第1章信号与系统基础
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信号与系统第一章习题答案
t 0 > 0 函数式的信号的波形如图 1.2（b）所示. 。
3
cos ωt
1 … …
−
5π 2ω
−
3π 2ω
−
π 2ω
-1
π 2ω
（a）
3π 2ω
5π 2ω
t
cos ωtε (t )
1
ε (t )
1
…
π 2ω
3π 2ω
5π 2ω
t
t
（b）
-1 （c ） 图 1.1
cos ωtε (t − t 0 )
1
P = lim
E =∞
1 T → ∞ 2T
1 ∫ [ε (t )] dt = 2
T 2 −T
（2） ε (t ) − ε (t − 1) 是脉冲信号，其为能量信号，能量为：
E = lim
[ε (t ) − ε (t − 1)]2 dt = ∫0 [ε (t ) − ε (t − 1)]2 dt =1 T →∞ ∫−T
T
2
（4） 3 cos (ω 0t + θ ) 是功率信号，其平均功率为：
P = lim
1 T → ∞ 2T
2 ∫−T [3 cos (ω0 t + θ )] dt = Tlim →∞ T
1 2T
2
∫
T
−T
9
cos 2(ω0 t + θ ) + 1 1 9 9 dt = lim ⋅ ⋅ 2T = T → ∞ 2 2T 2 2
T 2
2ω t 1 − cos 0 1 cos ω0 t + 1 9ω 0t ω t 5 dt = lim + sin − sin 0 + ∫ − T T →∞ 2T 2 20 20 2
第一章 信号与系统的基本概念
取样 时域：信号分解为单位脉冲序列的线 性组合 离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合 复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
中国民航大学 CAUC
绪
5.系统分析的主要内容
论
输入输出描述法：N阶微分方程
系统的描述 连续系统 系 统 分 析
状态空间描述：N个一阶微分方程组
r (t ) e(t ) * h(t ) 时域： 频域：R ( j ) E ( j ) H ( j ) 复频域： R ( s) E ( s) H ( s)
2(t)，能量 E
4. 能量信号与功率信号
信号的瞬时功率p(t)=f
1
f (t )dt
T 2 T
。
归一化能量E 与 归一化功率P 的计算
E lim f (t )dt
T 2 T T
1 T 2 P lim f (t )dt T T 2T
1）能量信号：0E+ ，P0 2）功率信号：E + ， 0P+ 直流信号与周期信号都是功率信号。 注意: 一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。
zs
中国民航大学 CAUC
绪
论
6.信号与系统之间的关系
信号与系统是相互依存的整体。
1） 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，
离开系统没有孤立存在的信号；
2） 系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与 处理，没有信号的系统就没有存在的意义。
中国民航大学 CAUC
绪
控制 电 类
信号处理 信号检测 计算机等 非电类:
中国民航大学 CAUC
1.1
信号的描述、分类和典型示例
3.连续时间信号与离散时间信号
《信号与系统基础及应用》第1章 信号与系统基础知识
22
第1章 信号与系统基础知识
5.功率信号和能量信号
按信号的能量特性划分，将信号分为能量信号 和功率信号。
信号的能量：在整个时间轴上，
E x(t) 2 dt
E |x(n)|2 n
信号的功率：在整个时间轴上，
1
P lim T T
T
2 T
x(t) 2 dt
2
P lim 1
N
x(n) 2
光程差 5
第1章 信号与系统基础知识
一维信号又如： 均匀分布白噪声
高斯分布白噪声
6
二维信号的两个例子
第1章 信号与系统基础知识
1
0.5
0
-0.5 10
5
10
0 -5
5 0 -5
-10 -10
Lena Soderberg 瑞典人
莱娜图：标准测试图像
7
（2）系统的例子
第1章 信号与系统基础知识
8
第1章 信号与系统基础知识
17
第1章 信号与系统基础知识
1.确定性信号和随机性信号
• 确定性信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，在其 定义域内任意时刻都有确定的函数值。反之是随机性信号。
x1 (t)
确定
1
x2 (t)
2
x3 (t)
1
信号
0
t
0
t
0
2
t
随机
x4 (t)
x5 (t)
信号 0
t
0
t
18
第1章 信号与系统基础知识
2
第1章 信号与系统基础知识
1.1 信号与系统的定义 1.2 信号的分类及典型信号 1.3 信号的基本时域运算 1.4 系统的分类及常用表示方法
第1章 信号与系统基础知识
5.功率信号和能量信号
按信号的能量特性划分，将信号分为能量信号 和功率信号。
信号的能量：在整个时间轴上，
E x(t) 2 dt
E |x(n)|2 n
信号的功率：在整个时间轴上，
1
P lim T T
T
2 T
x(t) 2 dt
2
P lim 1
N
x(n) 2
光程差 5
第1章 信号与系统基础知识
一维信号又如： 均匀分布白噪声
高斯分布白噪声
6
二维信号的两个例子
第1章 信号与系统基础知识
1
0.5
0
-0.5 10
5
10
0 -5
5 0 -5
-10 -10
Lena Soderberg 瑞典人
莱娜图：标准测试图像
7
（2）系统的例子
第1章 信号与系统基础知识
8
第1章 信号与系统基础知识
17
第1章 信号与系统基础知识
1.确定性信号和随机性信号
• 确定性信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，在其 定义域内任意时刻都有确定的函数值。反之是随机性信号。
x1 (t)
确定
1
x2 (t)
2
x3 (t)
1
信号
0
t
0
t
