新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)

《8.5 空间直线、平面的平行》复习教案8.5.1 直线与直线平行【基础知识拓展】1．求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．等角定理是立体几何的基本定理之一．对于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补．当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间的三条直线a，b，c，如果a∥b，a与c不平行，那么b与c 不平行．( )(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．( )(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )(4)对于空间直线a，b，c，d，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d.( )答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对(2)如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.答案(1)B(2)证明：如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，所以QMMB＝QNCN＝12，则MN∥BC.又G，H分别为PB，PC的中点，所以GH∥BC，所以GH∥MN.【核心素养形成】题型基本事实4及等角定理的应用例如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.【解题技巧】证明两条直线平行及角相等的方法(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)由基本事实4可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的．因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明．(3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【跟踪训练】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.证明如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形.∴CM∥BK.又A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四边形A 1KBQ 为平行四边形． ∴A 1Q ∥BK ，由基本事实4有A 1Q ∥CM .同理可证A 1P ∥CN ，由于∠PA 1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反． ∴∠PA 1Q ＝∠MCN .【课堂达标训练】1．已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝80°，则β＝( ) A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．不能确定答案 C解析 由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或β＝80°.2．已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.则四边形EFGH 的形状是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．矩形D ．梯形 答案 D解析 在△ABD 中可得EH ∥BD, EH ＝12BD ，在△CBD 中可得FG ∥BD ，FG ＝23BD ，所以EH ，FG 平行且不相等，所以四边形EFGH 是梯形．3．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线垂直、平行、异面，故选D.4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行答案 D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，因为A1E＝2ED，所以M为AD的中点．连接BF并延长，交AD于点N，同理可得，N为AD的中点．所以M，N重合，又MEED1＝12，MFBF＝12，所以MEED1＝MFBF，所以EF∥BD1.5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与棱AA1平行的棱共有几条？分别是什么？解与AA1平行的棱共有两条，分别是BB1，CC1.《8.5.1 直线与直线平行》课后作业基础巩固训练一、选择题1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直答案 D解析将展开图还原为正方体，如图所示．故选D.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直答案 C解析连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.3．给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．4．如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC 的中点，则下列说法中不正确的是( )A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形答案 D解析 由中位线定理，易知MQ ∥BD ，ME ∥BC ，QE ∥CD ，NP ∥BD .对于A ，有MQ ∥NP ，所以M ，N ，P ，Q 四点共面，故A 说法正确；对于B ，根据等角定理，得∠QME ＝∠CBD ，故B 说法正确；对于C ，由等角定理，知∠QME ＝∠CBD ，∠MEQ ＝∠BCD ，所以△BCD ∽△MEQ ，故C 说法正确．由三角形的中位线定理，知MQ 綊12BD ，NP 綊12BD ，所以MQ 綊NP ，所以四边形MNPQ 为平行四边形，故D 说法不正确，选D.5．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是( )A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上 答案 D解析 连接EH ，FG .因为F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，所以GF ∥BD ，且GF ＝23BD .因为点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，所以EH ∥GF ，且EH ≠GF ，所以EF 与GH 相交，设其交点为M ，则M ∈平面ABC ，同理M ∈平面ACD .又平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以M 在直线AC 上．故选D.二、填空题6．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案①解析由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a⊂平面α，b⊂平面β时，a与b 可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故正确说法的序号为①.7．如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB平行的棱有________条，分别是________．答案 3 CD，A1B1，C1D1解析因为四棱台中两底面都是正方形，侧面ABB1A1是等腰梯形，所以AB ∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故与棱AB平行的棱有CD，A1B1，C1D1，共3条．8．P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为________．答案1 3 a解析如图，∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE，并延长分别交AB，BC于M，N点，则M，N分别为AB，BC的中点，∴DE綊23MN，MN綊12AC，∴DE綊13AC，∴DE＝13a.三、解答题9．如图所示，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，如图．∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又Q，F分别是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形C1QDF为平行四边形．∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．能力提升训练如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；(3)若AC⊥BD，请问四边形EFGH是什么图形？解 (1)证明：在△ABD中，∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝12 BD.同理，在△BCD中，FG∥BD，且FG＝12 BD.∴EH∥FG，且EH＝FG.∴四边形EFGH是平行四边形．(2)证明：∵AC＝BD，由(1)知EF＝HG＝12AC，EH＝FG＝12BD，∴EH＝HG＝GF＝FE.∴四边形EFGH是菱形．(3)∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，由(1)知四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形.《8.5.2 直线与平面平行》复习教案【基础知识拓展】1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可①直线a和平面α平行，即a∥α.②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.③直线a在平面β内，即a⊂β.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行．( )(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．( )(4)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行(2)梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交(3)已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．(4)如图，空间四边形ABCD中，若M，N，P分别是AB，BC，CD的中点，则与MN平行的平面是________，与NP平行的平面是________．答案(1)C (2)B (3)l⊄α(4)平面ACD平面ABD【核心素养形成】题型一直线与平面平行的理解例1 能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b[解析] A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c ∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.[答案] D【解题技巧】平行问题的实质(1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线和平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．(2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．【跟踪训练】给出下列几个说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．故选B.题型二直线与平面平行的判定例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.[证明] 如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.【解题技巧】证明线面平行的方法、步骤(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行．即由立体向平面转化．(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论．(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理．【跟踪训练】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1B，B1C的中点．求证：EF∥平面ABCD.证明如图，分别取AB，BC的中点G，H，连接EG，FH，GH.则由三角形中位线性质知：EG∥FH，且EG＝FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面ABCD，而GH⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.题型三直线与平面平行性质定理的应用例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.[证明] 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1 .又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A 1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.【解题技巧】利用线面平行的性质定理解题的步骤【跟踪训练】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.【课堂达标训练】1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B 的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案 B解析由线面平行的判定定理可知，B正确．2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )答案 C解析在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP；在图C中，AB与平面MNP相交，故选C.3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．平行或都相交于同一点答案 D解析因为l⊄α，所以l∥α或l∩α＝A.若l∥α，则由线面平行的性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由基本事实4可知，a∥b∥c….若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故选D.4．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.答案20 9解析∵a∥α，平面ABD∩α＝EG，∴EG∥a.∴AFAC＝EGBD，∴54＋5＝EG4，即EG＝209.5．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.∵M，N分别是△ABD和△BCD的重心，∴BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1，∴MN∥PQ.又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，∴MN∥平面ADC.6．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形.《8.5.2 直线与平面平行》课后作业基础巩固训练一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a ∩b ＝∅，直线b ⊂α，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线 答案 D解析 由直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理，知D 正确． 2．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l ，m ∥l ，m ⊂α，则必有( )A ．l ∥αB ．α∥γC ．m ∥β且m ∥γD ．m ∥β或m ∥γ答案 D 解析⎭⎬⎫β∩γ＝l ，l ⊂β，l ⊂γm ∥l ，m ⊂α⇒m ∥β或m ∥γ.若m 为α与β的交线或为α与γ的交线，则不能同时有m ∥β，m ∥γ.故选D.3. 如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 为PA 的中点，O 为AC 与BD 的交点，下面说法错误的是( )A ．OQ ∥平面PCDB ．PC ∥平面BDQ C ．AQ ∥平面PCD D ．CD ∥平面PAB 答案 C解析 因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以AO ＝OC .又Q 为PA 的中点，所以QO ∥PC .由线面平行的判定定理，可知A ，B 正确．又四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，故CD ∥平面PAB ，故D 正确．AQ 与平面PCD 相交，C 错误，故选C.4．如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE与AB的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能答案 B解析∵三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A 1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故选B.5．如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，点H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案 A解析∵E，F分别为AA′，BB′的中点，∴EF∥AB.∵AB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD＝HG，∴EF∥HG，∴HG∥AB.二、填空题6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有________条．答案 6解析如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1，共6条．7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.答案22a 3解析∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.易知DP＝DQ＝2a 3 .故PQ＝2a·23＝22a3.8．如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABC和平面ABD解析连接CM并延长交AD于E，连接CN并延长交BD于F，则E，F分别为AD，BD的中点，连接MN，EF，∴EF∥AB.又MN∥EF，∴MN∥AB，∵MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴MN∥平面ABD.三、解答题9. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE.证明如图，连接AC交BD于点O，连接OE.在▱ABCD中，O是AC的中点，又E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线．∴OE∥PA.∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE.能力提升训练1．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是( )A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n答案 C解析对于A，如图①所示，此时n与α相交，则A不正确；对于B，如图②所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图③所示，m与n相交，故D不正确．故选C.2．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．所以O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.《8.5.3 平面与平面平行》复习教案【基础知识拓展】1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是________．(4)平面α∥平面β，直线l∥α，则直线l与平面β的位置关系是________．答案(1)C (2)相交或平行(3)②③④(4)l∥β或l⊂β【核心素养形成】题型一平面与平面平行判定定理的理解例1 下列命题中正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④[解析] 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；对于③：一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．故选D.[答案] D【解题技巧】应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．【跟踪训练】设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个 B．2个 C．3个 D．0个答案 A解析①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正确.题型二平面与平面平行的判定例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D 1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明] (1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.【解题技巧】线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．【跟踪训练】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[解] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.【解题技巧】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤【跟踪训练】如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.证明若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥ED，∴PN∥α，同理可证MP∥BE，∴MP∥α，∴平面MPN∥α，又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E ＝EF＝FC.[解] (1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于点O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD 的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.【解题技巧】三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．【跟踪训练】如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′A′A＝23，求S△A′B′C′S△ABC的值．解∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.∴△A′B′C′∽△ABC.又PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5.∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.【课堂达标训练】1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β答案 D解析A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，l∩m＝M，且l，m 分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面答案 D。

8.5 空间直线、平面的平行【教学设计】(3课时) -高中数学人教A版新教材2019必修第二册小单元教学+专家指导（视频+课件+教案）教学目标：1.了解空间直线、平面的定义及性质；2.学会判断两条直线、两个平面之间是否平行；3.掌握利用向量方法和解析几何方法判断两条直线、两个平面之间是否平行。

