使用微分方程或微分方程组来描述系统的行为；对于离散信号，我们使用差分方程或差分方程组来描述。
通过对系统进行分析，我们可以得到系统的频率响应、幅频特性等信息，从而了解系统对不同频率信号的处理能力。
在信号与系统中，还有一些重要的概念和工具，如傅里叶变换、拉普拉斯变换、离散傅里叶变换等。
这些工具可以将信号从一个域（如时域、频域）转换到另一个域，从而方便我们对信号进行分析和处理。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它可以将信号分解为不同频率的正弦和余弦函数。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而了解信号中不同频率成分的贡献。
拉普拉斯变换是一种将信号从时域转换到复频域的方法，它可以将微分方程转换为代数方程。
通过拉普拉斯变换，我们可以方便地分析系统的稳定性、零极点分布等特性。
离散傅里叶变换是一种将离散信号从时域转换到频域的方法，它可以将离散信号分解为不同频率的正弦和余弦函数。
信号与系统基础知识嘿，朋友们！今天咱来聊聊信号与系统基础知识这玩意儿。
你说信号像不像我们生活中的各种消息呀？就好比你和朋友之间说的话，或者手机收到的通知，这都是信号呢！而系统呢，就像是一个大管家，专门来处理这些信号。
比如说家里的电路系统吧，电就是一种信号，那些电线、开关啥的就是系统的一部分。
电信号通过电线跑来跑去，开关就像个小指挥官，决定啥时候让电通过，啥时候不让。
再想想我们的手机，手机接收的各种信息也是信号呀，而手机本身就是一个超级复杂的系统。
它得把接收到的信号处理得妥妥当当，然后再以我们能看懂的方式呈现出来，比如屏幕上显示的画面或者发出的声音。
那信号与系统的知识有啥用呢？这用处可大了去啦！没有这些知识，那些高科技的玩意儿咋能做得出来呢？就像盖房子得先有稳固的地基一样，信号与系统就是科技大厦的根基呀！你想想，如果工程师们不懂信号与系统，那通信设备能好用吗？我们打电话的时候岂不是会乱套，说不定这边说的话到那边就变成外星人语啦！还有那些智能家电，要是没有对信号与系统的深入理解，它们怎么能乖乖听我们的指挥呢？学习信号与系统就像是打开了一扇通往神奇科技世界的大门。
你可以了解到信号是怎么传播的，系统是怎么工作的。
这就好像你知道了魔术背后的秘密，是不是很有意思呢？而且哦，这可不是什么高深莫测、遥不可及的东西。
就像我们每天走路、吃饭一样自然，只要用心去学，肯定能搞明白。
比如说，信号的频率就像是人的心跳速度，不同的频率就代表着不同的“性格”。
有的信号频率高，就像个急性子，跑得飞快；有的信号频率低，就像个慢性子，慢悠悠的。
再看看那些滤波器，它们就像是个筛子，把有用的信号留下来，把没用的信号给筛掉。
这多神奇呀！总之呢，信号与系统基础知识是个超级有趣又超级有用的东西。
我们生活中的好多高科技都离不开它呢！大家可别小瞧了它，好好去探索一番，说不定你会发现一个全新的世界呢！这可不是我在吹牛哦，不信你自己去试试看！。
信号与系统的基础理论与应用信号与系统是电子信息工程中的核心基础课程，它涉及到了从噪声到网络线路的控制和处理，从而在电子信息系统的开发和设计中发挥着重要作用。
本文将从信号与系统的基础理论和应用两个方面进行探讨。
一、信号与系统的基础理论1. 信号在信号与系统中，信号是指随时间或空间变化而变化的物理量或信息的载体，可以分为模拟信号和数字信号两种。
模拟信号是连续的信号，它在任意时刻都可以取到任意值，在信号处理时需要进行采样和量化。
数字信号则是离散的信号，它在某个时刻只能取到有限个值，因此可以用计算机等离散系统处理。
2. 系统系统是指任何接受几个输入信号，并通过某种处理机制产生一个输出信号的过程。
在系统中，可以将输入信号表示为x(t)，输出信号表示为y(t)，系统可以表示为y(t)=f[x(t)]，其中f表示系统的处理过程。
在信号与系统中，可以对系统进行分类，比如线性系统、时不变系统等。
线性系统的输入输出之间遵循叠加原理，时不变系统是指系统在时间轴上的平移不会影响系统的输出。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时间域信号转换到频域的数学工具。
通过傅里叶变换，可以将模拟信号和数字信号转换为复数域中的函数，方便进行信号分析和处理。
同时，傅里叶变换还有反变换，可以将频域信号转换为时域信号。
因此，傅里叶变换在信号处理和通信系统中有着广泛的应用。
二、信号与系统的应用1. 数字图像处理在数字图像处理中，需要进行图像采集、噪声去除、滤波等处理。
其中滤波是一个重要的步骤，它可以提高图像的质量、清晰度和保真度。
滤波可以使用很多信号处理方法，比如中值滤波、高斯滤波、维纳滤波等。
通过信号与系统的知识，可以选择合适的滤波器，并对图像进行优化和增强。
2. 音频信号处理在音频信号处理中，需要进行音频采集、音调处理、混响效果添加等处理。
其中，音频滤波是一个重要的步骤，可以过滤掉杂音和失真，使音频更清晰、更优质。
此外，在音频信号处理中，还需要进行谱分析和频谱设计。
信号与系统知识点信号与系统是电子工程及相关学科中的重要基础知识，其主要研究对象是信号的产生、传输、处理和分析，以及系统的特性和响应。
