人教版高中数学必修二《空间中直线、平面的垂直关系》

空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1．异面直线所成的角2．直线与平面垂直的定义3．直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？二、基础知识1．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．[名师点拨]当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCD ­EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心．求：（1）BE 与CG 所成的角；（2）FO 与BD 所成的角．【解】（1）如图，因为CG ∥BF ．所以∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°．（2）连接FH ，因为HD ∥EA ，EA ∥FB ，所以HD ∥FB ，又HD ＝FB ，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF ∥BD ，所以∠HFO （或其补角）为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA ，AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，所以△AFH 为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°．1．[变条件]在本例正方体中，若P 是平面EFGH 的中心，其他条件不变，求OP 和CD 所成的角．解：连接EG ，HF ，则P 为HF 的中点，连接AF ，AH ，OP ∥AF ，又CD ∥AB ，所以∠BAF （或其补角）为异面直线OP 与CD 所成的角，由于△ABF 是等腰直角三角形，所以∠BAF ＝45°，故OP 与CD 所成的角为45°．2．[变条件]在本例正方体中，若M ，N 分别是BF ，CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39．2°，求AM 和BN 所成的角．解：连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以BF═∥ CG ，因为M ，N 分别是BF ，CG 的中点，所以BM ═∥ NG ，所以四边形BNGM 是平行四边形，所以BN ∥MG ，所以∠AGM （或其补角）是异面直线AG 和BN 所成的角，∠AMG （或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．[规律方法]求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．直线与平面垂直的定义（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A．平行．相交C．异面．垂直（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．故l与m不可能平行．（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】（1）A（2）B[规律方法]对线面垂直定义的理解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC．又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF．（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ，所以BD ⊥FH ．2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG ．证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ，所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG ．3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD ．证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥ 12CD ，又AE ═∥ 12CD ，所以GF ═∥ AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF ．因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD ．因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD ．（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．【课堂检测】1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b 平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC 的补角，所以直线a，b所成的角为60°．答案：60°【第二课时】【教学目标】1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1．直线与平面所成的角2．直线与平面垂直的性质【核心素养】1．直观想象、逻辑推理、数学运算2．直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1．直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言Error!⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线名师点拨（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3．线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3．于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为2 3．[规律方法]线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN ⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】（1）如图，连接A1C1．因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1．因为四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1．又因为CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ．又因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥A 1C ．（2）如图，连接B 1A ，AD 1．因为B 1C 1═∥ AD ，所以四边形ADC 1B 1为平行四边形，所以C 1D ∥AB 1，因为MN ⊥C 1D ，所以MN ⊥AB 1．又因为MN ⊥B 1D 1，AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以MN ⊥平面AB 1D 1．由（1）知A 1C ⊥B 1D 1．同理可得A 1C ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1．所以A 1C ∥MN ． [规律方法]（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．（2）直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l ⊥α于A ，AP ⊥l ，则AP ⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．求点到平面的距离如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ­ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．【解】（1）证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ．因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（2）V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB ．由V ＝34，可得AB ＝32．作AH ⊥PB 于点H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313．[规律方法]从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．【课堂检测】1．若斜线段AB 是它在平面α内射影长的2倍，则AB 与平面α所成角的大小为（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：选A ．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段与平面所成的角．又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12，所以∠ABO ＝60°．2．已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中不正确的是（）A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BDD ．PA ⊥BD解析：选C ．PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥BD ，D 正确；Error!⇒BC ⊥平面PAB ⇒BC ⊥PB ．故A 正确；同理B 正确；C 不正确．3．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，则过M 且与直线AB 和B 1C 1都垂直的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条解析：选A ．显然DD 1是满足条件的一条，如果还有一条l 满足条件，则l ⊥B 1C 1，l ⊥AB ．又AB ∥C 1D 1，则l ⊥C 1D 1．又B 1C 1∩C 1D 1＝C 1，所以l ⊥平面B 1C 1D 1．同理DD 1⊥平面B 1C 1D 1，则l ∥DD 1．又l 与DD 1都过M ，这是不可能的，因此只有DD 1一条满足条件．4．如图，已知AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AE ⊥BC 交BC 于点E ，D 是FG 的中点，AF ＝AG ，EF ＝EG ．求证：BC ∥FG ．证明：连接DE ．因为AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，所以AD ⊥平面ABC ．又BC ⊂平面ABC ，所以AD⊥BC．又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE．因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG．同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE．所以BC∥FG．【第三课时】【学习目标】1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1．二面角2．平面与平面垂直的判定定理3．平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1．直观想象、数学运算2．直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）图形和记法图形：记作：二面角α­AB­β或二面角α­l­β或二面角P­AB­Q或二面角P­l­Q．2．二面角的平面角（1）定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）图形、符号及范围图形：符号：Error!⇒∠AOB是二面角的平面角．范围：0°≤∠AOB≤180°．（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．（2）判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直Error!⇒α⊥β名师点拨定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．4．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言Error!⇒a ⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成锐二面角A 1­BD ­A 的正切值为（）A ．32B ．22C ．2D ．3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定【解析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 的中点，因为A 1D ＝A 1B ，所以在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD ．又因为在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以∠A 1OA 为二面角A 1­BD ­A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22．所以tan ∠A 1OA ＝122＝2．（2）反例：如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CD ，C 1D 1的中点，二面角D ­AA 1­E 与二面角B 1­AB ­C 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】（1）C （2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB 为二面角α­a ­β的平面角．方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A­BC ­D 的平面角．方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角α­l ­β的平面角．[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD＝AC ＝a ．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．【证明】因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD⊥CE ．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝ AB 2－BE 2＝22a ．同理CE ＝22a ，在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ．由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A ­BD ­C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°，所以二面角A ­BD ­C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD ．角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P ­ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形．求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【证明】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．[规律方法]证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，因为AD ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ． [反思归纳]利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．垂直关系的综合问题如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】（1）如图，取EC 的中点F ，连接DF ．因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ．（2）取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．[规律方法]垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：【课堂检测】1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．A．4B．3C．2 D．1解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．3．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P­AB­C的大小为Ｗ．解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角．在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．答案：60°4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β．其中正确的说法序号为Ｗ．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．。