教学重难点：重点：空间直线、平面的平行性质。

难点：利用向量方法和解析几何方法判断两条直线、两个平面之间是否平行。

教学过程：一、引入1. 教师可列举日常生活中的平行例子，让学生感受平行的概念和性质。

2. 调用幻灯片或其他现实例子，演示和解释空间三元组和空间中的直线、平面、点、线段等基本概念。

3. 引入空间直线、平面的定义及性质。

二、讲解1. 空间直线、平面的定义及重要性质。

2. 判断两条直线、两个平面之间是否平行的方法：（1）向量法。

（2）解析几何法。

三、练习1. 给定两条直线，让学生利用向量法判断是否平行。

2. 给定两个平面，让学生利用解析几何法判断是否平行。

四、巩固与评价1. 学生自主讨论、解答教师提出的问题。

2. 教师提出相关题目，让学生巩固练习。

3. 添加一些趣味性小游戏，让学生在轻松愉快的环境中复习巩固知识。

五、课堂小结1. 回顾、总结本节课所学内容。

2. 提醒学生下节课预习内容。

教学评价：本节课通过题目练习，引发学生对空间直线、平面的定义及平行性质的深入思考，并通过生动有趣的小游戏巩固知识点，既加深了学生的理解，又提高了学生的学习兴趣和积极性。

在教学过程中，教师不仅让学生学会了课堂所讲的定义及相关知识点，更重要的是培养了学生的分析能力和判断能力，让学生在学习中得到了更多的思考和成长。

最后，也要提醒学生，要加强对空间直线、平面的学习和理解，掌握相关方法和技巧，不断提升自己的数学素养。

8.5 空间直线、平面的平行一、判定定理：定理表示线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字叙述平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示ab aa bααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭aba b Aabαααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⎪⎭图形表示二、性质定理：线面平行的性质定理面面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言aa a bbαβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭=a a a bbαβγβγ⎫⎪⋂⇒⎬⎪⋂=⎭知识梳理图形语言作用线面平行⇒线线平行面面平行⇒线线平行题型一线面平行判定例1如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为梯形，//AB CD，4AB=，2CD=，点M在棱PD上. 求证：//CD平面PAB【详解】因为//CD AB，CD⊄平面PAB，AB平面PAB，所以//CD平面PAB；已知三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，BA AC⊥，12AB AA AC===，M为AC中点.证明:直线1//B C平面1A BM【分析】连接1AB交1A B于点O，再证明1//OM B C，得证；巩固练习知识典例【详解】证明：连接1AB 交1A B 于点O ，连接OM ，11A ABB 为平行四边形，O ∴为1AB 的中点，又M 为AC 的中点，1//OM B C ∴.又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM .1//B C ∴平面1A BM .题型二 面面平行判定例 2 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、11A B 、11A C 的中点.（1）求证：B 、C 、H 、G 四点共面； （2）求证：平面1//EFA 平面BCHG ；（3）若1D 、D 分别为11B C 、BC 的中点，求证：平面11//A BD 平面1AC D . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）证明出//GH BC ，即可证明出B 、C 、H 、G 四点共面；（2）证明//EF BC ，可得//EF 平面BCHG ，证明四边形1A EBG 是平行四边形，可得出1//A E BG ，可证明出1//A E 平面BCHG ，再利用面面平行的判定定理可证明出结论；（3）连接1A C 交1AC 于点M ，可得出1//DM A B ，可证明出//DM 平面11BD A ，证明出四边形11BDC D 为平行四边形，可得出11//C D BD ，可得出1//C D 平面11BD A ，然后利用面面平行的判定定理可证明出结论. 【详解】 （1）GH 是111A B C ∆的中位线，11//GH B C ∴.在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，11//B C BC ∴，//GH BC ∴，因此，B 、C 、H 、G 四点共面；（2）E 、F 分别为AB 、AC 的中点，//EF BC ∴.EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，//EF ∴平面BCHG .在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB 且11AA BB =，则四边形11AA B B 为平行四边形，11//AB A B ∴且11AB A B =，E 、G 分别为AB 、11A B 的中点，1//AG BE ∴且1AG BE =， ∴四边形1A EBG 是平行四边形，则1//A E BG ，1A E ⊄平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG .1A E EF E ∴⋂=，且1A E ⊂平面1EFA ，EF ⊂平面1EFA ，∴平面1//EFA 平面BCHG ；（3）如图所示，连接1A C ，设1A C 与1AC 的交点为M ，连接DM ， 四边形11A ACC 是平行四边形，M ∴是1A C 的中点，D 为BC 的中点，1//A B DM ∴.DM ⊄平面11BD A ，1A B ⊂平面11BD A ，//DM ∴平面11BD A .由（1）知，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、1D 分别为BC 、11B C 的中点，所以，11//BD C D 且11BD C D =，∴四边形11BDC D 为平行四边形，11//C D BD ∴，又1DC ⊄平面11BD A ，1BD ⊂平面11BD A ，1//DC ∴平面11BD A . 又1DC DM D ⋂=，1DC ⊂平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ，∴平面11//A BD 平面1AC D.如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA.【答案】见解析 【分析】由正方形的性质得出//BC AD ，可得出//BC 平面PDA ，由线面垂直的性质定理得出//CE PD ，可得出//CE 平面PDA ，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】由于四边形ABCD 是正方形，//BC AD ∴，BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，//BC ∴平面PDA ， PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，//CE PD ，CE ⊄平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，//CE ∴平面PDA ，BC CE C =，∴平面//EBC 平面PDA .题型三 性质应用例 3 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH ，点H 在线段BD 上.求证：//AP GH .巩固练习【答案】证明见解析 【分析】连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，推导出//MO PA ．从而//AP 平面BMD ．由线面平行的性质定理可证明//AP GH ． 【详解】证明：如图，连接AC ，设AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ， ∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =， ∴//AP GH ．如图，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点1B 、1D 与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与11B D 的位置关系为_________.巩固练习【答案】11//l B D 【分析】利用面面平行的性质定理可得出l 与11B D 的位置关系. 【详解】如图所示，连接1D P 、1B P ，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，且平面11B D P 平面111111A B C D B D =，平面11B D P平面ABCD l =，所以11//l B D . 故答案为：11//l B D .题型四 翻折问题例 4 如图甲，在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ∆沿CD 折起，如图乙.求证：平面//FHG 平面ABE .【答案】证明见解析 【分析】分别证明出//FH 平面ABE ，//GH 平面ABE ，然后利用面面平行的判定定理可得出平面//FHG 平面ABE . 【详解】翻折前，在图甲中，AB CD ⊥，AB BE ⊥，//CD BE ∴，翻折后，在图乙中，仍有//CD BE ，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，//FH CD ∴，//HG AE ，//FH BE ∴，BE ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ，//FH ∴平面ABE .AE ⊂平面ABE ，HG ⊄平面ABE ，HG ∴//平面ABE .又FH HG H ⋂=，∴平面//FHG 平面ABE .如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，6AD =，24BC AB ==，E F ，分别在BC ，AD 上，且EF AB ∥，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使BE EC ⊥.若1BE =，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面ABEF？若存在，求出APPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】存在；32AP PD 【分析】巩固练习存在P ，使得//CP 平面ABEF ，此时32AP PD ，易知35AP AD ，过P 作//MP FD ，与AF 交M ，则35MPFD ，可证四边形MPCE 为平行四边形，得到//CP ME ，因此//CP 平面ABEF 成立． 【详解】在折叠后的线段AD 上存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ，此时32AP PD 以下为证明过程： 当32AP PD 时，35AP AD ，过点P 作//MP FD ，交AF 于点M ，连接EM ，则有35MP AP FD AD ==. ∵1BE =，∴5FD ，∴3MP =.又3EC =，////MP FD EC ，四边形MPCE 为平行四边形， ∴//CP ME ，又CP 平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，∴//CP 平面ABEF 成立.题型五 比值求解例 5 如图所示，已知α，β，γ都是平面，且////αβγ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F . 求证：AB DEBC EF=.【答案】证明见解析 【分析】连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，连,BG GE ，根据面面平行的性质定理，可得//BG AD ，利用三角形相似关系，即可证明结论. 【详解】证明：连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ， 则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG ， 平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF . 因为//αβ，所以//BG AD ，因此CBGCAD ，因此AB DG BC GC =.同理可得DG DE GC EF=.因此AB DEBC EF =.已知：如图，三棱柱111ABC A B C -中，点D ，1D 分别为AC ，11A C 上的点．若平面1BC D 平面11AB D ，求ADDC的值．巩固练习【答案】1【分析】连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，由平面1BC D平面11AB D ，得到11BC D O ，由平面1BC D 平面11AB D ，得到11AD DC ，11ADC D 是平行四边形，根据111112D C AC =，得到11111122AD C D AC AC ===，所以得到1AD DC=. 【详解】如图，连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ．由棱柱的性质，知四边形11A ABB 为平行四边，所以点O 为1A B 的中点．因为平面1BC D 平面11AB D ， 且平面11A BC ⋂平面111AB D D O =，平面11A BC ⋂平面11BC D BC =，所以11BC D O ，所以1D 为线段11A C 的中点，所以111112D C AC =． 因为平面1BC D 平面11AB D ，且平面11AAC C 平面11BDC DC =，平面11AAC C平面111AB D AD =， 所以11AD DC ． 又因为11AD D C ，所以四边形11ADC D 是平行四边形，所以11111122AD C D AC AC ===，所以1AD DC=．1、如图，在四面体A BCD-中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且3AQ QC=求证：//PQ 平面BCD.【答案】证明见解析【分析】取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DF FC=，连接OP、OF、FQ，证明出四边形OPQF为平行四边形，可得出//PQ OF，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PQ平面BCD.【详解】如下图所示，取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DF FC=，连接OP、OF、FQ.3AQ QC=，3AQ DFQC FC∴==，//QF AD∴，且14QF AD=.O、P分别为BD、BM的中点，//OP AD∴，且12OP DM=.M为AD的中点，14OP AD∴=.//OP QF∴且OP QF=，四边形OPQF是平行四边形，//PQ OF∴.PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，//PQ∴平面BCD.巩固提升2、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 、F 、N 分别为11A B 、11B C 、11C D 、11D A 的中点，求证：（1）E 、F 、D 、B 四点共面；（2）平面//AMN 平面EFDB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中位线的性质得出11//EF B D ，再证明出11//BD B D ，利用平行线的传递性得出//EF BD ，即可证明出E 、F 、D 、B 四点共面；（2）连接NE 、MF ，证明四边形ABEN 是平行四边形，可得出//AN BE ，利用直线与平面平行的判定定理可证明出//AN 平面EFDB ，同理可证明出//AM 平面EFDB ，最后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面//AMN 平面EFDB ．【详解】（1）E 、F 分别是11B C 、11C D 的中点，11//EF B D ∴，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD ，∴四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，//EF BD ∴，因此，E 、F 、D 、B 四点共面；（2）如下图所示，连接NE 、FM ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//A D B C ，N 、E 分别为11A D 、11B C 的中点，11//A N B E ∴，则四边形11A B EN 为平行四边形，11//NE A B ∴，11//AB A B ，//AB EN ∴，则四边形ABEN 为平行四边形，//AN BE ∴，AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB ，//AN ∴平面EFDB ，同理可证//AM 平面EFDB ，AN AM A =，∴平面//AMN 平面EFDB .3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC 平面1B CD ．【答案】（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC 平面1B CD ． 【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC ， 又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1ADB P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形， ∴1AP DB ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC 平面1B CD ．4、已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论.【答案】见解析【解析】【分析】连接BD 交AC 于O ，连接OE ，过B 点作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF CE ∥，交PC 于点F ，连接BF ，利用线面平行的判定定理，证得BG 平面AEC ，同理GF 平面AEC ，证得平面BGF ∥平面AEC ，得到BF ∥平面AEC ，进而得到GF CE ∥，即可得到答案．【详解】在棱PC 上存在点F ，使BF ∥平面AEC ，证明：如图所示，连接BD 交AC 于O ，连接OE ，过B 点作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF CE ∥，交PC 于点F ，连接BF ，因为BG OE ∥，BG ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以BG平面AEC ，同理，GF 平面AEC ， 又BG GF G =，所以平面BGF ∥平面AEC ，所以BF ∥平面AEC ，因为BG OE ∥，O 是BD 的中点，所以E 是GD 的中点，又因为:2:1PE ED =，所以G 是PE 的中点，而GF CE ∥，所以F 为PC 的中点，综上可知，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .5、如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点.求证：//AM 平面BDE .【答案】证明见解析【分析】设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【详解】证明：如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE .∵,O M 分别是,AC EF 的中点，四边形ACEF 是矩形，∴//EM OA ，且EM OA =，∴四边形AOEM 是平行四边形，∴//AM OE .又OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴//AM 平面BDE.6、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M N ，分别是AC 和1BB 的中点.求证：//MN 平面11A B C .【答案】证明见解析【分析】取1A C 的中点D ，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形1DMNB 为平行四边形，可得1MN B D ∥，再根据线面平行的判定定理即可证明结果.【详解】证明：取1A C 的中点D ，连接MD ，1B D.∵M ，D 分别为AC ，1A C 的中点，∴1//MD AA 且112MD AA =. 又N 为1B B 的中点，∴11//B N AA 且1112B N AA =， ∴1//MD B N 且1MD B N =，∴四边形1DMNB 为平行四边形，∴1//MN B D .∵MN ⊄平面111A B C B D ⊂，平面11A B C ，∴//MN 平面11A B C .7、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A C 上的点．当1111A D D C 为何值时，1BC 平面11AB D ？【答案】当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D . 【分析】 先由题意，判断出结果；再连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，根据线面平行的判定定理，证明1BC 平面11AB D 即可.【详解】当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D . 如图，连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD . 由三棱柱的性质知，四边形11A ABB 为平行四边形， 所以点O 为1A B 的中点. 在11A BC 中，1O D ，分别为111A B A C ，的中点， 11OD BC ∴∥.又1OD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ， 1BC ∴∥平面11AB D ， ∴当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D .。

