高中数学必修二导学案14.两条直线的平行与垂直

高二数学两条直线的平行与垂直教案第一篇：高二数学两条直线的平行与垂直教案高二数学两条直线的平行与垂直教案一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．(二)能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程(一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是l1：y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq x（）要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即eq x()(三)例题例1 已知两条直线l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0．求证：l1∥l2．证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式：∴两直线不相交．∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．即 2x+3y+10= 0．解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．例3 已知两条直线求证：l1⊥l2．l1： 2x-4y+7=0，l2： 2x+y-5=0．∴l1⊥l2．例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是x-2y=0．解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x-2y=0．(四)课后小结(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法．五、布置作业1．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)y=3x+4和2x-6y+1=0；(2)y=x与3x十3y-10=0；(3)3x+4y=5与6x-8y=7；解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．2．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：(1)平行于直线2x+5-5=0；(2)垂直于直线x-y-2=0；解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．3．(1．7练习第3题)已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．解：(1)另一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．(2)另一条斜率为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．4．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3)，求这个三角形的三条高所在的直线方程．也就是 2x+7y-21=0．同理可得BC边上的高所在直线方程为3x+2y-12=0． AC边上的高所在的直线方程为4x-3y-3=0．六、板书设计第二篇：两直线平行与垂直两条直线的平行与垂直导学案姓名班级主编：李潭潭审编：李平原学习目标1．掌握利用斜率判断两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯．学习重点与难点本节课的重点是用斜率判断两直线平行与垂直的方法。

两条直线平行与垂直的判定 问题引航 2.如何利用直线的斜率判定两条直线的平行和垂直？自主探究①斜率存在，1290αα•=≠，12//l l ⇔ ，②斜率不存在，1290αα•== ，12//l l ⇐ 。

2.两条直线垂直与斜率之间的关系：①斜率存在，12l l ⊥ （两条直线斜率都存在，且都不为零）⇔ ， ②斜率不存在，1l 的斜率不存在，1l 的斜率为零⇒ 。

3.直线l 1和直线l 2的斜率k 1=k 2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？总结归纳直线与直线平行和垂直的判定方法：互动探究1l 与2l 是否平行。

（1）1l 经过点A （-1，-2）,B(2,1), 2l 经过点M （3，4），N （-1，-1）（2）1l 经过点A （0，1）,B(1,0), 2l 经过点M （-1，3），N （2，0）例题2：已知四边形ABCD 的四个顶点分别为(0,0),(2,1),(4,2),(2,3)A B C D -，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明。

例题3：已知(6,0),(3,6),(0,3),(6,6)A B P Q --,试判断直线AB 与PQ 的位置关系。

例题4：已知(5,1),(1,1),(2,3)A B P -三点，是判断ABC ∆的形状。

当堂检测1、练习：教材89页练习第1题2、练习：教材89页练习第2题3、有如下几种说法：①若直线1l ，2l 都有斜率且斜率相等，则1l //2l ;②若直线1l ⊥2l ，则他们的斜率之积为-1③两条直线的倾斜角的正弦值相等，则两直线平行。

以上三种说法中，正确的个数是（ ）A 、 1B 、2C 、3D 、04、顺次连接A （-4，3），B （2，5），C （6，3），D （-3，1）四点所组成的图形是（ ）A 、平行四边形B 、直角梯形C 等腰梯形D 以上都不对5、已知直线1l 的斜率为3，直线2l 经过点A(1,2),B(2,a).若直线1l //2l ,则a=______;若1l ⊥2l ，则a=______6、已知A （1，-1），B （2，2），C （3，0）三点，求点D 使CD ⊥AB 且CB//ＡＤ。

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）学习目标1. 掌握用斜率判断两条直线垂直的方法.2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