本文将探讨一些与信号与系统相关的重要知识点。
一、信号的分类信号是信息的表达方式，可以分为连续信号和离散信号。
连续信号是在时间和幅度上都是连续变化的，如模拟音频信号。
离散信号则是在时间或幅度上存在着间隔，如数字音频信号。
二、信号的表示和性质信号可以用数学函数进行表示，常见的信号类型有周期信号和非周期信号。
周期信号以某种周期性重复出现，如正弦信号；非周期信号则无规则的重复性。
信号还具有幅度、频率和相位等性质，这些性质对信号的分析和处理非常重要。
三、系统的响应系统是对输入信号做出某种处理的过程，系统的响应可以分为时域响应和频域响应。
时域响应是指系统对输入信号随时间的响应过程，可以通过巴特沃斯滤波器等工具进行分析。
频域响应则是指系统对不同频率的输入信号的响应情况，可以通过傅里叶变换等方法进行分析。
四、系统的特性系统的特性是描述系统行为的重要指标，主要包括线性与非线性、时不变与时变、稳定与不稳定等。
线性系统具有叠加性和比例性，输入和输出之间存在着线性关系；非线性系统则没有这种特性。
时不变系统的性质不随时间变化，稳定系统的输出有界且收敛于有限值，而不稳定系统则可能产生无界的输出。
五、卷积与相关卷积和相关是信号与系统分析中常用的运算符号。
卷积表示两个信号的叠加与重叠，它可以用于系统的输入与输出之间的关系描述。
相关则是通过计算信号之间的相似性，用于信号的匹配与识别。
六、傅里叶变换傅里叶变换是信号与系统分析中最重要的数学工具之一。
它可以将信号从时域转换到频域，使得信号的频率特性更加清晰。
傅里叶变换有连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种形式，分别适用于连续信号和离散信号的频域分析。
七、采样与重构采样和重构是数字信号处理中常用的技术。
采样是将连续信号转换为一系列离散的采样点，重构则是通过这些离散采样点还原出原始信号。
【信号与系统】基础：定义、连续和离散、功率和能量、功率信号和能量信号信号和系统的定义信号（signal）的定义：在数学上表⽰为，若⼲个独⽴变量的函数。
系统（system）的定义：在数学上表⽰为，将输⼊信号映射为输出信号的变换。
这个定义很棒，因为可以把我已知的⼀些代数知识联系上去。
⾸先，函数、映射、变换在我脑海中都是⼀个东西在不同背景的叫法。
由于函数满⾜了加法和标量乘法的封闭性，符合向量空间的定义，因此这⾥信号所表⽰的函数，以含⼀个独⽴变量为例，其实可以理解为是⼀个⽆限维的向量（可以想象每隔⼀段微⼩距离就取⼀个函数值）。
那么系统所做的⼯作，也就是把输⼊向量，转换为另⼀个输出向量。
这个⼯作，基本上可以想象为⼀种坐标系变换，或者是⼀个施加变换的动作。
如果是有限维的向量，如果这种变换是线性的，显然就是⼀个矩阵形式。
总之，信号就是⼀个映射，系统是⼀个对映射的映射。
当然这个定义之下有⼀些⼯程背景，⽐如信号函数值可能表⽰某些物理量，它的因变量可以表⽰时间、空间等。
这⾥⾯有两个背景我⽐较喜欢，语⾳信号（speech signal）和图像（image）。
语⾳信号是对时间的函数。
图像是对两个空间变量（长、宽）的函数。
连续时间信号与离散时间信号⾸先，依照惯例，含⼀个⾃变量的信号，都把这个⾃变量看做是时间 t。
这⾥有⼀个连续时间信号（Continuous-Time Signal, CTS）和离散时间信号（Discrete-Time Signal, DTS）的概念。
区分的特性是信号的⾃变量是连续还是离散的。
其实这两个概念的划分是⾮常⾃然的。
信号是⼀个函数，⽽连续函数往往出现在⾃然界和⼈的头脑中，只要放在计算机上⾯，都有⼀个将连续函数离散化的过程。
因此，凡是在⾃然界或⼈脑中表达，那么常常是连续时间信号；凡是在计算机上表达，往往是离散时间信号。
有⼀些约定，对于 CTS，表⽰为 f(t)；⽽对于 DTS，表⽰为 f[n]。
前者像数学表达式，后者像数组。
第1章信号与系统的基本概念1.1引言系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。
我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。
我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。
更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。
我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。
例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。
系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。
很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。
隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。