课时36 空间中直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定一、选择题1. a,b是两条异面直线，A是不在a,b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A点有且只有一个平面与a,b都平行B.过A点至少有一个平面与a,b都平行C.过A点有无数个平面与a,b都平行D.过A点且平行于a,b的平面可能不存在．2.下列说法正确的是（）A．两两相交的三条直线共面B．两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线C．一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行D．不共面的四点中，任何三点不共线3.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( )A．两条直线不相交B．三条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交4.两条平行线中的一条平行于一个平面，那么另一条与此平面的位置关系是( )A.平行B.相交或平行C.平行或在平面内．D.相交或平行或在平面内5.已知直线l∥平面α，直线aα⊂，则l与a必定( )A.平行．B.异面．C.相交．D.无公共点．二、填空题6.三条直线a、b、c两两异面，它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都平行,则a与b所成角的度数为.7.空间四边形ABCD中，AC=2cm，BD=4cm，AC与BD成45°角，M，N，P，Q分别是四边中点，则四边形MNPQ的面积是.三、解答题8.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E，F是线段AD1，DB上的点，且AE=BF.求证：EF∥平面CD1.9. P是平行四边形ABCD外一点,Q是PA的中点，求证PC∥平面BDQ.10.如图，正方形ABCD和正方形ABEF不共面，M、N分别是对角线AC和BF上的点，且AM=FN，求证MN∥平面BCE．11.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．求证AM∥平面BDE.【课时36答案】1.D2.D3.D4.C5.D 6 . 60°7.2cm2.8.证明：作EH⊥DD1于H，FG⊥CD于G，连HG．∵AD1=BD，AE=BF，∴ED1=FD，又∠EHD1=∠FGD=90°，∠ED1H=∠FDG=45°∴△EHD1≌△FGD，EH=FG，又∵EH∥AD∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥HG,∴EF∥平面CD1．9.10.11.如图 记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM ∥OE ．∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．下课啦，咱们来听个小故事吧: 活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

8.5.2直线与平面平行学习目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．知识点一直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α图形语言思考(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？答案不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外．(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？答案平行或直线在平面内．知识点二直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b图形语言思考如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？答案这条直线与平面没有公共点，所以这条直线与平面内的直线平行或异面．1．若直线a 与平面α不平行，则a 与α相交．(×)2．若直线l 与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行．(×)3．若直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b .(×)4．若直线l 不平行于平面α，则直线l 就不平行于平面α内的任意一条直线．(×)一、直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .证明连接BC 1(图略)，在△BCC 1中，∵E ，F 分别为BC ，CC 1的中点，∴EF ∥BC 1，又∵AB ∥A 1B 1∥D 1C 1，且AB ＝A 1B 1＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，∴BC 1∥AD 1，∴EF ∥AD 1，又EF ⊄平面AD 1G ，AD 1⊂平面AD 1G ，∴EF ∥平面AD 1G .反思感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等．跟踪训练1如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD .证明如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点，∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴AM＝12DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.二、直线与平面平行的性质定理的应用例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思感悟线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行．跟踪训练2如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB ∥平面MNPQ ，平面ABC ∩平面MNPQ ＝MN ，且AB ⊂平面ABC ，所以由线面平行的性质定理，知AB ∥MN .同理AB ∥PQ ，所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP .所以截面MNPQ 是平行四边形．线面平行有关的计算典例如图，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.答案209解析A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD .因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ，所以a ∥EG ，即BD ∥EG ，所以AF AC ＝AE AB.又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD ，于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209.[素养提升](1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度．(2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养．1．(多选)两条直线a ，b 满足a ∥b ，b ⊂平面α，则a 与平面α的位置关系可以是()A ．a ∥αB ．a 与α相交C．a与α不相交D．a⊂α答案ACD2．下列命题正确的是()A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行答案B解析不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；直线也可能在平面内，故D错误．3.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行．4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定答案A解析∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC，∴EH∥平面BDC，又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴EH∥BD.5.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.答案5解析因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.1．知识清单：(1)直线与平面平行的判定定理．(2)直线与平面平行的性质定理．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：证明线面平行时漏写线在面外(内)．1．下列条件中能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m与平面α内所有直线平行B．直线m与平面α内无数条直线平行C．直线m与平面α没有公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行答案C解析A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α不平行．2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在答案A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D答案D解析∵A1B1綊AB綊CD，∴A1B1綊CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C，又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C.4.如图所示，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能答案B解析∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.5.(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点．则下列结论成立的是()A．OM∥平面PCD B．OM∥平面PDAC．OM∥平面PBA D．OM∥平面PBC答案AB解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O 为BD 的中点，在△PBD 中，因为点M 是PB 的中点，OM 是△PBD 的中位线，OM ∥PD ，所以OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA .因为M ∈PB ，所以OM 与平面PBA ，平面PBC 相交．6.如图，在五面体FE －ABCD 中，四边形CDEF 为矩形，M ，N 分别是BF ，BC 的中点，则MN 与平面ADE 的位置关系是________．答案平行解析∵M ，N 分别是BF ，BC 的中点，∴MN ∥CF ，又四边形CDEF 为矩形，∴CF ∥DE ，∴MN ∥DE .又MN ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴MN ∥平面ADE .7．在三棱锥S －ABC 中，G 为△ABC 的重心，E 在棱SA 上，且AE ＝2ES ，则EG 与平面SBC 的位置关系为________．答案平行解析如图，延长AG 交BC 于F ，连接SF ，则由G 为△ABC 的重心知AG ∶GF ＝2∶1，又AE ∶ES ＝2∶1，∴EG ∥SF ，又SF ⊂平面SBC ，EG ⊄平面SBC ，∴EG ∥平面SBC .8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a 解析∵MN ∥平面AC ，平面PMNQ ∩平面AC ＝PQ ，MN ⊂平面PQNM ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a 3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.9.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点．求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB (图略)．∵F 为C 1D 1的中点，∴OF ∥B 1C 1且OF ＝12B 1C 1，又BE ∥B 1C 1，BE ＝12B 1C 1，∴OF ∥BE 且OF ＝BE ，∴四边形OFEB 是平行四边形，∴EF ∥BO .∵EF ⊄平面BDD 1B 1，BO ⊂平面BDD 1B 1，∴EF ∥平面BDD 1B 1.10.如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 是梯形．证明∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案A解析由长方体性质知，EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.12.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是()A．OM∥PD B．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA答案ABC解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．13．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案B解析因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行．设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，所以m∥n.又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.又因为α∩β＝b，m⊂α，所以m∥b.又因为m∥a，所以a∥b，故选B.14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．答案相交平行解析∵M是A1D1的中点，∴直线DM与直线AA1相交，∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，∴DM与平面A1ACC1相交．取B1C1的中点M1，连接MM1，M1C(图略)．∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，∴MM1∥CD.∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，∴MM1＝CD.∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM∥CM1，又DM⊄平面BCC1B1，CM1⊂平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1.15．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．答案平行四边形解析∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，AB ⊂平面ABC ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，CD ⊂平面BCD ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD ，∴GH ∥EF ，∴四边形EFHG 是平行四边形．16.如图，E 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，P 是线段CD 的中点，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE .若存在，指出点M 的位置，并证明你的结论．解存在点M ，如图，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .证明如下，取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，则MN ∥AB 且MN ＝12AB ，又PC ∥AB 且PC ＝12AB ，所以MN ∥PC 且MN ＝PC ，所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ，所以PM ∥平面BCE .。

8.5 空间直线、平面的平行-人教A版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解空间直线与空间平面的平行的概念，掌握平行的判定方法。