学习过程一 学生活动1．过点)3,2(-P 且平行于过两点)5,1()2,1(--N M ，的直线的方程为_______________．2．直线1l ：04)1(2=+++y m x 与直线2l ：023=-+y mx 平行，则m 的值为________________．3．已知点)322,2()322,6()2,4()2,0(++D C B A ，，，，判断四边形ABCD 的形状， 并说明此四边形的对角线之间有什么关系？二 建构知识1.当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相___________，即1l ⊥⇔2l ______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．2．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直的条件是12120A A B B +=，与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay m -+=三 知识运用例题（1）已知四点)11,6()4,3()6,10()3,5(--D C B A ，，，，求证：CD AB ⊥； （2） 已知直线1l 的斜率为431=k ，直线2l 经过点)1,0()2,3(2+-a B a A ，， 且1l ⊥2l ，求实数a 的值．如图，已知三角形的顶点为),3,2(),2,1(),4,2(--C B A 求BC 边上的高AD所在的直线方程．例1 例2x例3 在路边安装路灯，路宽m 23，且与灯柱成ο120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到m 01.0）巩固练习1．求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点)1,3(且与直线0323=-+y x 垂直；（2）过点)7,5(且与直线03=-x 垂直；（3）过点)4,2(-且与直线5=y 垂直．2．如果直线0=+y mx 与直线012=++y x 垂直，则=m ___________________．3．直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2=-+-+a y a x 垂直，则a 的值为____________________．4．若直线1l 在y 轴上的截距为2，且与直线2l ：023=-+y x 垂直，则直线1l 的方程是_____________________________．5．以)4,1()1,2()1,1(C B A ，，--为顶点的三角形的形状是______________________．四 回顾小结两直线垂直的等价条件五 学习评价基础训练1. 直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线320x y +-=垂直，则l 方程为_________1. 根据条件，判断直线l 1与2l 是否垂直： 1l 的倾斜角为45o ，2l 的方程为1x y += __________________;1l 经过点M （1，0），N （4，5），2l 经过点R （-6，0），S （-1，3）：__________. 235.2 ︒1203.若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足____________________.4.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上.若ACB ∠=2π，则这样的点C 有_________个.5. 已知点(0,1),A -点B 在直线10x y -+=上且直线AB 垂直于该直线，则点B 的坐标是_________6.若原点在直线l 上的射影为(2,1)P ，则直线l 的方程为______________.7. 求与直线0734=+-y x 垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程．拓展延伸8.若三角形的一个顶点是A （2，3），两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=，试求此三角形三边所在直线的方程.9.已知直线l 方程为34120x y +-=，l '与l 垂直，且l '与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l '的方程.2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）1.3x-y+2=0,2.（1）垂直；（2）不垂直3.2a-b=0；4.3 ,5.（-1,0），6.2x+y-5=07.3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 ,8.2x+y-7=0,x-y+1=0,x+2y-5=0；9. 4x-3y 0±=.。