信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。
在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。
信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。
系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。
系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。
这些区别导致分析方法的重要差别。
本课程的内容限于线性时不变系统。
我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。
例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形)(in t v （测量系统输入信号）和测量得到的波形)(out t v （测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。
为了充分地和规范地描述测量系统的特性，经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图1-1是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升时间（电压从10％上升至90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过冲越小，系统特性越好。
其中电压上升时间反映了系统的响应速度，小的上升时间对应快的响应速度。
如果被测电压快速变化，而测量系统的响应特性相对较慢，则必然产生较大的测量误差。
信号与系统分析的另一种方法是频域分析。
信号频域分析的基本原理是把信号分解为不同频率三角信号的叠加，观察信号所包含的各频率分量的幅值和相位，得到信号的频谱特性。
图1-2是从时域和频域观察一个周期矩形波信号的示意图，由此可以看到信号频域和时域的关系。
系统的频域分析是观察系统对不同频率激励信号的响应，得到系统的频率响应特性。
频域分析的重要优点包括：（1）对信号变化的快慢和系统的响应速度给出定量的描述。
例如，当我们要用一个示波器观察一个信号时，需要了解信号的频谱特性和示波器的模拟带宽，当示波器的模拟带宽能够覆盖被测信号的频率范围时，可以保证测量的准确。
（2）为线性系统分析提供了一种简化的方法，在时域分析中需要进行的微分或积分运算，在频域分析中简化成了代数运算。
称为据信号变换方法的内在联系，将依次介绍连续周期信号傅里叶级数（FS ）、连续信号傅里叶变换（FT ）、拉普拉斯变换、离散周期信号傅里叶级数（DFS ）、离散时间傅里叶变换（DTFT ）、z 变换，以及用于计算机计算的离散傅里叶变换（DFT ）和快速傅里叶变换（FFT ）。
1.2信号的分类1.2.1连续时间信号和离散时间信号连续时间信号简称为连续信号，在所讨论的信号时间区间内，除了若干不连续点之外，任意时间都有确定的信号取值。
连续信号的符号表示为)(t f ，t 为时间，连续取值。
当需要区分连续信号和离散信号时，以下标a 表示连续信号，表示为)(a t f 。
图1-3是一个连续信号的示意图。
图1-2周期矩形波信号的时域和频域连续信号可分为非奇异信号和奇异信号。
当信号和信号的各阶导数在整个时间区间都是连续时，称为非奇异信号；当信号或信号的某阶导数存在不连续点（跳变点）时，称为奇异信号。
注意，如果一个信号本身是连续的，但若干次求导以后的导函数存在不连续点，则是奇异信号。
一个非奇异信号和一个奇异信号相加或相乘，其结果通常仍为一个奇异信号。
离散时间信号简称为离散信号，在所讨论的信号时间区间内，信号只在一些离散时间点取值，其他时间无定义。
离散信号的符号表示为)(d n f ，n 为离散点序数，取整数值。
这里用下标d 表示离散信号，以区分连续信号和离散信号。
图1-4是一个离散信号的示意图。
注意，在离散点之间，信号无定义，不要理解为信号取零值。
离散信号通常来自于对连续信号的抽样，并且经常是等间隔抽样。
相邻两个抽样点之间的时间间隔称为抽样周期或抽样间隔，用s T 表示；单位时间的抽样点数称为抽样率，用s f 表示，有s s /1T f =。
信号抽样满足关系)()(s a d nT f n f =。
在离散信号分析中，经常隐去时间的概念，因此也称为离散序列。
实际中还经常用到模拟信号和数字信号的概念。
所谓模拟信号，信号的时间和幅值都连续取值。
本课程中不区分模拟信号和连续信号。
所谓数字信号，信号的时间和幅值都离散取值。
实际中的信号抽样，由于模数转换器（A/D 转换器）的位数限制，抽样得到的离散点的信号幅值都是离散的，所以是数字信号。
1.2.2)(a t f =T 称为连续周期信号的周期。
离散周期信号满足关系)()(d d N n f n f +=（1-2）N 取正整数，称为离散周期信号的周期。