2.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

3.能够运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。

二、教学重点1.空间直线与空间平面的平行的概念。

2.平行的判定方法。

3.平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

三、教学难点1.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

2.能够灵活运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。

四、教学过程1. 导入环节请同学们在笔记本上用自己的话简要概括一下“平行”的概念。

2. 讲解与练习2.1 空间直线与空间平面的平行•平行的概念：在同一个平面内，两条直线不相交，称这两条直线平行；在空间中，一条直线和一个平面不相交，称这条直线和这个平面平行。

•平行的判定方法：方法1：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量成比例。

方法2：一条直线和一个平面平行的充要条件是它们的方向向量分别平行。

•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

2.2 平面与平面的平行•平面与平面平行的判定方法：方法1：两个平面如果有公共的一条直线与它们的法向量垂直，则这两个平面平行。

方法2：两个平面如果它们的法向量成比例，则这两个平面平行。

•练习：请同学们画出两个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

2.3 直线与平面的平行•直线与平面平行的判定方法：方法1：如果一条直线在一个平面上，它的方向向量与这个平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行。

方法2：如果一条直线在一个平面上，这个平面的法向量与直线方向向量的矢量积为零，则这条直线与这个平面平行。

•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

3. 思考与讨论请同学们思考以下问题：1.为什么平面和平面的平行可以用法向量来判断？2.同一个平面内的两条直线平行的充要条件是什么？4. 总结与拓展请同学们用自己的话总结本节课讲解的所有内容，并想想还有哪些与这次课程相关的问题可以探讨。

8.5.2直线与平面平行教案一、内容和内容解析1. 内容直线与平面平行的判定与性质．2. 内容解析本节课是在学习了直线与平面平行的定义的基础上，探究直线与平面平行的判定定理和性质定理．直线与平面的平行关系是一种非常重要的空间位置关系．在直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行这三种平行关系的相互转化中，直线与平面的平行是很关键的一环．它既是进一步学习平面与平面平行的基础，其中也着直线与直线平行．正如前面所述，空间中，基本图形位置关系的研究，主要是以某两种图形的位置关系为前提（定义），研究相应的充分条件（判定）和必要条件（性质）．无论是判定还是性质，都是“空间基本图形确定的相互关系”．直线与平面平行的判定定理，反映了直线与平面在具备了什么条件下互相平行的问题，是充分条件．事实上，假设平面α外的一条直线a与α有交点，则平面α内的任意一条直线b与直线a要么相交，要么异面，即不存在与a平行的直线．直线与平面平行的性质定理，反映了在直线与平面平行的条件下，该直线与平面内特定的一些直线之间的位置关系，是必要条件．直线与平面平行的判定定理和性质定理的发现以及性质定理的证明过程，体现了直观感知、确认操作、思辨论证的立体几何研究的基本方法，有利于学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的素养的培养．直线与平面平行的判定和性质的研究，是直线与平面平行、直线与直线平行两种位置关系的相互转化，体现了立体几何研究中空间问题平面化的研究思路．基于以上分析，确定本节课的教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究．二、目标和目标解析1．目标（1）探究并理解直线与平面平行的判定定理．（2）探究并证明直线与平面平行的性质定理．（3）结合直线与平面判定定理和性质定理的探究，体会立体几何中研究位置关系的判定和性质的方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能在直线与平面平行定义的基础上，将直线与平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定．达成目标（2）的标志是：学生能够将直线与平面的平行转化为该直线与平面内的直线之间的位置关系；并通过直线与平面平行的定义、直线与直线的位置关系的定义以及基本事实3的推论3，发现直线与平面平行的性质定理，并能对性质定理进行证明．达成目标（3）的标志是：结合直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究，体会什么是判定，什么是性质；了解发现图形位置关系的判定和性质的目标；能实现直线与直线、直线与平面的转化，体会其中空间问题与平面问题的转化．三、教学问题诊断分析在研究直线与平面平行的判定定理时，学生没有将直线与平面平行问题转化为直线与直线平行的问题解决经验．从直线与平面平行的定义转化到直线与平面内的一条直线平行是探究判定定理的关键，这里需要一定的生活实例和实验操作，学生直观感知，不难理解；但其中蕴含的转化思想值得学生认真体会．平面可以看成是由直线组成的．由直线a与平面α平行，可知直线a与平面α内的任何直线b都没有公共点，因此它们是异面直线或平行直线．由于a与b 没有公共点，如果再在四、教学过程设计（一）探究直线与平面平行的判定定理引言在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行是一种很重要的位置关系，不仅在现实生活中有广泛应用（比如木料划线），也是我们后面学习平面与平面平行的基础．如何判定直线和平面平行（即直线与平面平行的充分条件）？已知直线和平面平行的条件下，又蕴藏怎样的性质（即直线与平面平行的必要条件）？下面我们重点来探究这两个问题．问题1：根据定义，直线与平面平行是指直线与平面没有公共点．请同学思考，直接用定义去判断直线和平面平行与否是否方便？为什么？师生活动：学生思考后回答，师生对话，由于直线的无限延伸和平面的无限延展，很难直接判断直线与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断．设计意图：直接用定义不易判定直线与平面是否平行，说明学习本课内容的必要性，激发学生的学习兴趣．由于平面可以看作是直线“编织”而成的“直线网”，因而直线与平面没有公共点即是等价于直线和平面内的任意一条直线没有公共点，但我们也不可能逐一检验平面内的每条直线．问题2：为便于判定，我们能否通过检验平面内较少条数的直线与平面外直线的位置关系来达到目的？如果可以，可以减少到几条？你能用生活中的实例来佐证你的结论吗？师生活动：教师设计如下“观察—探究”的活动，供学生在动手操作的基础上进行合情猜想：如图1（1），门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？如图1（2），将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动．在转动过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？在上述“观察—探究”的基础上，请学生尝试用自己的话说一说他们感受到的直线与平面平行的判定方法以及如何用字母符号和图形表示，之后再让学生看教科书里给出的直线与平面平行的判定定理，及其符号和图形表示．判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．设计意图：将利用定义判断，转化为“直线与平面内的一条直线平行”来进行判断．这一过程，体现了由复杂向简单、由空间向平面的转化．通过设置“观察—探究”活动，学生在直观感知的基础上进行大胆猜想，培养学生的数学抽象、直观想象等数学素养．追问1：为什么平面α外的直线a与α内的一条直线b平行，就可以说直线a和平面α平行了？你能对此做一个简要的解释吗？师生活动：学生思考交流，教师可以给予一定提示（反证法）．设计意图：增强说理，说明上述的猜想不是“瞎猜”．同时，反证法中会用到异面直线的判定，这也是对前面学习异面直线知识（教科书P130-例2）的一个回顾．追问2：这一定理告诉我们，通过直线间的平行，可以得出直线与平面平行，请说说这里面蕴含着怎样的数学思想方法？师生活动：学生回答，教师总结，指出转化的数学思想．设计意图：加深学生对定理的认识，明白将空间问题（直线与平面的平行）转化为平面问题（直线间的平行）是一种处理空间几何问题的常用方法．问题3：你能说说一定理在现实生活中的应用吗？师生活动：结合教科书中按照矩形镜子的例子，请同学们再多补充一些生活实例，体会其中的数学道理．设计意图：使学生了解判定定理在实际生活中的应用，培养学生的应用意识，进一步加强对判定定理的理解．（二）应用判定定理，熟练掌握例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．追问：（1）从要解决的问题来看，本题是要证明直线与平面平行，你能想到用什么方法？（学生活动预设：直线与平面平行的判定定理．）（2）EF与平面BCD中哪条直线平行？为什么？师生活动：在师生共同分析问题后，学生动笔完成证明过程，教师巡视，检查书写是否规范．设计意图：熟悉判定定理的应用，明确要证明直线与平面的平行，只需在平面内找出一条直线与该直线平行即可．同时规范书写格式．（三）探究并证明直线与平面平行的性质定理问题4：根据前述判定定理，我们已经研究了直线与平面平行的充分条件．下面我们将研究已知直线与平面平行，可以得到什么结论．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线是什么位置关系？师生活动：学生根据定义加以回答：或是异面直线，或是平行直线．设计意图：先对直线与平面平行条件下，该直线与平面内的直线具有怎样的位置关系做整体了解，然后再聚焦性质定理．追问1：若a∥α，平面α内的直线何时与直线a平行呢？你能够证明你的结论吗？师生活动：师生共同探究，假设平面α内的直线b与直线a平行，则a,b确定一个平面，记为β．我们可以将直线b看作是过直线a的平面β与平面α的交线．至此，老师可鼓励学生大胆提出猜想——若平面β经过直线a且与平面α相交，则直线a与平面α和β的交线b平行．在提出问题后，师生共同完成证明，并正式给出直线与平面平行的性质定理的文字、图形以及符号语言的描述．性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．设计意图：不同于通过观察、操作获得直线与平面平行的判定定理的过程，直线与平面平行的性质定理的研究更侧重于呈现提出问题，分析问题，最后解决问题的思辨过程．通过追问1的分析与解答，培养学生发现和提出问题的能力．追问2：直线和平面平行的性质定理给出了又一种判定两条直线平行的方法．请问使用该定理来判断直线与直线平行时共需要几个条件？师生活动：学生认真分析并回答问题．定理中的三个条件：（1）直线a和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b；（3）直线a在平面β内．教师然后给出一些命题让学生判断正误（比如“一条直线平行于一个平面，则它平行于这个平面内的所有直线．”），让学生明白定理中的三个条件缺一不可．设计意图：一方面提醒学生直线和平面平行的性质定理可作为直线与直线平行的判定方法，另一方面加深学生对定理结构的认识．（四）定理应用，巩固深化追问1：第（1）问是一个实际应用问题，你能用确切的数学语言对其进行刻画吗？师生活动：翻译成数学语言即是经过棱BC和BC外一点P作一个截面，确定该截面与木料表面的交线．追问2：该问题的数学本质是确定两个平面的交线．为了解决该问题我们可能用到哪些所学的知识？师生活动：直线与平面平行的性质定理，基本事实4和基本事实3及其推论．师生活动：学生思考，教师展示动画素材，为学生直观演示画线以及切割过程．设计意图：熟悉直线和平面平行的判定定理和性质定理的应用，让学生熟练掌握直线和直线平行、直线与平面平行的相互转化，同时规范解答格式．（五）巩固练习1．判断下列命题是否是真命题：（1）如果一条直线与平面内无数条直线没有公共点，则该直线与平面平行．（）。

