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第三章流体静力学(流体的平衡)

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第三章流体静力学

第三章流体静力学

第三章流体静力学•静止（平衡）状态：流体相对于惯性参考坐标系（地球）没有运动。

•静止或相对静止状态下的流体呈现粘性吗？dvxdy作用在流体上的表面力只有负的法向应力（静压强）。

dFnpnn pn即dA第一节流体静压强及其特性•特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。

pdFnnn dApnn——受力表面的外法线方向。

• 特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与其作px py pz pn 用面在空间的方位无关，即x方向平衡方程：1px y z pn BCD cospn,x21fx x y z06BCD cospn,x BAD简化条件x，y，z0注意：1、静止流体中不同点的压强一般是不等的，p=f(x,y,z)。

2、实际流体运动时，由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向应力不再相等。

3、理想流体运动时，没有切应力，所以呈静压强分布特性，p x py pz p第二节流体平衡方程式一、平衡方程式p x p-x2y z表面力x向受力p+p x y zx2质量力fx x y z• 物理意义：在静止的流体中，当微小六面体以a点为极限时，作用在该点单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。

• 适用性：对不可压缩和可压缩流体的静止及相对静止状态都适用。

二、压强差公式等压面p p p p=f x,y,z dp dx dy+dz x y z1p1p1pfx0，fy0，fz0x y z• 压强差公式 dp(fxdx fydy fzdz)或• 等压面微分方程 dp f dsf ds01、等压面：流体中压强相等的各点所组成的面。

2、只有重力作用下的等压面应满足的条件：（1）静止；（2）连通；（3）连通的介质为同一均质流体；（4）质量力仅有重力；（5）同一水平面。

3、性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。

三、平衡条件（*）d p fxdx fydy fzdz右侧必是某函数-x,y,z的全微分因此， fx,fy,fz x y z 或f grad （设a是向量场，若存在纯函数u，使a=gradu，则称u为a的势函数。

第三章 流体力学

第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax

P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0

gh

p0

1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮

1 2
V

v
2 1

gh2V


gh1V
即：
p1

1 2

v
2 1

gh1

《流体静力平衡方程》课件

《流体静力平衡方程》课件

挑战
尽管流体静力平衡方程已经有了广泛的应用 和深入的研究，但仍存在一些挑战和问题。 例如，如何处理非线性项、如何提高数值模 拟的精度和效率、如何将该方程应用于更复 杂的工程问题等。
展望流体静力平衡方程在未来的应用前景和发展趋势
应用前景
随着科技的进步和工程需求的增加，流体静 力平衡方程的应用前景将更加广阔。例如， 在新能源领域，研究者可能会利用该方程来 优化风力发电设备的性能；在环保领域，该 方程可能会被用来预测和控制水体流动和污 染物扩散等。
区别
比较流体静力平衡方程与其他物理方 程的适用范围和限制条件，明确它们 在描述不同物理现象时的区别和特点 。
05
总结与展望
总结流体静力平衡方程的重要性和应用价值
重要性
流体静力平衡方程是流体力学中的基本 方程之一，它描述了流体在静止或相对 静止状态下的受力平衡情况。这个方程 在许多工程领域中都有广泛的应用，如 航空航天、船舶、石油化工等。
流体静力平衡方程在物理问题中的应用
地球物理学研究
地球物理学研究地球内部和地表的物理性质和过程。流体静 力平衡方程在研究地球内部流体（如地幔中的熔岩）的平衡 状态和流动行为中具有重要应用。
天文学中的行星大气研究
在天文学中，行星大气的研究涉及到流体的平衡和流动问题 。流体静力平衡方程用于分析行星大气的压力分布、温度梯 度以及重力对大气的效应等。
流体静力平衡方程在流体力学中的应用
流体的平衡分析
流体静力平衡方程是流体力学中用于分析流体平衡状态的基本工具。通过该方 程，可以确定流体的压力分布、重力场对流体的作用以及流体的稳定性等。
流体静力学的应用
流体静力学是流体力学的一个重要分支，主要研究流体在静止或相对静止状态 下的力学性质。流体静力平衡方程在解决与流体静力学相关的问题中具有广泛 的应用。