1.2.3能量有限信号和能量无限信号一个连续信号)(a t f 的能量定义为⎰∞∞-=t t f E d )(2a a （1-3）图1-3连续信号图1-4离散信号当)(a t f 为复信号时，)()()(a a 2a t f t f t f *=。
信号)(a t f 的能量可理解为：假设)(a t f 是一个电压信号或电流信号，它作用在一个1Ω电阻上时所消耗的能量为信号能量。
一个离散信号)(d n f 的能量定义为∑∞-∞==n n f E 2d d )(（1-4）当)(d n f 为复信号时，)()()(d d 2d n f n f n f *=。
对于连续信号和离散信号，当信号的能量为有限值时称为能量有限信号，否则称为能量无限信号。
式（1-3）和式（1-4）中取信号的绝对值，表示信号能量的定义对复信号也成立。
1.3典型信号1.3.1典型连续非奇异信号1.三角信号三角信号有正弦和余弦两种表示形式，为方便起见，本教材选择余弦函数的表示方式。
三角信号的一般表达式为)cos()(φω+=t M t f （1-5）式中M 为信号幅值，ω为角频率，φ为初始相位。
以后在提到三角信号的初始相位时，均指余弦表示方式下的初始相位。
三角信号的角频率ω、频率f 和周期T 满足关系：ωπ21==f T 。
当三角信号的角频率0=ω时为直流信号，直流信号是三角信号的一个特例。
图1-5是一个三角信号的典型波形。
2.指数信号指数信号的表达式为at A t f e )(=（1-6）式中A 和a 均为实数，A 为0=t 时的信号幅值，a 为衰减系数，当0>a 时，)(t f 随时间增大而增加；当0<a 时，)(t f 随时间增大而减小。
图1-6是指数信号的典型波形。
3.图1-6指数信号波形图1-5三角信号波形式中A 和a 既可为实数也可为复数，有以下几种情况。
（1）当A 和a 都为实数时，)(t f 就是一个指数信号。
指数信号是复指数信号的一个特例。
（2）当A 为实数，a 为复数时，设ωσj +=a （1-8）有t A t f )j (e )(ωσ+=（1-9）根据欧拉公式⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-t t tt tt ωωωωωωsin j cos esin j cos e j j （1-10a ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)e e (j 21sin )e e (21cos j j j j t t t t t t ωωωωωω（1-10b ） 于是有t A t A t f t t ωωσσsin e j cos e )(+=（1-11）此时)(t f 的实部和虚部都是一个指数包络的三角函数，复数a 的实部和虚部分别表示衰减系数和角频率。
当0=σ时，有t A t A t f ωωsin j cos )(+=（1-12）它的实部和虚部都是无衰减的三角函数。
（3）如果A 和a 都为复数，设ωσφj e j j +==+=a A I R A （1-13）则有)sin(e j )cos(e e e )()j (j φωφωσσωσφ+++==+t A t A A t f tt t（1-14）其实部和虚部分别是一个指数包络的三角函数，复数A 的模和辐角分别表示指数包络三角函数的幅值和初始相位，复数a 的实部和虚部分别表示衰减系数和角频率。
复指数信号是一个抽象的信号，实际中并不存在复指数信号，但借助于复指数信号，可以表示指数信号、三角信号和指数包络三角信号，描述了幅值、衰减、频率和相位等特征量。
4.三角信号的复指数表示一个三角信号可以用一对共轭复指数信号表示，根据欧拉公式，它们满足关系[]tt t t t t A A M M M t M t f ωωωφωφφωφωφωj 2j 1j j j j )(j )(j e e e e 2e e 2e e 2)cos()(---+-++=+=+=+=（1-15）（M 是实数，A 1、A 2是复数。
）图1-7显示了在复平面上一对共轭复指数信号叠加为一个实三角信号的关系。
在复平面上，共轭复函数t ωj e 和t ωj e －是一对旋转的单位向量，向量始端在原点，长度为1，分别以ω和ω-的角速度旋转。
在0=t 时，两个旋转向量的起始位置在正实轴，即初始相位均为零；在任意时间t ，两个单位旋转向量与实轴的夹角分别为t ω和t ω-。
两个向量在实轴上的投影都是t ωcos ，在虚轴上的投影分别为t ωsin j 和t ωsin j -。
t ωj e 和t ωj e －始终关于实轴对称，两个向量叠加得到向量t ωcos 2，始终在实轴上变化，是一个实函数，最大幅值为2。
式（1-15）中的共轭复数φj 1e 2M A =和φj 2e 2-=M A 是复平面上两个关于实轴为对称的固定向量，向量始端在原点，长度为2M，辐角分别为φ和φ-。
复数1A 和2A 与复函数tωφj j e --，它们也是复平ω和ω-旋转，初始相位分别为φ和φ-φ+t 和)(φω+-t 。
这两)sin(2j φω+t M 和)sin(2j φω+-t M)φω+t ，始终在实轴上变化，最大幅值为M 。