第4课时两条直线的平行与垂直1.掌握直线与直线的位置关系.2.能根据直线的方程判定两条直线平行或垂直,能利用两条直线平行或垂直的关系求直线的方程.3.会求关于已知直线对称的直线方程.如图,直线m的方程为2x-y+2=0,直线n绕着点P(1,-1)旋转,当直线n旋转到与直线m 平行的时候,直线n的斜率是多少?当直线n旋转到与直线m垂直的时候,直线n的斜率是多少?问题1:在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为;当m⊥n时,直线n的方程为.问题2:两直线平行的判定(1)斜截式:直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为y=k2x+b2,则m∥n⇔k1=k2且b1≠b2;直线m,n重合⇔k1=k2且b1=b2.(2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为A2x+B2y+C2=0,则m∥n⇔A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1、B1C2≠B2C1,两个;直线m,n重合⇔.问题3:两直线垂直的判定(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1.(2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.问题4:中心对称问题(1)点关于点的对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得;(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程.问题5:轴对称问题(1)点(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的对称点(x2,y2)可由得出对称点坐标.(2)直线关于直线对称求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法:转化为点关于直线对称.在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于l的对称点,再用两点式求出l2的方程.1.已知两条不重合的直线l1、l2,有下列说法:①若直线l1与l2的斜率相等,则l1∥l2;②若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等;③若直线l1、l2的斜率均不存在,则l1∥l2;④若两直线的斜率不相等,则两直线不平行;⑤如果直线l1、l2平行,且l1的斜率不存在,那么l2的斜率也不存在.其中正确的个数是().A.1B. 2C.3D.42.已知点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角,则点P的坐标是().A.(1,0)或(6,0)B.(1,0)C.(-6,0)D.(1,0)或(-6,0)3.下列命题正确的有.(1)任何一条直线都有倾斜角,也有斜率;(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°;(3)直线的斜率范围是(-∞,+∞);(4)过原点的直线,斜率越大越靠近x轴;(5)两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等;(6)两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等.4.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:(1)过点B(-3,0),且垂直于x轴;(2)在y轴上的截距为3,且平行于x轴.直线方程的应用(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线方程;(2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2垂直的直线方程.平面几何中的平行与垂直问题已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.(2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.对称问题光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y 轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线的方程.(1)求与直线y=-2x+10平行,且在x轴、y轴上的截距之和为12的直线的方程.(2)求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABDC为直角梯形.已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是().A.x-2y+1=0B.x-2y-1=0C.x+y-1=0D.x+2y-1=01.若直线l经过点(a-2,-1)和点(-a-2,1),且与斜率为-的直线垂直,则实数a的值是().A.-B.-C.D.2.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,-m)的直线平行,则m的值为().A.-1B.1C.2D.3.直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直,则m为.4.