第三章流体静力学

第三章流体静力学
一、静止液体作用在固体壁面上的总压力
作用在平面上总压力的计算方法有两种： 解析法
图解法
第二十六页，共八十九页。
1.平面总压力大小
o
设有一与水平面成α夹角的倾斜平面 ab，其面积为A，左侧受水压力， 水面大气压强为p0，在平板表面所 在的平面上建立坐标，原点o取在 平板表面与液面的交线上，ox轴与
hD hC yb
整理 p2p1gh
液体静力学基本方程式为 pp0 gh
第八页，共八十九页。
二.流体静力学基本方程的意义
1.A点的压强
p p 0g h p 0g (z 0 z )
整理
p
g
z
p0
g
z0
常数
意义：
Z——单位重量液体的位置势能(简称比位能)；
——p 静止液体中单位质量液体的压力能(简称比压能)
g
，比位能与比压能之和称为总比能。
3.运动流体是理想流体时，不会产生切应力，所以理想流体
动压强呈静水压强分布特性，即
第七页，共八十九页。
第二节 重力场中流体的平衡
一.流体静压强的基本方程
静止液体所受的力除了液体重力外 ，还有液面上的压力和固体壁面作 用在液体上的压力，其受力情况如 图所示。
1.受力平衡方程
p 2 A p 1 A g l A co 0 s
D
sin y2dA sinyc AyD
式中 y2dA 为受压面对ox轴的惯性矩 I X
所以
yD
Ix ycA
第三十二页，共八十九页。
根据平行移轴定理：
I X IC yC2 A
∴
yD
yc
Ic ycA
ohD hC h源自αa yyb

流体静力学

流体静力学

结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随 深度按线性规律增加。 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等 于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等—只有重力 作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另 外一点的压强值。
3-3－2 静止流体平衡的微分方程式
欧拉运动方程
V 1 (V )V F grad p t F 1
V=0

grad p
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
图示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx， dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力 分析,以y方向为例
2008年01月07日08:45
液压机械的工作原理液压机Leabharlann 液力倍压器液压千斤顶
二、液体静压强分布的基本规律
1、重力作用下，静止液体中等压面是一个水平面。
2、两种液体的分界面既是水平面，又是等压面。
3、静止的非均质液体，水平面既是等压面，又是等 密度面和等温面。 4、液体静压强的大小与容器的形状无关。
绝对静止 相对静止 流动的理想流体 (流体质点间可能有相对运动） 理想流体动压强呈静水压强分布特性， 即：px=py=pz=pn=p p表示静止流体中作用在该点任意取向的面积元上压应力的大 小，叫做流体静力学压强，简称压强． 压强是流体力学中—个很重要的参数．在国际单位制中压 强的单位是帕(Pa)，这是为了纪念法国数学家帕斯卡(Pascal) 对流体静力学的贡献而命名的．1Pa＝1N／m2．
p1 pa 3332 Pa
p 2 pa p1 水g h水 3332 1000 9.8 0.09 4214 Pa

流体力学-03-1 流体静力学

流体力学-03-1 流体静力学

流体静力学3 流体静力学流体静力学是研究流体相对某一参考系统为静流力学是研究流相对某考统止状态下的力学特征。

阿基米德欧拉浮力定律流体质点平衡状态方程目标确定流体内部压力场的静力学方程式目标：确定流体内部压力场的静力学方程式。

作用在流体上的两种力：质量力、表面力质量力)——作用及分布于指定质量的整个质力(体积力)作分布指质的个体积，而无需物理上的直接接触；表面力——作用于流体表面或内部界面，是通过与表力作用于流体表或内部界是通过与表面或内部界面的直接接触而实现，其力分布于接触面。

触面质量力：d zd x d y表面力：“静止”流体Æ无切向力表面力仅为压力泰勒展开：表面力：中心点O的压力为p压强梯度压力梯度是单位体积上由压强所产生的表面力的负值。

可以看出：在计算表面净剩压力时，压强本身的大小不很重要，重要的是压强随着距离的变本身的大小不很重要重要的是压强随着距离的变化率，也就是压强梯度。

体积力+表面力流，顿第示对于流体质点，牛顿第二定律表示为对于流体质点流体静止，加速度等于0欧拉平衡方程某位置处单位体积的压力+该位置处单位体积的重力=0如果重力矢量与z 轴取一致的话轴取一致的话，力矢与轴取致的，则，g x =0，g y =0，g z =-g静力学基本方程：d p g ργ=−≡−适用范围：适用范围：11.d z静止流体；2.质量力只有重力存在；3.z 轴是垂直地面的方向()(1) 不可压缩流体ρ=ρ= constant压力分布满足：d p=0Æd z=0在等压面上00在重力场中，水平面为等压面。

在重力场中，压强只与垂直坐标有关。

压力和高度的基本关联式常常用于解决压力计问题，分析多管压力计时，要考虑以下原则：①连通管中同一种液体在同一高度的任何两点，压连通管中同种液体在同高度的任何两点压力相同；②随着液柱的下降，压力增大。