新教材高中数学学案含解析新人教A版必修第二册：8.5.2 直线与平面平行学习任务核心素养1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养．在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．问题：(1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？(2)若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？知识点1直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面平行如果直线a与平面α内的一条直线b平行，直线a与平面α一定平行吗？[提示]不一定，直线a可能在平面α内．1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是()A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直线与平面平行的判定定理知选A．]知识点2直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行图形语言符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b作用证明两条直线平行2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l∥平面α，直线a⊂平面α，则l∥a．()(2)若直线m∥平面α，n∥平面α，则m∥n．()[答案](1)×(2)×3．如图，在三棱锥S -ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能B[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC．]4．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．1[如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]类型1直线与平面平行的判定【例1】(对接教材P138练习2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN．求证：MN∥平面AA1B1B．[证明]法一：如图①，作ME∥BC，交BB1于点E，作NF∥AD，交AB于点F，连接EF，①则EF⊂平面AA1B1B，且MEBC＝B1MB1C，NFAD＝BNBD．∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB．∴MEBC＝BNBD＝NFAD．又AD＝BC，∴ME＝NF．又ME∥BC∥AD∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形．∴MN∥EF．∵MN⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B．法二：如图②，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B．②∵△NDC∽△NBP，∴DN NB ＝CN NP． 又CM ＝DN ，B 1C ＝BD ， ∴CM MB 1＝DN NB ＝CNNP． ∴MN ∥B 1P ．∵MN ⊄平面AA 1B 1B ，B 1P ⊂平面AA 1B 1B ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B ．证明直线与平面平行的步骤是什么？[提示] 证明直线与平面平行，可以用定义，也可以用判定定理，但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法)，所以更多的是用判定定理，用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：[跟进训练]1．如图，P 是▱ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC ．[证明] 设PC 的中点为G ，连接EG ，FG ．∵F 为PD 的中点， ∴GF ∥CD ，且GF ＝12CD ．∵AB∥CD，AB＝CD，E为AB的中点，∴GF∥AE，GF＝AE，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF．又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC．类型2直线与平面平行的性质【例2】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[证明]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN．同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ．同理可得MQ∥NP．所以截面MNPQ是平行四边形．1．若本例条件不变，求证：BPPD＝AMMC．[证明]由例1知PQ∥AB，∴BPPD＝AQ QD．∵QM∥DC，∴AQQD＝AMMC．∴BPPD＝AMMC．2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ 的面积．[解]由例2知，四边形MNPQ是平行四边形，∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．∵BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝12AB，QM＝12CD．∴PQ＝5，QM＝4，∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.[跟进训练]2．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P，Q分别为棱AA1，AC的中点．在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明．[解]取BB1中点E，连接AE，则AE∥PB1，连接CE，取CE中点N，连接QN，则QN∥AE，所以QN∥PB1，即Q，N，P，B1四点共面，连接B1N并延长交BC于H，连接QH，则Q，H，B1，P四点共面，过A作AM∥QH交BC于M，即为所求．类型3直线与平面平行的判定与性质【例3】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示]不是．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a相互平行．[解]已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c．则b∥c．又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β．又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l．线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论.[跟进训练]3．若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．[解]已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l．求证：a∥b∥l．证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交D[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]2．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．平行或相交或b在α内[如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．]3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1．求证：BB1∥EE1．[证明]如图所示，∵CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，∴CC1∥平面BEE1B1．又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1．由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)直线与平面平行的判定定理的内容是什么？应用此定理应注意什么问题？(2)判定直线与平面平行的方法有哪些？(3)直线与平面平行的性质定理的内容是什么？(4)线线平行与线面平行之间是如何转化的？。

8.5.2直线与平面平行第二课时 直线与平面平行的性质一、教学目标 1. 掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题2. 平面与平面平行的判定定理的应用3. 进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力二、教学重点 空间平面与平面平行的判定定理教学难点 应用平面与平面平行的判定定理解决问题三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：直线与平面平行的判定定理答：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？答：问题3：什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？引出下面问题：已知：//, , a a b αβαβ⊂=，求证：//a b 证明：∵b αβ=∴b α⊂又//a α∴a 与b 无公共点又 , a b ββ⊂⊂∴//a b2、探索新知1）直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b简记：线线平行 线面平行注意：①定理中三个条件缺一不可②简记：线面平行，则线线平行③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据④定理的关键：寻找平面与平面的交线【例1】如右图的一块木料中，棱BC 平行面A'C'(1)要经过面A'C'内的一点P 和棱BC 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?(2)所画的线与平面AC 是什么位置关系?解：(1)如右图，在平面A'C 内，过点P 作直线EF ，使EF//B'C'，并分别交棱A'B'、D'C' 于点E 、F.连接BE 、CF,则EF 、BE 、 CF 就是应画的线(2) ∵BC ∥平面A'C'，平面BC'平面A'C'=B'C'∴BC//B'C'由(1)知EF//B'C'∴EF//BC ，而BC ⊂平面AC ，EF ⊄平面AC∴EF//平面AC显然，BE 、CF 都与平面AC 相交【例2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O ，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连接MO∵四边形ABCD 是平行四边形∴O 是AC 的中点又∵M 是PC 的中点∴AP ∥OM又∵AP ⊄平面BDMOM ⊂平面BDM∴AP ∥平面BDM又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH∴AP ∥GH【例3】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若//MB 平面,AEF MB ⊂，试判断点M 的位置解：M 是AC 的中点因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN平面FBMN ⋂平面AEF FN =所以//MB FN所以四边形BFNM 是平行四边形所以1MN BF ==而//,22EC FB EC FB == 所以1//,12MN EC MN EC == 故MN 是ACE 的中位线所以M 是AC 的中点时，//MB 平面AEF方法规律：线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面(3)确定交线(4)由性质定理得出线线平行的结论四、课堂练习P 138 练习1、如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF∴AD ∥平面BCEF∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF∴AD ∥EF2、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点.求证：EF ∥平面BDD 1B 1证明：取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB (图略)∵F 为C 1D 1的中点∴OF ∥B 1C 1且OF ＝12B 1C 1 又BE ∥B 1C 1，BE ＝12B 1C 1 ∴OF ∥BE 且OF ＝BE∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1∴EF∥平面BDD1B1五、课堂小结1、直线与平面平行的性质定理2、证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段六、课后作业习题8.5 7、8七、课后反思。