0
2
t
随机
x4 (t)
x5 (t)
信号 0
t
0
t
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第1章 信号与系统基础知识
2
第1章 信号与系统基础知识
1.1 信号与系统的定义 1.2 信号的分类及典型信号 1.3 信号的基本时域运算 1.4 系统的分类及常用表示方法
信号与系统基础及应用第1章 信号与系统基础知识
1 xe (t) 2 [x(t) x(t)]
1 xo (t) 2 [x(t) x(t)]
2.信号分解为基本信号的有限项之和 xa (t) t[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)]
xa (t) tu(t) (t 1)u(t 1) u(t 2)
t
2
Gτ t
1
O
2
t
2
⦿其他函数只要乘以门函数，就只剩下门内的部分。
3.符号函数(Signum)
1,t 0 sgn(t) 1,t 0
sgnt
O
t
sgn(t) u(t) u(t) 2u(t) 1
u(t) 1 [sgn(t) 1] 2
1.3.1 信号的相加和相乘
1
0 1
0
1
信号的和
0
1
信号的积
0
1.3.2 信号的微分与积分
积分 原信号 微分
1.3.3 信号的平移、翻转与展缩
时移
右移
左移
展缩
x(t) t[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)] x(2t) 2t[u(t) u(t 0.5)] [u(t 0.5) u(t 1)] x( t ) t [u(t) u(t 2)] [u(t 2) u(t 4)]
《信号与系统基础及应用》
• 第1章 信号与系统基础知识 • 第2章 连续时间信号分析 • 第3章 连续时间系统分析 • 第4章 离散时间信号分析 • 第5章 离散时间系统分析 • 第6章 离散傅里叶变换及应用 • 第7章 数字滤波器设计
第1章 信号与系统基础知识
信号与系统基础知识-精选.pdf
时间（电压从 10％上升至 90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过
冲越小，系统特性越好。其中电压上升时间反映了系统的响应速度，小的上升时间对应快的响应速度。如果
被测电压快速变化，而测量系统的响应特性相对较慢，则必然产生较大的测量误差。
信号与系统分析的另一种方法是频域分析。信号频域分析的基本原理是把信号分解为不同频率三角信
f (t) 0
F (k 1) k1
t
0
图 1-2 周期矩形波信号的时域和频域
信号和系统分析还有复频域分析的方法，对于连续信号和系统，基于拉普拉斯变换，称为
s 域分析；对
于离散信号和系统，基于 z变换，称为 z 域分析。基于复频域分析，能够得到信号和系统响应的特征参数，
即频率和衰减，分析系统的频率响应特性和系统稳定性等；复频域分析也能简化系统分析，将在时域分析
信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。系统的分析和描述借助于建立系统
输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。
系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。这些区别导致分析方法的
重要差别。本课程的内容限于线性时不变系统。
我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析， 即分析信号随时间变化的波形。 例如， 对于一个电压测
f a (t ) 是一个电压信号或电
流信号，它作用在一个 1Ω 电阻上时所消耗的能量为信号能量。
一个离散信号 f d ( n) 的能量定义为
Ed
n
2
fd (n)
当 f d ( n) 为复信号时，
2
fd (n)
f d (n) fd (n) 。
《信号与系统》第一章
学习目标
1
掌握信号与系统的基本概念、性质和分类，理解 信号与系统在信息传输、处理和应用中的重要地 位和作用。
2
掌握信号的描述和分析方法，包括时域和频域分 析，理括线性时不变系 统和线性时变系统，理解系统的基本特性、分析 和设计方法。
02
系统的基本概念和分类
阐述了系统的基本概念，系统分类（如线性时不变系统、非线性系统 、离散系统等），以及系统的描述方法。
信号与系统在通信工程中的应用
讨论了信号与系统在通信工程中的重要性，如调制解调、频分复用等 。
信号与系统在控制工程中的应用
探讨了信号与系统在控制工程中的应用，如PID控制器、控制系统稳 定性分析等。
下章预告
傅里叶变换
介绍傅里叶变换的定义、性质 及其在信号处理中的应用。
系统的状态变量分析
通过状态变量法对线性时不变系统 进行分析，包括状态方程的建立、 解法以及系统的稳定性分析。
拉普拉斯变换与Z变换
介绍拉普拉斯变换和Z变换的定 义、性质及其在连续系统和离 散系统分析中的应用。
系统的能控性和能观性
介绍能控性和能观性的概念、 判据以及其在控制系统设计中 的应用。
02
在实际应用中，需要根据具体需求和场景，选择合适的系统和信号处理方法， 以达到最佳的处理效果。
03
深入研究和理解信号与系统之间的相互作用关系，有助于更好地应用信号处理 技术，推动相关领域的发展和创新。
05
CATALOGUE
总结与展望
本章总结
信号的基本概念和分类
介绍了信号的基本概念、信号的分类（如连续信号、离散信号、周期 信号、非周期信号等）以及信号的表示方法。
CATALOGUE
信号的基本概念
第1章 信号与系统(二版)于慧敏9
将要介绍几种在信号与系统分析中用得较 多的基本信号，它们不仅经常会出现，更重要 的是用这些基本信号可以构成许多其他的信号。
§1.2.1 连续时间复指数信号与正弦 信号 连续时间复指数信号具有下列形式 ：
x(t ) Ce st
式中C和s一般为复数：
s j
根据这些参数值的不同，复指数信号可分为以下几种： 1. 实指数信号 2. 周期复指数信号和正弦信号 3. 一般复指数信号
图1.5 周期信号
§1.1.1 信号的描述与信号的分类
连续周期信号可表示为:
x(t ) x(t mT), m 0,1,2,...