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.已知直线l的方程为3x+4y-12=0.(1)l'与l平行,且l'过点(-1,3),求直线l'的方程;(2)l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l'的方程.考题变式(我来改编):第4课时两条直线的平行与垂直知识体系梳理问题1:2x-y-3=0x+2y+1=0问题2:(2)不等式至少有一个成立A1B2=A2B1且A1C2=A2C1、B1C2=B2C1问题4:(1)问题5:(1)A·+B·+C=0基础学习交流1.D②中斜率可能不存在,①③④⑤正确.2.A设P(x,0),则·=-1,∴x=1或x=6.∴点P的坐标是(1,0)或(6,0).3.(3)(5)(1)倾斜角为90°的直线没有斜率;(2)直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°);(4)斜率的绝对值越大,其对应的直线越靠近y轴;(6)倾斜角为90°的直线没有斜率.4.解:(1)x=-3,即x+3=0.(2)y=3,即y-3=0.重点难点探究探究一:【解析】(1)由y=2x+7得k1=2,因为所求直线与直线y=2x+7平行,所以k=k1=2,所以所求直线方程为y-1=2(x-1).(2)因为所求直线垂直于直线y=-2,所以所求直线的斜率不存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为x=-1.【小结】直线的平行与垂直的位置关系是解析几何的重要位置关系,解决问题的关键就是抓住平行或垂直时斜率的关系.同时,一定要注意直线的斜率是否存在,若不能确定直线的斜率是否存在,则要进行分类讨论.探究二:【解析】设D(m,n),由已知得k AB=,k AC=2,k BD=,k CD=.因为四边形ABDC是平行四边形,如图,所以由AB∥CD⇒=,①由AC∥BD⇒2=,②由①②解得m=6,n=6,即D(6,6).(2)设AB边上的高所在的直线斜率为k,则k·k AB=-1,因为k AB==,所以k=-,且经过点C,故AB边上的高所在的直线方程为y-3=-(x-2),整理得4x+3y-17=0.【小结】解平面几何中的平行或垂直问题,要注意平面图形的几何性质并加以利用,比如三角形中的中线、角平分线、高,特殊四边形的性质,等等,都要转化为坐标运算.探究三:【解析】作出草图,如图所示.设A点关于直线y=x的对称点为A'点,D点关于y轴的对称点为D'点,则易得A'(-2,-4),D'(1,6).由入射角等于反射角可得A'D'所在直线经过点B与C,故BC所在的直线方程为=,即10x-3y+8=0.【小结】解决这类对称问题要抓住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.思维拓展应用应用一:(1)设所求直线的方程为y=-2x+λ,则它在y轴上的截距为λ,在x轴上的截距为λ,∴λ+λ=12,∴λ=8.故所求直线的方程为y=-2x+8,即2x+y-8=0.(2)(法一)∵已知直线的斜率是-,所求直线与已知直线平行,∴所求直线的斜率也是-.根据点斜式,得所求直线的方程是y+4=-(x-1),即2x+3y+10=0.(法二)设所求直线的方程为2x+3y+b=0,∵直线过点A(1,-4),∴2×1+3×(-4)+b=0,解得b=10.故所求直线的方程是2x+3y+10=0.应用二:设D(x,y),(1)当B、D为直角顶点时,AB∥CD(如图1),∴k CD=k AB,∴=3,即y=3x-9.①又BD⊥CD,∴k BD·k CD=-1,∴·=-1,即x2+y2-2x-3=0.②解①②联立的方程组,得x=,y=-,或x=3,y=0(舍去).(2)当C、D为直角顶点时,AC∥BD(如图2),∴k BD=k AC,∴=-1,即y=-x-1.③又BD⊥CD,∴k BD·k CD=-1,∴·=-1,即x2+y2-2x-3=0.④解③④联立的方程组,得x=1,y=-2,或x=-1,y=0(舍去).综上所述,点D的坐标为(,-)或(1,-2).应用三:B l1与l2关于l对称,则l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上的一点,设其关于l的对称点为(x,y),则得即(1,0),(-1,-1)为l2上的两点,可得l2的方程为x-2y-1=0.基础智能检测1.A∵k l==-,且-×(-)=-1,∴a=-.2.B由=,得m=1.3.-2或1当斜率不存在时,m=0,则两直线平行,不合题意,所以两直线的斜率都存在.由k1·k2=-1可得(-)·=-1,解得m=-2或m=1.(此题也可直接用2-m+m(-m)=0求解)4.解:设第四个顶点D的坐标为(x,y),由题意可知,AD⊥CD,AD∥BC,∴k AD·k CD=-1,且k AD=k BC,∴解得x=2,y=3,∴第四个顶点的坐标为(2,3).全新视角拓展(1)因为直线l的斜率k=-,且l'∥l,所以直线l'的斜率k'=-,所以由点斜式得y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.(2)由直线l的斜率k=-,且l'⊥l,可得直线l'的斜率k'=.设直线l'的方程为y=x+b,由y=0得x=-b,由x=0得y=b.由S△=·|-b|·|b|=4,得b2=,即b=±,所以直线l'的方程为y=x±,即4x-3y±4=0.思维导图构建b1≠b2k1·k2=-1A1C2=A2C1且B1C2=B2C1A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1A1A2+B1B2=0。