优质资料---欢迎下载【例1】 下列命题中，正确的个数是（ ）①平行于同一条直线的两直线平行 ②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】略【解析】正确的为①④⑥，选C ． 【答案】C ；【例2】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】略【解析】③④；两个相交平面内也存在平行直线，故①错误；若②中的两条直线平行，则得不到平面平行的结论，②错误；在两个平行平面中的任一个平面内的直线都平行于另一个平面，从而平行于另一个平面内的任典例分析直线与平面平行意一条直线，③正确；两条相交直线与两个平面都平行，可得到这两个平面平行，因为可以在其中分别找到两条相交直线，对应平行，④正确．【答案】③④【例3】 平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结AD ，设AD Q α=，连结,QM QN ，Q NMbaαDCBA∵//b α，b ⊂平面ACD ，平面ACD MQ α=，∴b MQ ∥，即//CD MQ ，有AM AQMC QD=． 同理，有//QN AB ，ND QDBN AQ=， ∴AM AQ BNMC QD ND==，命题得证【例4】 已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD的中点．求证：//EF α，//EF β．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】βBGDFEαCA连接AF 并延长交β于G ． ∵AG CD F =∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC γα=，DG γβ=．∵//αβ，所以 //AC DG ， ∵CF DF =，∴AF FG =． 又AE BE =，∴//EF BG ，BG β⊂． 故 //EF β． 同理//EF α【例5】 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星 【题型】解答【关键词】无 【解析】略【答案】分析：已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．∵平面QAFAF α=，平面QAF BE β=，又∵//αβ，∴//AF BE ． 同理可证：//AC BD ，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即sin sin FAC EBD ∠=∠．由//FA BE ，得::12:241:2BE AF QB QA ===，∴12BE AF =由//BD AC ，得::9:213:7AC BD PA PB ===，∴73BD AC =．又∵ACF ∆的面积为72，即1sin 722AF AC FAC ⋅⋅∠=．∴1sin 2DBE S BE BD EBD ∆=⋅⋅∠117sin 223AF AC FAC =⋅⋅⋅∠71sin 62AF AC FAC =⋅⋅⋅∠772846=⨯=． ∴BDE ∆的面积为84．【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一：线线平行⇒线面平行）如图，取PA 中点F ，连结EF ，FD ，CBADE∵E 是BP 的中点，∵EF ∥AB 且12EF AB =， 又∵DC ∥AB ，12DC AB =， ∴EF ∥DC 且EF DC =，∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD ． 又∵EC ⊄平面PAD ，FD ⊂平面PAD ∴EC ∥平面APD（法二：面面平行⇒线面平行）ME PDABC取AB 中点M ，连结CM ，EM ， ∵E ，M 分别为PB ，AB 的中点， ∴EM ∥AP ，又∵CD ∥AB ，12CD AB =，12AM AB =， ∴CD ∥AM ，且CD AM =，∴四边形CDAM 为平行四边形，CM ∥AD ， 又CMEM M =，且CM ⊂面CEM ，EM ⊂面CEM ，∴面CEM ∥面PAD ，∵EC ⊂面CEM ，∴EC ∥平面APD ．【例7】 已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】GFEDB在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点． ∴//AC EF ．又EF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴AC //平面EFG ．同理，//BD FG ，∴BD //平面EFG ．【例8】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边 形，E 是PC 的中点．求证：PA ∥平面BDE ．OPDBCAE【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】略 【解析】略【答案】连结AC ，设AC 交BD 于O ，连结EO ，∵ 底面ABCD 是平行四边形 ∴ 点O 是AC 的中点在PAC ∆中，EO 是中位线∴ //PA EO ∵EO ⊂平面BDE ，且/⊂PA 平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ．【例9】 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】证明：（法一）取BC 的中点E ，∵P 是ABC ∆的重心，Q 为BCD ∆的重心， ∴连结AE ，DE ，有,P AE Q DE ∈∈， 且有:2:1,:2:1AP PE DQ QE ==在AED ∆中，有::AP PE DQ QE =，从而//PQ AD ．NMABDP Q QPD CBAE又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴//PQ 平面ACD ．（法二）连结,BP BQ 分别交,AC CD 于,M N ，连结MN ， ∵::2:1BP PM BQ QN ==， ∴//PQ MN ，又MN ⊂平面ACD ， ∴//PQ 平面ACD ．【例10】 已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】略 【解析】略【答案】连结MD 交GF 于N ，连结EN ，MAB CDEFG因为GF 是BCD ∆的中位线，所以点N 为MD 的中点， 又∵E 是AD 的中点，∴EN 是AMD ∆的中位线，故//EN AM ， 又EN ⊂平面EFG ，AM ⊄平面EFG ， ∴//AM 面EFG ．【例11】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一）取PE 的中点M ，连结FM ，则FM ∥CE ①OFM CBADPE由12EM PE ED ==，知E 是MD 的中点． 连结,BM BD ，设BD AC O =，则O 为BD 的中点． ∴BM ∥OE ② 由①，②知，平面BFM ∥平面AEC∵BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．（法二）∵11()22BF BC CP AD CD DP =+=++1322AD CD DE =++13()()22AD AD AC AE AD =+-+-31.22AE AC =- ∴BF 、AE 、AC 共面．又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC【例12】 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ．CADEFP【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一：线线平行⇒线面平行）取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，由F 为PD 中点， 知FG ∥CD ．又由已知有1//2AE CD ，∴//FG AE∴四边形AEGF 是平行四边形．ADEF GP∴AF ∥EG ，又AF ⊄平面PCE ，EG ⊂平面PCE ∴AF ∥平面PCE ．（法二：面面平行⇒线面平行）MPFE DA B取DC 中点M ，连结FM ，AF ，AM ，∵四边形ABCD 是矩形，,E M 分别是,AB CD 的中点 ∴AM ∥EC ，∵F 、M 分别是,PD CD 的中点， ∴FM ∥PC ， 又FMAM M =，AM ⊂面AFM ，FM ⊂面AFM ，∴面AFM ∥面PCE ∵AF ⊂平面PCE ∴AF ∥平面PCE【例13】 如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵四边形ABCD 是矩形，∴//BC AD ，又AD ⊂平面PAD ，∴//BC 平面PAD 又∵BC ⊂平面BCFE ，平面BCFE 平面PAD EF =，∴//BC EF ．又∵//BC AD ，∴//EF AD ，从而EF AD ≠， 又AD BC =，∴EF BC ≠， ∴四边形BCEF 是梯形．【例14】 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴∵E 是AB 的中点，H 是AD 的中点，∴//EH BD 且12EH BD =， 同理有1//,2FG BD FG BD =，∴//EH FG 且EH FG =， 故四边形EFGH 为平行四边形，⑵证明：//EH FG ，EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD ∴EH // 面BCD 又∵EH ⊂面ABD ，面BCD 面ABD BD =，∴//EH BD ．若将⑴加条件BD AC =，求证：四边形EFGH 为菱形；HG FED C B则有1122EF AC BD EH ===， ∴四边形EFGH 为菱形【例15】 如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】略【答案】⑴连结BM 、BN 、BG 并延长分别交AC 、AD 、CD 于P 、F 、H∵M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心 ∴2BM BN BG MP NF GH=== 连结PF 、FH 、PH 有MN PF ∥ 又PF ⊂平面ACD ∴MN ∥平面ACD同理，MG ∥平面ACD ，MGMN M =∴平面MNG ∥平面ACD⑵由⑴可知：23MG BG PH BH ==∴23MG PH =又12PH AD =，∴13MG AD =同理，13NG AC =，13MN CD =∴MNG ∆∽ACD ∆个，其相似比为1:3 ∴:1:9MNG ACD S S ∆∆=【例16】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． 求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一：线线平行⇒线面平行）连结1A B ，记11A BAB E =，连接DE ．∵111ABC A B C -是三棱柱，∴四边形11A ABB 是平行四边形， ∴E 是1A B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥1A C ，∵DE ⊂平面1AB D ， 1A C ⊄平面1AB D ，∴1A C ∥平面1AB D ． （法二：面面平行⇒线面平行）MABCA 1B 1C 1D取11B C 中点M ，连结1A M ，CM ，DM ， ∵111ABC A B C -是三棱柱，∴MC ∥1B D ，∵M ，D 分别为11B C ，BC 的中点，∴MD ∥1A A ，MD =1A A ， ∴四边形1AA MD 是平行四边形，有1A M ∥AD ，又1A M MC M =，且1A M ⊂面1A MC ，且MC ⊂面1A MC ∴面1A MC ∥面1AB D∵1AC ⊂面1A MC ，∴1A C ∥平面1AB D【例17】 已知正方体11112ABCD A B C D AB -=，，M 为1BC 与1B C 的交点，N 为11A C 与11B D 的交点，则MN 的长度为_______．NMD 1C 1B 1A 1D CBA【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星 【题型】填空 【关键词】略 【解析】112MNA B，故12MN =⨯【例18】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．求证：1B D ∥面11A C E ．EFABCDB 1C 1D 1A 1【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结11B D ，与11A C 交于点F ，连结EF ，∵在11B D D 中，E 为1DD 的中点，F 为11B D 的中点， ∴EF ∥1B D ，EF ⊂平面11A C E ，1B D ⊄面11A C E ∴1B D ∥面11A C E ．【例19】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】过M 点作//ME BC ，过N 点作//NF AD ，分别交1BB 和AB 于E F 、，连结EF ．∵//ME BC ， ∴11B MME BC B C =， 又∵//NF AD ， ∴NF BNAD BD=，又已知CM DN =，1B C BD =，∴1B M BN =，11B M BN B C BD =，从而有ME NFBC AD=， 又∵//,BC AD BC AD =， ∴,//ME NF ME NF =， ∴MNFE 是平行四边形， ∴//MN EF ． 又MN ⊄平面11ABB A ，EF ⊂平面11ABB A ， ∴//MN 平面11ABB A ．【例20】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ；⑵求MN 的最小值．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】解题关键是在平面11BB C C 内找到与MN 平行的直线．该解法不只找到了这样的直线EF ，而且由于MN EF =，所以使第二个问题求MN 的最小值问题转化为求EF 的最小值问题，从而便于解题．⑴作11//NE A B 交11B C 于E ，作//MF AB 交1BB 于F ．连结EF ，则//NE MF ，∵11//NE A B ，∴11111C NNE A B AC =， 又MF ∥AB ，∴11B MMF AB AB =∵111AC AB =，1A N AM = ∴11C N B M =，11NE MFA B AB =⋅又11AB A B =，∴NE MF =．∴四边形MNEF 是平行四边形，//MN EF 且MN EF =． 又MN ⊄平面11BB C C ，EF ⊂平面11BB C C ， ∴//MN 平面11.BB C C⑵设1B E x =，由⑴知11C N B M =，且11111C E B FB C BB =， ∴11C E B F =，1B E BF = ∴1B F a x =-从而MN EF =∴当2ax =时，MN取得最小值2． 本题可采用寻找MN 所在平面方法证明⑴，辅助线作法为过N 作NG ∥11B C 交11A B 于G ，连结GM ，根据比例关系有GM ∥1A A ∥1B B ，从而由面GMN ∥面11BB C C ，得线面平行．【例21】 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ； ⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴连结11,AD AB ，∵Q 是面1111A B C D 的中心∴1AD 必交1A D 交于点P ，且P 是1AD 的中点． 又Q 是11B D 的中点，∴PQ 是11AB D ∆的中位线，从而1//PQ AB ， 又1AB ⊂平面11AA B B ，PQ ⊄平面11AA B B ， ∴//PQ 平面11AA B B ． ⑵∵PQ 是11AB D ∆的中位线∴1122PQ AB ==．【例22】 正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】法一：通过线线平行，证线面平行．分析：要证明//EG 平面11BB D D ，根据线面平行的判定定理，需要在平面11BB D D 内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．ABCDEFGA 1B 1C 1D 1证明：取BD 的中点F ，连结EF 、1D F ． ∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，则//EF DC ，且12EF CD =．∵G 为11C D 的中点，∴1//D G CD 且112D G CD =，∴1//EF D G 且1EF D G =， ∴四边形1EFD G 为平行四边形，∴1//D F EG ，而1D F ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ， ∴//EG 平面11BDD B ．法二：利用面面平行，证线面平行．MABCDEGA 1B 1C 1D 1分析：关键是构造一个与平面11BB D D 平行的平面，且EG 在此平面内． 证明：取11B C 的中点M ，连结,GM ME ， ∵,G M 分别是1111,C D C B 的中点， ∴11//GM B D ，∴//GM 平面11BDD B ， 又∵11//,BE B M BE B M =， ∴四边形1BEMB 为平行四边形， ∴1//ME BB ，从而//ME 平面11BDD B ， 又GMME M =，∴平面//GME 平面11BDD B ， ∵EG ⊂平面GME ， ∴//EG 平面11BDD B ．【例23】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结MF ，∵,M F 是11A B ，11C D 的中点，四边形1111A B C D 为正方形，FE N MA 1BCDD 1C 1B 1A∴11//MF A D ，又11//A D AD ，∴//MF AD ，∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF∵DF ⊂面EFDB ，AM ⊄面EFDB ∴AM ∥面EFDB ，同理由//AN BE ，可得AN ∥面EFDB ，又,AM AN ⊂平面AMN ，AM AN A =∴平面AMN ∥平面EFDB【例24】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵F 、G 、E 分别为所在棱的中点，∵AF BE ∥，11FG B D BD ∥∥， 又AF ⊂平面AGF 、FG ⊂平面AGF ， ∴BE ∥平面AGF ，BD ∥平面AGF ． 又∵BEBD B =，BE 、BD 均在平面BDE 内，∴平面EBD ∥平面FGA ．【例25】 已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ABCDA 1B 1C 1D 1【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】∵1111-ABCD A B C D 为正方体，∴1111//,AB C D AB C D =∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//D A C B ，又 1C B ⊂平面1C BD ，故 1//D A 平面1C BD ．同理 11//D B 平面1C BD ．又 1111D A D B D =，∴ 平面11//AB D 平面1C BD ．【例26】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDE F ED CB AO【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】略 【答案】取CD 中点M ，连结OM ，EMO AB CD EF在平行四边形ABCD 中，1//2OM BC ，又1//2EF BC ， 则//EF OM ，于是四边形EFOM 为平行四边形．∴FO ∥EM 又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，∴FO ∥平面CDE【例27】 已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．A A'B B'CC'D D'EF【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】∵'//',''BB DD BB DD =， ∴四边形''BDD B 为平行四边形，故有//''BD B D ． 取'BB 的中点G ，连结,AG FG ，∵//','AE B G AE B G =，∴四边形'AEB G 为平行四边形，故有//'AG B E ． 又∵////,GF BC AD GF BC AD ==，∴四边形ADFG 为平行四边形，故有//AG DF ． ∴'//B E DF ，又'''',B EB D B DF BD D ==， ∴平面//BDF 平面''B D E ．【例28】 过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）．A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星【题型】选择【关键词】2018年，湖南高考 【解析】如图所示，在1A A 和11BB D D 之间的四条棱的中点E 、F 、G 、H组成的平面中，有EF 、FG 、GH 、HE 、EG 、HF 6条直线与平面11BB D D 平行，另一侧还有6条，共12条．B 1D 1C 1G F ECB A 1A D H【答案】D ；【例29】 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ）A ．KB ．HC ．GD ．B 'A'B【考点】平行关系的判断与证明【难度】4星【题型】选择【关键词】2018年，湖北高考 【解析】如图，若取K 点为P 点，连结FK ，则FK CC '∥．B A'故CC '∥面KEF ．而其他侧棱AA '、BB '均与CC '平行．故此时与面PEF 平行的有3条棱．若取H 点为P 点，可以得面HEF ∥面ABC ∥面A B C '''， 则与面PEF 平行的棱有底面中的6条棱； 若取G 点为P 点，AB EF ∥，A B EF ''∥， 故只有棱AB 、A B ''与面PEF 平行； 若取B '点为P 点，AB EF ∥，只有棱AB 与面PEF 平行．故选C ．【答案】C ；。