T
我们把能使上式成立的最小正值 称为 x(t ) 2T ,3T ,4T ... 都是 的周期。
x(t )
的基波周期。
§1.1.1 信号的描述与信号的分类
一、连续时间单位阶跃信号与冲激信号
1. 单位阶跃信号
2. 冲激信号
二、冲激偶信号
§1.2.2 奇异信号
1. 单位阶跃信号
u(t ) 单位阶跃信号的记作 ， 其定义为： 0 t 0 u (t ) t0 1
t0 在跳变点 处无定义 。
图1.17 单位阶跃信号
§1.2.2 奇异信号
n n2
2
1 P x[n] n n 1 n 2 1 n
1
2
在无穷大区间内，离散时间信号总能量E和平均功率P分别定义为
E lim
N n N
N
x ( n)
2
n
x n
2
N 2 1 p lim x n N 2 N 1 n N
信号与系统基础-第1章
单位阶跃信号是从实际应用中抽象出来的。比如，图1-14中S 的在开t关 0 时刻闭合， 则理想情况下电阻R 上的电压uR (t) (t)
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究， 其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号 的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各 种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数 的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（ 详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点： （1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值） 的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值）， 也可以是离散的。 （2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列 垂直线段。
1 2
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究， 其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号 的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各 种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数 的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（ 详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点： （1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值） 的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值）， 也可以是离散的。 （2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列 垂直线段。
1 2
信号与系统第一章
n n n 1 L n m L
m 0
n
m
令 k n பைடு நூலகம்，则 n
k
k
n
上式的正确性在于 k 仅在 k 0时为1，其余 k时取为0， n时，求和式为 0 所以当 时，求和式为零，而当 n0 1。
T
2t
2
e 4T lim T 2
所以该信既非能量信号又非功率信号
1.2 基本的连续时间和离散时间信号
1.2.1 单位阶跃信号（unit step function）与单位冲激信 号（unit impulse function） 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函 数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数） 的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。
一、阶跃函数
下面采用求函数序列极限 的方法定义阶跃函数。 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
若阶跃幅度为 A ，则可记为 A t
若单位阶跃函数跃变点在 t t 0处，则称为延迟单位阶 跃函数
1, t t0 0, t t0 t t0
阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε (t)- 3ε (t-1) +ε (t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间
3.信号（signal） 信号是信息的载体，通过信号传递信息。 为了有效的传播和利用信息，常常需要将信息转 换成便于传输和处理的信号。 信号于我们并不陌生，如刚才的铃声——声信号， 表示该上课了； 十字路口的红路灯——光信号，指挥交通； 电视机天线接收的电视信号——电信号； 日常生活中的文字信号，图像信号，生物电信号 等，都属于信号。
m 0
n
m
令 k n பைடு நூலகம்，则 n
k
k
n
上式的正确性在于 k 仅在 k 0时为1，其余 k时取为0， n时，求和式为 0 所以当 时，求和式为零，而当 n0 1。
T
2t
2
e 4T lim T 2
所以该信既非能量信号又非功率信号
1.2 基本的连续时间和离散时间信号
1.2.1 单位阶跃信号（unit step function）与单位冲激信 号（unit impulse function） 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函 数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数） 的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。
一、阶跃函数
下面采用求函数序列极限 的方法定义阶跃函数。 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