平行与垂直导学案导学案是指通过提供必要的学习指导来帮助学生自主学习的一种教育方式。

在本次导学案中，我们将探讨平行和垂直这两个几何概念。

通过学习本导学案，你将能够理解平行和垂直的概念，并能够运用这些概念解决相关问题。

一、平行线平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

在平行线中，不存在交点。

要判断两条直线是否平行，我们可以利用以下几种方法：1. 角度判断法：如果两条直线之间的对应角度相等，那么这两条直线是平行的。

2. 距离判断法：如果两条直线上任意两个点之间的距离保持不变，那么这两条直线是平行的。

3. 斜率判断法：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行的。

二、垂直线垂直线是指在同一个平面内相交成直角的两条直线。

垂直线的判断方法与平行线相似。

以下是几种判断两条直线垂直的方法：1. 角度判断法：如果两条直线之间的对应角度互为90度的那个角，那么这两条直线是垂直的。

2. 斜率判断法：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。

在实际应用中，我们经常会遇到平行和垂直线的问题。

例如，在建筑设计中，我们需要确保墙壁与地板之间垂直，以确保建筑的稳定性。

在几何学中，平行和垂直线也是解决平面几何问题的重要工具。

下面是一些练习题，帮助你巩固对平行和垂直线的理解。

练习题：1. 判断以下直线是否平行：直线l1：y = 2x + 3，直线l2：y = 2x + 5。

2. 判断以下直线是否垂直：直线l3：y = 3x + 2，直线l4：y = -1/3x + 4。

3. 如果直线l5与直线l6垂直，且直线l5的斜率为2/3，求直线l6的斜率。

4. 在一个矩形中，两条对边是平行的还是垂直的？5. 在一个正方形中，两条对边是平行的还是垂直的？答案：1. 直线l1和直线l2的斜率都为2，因此它们是平行的。

2. 直线l3的斜率为3，直线l4的斜率为-1/3，两者乘积不为-1，因此它们不是垂直的。

3. 根据斜率乘积为-1的条件，直线l6的斜率为-3/2。

3．1.2两条直线平行与垂直的判定课前自主预习知识点一两条直线平行的判定两条直线平行与斜率的关系设两条不重合的直线l1，l2，斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔□1k1＝k2□2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定两条直线垂直与斜率的关系图示对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔□1k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是□2垂直1．关于两直线平行与斜率的关系要注意的几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．2．关于两直线垂直与斜率的关系要注意的几点(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．()(2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．()(3)若两条直线平行，则两条直线的倾斜角一定相等．()(4)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝3，l1⊥l2，则k2＝________.(2)已知点A(0,1)和B(－1,0)，直线l与直线AB平行，则直线l的斜率k＝________.(3)已知直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2经过点A (0,5)，B (3，2)，则直线l 1与直线l 2的位置关系为________．(4)(教材改编，P 89，T 2)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线，直线l 的斜率为－2.若AB ⊥l ，则m ＝________；若AB ∥l ，则m ＝________.答案 (1)－13 (2)1 (3)l 1⊥l 2 (4)2 －8课堂互动探究探究1 两条直线的平行问题例1 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．解 设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得m ＝3，n ＝4.所以D 的坐标为(3,4)．[条件探究] 已知▱ABCD 的三个顶点分别为(0,1)，(1,0)，(4,3)，求第四个顶点的坐标？(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)解 (1)若A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，由例1可知D (3,4)；(2)若A (1,0)，B (4,3)，C (0,1)，同理可得D (－3，－2)；(3)若A (4,3)，B (0,1)，C (1,0)，同理可得D (5,2)．拓展提升1.利用斜率公式解决两直线平行问题解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用解析几何的方法表示并解决．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．2．判断两条不重合直线是否平行的步骤【跟踪训练1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．(1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)；(3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)；(4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．解 (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2. (2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.探究2 两条直线的垂直问题例2 已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54， k BC ＝6－66－0＝0， k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5. 由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，所以BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．设AB ，AC 边上高线的斜率分别为k 1，k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.综上可知BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.[变式探究] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．解 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1，∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意． 当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6. 综上可知，a 的值为5或－6.拓展提升使用斜率判定两条直线垂直的注意事项(1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k 1k 2＝－1；(2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在．【跟踪训练2】 判断下列各题中的直线l 1，l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点P (－2，－1)，Q (2,1)；(2)l 1经过点C (3,4)，D (3,6)，l 2经过点E (－5,20)，F (5,20)；(3)l 1经过点H (1,3)，I (－1，－1)，l 2经过点G (2,1)，K (4,0)． 解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，因为k 1·k 2＝1，所以l 1与l 2不垂直． (2)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率k 2＝20－205－(－5)＝0，所以l 1⊥l 2.(3)直线l 1的斜率k 1＝－1－3－1－1＝2，直线l 2的斜率k 2＝0－14－2＝－12，因为k 1·k 2＝－1，所以l 1⊥l 2.探究3 平行与垂直的综合应用例3 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．解 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD .故四边形ABCD 为直角梯形．[条件探究] 已知点A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求点D 的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．解 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示，∵k AB ＝3，k BC ＝0，∴k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 不可都作为直角梯形的直角边．