教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题8.5.1 直线与直线平行教学目标1.类比平面内平行线传递性，通过对典型实例的直观感知和实验操作，归纳得出基本事实4，并会用其解决两直线平行问题，初步发展直观想象和数学抽象素养.2.类比平面几何中的“等角定理”，发现并证明空间中的“等角定理”，在此过程中进一步提升直观想象和逻辑推理素养.教学内容教学重点：基本事实4和“等角定理”.教学难点：空间“等角定理”的证明.教学过程一、整体概览引言：在平面几何中，我们重点研究过两条直线平行，得到了两条直线平行的判定定理和性质定理.类似的，空间中直线、平面间的平行关系也是我们立体几何中的重点研究内容.我们前面学过得平行关系有：直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行.由基本事实2可知，两条平行直线必然在同一平面内，因此，平面几何中直线与直线平行的判定和性质在空间中仍然适用，本小节主要研究一些在平面几何中成立的有关平行线的结论在空间的推广，主要是平行线的传递性和等角定理.设计意图：在教师的引导下回顾初中平面几何中两条直线位置关系的学习内容，通过类比平面几何的研究，得到本节的研究内容.二、新知探究1.基本事实4的探究（平行线的传递性）问题1：在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行．那么在空间中，是否也有类似的结论呢？下面我们观察几个实例.实例1：如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DC //AB ，A 1B 1//AB ，则DC 与A 1B 1平行吗？预设学生回答：平行实例2： 再观察教室如图2，黑板边所在的直线AA′和门框所在的直线CC′都平行于墙与墙的交线BB′，则CC′与AA′平行吗？预设学生回答：平行在实际生活中这样的例子还有很多，例如：把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行；将一本书打开，书脊所在的直线与书各页的另一边都平行等等.这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.基本事实4文字表示：平行于同一直线的两条直线平行.图形表示：符号表示：a //b ,b //c,则a //c作用：判断空间两条直线的平行.设计意图：类比平面中平行线传递性的性质，自然地联想到空间中平行线是否有类似的性质．结合大量实例，通过直观感知和操作确认，感知结论的正确性，归纳得到基本事实4，并会用图形语言和符号语言表示.2.基本事实4的应用例1 如图3，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．追问1：如何证明一个四边形是平行四边形？预设学生回答：证明它的一组对边平行且相等，或者证明其两组对边分别平行． 图1图2 图3a cb追问2：看到条件中的中点你能想到怎样的平行关系？预设学生回答：三角形的中位线，它平行且等于底边的一半．追问3：根据中位线的知识可得：BD EH 21//,BD FG 21//，由此可证FG EH //，你的理论依据是什么？预设学生回答：由基本事实4可得FG EH //.证明：连接BD . ∵EH 是∵ABD 的中位线，∵EH //BD ,且EH =12BD .同理 FG //BD ,且FG =12BD . ∵FG EH //.∵四边形EFGH 为平行四边形.追问4：如果题目再增加条件AC =BD ，那么四边形EFGH 又是什么图形？预设学生回答：菱形.设计意图：基本事实4的简单应用，体会平行线的传递性．3.探究并证明“等角定理”问题2：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？实例3：如图4，已知E ，F 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则AA 1与CC 1，ED 1与BF 有怎样的位置关系？预设学生回答：依据基本事实4，可知AA 1//CC 1，ED 1//BF追问：∠D 1EA 1与∠BFC ,∠D 1EA 与∠BFC 的大小有何关系？预设学生回答：∠D 1EA 1=∠BFC ，∠D 1EA+∠BFC=π.大家回答的都很正确，下面通过一个动画演示再来感受一下这个结论.实例4 （1）如图5在∠BAC 和∠B 1A 1C 1中，AB //A 1B 1，AC //A 1C 1,则∠BAC 与∠B 1A 1C 1有怎样的大小关系？（2）如图5在∠BAC 和∠B 1A 1C 1中，AB //A 1B 1，AC //A 1C 1,则∠BAD 与∠B 1A 1C 1有怎样的大小关系？ 图4预设学生回答：∠BAC=∠B 1A 1C 1，∠BAD+∠B 1A 1C 1=π设计意图：在定理给出之前，先在正方体模型中给出一个实例，让学生直观感知等角定理的结论在空间中依然成立，然后再通过PPT 动画演示再次感知结论的正确性.问题3：通过上述特例，我们发现在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．你能严格地证明该结论吗？ 与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图6所示的两种位置关系.下面我们对图5（1）的情形进行证明.追问1：回顾初中证明两个角相等的常用方法都有哪些？预设学生回答：全等三角形对应角相等，对顶角相等，内错角相等等.追问2：两个三角形全等的判定定理有哪些？预设学生回答：SAS,ASA,SSS,AAS.追问3：因为条件给出的是角，没有三角形，所以我们先要从角中构造出全等三角形，再根据全等三角形的对应角相等来进行证明，结合三角形全等的判定定理，如何在图（1）中构造出两个全等的三角形？预设学生回答：结合追问（2）中的三角形全等的判定定理，可以知道只要含角的定理都无法使用，只能通过SSS 进行证明，所以在两个角的两边分别截取长度相等的两组对应边，再证明第三组对边相等即可.设计意图：该定理的证明需构造两个全等的三角形，学生不易想到．教师通过引导学生回顾初中时证明两个角相等的常用方法，引出证通过证明三角形全等得到角相等的思路．证明：如图6，分别在∠BAC 和∠B′A′C′的两边上截取AD ,AE 和A′D′,A′E′，使得AD =A′D′,AE =A′E′.连接AA ′,DD′,EE′,DE ,D′E′.∵D A AD ''//，∵四边形ADD′A′是平行四边形.∵D D A A ''//.同理可证 E E A A ''//. 图6图6 图5∵EEDD''//.∵四边形DD′E′E是平行四边形.∵DE=D′E′.∵∵ADE∵∵A′D′E′.∵∠BAC=∠B′A′C′.对于图5（2）的情形，请同学们自己给出证明.等角定理文字表示：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.图形表示：符号表示：在∠CAB和∠C′A′B′中，AB//AB, AC//AC,则∠CAB=∠C′A′B′或∠CAB+∠C′A′B′=π设计意图：用三种语言分别叙述等角定理，学会用图形语言和数学语言表达数学定理.4.“等角定理”的应用例2 如图7，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：∠DNM＝∠D1A1C1.追问1：如何证明两个角相等？预设学生回答：根据等角定理只需证明角的两边对应平行. 追问：如何证明NM//A1C1？预设学生回答：NM//AC，AC//A1C1.证明：如图8，连接AC.在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，∴MN∥AC，由正方体的性质，得AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，图7 图8∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．又易知∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.设计意图：基本事实4和“等角定理”的简单应用，加深对定理的理解.问题4：基本事实4（平行线的传递性）和“等角定理”都是由平面图形推广到立体图形得到的．是不是所有关于平面图形的结论都可以推广到空间呢？若不能，请举例说明之．反例：长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥AB ，AA 1⊥AB ，但AA 1⊥AD因此，平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中不再成立. 设计意图：让学生明白，并非所有关于平面图形的结论都可以推广到立体图形，若要把关于平面图形的结论推广到立体图形，必须经过证明.三、课堂小结问题5：回顾本节课学习，关于直线与直线平行，你学到了什么？问题6：回顾基本事实4和等角定理的发现和探究过程，总结探究它们的方法是什么?设计意图：通过小结，梳理本节课所学内容和研究方法，得到我们立体图形的一般研究方法.．四、课后作业第135页，练习2,3，4；第144页，习题8.5第9题.基本事实4 等角定理 类比 直观感知 操作确认 推理论证图1应用。

8.5.3 平面与平面平行第1课时平面与平面平行的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面平行的判定定理及其应用。

本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用,具有重要的意义与地位。

空间中平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多。

而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法。

本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,类比直线与平面平行的判定定理探究过程,结合有关的实物模型,通过直观感知操作确认(合情推理),归纳出平面与平面平行的判定定理。

本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。

1.教学重点：空间平面与平面平行的判定定理；2.教学难点：应用平面与平面平行的判定定理解决问题。

多媒体一、复习回顾，温故知新1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢? 【答案】（1）定义法；（2）直线与平面平行的判定定理2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ 【答案】相交、平行3.怎样判断两平面平行？ 二、探索新知1.思考：若平面α∥β，则α中所有直线都平行β吗？反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β吗？ 【答案】平行，平行探究：如图8.5-11（1）,a 和b 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图8.5-11（2),c 和d 分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【答案】硬纸片与桌面可能相交，如图，三角尺与桌面平行，如图，平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 .符号表示：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a通过复习以前所学，引入本节新课。

8.5.1 直线与直线平行教案课题直线与直线平行单元第八单元学科数学年级高二教材分析本节内容是空间直线平面平行的第一课时,由常见立体图形导入,进而引出本节要学的内容。

教学目标与核心素养1.数学抽象:通过将实际物体抽象成空间图形并观察直线与直线平行关系。

2.逻辑推理:通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

3.数学建模:本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力,有利于数学建模中推理能力。

4.空间想象:本节重点是考查学生空间想象能力。

重点空间中平行线的传递性难点等角定理教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课我们知道,在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线,并且当两条直线都与第三条直线平行时,这两条直线互相平行,在空间中是否还有这样的类似的结论? 学生思考问题,引出本节新课内容。