若阶跃幅度为 A ，则可记为 A t
若单位阶跃函数跃变点在 t t 0处，则称为延迟单位阶 跃函数
1, t t0 0, t t0 t t0
阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε (t)- 3ε (t-1) +ε (t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间
3.信号（signal） 信号是信息的载体，通过信号传递信息。 为了有效的传播和利用信息，常常需要将信息转 换成便于传输和处理的信号。 信号于我们并不陌生，如刚才的铃声——声信号， 表示该上课了； 十字路口的红路灯——光信号，指挥交通； 电视机天线接收的电视信号——电信号； 日常生活中的文字信号，图像信号，生物电信号 等，都属于信号。
《信号与系统》课件第1章 (3)
41
4. 指数信号 指数信号的一般数学表达式为
f(t)=Aest
根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论： (1) s=σ时，此时为实指数信号，即
(1-23)
f(t)=Aeσt
(1-24)
当σ>0时，信号呈指数规律增长；当σ<0时，信号随指数规律
衰减；当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号，如图1-
16所示。
42
图1-16 实指数信号
43
(2) s=σ+jω，此时为复指数信号。利用欧拉公式，可以进 一步表示为
(1-25) 可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的 正弦振荡，当σ>0(σ<0)时，其实部和虚部的振幅按指数规律增 长(衰减)；当σ=0时，复指数信号变为虚指数信号
(1-26) 此时信号的实部和虚部都是等幅振荡的正弦波。复指数信号 虚部的波形如图1-17所示。
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
若f(t)在t=t0时连续，则有
f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)
(1-16) (1-17)
36
对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果: (1-18) (1-19)
式(1-19)说明，δ(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选) 出来，这就是δ(t)的筛选性。
11
图1-4 非周期能量信号
12
图1-5 非周期功率信号
13
图1-6 非功率非能量信号
14
1.2.2 几种常用的基本信号 1. 单位斜变信号 斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增加的信
号。斜变信号也称斜坡信号。若斜变信号增长的变化率为1， 斜变的起始点发生在t=0时刻，就称其为单位斜变信号(如图 1-7所示)，其数学表达式为
4. 指数信号 指数信号的一般数学表达式为
f(t)=Aest
根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论： (1) s=σ时，此时为实指数信号，即
(1-23)
f(t)=Aeσt
(1-24)
当σ>0时，信号呈指数规律增长；当σ<0时，信号随指数规律
衰减；当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号，如图1-
16所示。
42
图1-16 实指数信号
43
(2) s=σ+jω，此时为复指数信号。利用欧拉公式，可以进 一步表示为
(1-25) 可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的 正弦振荡，当σ>0(σ<0)时，其实部和虚部的振幅按指数规律增 长(衰减)；当σ=0时，复指数信号变为虚指数信号
(1-26) 此时信号的实部和虚部都是等幅振荡的正弦波。复指数信号 虚部的波形如图1-17所示。
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
若f(t)在t=t0时连续，则有
f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)
(1-16) (1-17)
36
对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果: (1-18) (1-19)
式(1-19)说明，δ(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选) 出来，这就是δ(t)的筛选性。
11
图1-4 非周期能量信号
12
图1-5 非周期功率信号
13
图1-6 非功率非能量信号
14
1.2.2 几种常用的基本信号 1. 单位斜变信号 斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增加的信
号。斜变信号也称斜坡信号。若斜变信号增长的变化率为1， 斜变的起始点发生在t=0时刻，就称其为单位斜变信号(如图 1-7所示)，其数学表达式为
第1章 信号与系统的基本知识
f1(t) ，sin(2t) cos(3t)
为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数 2（ 2T1或3T2）。
cos(2t) 和 sin(t)的周期分别为
由于
K T1 T2 2
为无理数，故
T1
2 1
T2
2 2
2
f2(t) sin(t) cos(2t) 为非周期信号。
X
2. 系统的描述
第 9
页
• 系统可用数学模型和方框图来表示。
• 一个系统可以用一个矩形方框图简单地表示，方 框图左边为输入x(t)，右边为系统的输出y(t)，方 框表示联系输入和输出的其他部分，是系统的主 体。
• 系统的组合连接方式有串联、并联及混合连接。
• 连续系统可以用一些输入输出关系简单的基本单 元（子系统）连接起来表示。这些基本单元有加 法器、数乘器（放大器）、积分器。
ay1(t) by2 (t)
和 y1(t) T[x1(t)] y2 (t) T[x有2 (t：)] （1.3.1）
• 式中a、b为任意常数，该式具有满足叠加性和（或齐次性）的特 点。不满足该式的为非线性系统。
