4-5 阻尼振动 受迫振动 共振

v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2

2



0 x 0
2
dt
dt
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k （固有频率）
0
m


（阻尼系数）
2m
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4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
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4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
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f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
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4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
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r

d2x
k

x0
2
2
dt
m J r

v F γ
O x
v v F = −kx
x
dx 动力学方程 m 2 = −kx − γ dt dt k γ 2 令 ω0 = ,2β = m m 2 dx dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt 2 dt
ω0
d2 x
：无阻尼时振子的固有频率
β ：阻尼因子
方程解： 方程解：
x = Ae
−β t
f0 dA d 求极值： 求极值： = =0 dω dω ω2 −ω2 2 + 4β 2ω2 0
(
)
共振频率： 共振频率： 共振振幅： 共振振幅：
2 ωr = ω0 − 2β 2
ω0为固有频率
Ar =
f0
2 2β ω0 − β 2
结论： 阻尼系数 β 越 小，共振角频率ωr 越接近于系统的固 有频率 ω0 ，同时 共振振幅A 也越大。 共振振幅 r也越大。
cos( ω − β
2 0
2
t +ϕ
)
x = Ae
−β t
cos(ωt +ϕ)
2π
A
2
x
周期： 周期： T =
ω −β
2 0
O
t
2 β 2 < ω0
角频率： 角频率： ω =
ω −β
2 0
2
A
x = Ae
讨论： 讨论：
−β t
cos ω − β t +ϕ
2 0 2
(
)
2 β 2 < ω2 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动 振动为减幅振动， 1. 阻尼较小时（β 2 < ω0 ），振动为减幅振动，振幅

在阻尼振动中，振动系统的机械能减小，即动能和势能之和减小．但在一段较短的时间 内，动能和势能不一定都减小，关键是要看动能与势能之间是如何转化的．
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1．(多选)弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小，这是由于( ) A．振子开始振动时振幅太小 B．在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量 C．动能和势能相互转化 D．振子的机械能逐渐转化为内能
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[特别提醒] (1)振幅的大小表征一个振动系统总机械能的大小，当振动过程有介质阻力做功时，机械 能转化为内能，机械能减少，振幅减小． (2)物体做受迫振动时，驱动力的频率与物体的固有频率相差越小，受迫振动振幅越大， 驱动力的频率等于物体的固有频率时振幅最大．
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4 阻尼振动 受迫振动
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[课标解读] 1.知道阻尼振动，知道自由振动和阻尼振动的区别.2.掌握受迫振动的概 念，理解受迫振动的振幅与驱动力的频率之间的关系.3.理解共振的原因，掌握产生共振 的条件．
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要点一 对阻尼振动的理解
1．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动． 实际的振动系统不可避免地要受到摩擦力和其他阻力作用(即受到阻尼的作用)，将一部分 机械能转化为其他形式的能量，导致振动的总能量不断减小，因而振动的振幅也不断减 小．
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2．影响振幅减小的因素 振幅减小的快慢跟振动所受的阻尼有关，阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼越小，振幅 减小得越慢．当阻尼很小时，在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可认为是等 幅振动． (1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小决定． (2)物体做无阻尼振动，并不一定指它不受阻尼，而是指它在振动过程中保持振幅不变． (3)物体做阻尼振动时，振幅虽然不断减小，但振动的频率仍由振动系统的结构特点所决 定，并不会随振幅的减小而变化．例如用力敲锣，由于锣受到阻尼作用，振幅越来越小， 锣声减弱，但音调不变．

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第17章 振 动
上海环球金融中心风阻尼器
19
第17章 振 动
阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，“周期”越长。 2) 过阻尼运动
当阻尼较大 2 02 或 1 其解为：
x(t) c1e
2 02
t
c2e
2 02
t
3
第17章 振 动
特点是运动没有周期性，经过相当长的时间物体才能回 到平衡位置。
3) 临界阻尼运动
若 2 02或 1
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
画任意时刻旋矢图
A2 2 A
h
02 A
得
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
arctg
2 02 2
位移与驱动力的相位差
驱动力初 相为零
8
第17章 振 动
结论: 受迫振动的振幅 A 及受迫振动与驱动力的相位
设驱动力按余弦规律变化 即 F H cost
由牛顿第二定律有
m
d2x dt 2
kx
dx dt
H
cos t
弹性力 阻尼力
kx
dx dt
周期性驱动力
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
F H cost
其中 02 k / m
5
/ 2m
第17章 振 动
h H /m
d2x dt 2
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第17章 振 动
共振现象的应用: 我国古代就有大量的应用: 天坛的回音壁 黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演
工程上的的应用 簧频计