()()(2) 可压缩流体上册P22-24)液压力密度的关联式积模或弹性模液体压力和密度的关联式用体积模量（或弹性模量）来表示气体的密度一般取决于压力和温度ρf()真实大气密度：=f 地理位置、季节、时辰……)国际标准大气状态主要按照北半球中纬度地区各季节中大气的平均值而定出：各季节中大气的平均值而定出①空气被看作是完全气体；②大气的相对湿度为零；③以海平面作为高度计算的起点；④在高度11000米以下，气温随高度呈直线变化，每升高1米，气温下降0.0065度；米气温下降00065⑤在约11000~24000米范围内，气温保持不变，此时的温度为216.7K。

流体力学复习内容

流体静压强定义: 分离体外液体作用在分离体流体表 v 面的负的法向应力
dFn v v pnn pn dA
特征一： 流体静压强的方向沿作用面的内法向方向。 特征二： 静止流体中任一点上不论来自何方的静压 强均相等。
3.2 流体平衡的微分方程式
一，平衡方程：由微元受力平衡（表面力和质量力） 得出静止流体平衡的微分方程。
1、压强差公式：
dp f x dx f y dy f z dz
表明：静止液体中，流体静压强的增量dp随坐标增量 的变化决定于质量力。
3.6 静止液体作用在平面上的总压力
§2.2 流体受力平衡微分方程
压强全微分方程： 等压面方程：
dp f x dx f y dy f z dz
分子组成的，宏观尺度非常小，而微观尺度又
足够大的物理实体。
§2.2 连续介质假设
流体质点选取必须具备的两个基本条件：
宏观尺度非常小：
才能把流体视为占据整个空间的一种连续介质， 且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函 数的一种假设模型。 有了这样的模型，就可以把数学上的微积分手 段加以应用了。
微观尺度又足够大的物理实体：
使得流体质点中包含足够多的分子，使各物理 量的统计平均值有意义（如密度，速度，压强，温 度，粘度，热力学能等宏观属性）。而无需研究所 有单个分子的瞬时状态。
§2.5 流体的可压缩性
流体体积随着压力和温度的改变而发生变化的 性质。
二、流体的第二个重要特性——可压缩性
单一参数影响规律
x x(a，b，c，t )
特征：追踪观察，如将不易扩散的染料滴一滴到水流
中，染了色的流体质点的运动轨迹。
用欧拉方法求流体质点物理量时间变化率的一 般公式为：

流体力学第3章流体静力学

√（c）质量力有势
（d）流体黏度小
23
3.3一些流体静力学基本问题
在工程和科学中，有各种各样与重力场静止液体
相关的问题，如过程工业中盛装液体的容器的受力，
水坝和水闸等水工结构的受力，船舶的浮力和浮力矩
的设计，液压机械受力等等。
3.3.1重力场静止液体中的压力分布与物体受力
24
(1)重力场中静止液体的压力公式
a x
35
解：物体重量为：
a3 G 9810 (0.6 1.4) 2
a x
物体受到的浮力为： F=a2(a-x)×9810×0.9+a2x×9810×1.3 由于两者平衡：G=F
（a3/2）× (0.6+1.4)=a2[(a-x) ×0.9+x ×1.3]
由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m


M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33


由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有







36
3.3.2非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
A V V
A

第3章 流体静力学 (华水)


微分形式的等压面方程
f x dx f y dy f z dz 0
性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于 经过该点的等压面
等压面及其特性：
等压面: 等压面性质:
1、在平衡液体中等压面就是等势面 p＝cons tan t dp 0 dU 0
液体中压强相等的点连成的面 （可能是曲面或平面）
方向特性
pc pc
pc
h
大小特性
静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面
证明方法：……？？
反证法
特性二（大小特性）：静压强的大小与作用面在 空间的方位无关，只是坐标点的连续可微函数
即作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。
边长 δx、δy、δz 静压强 px、py、pz和pn
密度 ρ
单位质量力的分量 fx 、fy、fz
1 p 0 z

2 p f x 不可压缩均质 y yx 2 p f y xy x
fx fy y x
单位质量力分量之间有下述关系
f y f x x y
f x f z z x
5.255
二 大气压的压强分布（可压缩流体中压强的变化）
在大气层中,从高11000m到20100m的空间为大气恒温层,
等温过程,气体的密度：

p RT
重力场中单位质量力分量为： 代入压差公式,得
dp p gdz RT1
f x f y 0, f z g
积分
dp RT1 gdz 0 p
用液柱高度表示 hV
pV p p a g g
三 绝对压强 计示压强(相对压强) 真空(真空度)

工程流体力学 第三章 流体静力学(孔珑 第三版)

两侧压差：
Δp pA pB 2 gh 1 gh2 1 gh1 2 1 gh
如果被测流体为气体：
21
1 gh 0
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
4.倾斜微压计
玻璃管倾斜角