• 线性系统具有“零输入产生零输出”的特性，可以由此判断是否 为线性系统。
• “信息（information）”，它是信息论中的一个术语。通过各 种消息的传递，使人们获取各种不同的信息。因此，通俗的 说，“信息”是指具有新内容、新知识的“消息”。为了有 效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处 理的信号。在本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格 区分。
• “信号（signal）”也称为“讯号”，是运载消息的工具，是 消息的载体，“消息”通过“信号”表现出来。也就是说： “信号”是“消息”的表现形式与传送载体。“信号”是反 映“信息”的各种物理量，是系统直接进行加工、变换和处 理的对象。
信号处理与系统分析-第1章信号与系统的基本概念
E
n
| x[n] |
2
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连续时间信号的总的平均功率(Average Power)定义为：
1 P lim T 2T
T
T
| x(t ) | dt
2
离散时间信号的总平均功率定义为：
1 2 P lim N| x[n] | N 2 N 1 n
N
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典型的能量有限信号
面积有限
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功率有限，总能量无限。
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功率无限，总能量无限。
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1.2自变量的变换
信号自变量的变换就是函数自变量的变换。
它既基础又简单，但同时也是最容易出错 的地方，需要读者细心体会。
最小正周期
T 2 / | 0 |
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正弦信号(Sinusoidal Signals)
角频率
相位
x(t ) A cos(0t )
幅度
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量纲
Rad/s
rad
x(t ) A cos(0t )
s
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本课程主要讨论一维信号的处理。
虽然信号的自变量决不局限于时间，但是 若无特殊声明，函数的自变量都可以理解 为时间变量。
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如果用来表示信号的函数的自变量的定义 域是实数域，所表示的信号称为连续时间 信号(Continuous-Time Signal)，或者称为 模拟信号(Analog Signal或者Simulated Signal)，
信号与系统第一章
.-
第 1 章 信号与系统的基本概念
图 1 3 1 连 续 信 号 的 相 加 和 相 乘
第 1 章 信号与系统的基f1(k) 本概念
1
－ 3－ 2－ 10 1 2 3 4 5 6
k
图
f2(k )
1
1
.-
－ 3－ 2－ 1
3
0 12345
k
2
－1
离
f1(k )＋f2(k )
散
2
信
号
1
的
－ 3－ 2－ 1
如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化 规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。
第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-1 噪声和干扰信号
第 1 章 信号与系统的基本概念
2. 连续信号与离散信号
一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有 定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信
时间轴展缩(尺度变换)而成的一个新的信号函数或波形。 在信号f(at)中，a为常数，|a|>1时表示f(t)沿时间轴压
缩；|a|<1时表示f(t)沿时间轴展宽。例如图1.3-5分别表示 f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形。
信号展缩的一个例子是：如果f(t)表示录制在磁带上 的语音信号，则f(2t)表示放音速度要比原来录制的高一 倍；f(t/2)表示放音速度要比原来录制的慢一倍。
序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序 列值或者写成序列值的集合。例如，图1.1-3(a)所示的正弦序 列可表示为
f1(k )Asin 4k
第 1 章 信号与系统的基本概念
f1(k )
… －2
－8 －6 －4
第1章信号与系统概论
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1.2常见的基本Βιβλιοθήκη 号• 1.2.1直流信号• 直流信号定义为:
• 式中，C为实常数。直流信号一也称为常量信号，它是非时限的信号。 当C=1时称为单位直流信号。
• 1.2.2正弦信号
• 1.连续时间正弦信号 • 由于正弦函数和余弦函数二者在相位上相差π/2，在本书中统称正弦
信号。正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形 是数学上的正弦曲线而得名。任何复杂信号都可以分解为正弦信号的 叠加。一个正弦信号可表示为:
• 即复指数序列可以用余弦和正弦序列表示。反过来，正弦和余弦序列 也可以用复指数序列来表示，即:
上一页 下一页 返回
1.2常见的基本信号
• 一般离散时间的复指数信号可以用实指数和正弦信号来表示，如图 1.2.3所示。
• 1.2. 4抽样信号
• 抽样信号定义为: • 抽样信号的波形如图1. 2.4所示，它具有以下性质