①若BC 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3.又k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3)．②若AB 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ，∵k AD ＝y －3x ，k CD ＝y x －3， ∴y －3x ×3＝－1，y －3x ·y x －3＝－1. 即y －3x ＝－13，－13·y x －3＝－1. 解得x ＝185，y ＝95，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.综上可知，D 点坐标为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.拓展提升(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．【跟踪训练3】 已知四边形ABCD 的四个顶点为A (0,0)，B (3，－2)，C (5,1)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状．解 如图，k AB ＝－2－03－0＝－23，k AD ＝3－02－0＝32，k CD ＝3－12－5＝－23，k BC ＝1－(－2)5－3＝32.∴k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA . ∴AB ∥CD ，BC ∥DA . 又k AD ·k AB ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，∴AD ⊥AB .∴四边形ABCD 为矩形． 又|AB |＝32＋(－2)2＝13，|AD |＝22＋32＝13，∴|AB |＝|AD |，∴矩形ABCD 为正方形． 因此四边形ABCD 为正方形．1.两直线平行与斜率的关系(1)课本中两直线平行的前提条件是斜率都存在，且两直线不重合．从倾斜角的角度看即是两直线的倾斜角α1，α2均不为90°，这样才能保证tan α1＝k 1，tan α2＝k 2有意义．(2)当l 1与l 2都垂直于x 轴且不重合时，也可推得l 1∥l 2，即斜率都不存在时两直线也平行，这样两条不重合的直线平行的判定一般性的结论可以是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在．2.两直线垂直与斜率的关系(1)由k1·k2＝－1判断两直线垂直的前提条件是斜率都存在且均不为零．(2)两直线中，一条斜率不存在，另一条斜率为0，则这两条直线也垂直．这样两直线垂直的判定一般的结论为：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率等于0.课堂达标自测1．下列说法正确的有()①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案A解析若k1＝k2，则两直线平行或重合，所以①不正确；当两条直线都垂直于x轴时，两直线平行，但斜率不存在，所以②不正确，④正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两条直线垂直，所以③不正确．2．若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为()A ．－1 B.17 C ．2 D.12 答案 B解析 由斜率公式得k AB ＝－2－02－5＝23，因为直线AB 平行于直线PQ ，斜率相等，所以直线PQ 的斜率存在，k PQ ＝m －1－1－2m ，由m －1－1－2m ＝23，解得m ＝17，当m ＝17时，验证可得两直线不重合．3．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值为________．答案 145解析 由题意知直线l 的斜率为14，即k MN ＝14， ∴m －32－m＝14，解得m ＝145. 4．顺次连接A (1，－1)，B (2，－1)，C (0,1)，D (0,0)四点所组成的图形是________．答案 等腰梯形解析 ∵k CB ＝－1，k AD ＝－1，∴AD ∥BC . 又k AB ＝0，k CD 不存在，∴四边形ABCD 为梯形． 又|AB |＝|CD |＝1，∴梯形ABCD 为等腰梯形．5．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB 且CB ∥AD .解 设点D 的坐标为(x ，y )，由已知得，直线AB 的斜率k AB ＝3，直线CD 的斜率k CD ＝yx －3，直线CB 的斜率k CB ＝－2，直线AD 的斜率k AD ＝y ＋1x －1，由CD ⊥AB 且CB ∥AD ，得yx －3×3＝－1，－2＝y ＋1x －1，所以x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标是(0,1)．课后课时精练 A 级：基础巩固练一、选择题1．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直答案 D解析 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由韦达定理知k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.2．已知直线l 1的倾斜角为34π，直线l 2经过点A (3,2)，B (a ，－1)且l 1与l 2垂直，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 答案 C解析 因为直线l 1的倾斜角为34π，所以直线l 1的斜率k ＝－1，又l 1与l 2垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k ＝1，即2＋13－a ＝1，解得a＝0.3．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (4,3)，D (－2,1)四点所组成的图形是( )A ．矩形B ．正方形C ．平行四边形D ．直角梯形答案 C解析 k AB ＝5－32＋4＝13，k CD ＝1－3－2－4＝13，∴AB ∥CD .又k AD ＝1－3－2＋4＝－1，k BC ＝3－54－2＝－1，∴AD ∥BC ，又k AB ·k AD ≠－1， ∴四边形ABCD 为平行四边形．4．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．30°D ．60° 答案 A解析 若a ＝b －1时，P ，Q 两点重合，所以直线PQ 斜率存在．∵k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，又∵点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称， ∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.5．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)答案 C解析 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)．二、填空题6．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．答案 －1解析 若a ＝3－b ，则P ，Q 两点重合，所以直线PQ 斜率存在． 由两点的斜率公式可得k PQ ＝3－a －b 3－b －a ＝1，∴PQ 的垂直平分线的斜率为－1.7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )．若直线l 1∥l 2，则a ＝________.答案 5解析 ∵l 1∥l 2，∴l 2的斜率k 为3， 即k ＝a －22－1＝3，∴a ＝5.8．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,2)，B (－1,1)，C (0,2)，则BC 边上的高所在直线的倾斜角是________．答案 135°解析 k BC ＝2－10－(－1)＝1，所以BC 边上的高所在的直线斜率存在，设BC 边上的高所在直线的斜率为k ，则k ·k BC ＝－1.∴k ＝－1，倾斜角为135°. 三、解答题9．已知▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解 (1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．B 级：能力提升练10．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解 因为A ，B 两点的纵坐标不相等， 所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直， 所以－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4， 解得m ＝－1.当m ＝－1时，C ，D 两点的纵坐标均为－1， 则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意． 当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式，得k AB＝4－2－2m－4－(－m－3)＝2－(m＋1)，k CD＝3m＋2－m3－(－m)＝2(m＋1)m＋3.因为AB⊥CD，所以k AB·k CD＝－1，即2－(m＋1)·2(m＋1)m＋3＝－1，解得m＝1.综上，m的值为1或－1.。