，截面积 A1
宽广容器截面积 A2
微压计存在压差 p2 p1
F mg pe 13263 Pa 2 d 4
液柱显示的压强：
pe gH h
联立方程，解得：
H 0.8524 m
24
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
P30例题3-2 如图所示，为测压装置。假设容器 A 中水面上的计 h 示压强 pe 2.45 104 Pa ， h 500 mm ，h1 200mm ， 2 100mm 3 3 h3 300mm ，水的密度 1 1000kg m ，酒精的密度 2 800kg m B 中气体的计示压强。 水银的密度 3 13600kg m3 ，试求容器
16
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
三、绝对压强 计示压强 p26 绝对压强：以真空为基准计量的压强。
p pa gh pa ——大气压强
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。
pe p pa gh （测压计显示压强）
真空：绝对压强小于当地大气压
pV pa p pe （又称负压）
1 p fx 0 x
同理：
1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
——流体平衡方程式（欧拉方程）
5
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
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第三章 流体静力学（流体的平衡）
1.流体的平衡：绝对平衡、相对平衡 2.流体平衡时的压强 3.流体平衡的条件 3.1.平衡的微分方程 ∂ p dx ∂ p dx −∂ p dydz − p dydz = dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x 表面力： −∇ p dxdydz d 体积力： f b =∇ p 绝对平衡方程： f x 方向表面力： p −
∫ gy sin dA= g sin ∫ y dA= g y c sin A= P c A
A A
设压力中心坐标为
x D , y D = x C f , y C e ,其中 f 和 e 称为纵向和横向偏心矩。
则总合力对形心坐标轴的力矩：
F e =∫ dF = g sin ∫ y dA F f =∫ dF = g sin ∫ y dA∇ p d r =0
d 考虑到绝对平衡方程，得出等压面的微分方程： f b r = 0 ，即在等压面上体力处处与等压面 垂直。
3.3.流体平衡的必要条件
b =∇× 由绝对平衡方程得 ∇× f 1 −1 ∇ p = 2 ∇ ×∇ p
−1 ∇ p⋅∇ ×∇ p =0 3 ⋅∇ × f =0 流体平衡的必要条件 f b b b⋅∇ × f b = 于是 f
均质流体 =constant
≡0 ∇× f b
−∇ =
1 ∇p
=
−p
非均质流体：正压流体 = p ，如等温或绝热气体 定义压力函数 P p ： ∇ P =
=∇ P 由绝对平衡方程得， f b 4.流体静力学基本方程（静力学规律）
由 P =− gz C 得
∇p p ≡0 ，故 f 有势，势函数 =− P p ∇× f b b
此时，等压面，等体力面（等体力势能面），等密度面重合。
P P z =C 2 (总水头) gz = C1 或 g p =p 0 gh ，其中 h 为淹深。 P p = g h 0 = g he ，其中 he 为等效深度。 g
Pascal 定理{见笔记纸}
10
5.均质液体的相对平衡 5.1.液体做等加速直线运动 =g −a =constant ， f b 由绝对平衡方程， g− a=∇ p , dp =−gdz −adx , p =− ax gz C x = 0, z = z : p = p 0 ,得出 C =p 0 g z 0 由边值 0 a 压力分布 p =p 0 g [ z 0 − z − x ] g 性质：压强线性分布；等压面为平行平面；垂直方向压强分布 p =p 0 g h , h =z s − z 为淹
Ah Ah
总压力大小 液体与压力体异侧时， F x 与 F h 变号。
∣= F 2 F 2 ∣F x h
{对于二维曲壁，不要求计算主矩为零时主矢的作用点。}
【补压强场的笔记】
11
A A A A
I 可以求得 e : = yc A
I f : = yc A
7.均质流体对曲壁的总压力（二维曲壁）
总压力的水平分量
F x =∫ d F x = g ∫ h dAx = g h xc Ax ,其中 h 为曲壁水平投影面 A 的形心淹深。 xc x
Ax Ax
总压力的垂直分量
F x =∫ d F h= g ∫ h dAh = g p ， 称为压力体，为壁面上方液体的体积。 p
深。
5.2.均质流体的等角速度旋转运动 6.均质液体对平壁面的总压力 {回顾理论力学静力学部分知识——力系的简化与平衡：一般力系对任一点均可以简化为一个主矢与主矩。
特别的，对于平面力系，如果主矢不为零，那么空间内可以找到唯一的一条直线，以线上的点为参考点， 力系主矢为零。} 微面元所受压力： dF = g h dA= g y sin d A , 为 y 轴与水平面夹角。 壁面所受总压力： F =