是频率相同、振幅随时间变化的正(余)弦信号。s的实部σ表征了该信 号振幅随时间变化的状况，其虚部ω表征了其振荡角频率。若σ >0， 它们是增幅振荡;若σ <0，则是衰减振荡;当σ =0，是等幅振荡。图 1.2.2所示为增幅和衰减两种情况的振荡信号波形。 • 2.离散时间复指数信号 • 与连续的情况下一样，复指数离散时间信号或序列定义为:
• 1.单位斜坡信号 • 连续单位斜坡信号r(t)的定义为:
上一页 下一页 返回
1.2常见的基本信号
• 其波形如图1. 2. 5中的直线a所示，显然它的导数在t=0处不连续。图 1.2.5中的直线b为r(t-t0)的波形。
• 离散单位斜变(斜坡)序列定义为:
• 2.单位阶跃信号及其相关的信号 • 连续时间单位阶跃信号用ε(t)表示，定义为:
1.2常见的基本Βιβλιοθήκη 号• 1.2.1直流信号• 直流信号定义为:
• 式中，C为实常数。直流信号一也称为常量信号，它是非时限的信号。 当C=1时称为单位直流信号。
• 1.2.2正弦信号
• 1.连续时间正弦信号 • 由于正弦函数和余弦函数二者在相位上相差π/2，在本书中统称正弦
信号。正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形 是数学上的正弦曲线而得名。任何复杂信号都可以分解为正弦信号的 叠加。一个正弦信号可表示为:
• 即复指数序列可以用余弦和正弦序列表示。反过来，正弦和余弦序列 也可以用复指数序列来表示，即:
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1.2常见的基本信号
• 一般离散时间的复指数信号可以用实指数和正弦信号来表示，如图 1.2.3所示。
• 1.2. 4抽样信号
• 抽样信号定义为: • 抽样信号的波形如图1. 2.4所示，它具有以下性质
是频率相同、振幅随时间变化的正(余)弦信号。s的实部σ表征了该信 号振幅随时间变化的状况，其虚部ω表征了其振荡角频率。若σ >0， 它们是增幅振荡;若σ <0，则是衰减振荡;当σ =0，是等幅振荡。图 1.2.2所示为增幅和衰减两种情况的振荡信号波形。 • 2.离散时间复指数信号 • 与连续的情况下一样，复指数离散时间信号或序列定义为:
• 1.单位斜坡信号 • 连续单位斜坡信号r(t)的定义为:
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1.2常见的基本信号
• 其波形如图1. 2. 5中的直线a所示，显然它的导数在t=0处不连续。图 1.2.5中的直线b为r(t-t0)的波形。
• 离散单位斜变(斜坡)序列定义为:
• 2.单位阶跃信号及其相关的信号 • 连续时间单位阶跃信号用ε(t)表示，定义为:
信号与系统概论第一章
持续时间无限短、取值无限大、对时间积分有限。
2）冲激函数定义 （多种方式演变） ①单位冲激函数（狄拉克函数）
（ ※ 0时刻取不定值，面积为1。为广义函数）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
◆ t=t0时刻的单位冲激函数：
②矩形脉冲定义的单位冲激函数
（ ※ 面积为冲激强度，强度为1时为单位冲激）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
※ 对于冲激偶函数可继续二次求导。（如双边指数脉冲等）
冲激函数
冲激偶函数
强度无穷大
（单向面积：1/τ）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
2）冲激偶函数的性质 ①
推导：
0
性质
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②面积为零：
③冲激偶函数与普通函数乘积的性质： （证：两边取积分）
-f’(0)
0
-f’(0)
1.4 信号的基本运算及波形变换（续）
② 若以变量 at+b 代替 t，可得沿时间轴伸缩平移的 新信号 f(at+b)。 a>0时：信号沿时间轴伸缩、平移。
（a>1, a<1)
a<0时：信号沿时间轴伸缩、平移、反褶。（a>-1,a<-1) ◆特点：
所有运算都是自变量t的变换，且变换前后端点函数值不变。
③其他函数形式定义的单位冲激函数
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
3）冲激函数的性质 ①抽样性质（筛选特性）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
冲激函数与普通函数乘积的积分可将普通 函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来！
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②偶函数性质： ③与阶跃函数的关系： ◆冲激函数的积分是阶跃函数： δ(t) = δ(-t)
2）冲激函数定义 （多种方式演变） ①单位冲激函数（狄拉克函数）
（ ※ 0时刻取不定值，面积为1。为广义函数）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
◆ t=t0时刻的单位冲激函数：
②矩形脉冲定义的单位冲激函数
（ ※ 面积为冲激强度，强度为1时为单位冲激）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
※ 对于冲激偶函数可继续二次求导。（如双边指数脉冲等）
冲激函数
冲激偶函数
强度无穷大
（单向面积：1/τ）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
2）冲激偶函数的性质 ①
推导：
0
性质
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②面积为零：
③冲激偶函数与普通函数乘积的性质： （证：两边取积分）
-f’(0)
0
-f’(0)
1.4 信号的基本运算及波形变换（续）
② 若以变量 at+b 代替 t，可得沿时间轴伸缩平移的 新信号 f(at+b)。 a>0时：信号沿时间轴伸缩、平移。
（a>1, a<1)
a<0时：信号沿时间轴伸缩、平移、反褶。（a>-1,a<-1) ◆特点：
所有运算都是自变量t的变换，且变换前后端点函数值不变。
③其他函数形式定义的单位冲激函数
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
