工程流体力学 第三章流体静力学

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（4）正压流场
流体密度只是压力的函数的流场称之为正压流场，
即：
( p)
p const
热力学等温过程的流场就是一种正压流场，因为 等温过程中

上式说明正压流场中等压面与等密度面重合，这 是正压流场的一个重要性质。
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正压流场的流体静力学基本方程可写为：

1 f p ( p)
p gh p0
上式即为重力场下均质静止液体中的压力
分布公式。该公式是流体静力学计算的基础之
一。
27
(2)物体所受的浮力——阿基米德定律
完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受 到液体对它的作用力，其合力称之为浮力。与 静止液体接触的物体，其表面所受的浮力可以 p z 表示为：
0
F n pdA
对于固体，无论在运动中还是处于静止状态，一 个面上总可以同时有切应力和法向应力的作用。但对 于流体，只有在运动状态下才有可能存在切应力，而 处于绝对静止或相对静止状态的流体中，任何一个面 上都只有法向应力的作用，并且是压应力，也就是压 强。其性质如下：
3
(1)压强作用方向沿作用面的内法线方向 如右图所示。当流体 受到任何微小的切应力作 用时，流体的变形就持续 不断的发生，并且当切应 力消失之后，已发生的变 形 不会再恢复到初始位置，也就是说只要有切 应力存在，流体就不会静止。此外，流体几乎 不能承受拉力。所以，在静止流体内部，切应 力为零，只有沿作用面内法线方向的应力，即 压强。 4

p

)
1

(p )
1

p
( ) p

则有：(p

( (p ) 0)
27717,19,13, P276,A-9)
p 1 1 1 f ( f ) [( ) p] ( )(p p)

14
由于p p 0 ，所以有
A



0
F
ρ
dA → p n
A,V
其中，“-”表示dA上的压力与n 相反。A为物 体表面面积， 为表面单位法线矢量，p为物体 n 表面所受的压力。 28
以坐标原点为参数点，物体所受的合力矩为：
M ( r n ) pdA
A



①完全浸没物体的浮力
如图所示一个完全浸没在液体中的物体，物 体体积为v，表面积为A,液体密度为ρ，自由液 体与大气接触，大气压为p0，物体表面所受压力 为：


M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33


由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有
阿基米德（Archimedes，公元前287－212）
欧美诸国历史上有记载的最早 从事流体力学现象研究的是古希腊 学者阿基米德在公元前250年发表 学术论文《论浮体》，第一个阐明 了相对密度的概念，发现了物体在 流体中所受浮力的基本原理──阿 基米德原理。
1
3 流体静力学
基本内容：
•流体静力学基本方程及流场静止条件
两边取旋度并整理：
p 1 f ( ) ( p) p 2 ( p) [ ( p)]

由于等压面与等密度面重合，所以 p 与 必然是平行矢量，所以 p 0。
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因此有 f 0 力有势。
பைடு நூலகம்
即静止正压流场的质量
结论：处于静止的正压流场，其质量力必 然有势；反之，在质量力有势的条件下，处于 静止状态的必然是正压流场。
将式(a)代入上式得：
pn dA cos 0
px
2 3
dxfx pn 0
7
当微元体向D点缩小时，dx 0,则px=pn。同理 可得： py=pn pz=pn 所以有px=py=pz=pn。由于ABC面的方向是任取 的，这就证明了，静止流体在通过D点的任意方 向上的压强都相等。 z
A1 A1 A2
ngzdA
A1
A1 A2
n p dA ngzdA
0 A1
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假定沿自由液面切割物体，物体切割面的 面积为A0，显然有
ngzdA 0
A0

z
0
A0
F
A2,V2
dA
p0
于是A1，A0构成封闭面， 应用奥-高公式有：
F ngzdA ngzdA

f ( f ) 0

即流体静止的必要条件。 在直角坐标系中为：
f y f x f z f z fx ( ) fy( ) y z z x f y f x fz ( )0 x y
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例3-1. 设在一流场中有质量力：

f ( y 2yz z ) i
即： x dx f y dy f z dz 0 f

f d l 0


上式即为等压面方程。式中 d l为等压面上的 有向微元线段。它说明了质量力与等压面垂
直。
13
3.2.2静止流场基本特性
(1)流体静止时质量力必须满足的条件 对静力学基本方程两边取旋度，有：
f ( 1
C py dx A x pz dz
D
px dy
B
y
pn
8
3.2流体静力学基本方程及静止流场的基本特性
3.2.1流体静力学基本方程 为了分析平衡状态下流体 z p 内部压强与质量力的关系，在 流体内部取如图示微元六面体， dy dz 分析微元体在x轴上的受力情 dx 况。在x轴正方向上的压力为 y pdydz，在x负方向上的压力为 p+(әp/әx)dx x [p+(әp/әx)dx]dydz。 质量力在x轴方向上的分量为ρfxdxdydz。
px
β dy
y B
x
pz
6
由几何关系得：
dA cos 1 dydz 2 1 （a） dA cos 2 dxdz dA cos 1 dxdy 2
z C py dx A pz
γ D α
dz
px
β dy
pn y
B
x
作用在微元体上的外力应平衡，在x方向有：
p x 1 dydz 1 dxdydz f x 2 3
A V V
A


上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液体 的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。 30
②部分浸没物体的浮力 物体的浮力可写成：
F n pdA n p0 dA
A1 A2
z
F
0 A2,V2
dA A1,V1
p0
ρ
→ p n
ngzdA ( n p0 dA n p0 dA)
即：dp ( f x dx
f y dy f z dz)
称为压差公式。
圆柱坐标系下的压差公式为：
dp ( f r dr rf d f z dz)
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将流体内部压强相等的点连接起来的曲 面称之为等压面。在等压面上，p(x，y，z)= 常数。 或： dp 0, 矢量式为：
2 2
(1 v) xy (v 1) z x (1 ) x z ( v 1) x y 0
2
18
要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即:
1 0, 1 v 0, 1 v 0
解三元一次方程组得：
fx 0
fy 0
f z g
z o h
由于压差公式为： ( f x dx f y dy f z dz) dp
则dp gdz
积分得：
p0 y p
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p gz c
若用距离自由液面的深度h表示，则p=ρgh+c
当h=0时，p=p0，于是确定积分常数c=p0，则：
2 2 2

( z 2xz x ) j
2
( x 2vxy y ) k
2 2

问：当λ,µ ,v取何值时，该流场是静止的。
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解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：

f ( f ) 0

在直角坐标系中的表达式为：
f y f x f x f z f z f y fx ( ) f y ( ) fz ( )0 y z z x x y
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流体处于静止状态，则x z 轴方向上力的平衡方程为：
p dy dz dx y
f x dxdydz pdydz
p ( p dx)dydz 0 x
整理得：
x
p+(әp/әx)dx
同理可得：
p f x , x
p p f y , f z y z
(c)
10
v
1 2
只有满足上述条件时，该流场中的流体才 是静止的。
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(2)质量力有势
对于不可压缩流体，其密度ρ=const，则

f (

p

)
[P277（19）]
两边取旋度：
所以

p f ( )
f 0

这是不可压缩流体静止的必要条件。 由上式
f U
•流体静压及计算
•浮力的计算
•压力测量方法
•非惯性坐标系中的静止流体特性
•静止流体对壁面的压力