利用已学知识引出本节新课内容。

讲授新课如图,在长方体ABCD-A’B’C’D’中,DC//AB, A’B’//AB,DC与A’B’平行吗?观察你所在教室,你能找到类似的实例吗?可以发现DC//A’B’.教室中黑板边所在直线AA’和门框所在直线CC’都平行于墙的交线BB’,那么CC’//AA’。

经过前面的讨论我们得到一个基本事实基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行根据实例观察空间中的平行线给出基本事实4通过具体立体图形体会空间中平行线的传递性加深学生对基本事实4的理解（用来判断空间中两条直线是否平行）2.例一如图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。

求证:四边形EFGH是平行四边形。

证明:连接BD∵EH是△ABD的中位线∴EH//BD,且EH=1/2BD同理FG//BD,且FG=1/2BD∴EH//FG且EH=FG∴四边形EFGH为平行四边形在例一中,如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH 是什么图形?菱形分析:在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。

①、了解直线与平面平行的证明方法②、掌握平面与平面平行的证明方法③、理解平行公理与空间等角定理一、直线与直线平行1、基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补二、直线与平面平行1、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言：a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭∥∥2、性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言：a a b b ααβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭∥∥三、平面与平面平行1、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言：,,a b a b P a b βββααα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⎭∥∥∥2、性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言：a a b b αβαγβγ⎫⎪⋃=⇒⎬⎪⋂=⎭∥∥8.5 空间直线、平面的平行1.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，AB=2BC=4，E是棱PD上的动点（除端点外），F，M分别为AB，CE的中点．（1）求证：FM//平面PAD；（2）若直线EF与平面PAD所成的最大角为30°，求平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明：取CD的中点N，连结FN，MN，因为F，N分别为AB，CD的中点，所以FN//AD，又因为FN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以FN//平面PAD，同理，MN//平面PAD，又因为FN∩MN=N，所以平面MFN//平面PAD，又因为FM⊂平面MFN，所以FM//平面PAD（2）解：因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， AB ⊥AD ，所以 AB ⊥ 平面 PAD ，所以 ∠AEF 即为直线 EF 与平面 PAD 所成的角，且 tan∠AEF =AF AE =2AE ，当 AE 最小，即 E 为 PD 中点时， AE ⊥PD ，此时 ∠AEF 最大为 30° ，又因为 AF =2 ，所以 AE =2√3 ，所以 AD =4 ．取 AD 的中点 O ，连结 PO ， OC ，易知 PO ⊥ 平面 ABCD ，因为 AO//BC 且 AO =BC ，所以四边形 ABCO 为平行四边形，所以 AO ⊥OC ，以 O 为坐标原点， OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O −xyz ． 则 O(0,0,0) ， C(4,0,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,2√3) ， E(0,1,√3) ， F(2,−2,0) ， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1,√3) ，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) ， 设 n ⃗ 1=(x,y,z) 为平面 CEF 的法向量，则 {n ⃗ 1⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x+2y=0,−4x+y+√3z=0,可取n⃗1=(√3,−√3,5)．设平面PAD的法向量为n⃗2=(1,0,0)，所以cos〈n⃗1,n⃗2〉=n⃗1⋅n⃗2|n⃗1|⋅|n⃗2|=√3√31=√9331，所以平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为√9331【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理证明；（2）先用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．2.如图所示，直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，点E是线段CC1的中点．（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：BD⊥A1E．【答案】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；因为О，E分别为线段AC，CC1的中点，故OE//AC1，而OE⊂平面BDE，AC1⊂平面BDE，故AC1//平面BDE（2）证明：因为直棱柱ABCD−A1B1C1D1，故CC1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1=C，AC⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1．因为A1E⊂平面ACC1A1，故BD⊥A1E【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，因为О，E分别为线段AC，CC1的中点，所以利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出AC1//平面BDE。

【新教材】8.5.1 直线与直线平行（人教A版）直线与直线平行是所有平行关系的基础，在初中已经学过平行四边形，中位线与底边等平行关系，本节教材重点介绍了平面的基本事实4,等角定理，对平面中直线与直线的平行关系进一步深化.也为后续线面平行、面面平行打下基础.课程目标1.正确理解基本事实4和等角定理；2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.数学学科素养1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解；2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用.重点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？举例说明.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本133-135页，思考并完成以下问题1、平行于同一条直线的两条直线有什么关系？2、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.四、典例分析、举一反三题型一基本事实4的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，BD.所以EH∥BD，且EH=12BD.同理，FG∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.解题技巧（证明两直线平行的常用方法）(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练一1、如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.。

空间直线、平面的平行【第一学时】直线与直线平行【学习目标】1．理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题2．理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题【学习重难点】1．基本事实42．等角定理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．基本事实4的内容是什么？2．定理的内容是什么？二、新知探究基本事实4的应用例1：如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．定理的应用例2：如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC .求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .【学习小结】 1．基本事实4（1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．（2）符号表示：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【精炼反馈】1．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 的中点，N 是B 1C 1的中点，求证：CM ∥A 1N .【第二学时】直线与平面平行【学习目标】1．理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系2．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【学习重难点】1．直线与平面平行的判定2．直线与平面平行的性质【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面平行的判定定理是什么？2．直线与平面平行的性质定理是什么？二、合作探究直线与平面平行的判定例1：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.线面平行性质定理的应用例2：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【学习小结】1．直线与平面平行的判定定理【精炼反馈】1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是（）A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交2．给出下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2 D．33．三棱台ABC­A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（）A．相交B．平行C．在平面内D．不确定4．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.【第三学时】平面与平面平行【学习目标】1．理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系2．理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【学习重难点】1．平面与平面平行的判定2．平面与平面平行的性质【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？二、合作探究平面与平面平行的判定例1：如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1. （1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .[变条件]把本例（2）的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝14A 1A ”，求F 在何位置时，平面EB 1D 1∥平面FBD ?解：当F 满足CF ＝14CC 1时，两平面平行，下面给出证明：在D 1D 上取点M ，且DM ＝14DD 1， 连接AM ，FM ， 则AE ═∥D 1M ，从而四边形AMD 1E 是平行四边形． 所以D 1E ∥AM . 同理，FM ═∥CD ，又因为AB ═∥CD ，所以FM ═∥AB ，从而四边形FMAB 是平行四边形．所以AM ∥BF . 即有D 1E ∥BF .又BF ⊂平面FBD ， D 1E ⊄平面FBD ，所以D 1E ∥平面FBD . 又B 1B ═∥D 1D ，从而四边形BB 1D 1D 是平行四边形．故而B 1D 1∥BD ， 又BD ⊂平面FBD ，B 1D 1⊄平面FBD ， 从而B 1D 1∥平面FBD ， 又D 1E ∩B 1D 1＝D 1，所以平面EB1D1∥平面FBD.面面平行性质定理的应用例2：如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且AMMB＝CNND，其他不变．证明：MN∥平面α.证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，NP AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作∥DE交AE于点P，连接MP，BE，于是CNND＝APPE.又因为AMMB＝CNND，所以AMMB＝APPE，所以MP∥BE.而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：ABBC＝DEEF.证明：连接AF交平面β于点M.连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，所以ME∥AD.所以DEEF＝AMMF.同理，BM∥CF，所以ABBC＝AMMF，即ABBC＝DEEF.平行关系的综合问题例3：在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图．（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【学习小结】文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言2．平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言【精炼反馈】1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（）A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交2．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（）A．2∶25B．4∶25C．2∶5 D．4∶53．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．4．如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．【参考答案】【第一学时】二、新知探究例1：【答案】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ═∥A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1═∥B1C1，所以EQ═∥B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E═∥C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD═∥C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q═∥FD.又B1E═∥C1Q，所以B1E═∥FD，故四边形B1EDF为平行四边形．例2：【答案】在△OAB中，因为OA1OA＝OB1OB，所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.【精炼反馈】1．【答案】证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝12A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1═∥A1D1，所以C1N═∥P A1，四边形P A1NC1为平行四边形，A1N∥C1P.又由PM═∥DD1═∥CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.2．【答案】如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.【第二学时】二、合作探究例1：【答案】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB═∥A1B1═∥D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.例2：【答案】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，所以AP∥GH.【精炼反馈】1．【答案】D【解析】选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．【答案】B【解析】选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．3．【答案】B【解析】选B.在三棱台ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．【答案】证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.【第三学时】例1：【答案】（1）因为B1B═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.例2：【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.例3：【答案】解：（1）证明：因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD═∥B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即CF ＝FE ，所以A 1E ＝EF ＝FC .【精炼反馈】1．【答案】D【解析】选D.选项A 、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项B 不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2．【答案】B【解析】选B.因为平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，所以AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝425. 3．【答案】92【解析】在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN ，且MN ∥CD 1，所以N 为AB 的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD 1，因为正方体的棱长为2，易知，MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝5，所以等腰梯形MNCD 1的高MH ＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322. 所以截面面积为12（2＋22）×322＝92. 4．【答案】证明：因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面α＝EH ，所以AB ∥EH ，因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABD ，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可证EF∥GH，所以四边形EFGH是平行四边形．。

《8.5.2 直线与平面平行》教学设计第2课时直线与平面平行的性质【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与平面平行的性质及其应用。

直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据直线与平面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。

通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

【教学目标与核心素养】A.体会直线与平面平行的性质定理；B.体会直线与平面平行的性质定理的应用；C.通过线线平行与线面平行转化，培养学生的学习兴趣。

【教学重点】：直线与平面平行的性质定理；【教学难点】：直线与平面平行的性质定理的应用。

【教学过程】【点析】（1）平行或异面，（2）共面证明：∵α∩β=b ∴b 在面α上 又∵a//α ∴a 与b 无公共点 又∵a 、b 都在面β内 ∴a//b1.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

注意：1、定理中三个条件缺一不可。

2、简记：线面平行，则线线平行。

3、定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据。

4、定理的关键：寻找平面与平面的交线。

例1.如图所示的一块木料中,棱BC 平行于面A'C'．⑴要经过面A'C'内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？ ⑵所画的线与平面AC 是什么位置关系？ba b a a //,,//:求证：已知=⋂⊂βαβα【教学反思】应让学生动手去找直线与平面平行与直线与面内直线之间的关系，能更好地理解直线与平面平行的性质定理。

《8.5.2 直线与平面平行》导学案 第2课时 直线与平面平行的性质【学习目标】1.体会直线与平面平行的性质定理；2.体会直线与平面平行的性质定理的应用；3.通过线线平行与线面平行转化，培养学生的学习兴趣。