3）冲激函数的性质 ①抽样性质（筛选特性）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
冲激函数与普通函数乘积的积分可将普通 函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来！
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②偶函数性质： ③与阶跃函数的关系： ◆冲激函数的积分是阶跃函数： δ(t) = δ(-t)
信号与系统第1章-信号与系统的基本概念
1 0 1 2 t
1 0
1
t
1 0
2
一半语速信号
4 t
正常语速信号
2倍语速信号
若
a 1 ，波形在t 轴上扩展 1 a 倍。
若 a 1 ，波形在t 轴上压缩1/
a 倍。
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第一章 信号与系统的基本概念
前言
§1.1 信号的描述与分类 §1.2 连续时间信号的基本运算与变换 §1.3 系统的描述与分类 §1.4 系统分析方法
♣ 连续时间信号的基本运算主要包括
相加（减）、相乘（除）、微分、积分
♣ 信号波形变换主要指
波形的翻转、平移和展缩 通常是通过对自变量的代换实现
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
一．信号的相加减
f1(t) 1 0 1
1
f ( t )=f1 ( t )+f2 ( t )
2 1
1
f2 (t)
f1 (t ) f2 (t )
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
六．信号的时移（波形平移）
连续时间信号的时移定义为
y(t ) f (t t0 )
f (t )
f (t b)
t0为时移量
t t t0
f (t b)
-1
b1
t
(-1+b)
1 (1+b) t
(-1-b)
(1-b)
t
t0＞0时右移
t0＜0时左移
出现冲激， 其冲激强度 为该处的跳 变量
0
1 2 3
t
0 1
-2
3 (2)
t
1 0
1
t
1 0
2
一半语速信号
4 t
正常语速信号
2倍语速信号
若
a 1 ，波形在t 轴上扩展 1 a 倍。
若 a 1 ，波形在t 轴上压缩1/
a 倍。
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第一章 信号与系统的基本概念
前言
§1.1 信号的描述与分类 §1.2 连续时间信号的基本运算与变换 §1.3 系统的描述与分类 §1.4 系统分析方法
♣ 连续时间信号的基本运算主要包括
相加（减）、相乘（除）、微分、积分
♣ 信号波形变换主要指
波形的翻转、平移和展缩 通常是通过对自变量的代换实现
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
一．信号的相加减
f1(t) 1 0 1
1
f ( t )=f1 ( t )+f2 ( t )
2 1
1
f2 (t)
f1 (t ) f2 (t )
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
六．信号的时移（波形平移）
连续时间信号的时移定义为
y(t ) f (t t0 )
f (t )
f (t b)
t0为时移量
t t t0
f (t b)
-1
b1
t
(-1+b)
1 (1+b) t
(-1-b)
(1-b)
t
t0＞0时右移
t0＜0时左移
出现冲激， 其冲激强度 为该处的跳 变量
0
1 2 3
t
0 1
-2
3 (2)
t
第1章 信号与系统分析的理论基础 张晔版
矩形脉冲信号 脉冲宽度
平移特性
正弦信号
指数信号
抽样函数
偶函数
高斯函数
偶函数，以后会涉及均值和方差 在
随机信号和信号时
地位。
高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数。
单位阶跃函数
定义
单位阶跃函数的积分
单位阶跃函数的单边特性
“符号函数”的阶跃函数表示
单位冲激函数
定义
狄拉克（Dirac ）定义
应用特性
冲激函数的抽样性
单位冲激函数与单位阶跃函数的关系
单位冲激函数为偶函数
单位冲激函数的尺度特性
单位冲激函数与任何函数的乘积
单位冲击偶
另外一些特性，+∞）区间内所有平移形成抽样定理，即连续信号离散化中非常重要。
三角函数集
三角函数形式的傅里叶展开
复指数函数集
指数函数形式的傅里叶展开
线性特性
非时变特性
卷积积分定义
卷积的图解换、翻转、平移、相乘、积分
卷积的基本性质换律、分配律、结合律
卷积的微分
卷积的积分
函数与冲激函数的卷积
函数与阶跃函数的卷积。
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1 2 / N (rad)
• 非周期信号可看作周期趋于无穷大 • 周期信号可用非周期信号表示 x (t ) x1 (t mT ) T x1(t)为第一周内信号 m • 一定条件下，非周期信号也可用周期信号表示
13 2015年9月1日 © DMU.BGX
例：判断下列信号是否是周期信号，并求出周期
• 函数值是实数的信号称为实信号。物理信号都是实信号 • 函数值是复数的信号称为复信号。代表某物理量
实信号：x* (t ) x(t )
x(t ) xr (t ) jxi (t ) x(t ) e j (t )
1 实部：xr (t ) [ x(t ) x* (t )] 2 1 虚部：xi (t ) [ x(t ) x* (t )] 2j
2
实序列：x* (n) x(n)
x(n) xr (n) jxi (n) x(n) e j ( n)
1 xr (n) [ x(n) x* (n)] 2 1 xi (n) [ x(n) x* (n)] 2j
模： x() x() x* () xr2 () xi2 () xi () 幅角： () arctg xr ()
1) x(t ) cos(2t ) sin(3t )
3) x(n) sin(0.125n 0.25 )
解：
2) x(t ) cos(2t ) sin(t )
4) x(n) sin(0.125n 0.25 )
2 2 2 T1 3 1) 是, T1 , T2 , , T 2T1 3T2 2 1 2 3 T2 2
2015年9月1日
即实部奇对称，虚部偶对称
18
© DMU.BGX
共轭对称与反对称(续)
• 共轭对称
x(n) x* (n)
• 共轭反对称 x(n) x* (n)