3．1.2 两条直线平行与垂直的判定1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线的平行或垂直关系确定两条直线斜率的关系．1．平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2k ．1．＝．k ．2．.(1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2α＝β. 【做一做1】 已知直线l 1∥l 2，直线l 2的斜率k 2＝3，则直线l 1的斜率k 1等于( )A ．可能不存在B ．3 C.13 D ．－132．垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．【做一做2】 已知直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＝2，l 1⊥l 2，则k 2＝__________.答案：【做一做1】 B【做一做2】 －12平面上两条直线的位置关系剖析：平面上两条直线的位置关系共有三种：平行、相交和重合．我们知道，确定一条直线需要两个基本量，一个是确定直线倾斜程度的量——倾斜角，另一个是确定直线位置的量——直线上一点，所以在研究直线位置关系时可以从这两个基本量入手．(1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同；(3)相交：倾斜角不同．垂直关系是相交关系的一种特殊情况，从倾斜角来看，两条直线如果垂直，那么它们的倾斜角相差90°，在相交关系中，除了垂直这种特殊情况外，更多的情况是两条直线相交成一个非直角的角度，这时就需要用两条直线的夹角来研究了．当然，如果两条直线的斜率都存在，以上位置关系也可以用直线的斜率和直线上一点来加以说明．题型一：判断两直线平行或垂直【例1】判断下列各小题中的不同直线l1与l2是平行还是垂直：(1)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(2)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)；(3)l1经过点A(1,3)，B(1，－4)，l2经过点M(2,1)，N(2,3)；(4)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)．反思：判断两条直线l1与l2平行还是垂直时，当它们的斜率都存在时，若k1k2＝－1，则l1⊥l2；若k1＝k2，再从l1和l2各取一点P，Q，并计算k PQ，当k PQ≠k1＝k2时，l1∥l2，当k PQ＝k1＝k2时，l1与l2重合；当它们有一条直线不存在斜率时，画出图形来判断它们是平行还是垂直，如本题(3)和(4)．题型二：平行条件的应用【例2】已知ABCD的三个顶点分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标．反思：解决与平行有关的问题时，常借助于它们的斜率之间的关系来解决，即不重合的两条直线l1与l2平行k1＝k2或k1与k2都不存在．题型三：垂直条件的应用【例3】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．反思：解决与垂直有关的问题时，常借助于它们的斜率之间的关系来解决，即l1⊥l 2k 1k 2＝－1或k 1与k 2中一个为0，一个不存在．题型四：易错辨析易错点 判断两条直线位置关系时常忽视重合【例4】 已知直线l 1经过点A(－3，－5)，B(0,1)，直线l 2经过点C(－1，－1)，D(4,9)，则l 1与l 2的位置关系是__________．错解：∵直线l 1的斜率k 1＝1＋50＋3＝2，直线l 2的斜率k 2＝9＋14＋1＝2，∴k 1＝k 2， ∴l 1∥l 2，故填平行．错因分析：当k 1＝k 2时，有l 1∥l 2或l 1与l 2重合．反思：已知两条直线l 1与l 2的斜率相等，不能确定它们平行，还可能重合．此时，可画图来进一步确定，也可以分别在l 1与l 2上取两点，求出过这两点的直线的斜率．若这个斜率与k 1，k 2相等，则l 1与l 2重合；若这个斜率与k 1，k 2不相等，则l 1∥l 2.答案：【例1】 解：(1)直线l 1的斜率k 1＝0－11－0＝－1，直线l 2的斜率k 2＝3－0－1－2＝－1，故k 1＝k 2.又直线AM 的斜率k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，故l 1∥l 2. (2)直线l 1的斜率k 1＝2＋21＋1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－1＋2－2－0＝－12， 则k 1k 2＝－1.故l 1⊥l 2.(3)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率也不存在，画出图形，如图所示，则l 1⊥x 轴，l 2⊥x 轴，故l 1∥l 2.(4)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率k 2＝1－12－1＝0. 画出图形，如图所示，则l 1⊥x 轴，l 2⊥y 轴，故l 1⊥l 2.【例2】 解：设点D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得m ＝3，n ＝4.所以顶点D 的坐标为(3,4)．【例3】 解：由题意知l 2的斜率k 2一定存在，l 1的斜率可能不存在．(1)当l 1的斜率不存在时，3＝a －2，即a ＝5，此时k 2＝0，则l 1⊥l 2，满足题意．(2)当l 1的斜率k 1存在时，a ≠5，由斜率公式，得k 1＝3－aa －2－3＝3－a a －5，k 2＝a －2－3－1－2＝a －5－3. 由l 1⊥l 2，知k 1k 2＝－1，即3－a a －5×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5－3＝－1，解得a ＝0. 综上所述，a 的值为0或5.【例4】 重合1．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，则直线AB与直线CD()A．平行B．垂直C．重合D．以上都不正确2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形3．直线l1经过点A(3,4)，B(5,8)，直线l2经过点M(1，－2)，N(0，b)，且l1∥l2，则实数b＝__________.4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________.5．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,2)，B(－4,6)，C(－8,5)，D(－3,1)，试判断四边形ABCD是否是平行四边形．答案：1．A 2.C 3.－4 4.5 25．解：AB边所在直线的斜率k AB＝624 415 -=---，DC边所在直线的斜率k DC＝5183--+＝－45，BC边所在直线的斜率k BC＝561 844 -=-+，AD边所在直线的斜率k AD＝121 314 -=--.∵k AB＝k DC，k BC＝k AD，∴AB∥DC，BC∥AD.∴四边形ABCD是平行四边形．。