人教版高一数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》说课稿一、教材分析《直线、平面垂直的判定及其性质》是人教版高一数学必修二的一个重要章节。

本章主要介绍了判定直线与平面之间是否垂直的方法及其相关性质。

通过学习本章，学生可以理解垂直的概念，掌握垂直的判定方法，进一步加深对直线、平面垂直关系的认识。

本章的学习内容对于学生的几何思维能力和推理能力的培养有着重要的意义。

二、教学目标本节课的教学目标主要有以下几个方面： - 理解直线与平面垂直的概念； - 掌握直线与平面垂直的判定方法； - 运用垂直的性质解决相关问题； - 培养学生的几何思维能力和推理能力。

三、教学重点和难点本节课的教学重点主要有： - 垂直概念的理解； - 垂直的判定方法的掌握； - 垂直的性质的应用。

教学难点主要有： - 判定直线与平面是否垂直的方法； - 运用垂直性质解决问题的能力培养。

四、教学方法本节课将采用以下教学方法： - 课堂讲授与板书相结合的方法，通过示例引导学生理解概念； - 组织学生进行小组讨论，加深对判定方法的掌握； - 引导学生进行思维导图、图示等形式的辅助表达，培养学生的几何思维能力。

五、教学内容及思路1. 垂直概念的引入通过一个简单的生活场景引入本节课的内容，如：如何判断一根竖直的木杆？引导学生讨论与垂直有关的情景，从而引出垂直的概念。

2. 直线与平面垂直的判定方法•方法一：直线斜率与平面法向量的关系：通过讲解直线的斜率和平面的法向量的概念，引导学生思考斜率与法向量的关系，进而得到直线与平面垂直的判定方法。

•方法二：直线的方向向量与平面的法向量的关系：通过讲解直线的方向向量和平面的法向量的概念，引导学生思考方向向量与法向量的关系，进而得到直线与平面垂直的判定方法。

3. 垂直的性质与应用通过讲解垂直的性质，如：垂直平分线的性质、垂直平行线的性质等，引导学生理解并应用这些性质解决相关问题。

同时，鼓励学生提出自己的思考，发散思维。

8．6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直8．6.2直线与平面垂直第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定考点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b垂直，记作a⊥b．(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨]当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直■名师点拨(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α■名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°， 即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】(1)A(2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又FH⊂平面P AC，所以BD⊥FH.2．[变条件]若本例中P A＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.证明：因为P A⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥P A，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ， 所以AG ⊥DC ，因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB 与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD 1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC ⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，所以BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，所以EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，所以BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.[B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED .A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

人教版高一数学必修第二册《空间直线、平面的垂直》说课稿一、教材信息•课程名称：高一数学必修第二册•教材版本：人教版•章节名称：空间直线、平面的垂直二、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1.理解空间直线与平面相垂直的定义；2.掌握判断空间直线与平面相垂直的条件，以及判断两个平面相互垂直的条件；3.运用垂直的概念解决实际问题；4.培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

三、教学内容与学情分析本节课主要围绕空间直线与平面的垂直展开教学。

在高中数学教学中，该知识点为必修内容，学生已经学习过空间向量的概念，对空间概念有一定的了解。

因此，学生已有一定的基础，需要进一步巩固与提高。

在学情分析方面，大部分学生对于空间几何的概念了解较少，对于学习观念的建立尚不牢固。

因此，本节课的教学要注重概念的引入和理解。

四、教学重点与难点本节课的教学重点和难点主要集中在以下两个方面：1.判断空间直线与平面相垂直的条件；2.判断两个平面相互垂直的条件。

由于涉及到多个概念与条件的判断，学生可能存在一定的混淆和困惑，需要通过典型例题和思维导图的方式进行讲解和引导。

五、教学方法与手段本节课的教学方法主要采用讲授与讨论相结合的方式。

首先通过概念解释与例题分析讲解空间直线与平面的垂直定义和相关的判断条件。

随后，通过实际问题的讨论和解答，引导学生运用垂直的概念解决实际问题。

在教学手段上，可以利用黑板、教材、多媒体等工具进行讲解与演示。

同时，通过小组讨论和集体讨论的方式，培养学生的合作与交流能力。

六、教学步骤与内容本节课的教学步骤与内容如下：第一步：导入与概念讲解（5分钟）•通过提问和回答的方式，引导学生复习空间向量的相关概念，如平行、共面等，并逐步引入垂直的概念；•结合教材内容，提出空间直线与平面相垂直的定义。

第二步：判断空间直线与平面相垂直的条件（15分钟）•讲解条件一：直线上的一点到平面上的任意一条直线的距离为零，引导学生进行思考，解决直线与平面垂直的条件；•讲解条件二：直线的方向向量与平面的法向量垂直，通过例题与解析，讲解直线与平面垂直的另一种判断条件。