x(n) xe (n) xo (n)
1 xe (n) [ x(n) x* (n)] 2 1 xo (n) [ x(n) x* (n)] 2
先修课程：高等数学、电路分析
2015年9月1日 © DMU.BGX 6
教材与参考
• 教材： 校内自编讲义《信号与系统》 • 参考：
• 学习建议： ① 预习、笔记 ② 借助Matlab 仿真理解概念
③ 练习比“阅读解答”更有效
④ 交流答疑
2015年9月1日 © DMU.BGX 7
第1章 信号与系统的基本概念
1 共轭反对称分量：xo (t ) [ x(t ) x(t )] （实部奇对称，虚部偶对称） 2
例：x(t ) e
j t 2
, x* (t ) e
j t 2
x(t ) 是共轭反对称信号
x(t ) sint j cost ,
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2 1 xo (n) [ x(n) x(n)] 2
2015年9月1日
© DMU.BGX
16
例：奇偶分解
x(t )
1
x(n) 1 n 2n 2 3n3 4n4
2
t
x(t )
1
2
xe (n) 1 2n 2 4n 4
x1 (n)
1 0 1 2
3 4 5
x2 (n)
1
67 8 9
n
1 0 1 2 3 4 5 6
n
x1 (n) ,0, 2 ,1, 2 ,0, 2 ,
n 0
2015年9月1日 © DMU.BGX
x2 (n) 0,1,1,1,0,0,1
（箭头省略）
11
4. 实信号与复信号
x(n) x(n)
• 任一非对称信号可分解为偶对称分量与奇对称分量之和
x(t ) xe (t ) xo (t )
1 偶分量：xe (t ) [ x(t ) x(t )] 2
1 奇分量：xo (t ) [ x(t ) x(t )] 2
x(n) xe (n) xo (n)
电子科学与通信专业必修课
信号与系统
Signals and Systems
白桂欣
bgx@
信息学院·电科系
2015年9月1日
© DMU.BGX
1
信号的基本概念
• 信号：传递消息的载体，表现为某种变化的物理量 • 电信号：随时间变化的电压、电流、电荷或磁通
• 例：一段Juita信号
1
/2
x (t )dt lim
2 d 2 d
1
/2
/2
2 xd (t ) xa (t )dt lim
/2
2 xa (t )dt
1
/2
/2
2 xa (t )dt
/2
/2
x (t )dt 0 lim
1
/2
3) E t 2 dt
0
1 2 2 1 P lim t dt lim T T 0 T 3T
T
2015年9月1日 © DMU.BGX
T , 非功非能信号 2
22
3
例2：信号的平均功率等于交直流功率之和
以连续信号为例简要证明如下：
x(t ) xd (t ) xa (t )
2015年9月1日
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2
信号分析
• 对信号进行数学描述、分解和变换，了解信号特性 • 分析域有时域、频域、复频域
• 例：Juita信号的部分时域波形与频谱
2015年9月1日
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3
系统的基本概念
输入信号 消息 转换 器 发射 机 信道 输出信号 接收 机 转换 器 消息
通信系统模型
• 由相互关联的部件或子系统连接而成，具有特定功能的整体
• 人为设计的电系统是主要讨论对象
vs
C
L R
i
2015年9月1日
© DMU.BGX
4
系统分析
输入信号 （激励） • 分析线性时不变系统 系统 输出信号 （响应）
• 建数学模型
• 给定输入信号求解输出信号 • 判断系统特性 • 分析域：时域、频域、复频域
t
xo (n) n 3n3
xe (t )
1 2
2
2
t
2
1 2
xo (t )
2
t
2015年9月1日
© DMU.BGX
17
共轭对称与反对称
• 共轭对称
• 共轭反对称
x(t ) x* (t )
x(t ) x* (t )
1 1 * x(t ) [ x(t ) x (t )] [ x(t ) x* (t )] xe (t ) xo (t ) 2 2 1 共轭对称分量：xe (t ) [ x(t ) x* (t )] （实部偶对称，虚部奇对称） 2
•
波形
t
•
数据
n x(n)
-1 -5
0 0
1 5
2 10
9
2015年9月1日
© DMU.BGX
二、信号的分类
1. 一维与多维信号
• 一维信号：函数只有一个自变量
• 多维信号：函数有多个自变量 2. 确定与随机信号 • 确定性信号：给定一个自变量，函数有确定的函数值
• 随机信号：给定自变量，函数给不出确定的函数值
1
2
2
x(t )dt
xa (t ) x(t ) xd (t )
xa (n) x(n) xd (n)
2015年9月1日
© DMU.BGX
15
7. 对称信号与非对称信号
• 偶对称信号
• 奇对称信号
x(t ) x(t )
x(t ) x(t )
x(n) x(n)
2, n 0 2) x(n) 0, n 0
2 0
t, t 0 3) x(t ) 0, t 0
1) E x(t ) dt e 4t dt 1 / 4, 是能量信号
N N 1 1 2 2 2) P lim x ( n ) lim 2 N 2 N 1 N 2 N 1 n N n 0 4( N 1) lim 2, 是功率信号 N 2 N 1
• 交流信号是不含直流的周期信号，其平均值为零
xa (t )dt 0
n
x
a
( n) 0
• 任一信号可分解为直流分量与交流分量之和
x(t ) xd (t ) xa (t )
xd (t ) lim
x(n) xd (n) xa (n)
M 1 xd (n) lim x ( n) M 2 M 1 n M
• 功率信号： P , E • 能量信号： P 0, E
• 非功率非能量信号： P , E
2015年9月1日 © DMU.BGX 21
例1：判断下列信号是否能量或功率信号？
e 2t , t 0 1) x(t ) 0 , t 0
解：
2015年9月1日
© DMU.BGX
5
课程内容概览
第1章 信号与系统的基本概念
第2章 线性时不变系统的时域分析 第3章 连续时间信号与系统的傅里叶分析 第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 第5章 离散时间信号与系统的复频域分析