课题：两条直线的平行与垂直课型：新授课教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例题分析：例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习P89 练习 1. 2.归纳小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件, 判定三点共线. 作业布置：P89-90 习题3.1：A组 5. 8；课后记:。

yx o a§3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标：1、掌握两条直线平行、垂直的判定条件，并会判断两条直线是否平行、垂直；2、会利用直线平行、垂直的条件解决一些相关的简单问题3、理解两条直线平行、垂直的推导过程，注意解题思想的渗透和表述的标准性， 培养学生的自主探索和自我概括能力二、学习过程复习回忆：1、直线倾斜角的定义: 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

直线倾斜角α的取值范围：2、直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率k= ；3、直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率k= . 自主探究,合作交流知识探究：两条直线平行的判定〔小组自主探究，并尝试推导结论 〕 问题：设两条不重合的直线1l ，2l 的斜率分别为21,k k 。

探究1：如果21//l l ，则它们的斜率1k 和2k 满足什么关系？1、由⇒21//l l = (两条直线平行，同位角相等)⇒ 1tan α= 〔相同角的正切值相等〕⇒ = 〔)90(tan≠=ααk 〕 结论1：探究2：假设21k k =，直线1l ，2l 是否平行？2、由⇒=21k k = 〔)90(tan ≠=ααk 〕又 18001＜α≤， 18002＜α≤∴1α =⇒ 〔同位角相等，两直线平行〕结论2：综上所述，对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为21,k k ，则⇔21//l l思考：当两条直线1l ，2l 重合时，它们的斜率21,k k 会怎样？因此，假设直线1l ，2l 斜率存在时，21k k =⇔⎪⎩⎪⎨⎧__________________________________________或例题分析例1：)2,1(),1,3(),0,4(),3,2(---Q P B A , 试通过斜率判断直线AB 与PQ 的位置关系。

2.1.2两条直线平行和垂直的判定学习目标1.学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系,并解决相应的几何问题.2.体会利用代数方法研究几何问题的基本方法.3.促进数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展.自主预习1.已知两条直线l1,l2,α1,α2,则对应关系如下:课堂探究探究一两条平行直线斜率间的关系问题1:我们知道,平面中的两条直线l1与l2的位置关系有:.问题2:当两条直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系?试着论证你的结论.问题3:两条直线平行,它们的斜率一定相等吗?思考:如何利用直线斜率证明“三点”共线问题?探究二两条垂直直线斜率间的关系问题4:直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系?类比前面的研究进行讨论.问题5:当两条直线垂直时,它们的斜率之积一定等于1吗?为什么?【学以致用】例1已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例2已知A(5,1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状.思考:总结一下利用直线斜率判断几何图形形状的方法.变式训练已知点A(5,1),C(2,3),点B在x轴上,且∠ABC为直角,求点B的坐标.当堂专练1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(2,1),Q(3,6),则直线l1与l2的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合2.(多选题)如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能为()A.1a B.a C.1aD.不存在3.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,1)和点N(3,4)的直线平行,则m的值是()A.1B.1C.2D.24.在直角坐标平面内有两点A(4,2),B(1,2),在x轴上有点C,使∠ACB=90°,则点C的坐标是()A.(3,0)B.(0,0)C.(5,0)D.(0,0)或(5,0)5.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是()A.20°,110°B.70°,70°C.20°,20°D.110°,20°6.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k24k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=;若l1∥l2,则m=.7.若过点P(a,b),Q(b1,a+1)的直线与直线l垂直,则直线l的倾斜角为.8.已知直线l1过点A(1,1),B(3,a),直线l2过点M(2,2),N(3+a,4).(1)若l1∥l2,则a的值为.(2)若l1⊥l2,则a的值为.9.如图,在▱OABC中,O为坐标原点,点C(1,3).(1)求OC所在直线的斜率;(2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线CD的斜率.10.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判断▱ABCD是否为菱形.11.已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形ABCD 为直角梯形.。