高一必修2立体几何--平行与垂直关系强化练习(含答案)

必修2 空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是( ).A.60°B.45°C.30°D.120°2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则( ).A.l⊥mB.l∥mC.l，m异面D.l，m相交而不垂直3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有( ).A.1条B.2条C.3条D.4条4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ).A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( ).A.ME⊥平面ACB.ME ⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直二、填空题：7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________.8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________.三、解答题：11.如图所示，在Rt △AOB 中，∠ABO=π6，斜边AB=4，Rt △AOC 可以通过Rt △AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角BAOC 是直二面角，D 是AB 的中点.求证：平面COD ⊥平面AOB.12.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.(1)求证：PA ∥平面EDB ；(2)求证：PB ⊥平面EFD.综合提高1.已知l ，m ，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m 垂直，则直线n 与平面α的关系是( ).A.n ∥αB.n ∥α或n ⊂αC.n ⊂α或n 与α不平行D.n ⊂α2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ).A.AB ∥mB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AC ⊥β3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ).A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定4.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( ).A.①②B.①③C.②③D.③④5.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心.6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________.7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD 所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).8.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=________.9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离.11.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.12.(创新拓展)已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC =AF AD=λ(0＜λ＜1). (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?参考答案基础篇1.答案 A ；解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABO即是斜线AB 与平面α所成的角，又AB=2BO ，所以cos ∠ABO=OB AB =12.所以∠ABO=60°.故选A.2.答案 A ；解析 无论l 与m 是异面，还是相交，都有l ⊥m ，考查线面垂直的定义，故选A.3.答案 D ；解析 ∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥AC ，又∵AC ⊥BO ，∴AC ⊥平面PBD ， ∴平面PBD 中的4条线段PB ，PD ，PO ，BD 与AC 垂直.4.答案 D ；解析 以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.5.答案 A ；解析 由于ME ⊂平面AB 1，平面AB 1∩平面AC=AB ，且平面AB 1⊥平面AC ，ME ⊥AB ，则ME ⊥平面AC.6.答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD ⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.7.答案垂直；解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC 的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.8.答案2；解析由线面垂直的性质定理知①④正确.9.答案①③④⇒②或②③④⇒①；解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β=l，l∩平面PAB=O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB=90°⇔PA⊥PB.10.答案45°；解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.11.证明：由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.12.证明：(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD.综合提高1.答案A；解析∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n ∥α.2.答案D；解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.3.答案D；解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF 的大小不确定.4.答案B；解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=S矛盾，排除A，故选B.5.答案垂；解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心.6.答案：23；解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a ，则AB 1=3a ，棱柱的高A 1O=63a(即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值为A 1O AB 1=23.' 7.答案 ①②④；解析 本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角.8.答案 2；解析 取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB.当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ∩平面ABC=AB ，所以DE ⊥平面ABC.又CE ⊂平面ABC 可知DE ⊥CE. 由已知可得DE=3，EC=1，在Rt △DEC 中，CD=DE 2＋CE 2=2.9.证明 因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥BC.又BC ⊥AB ，SA ∩AB=A ，所以BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AE.因为SC ⊥平面AEFG ，所以SC ⊥AE.又BC ∩SC=C ，所以AE ⊥平面SBC ，所以AE ⊥SB.同理可证AG ⊥SD.10.(1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC.因为∠BCD=90°，所以BC ⊥CD.又PD ∩CD=D ，所以BC ⊥平面PCD.而PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC.(2)解 如图，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于E ，过点E 作PC 的垂线，垂足为F ，则有AE ∥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离.又EF ⊥PC ，BC ⊥平面PCD ，则EF ⊥BC.BC ∩PC=C ，所以EF ⊥平面PBC.EF 即为E 到平面PBC 的距离.又因为AE ∥BC ，AB ∥CD ，所以四边形ABCE 为平行四边形.所以CE=AB=2. 又PD=CD=1，PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD.所以PD ⊥CD ，∠PCD=45°. 所以EF= 2.即点A 到平面PBC 的距离为 2.11.证明 (1)在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF ⊥平面PAC.又∵PA ⊂平面PAC ，∴DF ⊥PA.作DG ⊥AB 于G ，同理可证DG ⊥PA.∵DG ∩DF=D ，∴PA ⊥平面ABC.(2)连接BE 并延长交PC 于H.∵E 是△PBC 的垂心，∴PC ⊥BH ，又AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥PC ，且AE ∩BE=E ，∴PC ⊥平面ABE.∴PC ⊥AB.又∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，且PA ∩PC=P ，∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥AC ，即△ABC 是直角三角形. 12.(1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又∵AE AC =AF AD=λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC. 又EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.(2)解 由(1)知，EF ⊥BE ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，AB ⊥平面BCD ，∴BD=2，AB=2tan 60°= 6.AC=AB 2＋BC 2=7， 由AB 2=AE ·AC 得AE=67，∴λ=AE AC =67，故当λ=67时，平面BEF ⊥平面ACD.。

．平行与垂直综合问题．已知直线，和平面α，β满足⊥，⊥α，α⊥β，则()．⊥β．∥β或⊂β．⊥α．∥α或⊂α解析：在平面β内作直线垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线⊥α.又⊥α，所以∥.若⊂β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能∥α或⊂α；同理⊄β，仍有∥α或⊂α.综上所述，正确．．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β()．垂直．平行．相交．以上三种可能都有．对于任意的直线与平面α相交，在平面α内不可能有直线，使与()．平行．相交．垂直．互为异面直线．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)．①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．．已知平面α外不共线的三点，，，且∥α，则正确的结论是() ．平面必平行于α．平面必与α相交．平面必不垂直于α．存在△的一条中位线平行于α或在α内．设直线⊂平面α，过平面α外一点且与，α都成°角的直线有且只有() ．条．条．条．条解析：如图所示与α成°角的直线一定是以为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠＝∠＝°时，直线，都满足条件，故选..下列命题中，正确的是()．经过不同的三点有且只有一个平面．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线．垂直于同一个平面的两个平面平行．用α表示一个平面，表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与()．平行．相交．异面．垂直．若，表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为()。

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

6.2垂直关系的性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交D.a与b不一定垂直解析a与b垂直,但可能相交,也可能异面.答案C2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面D.不确定解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.答案C3.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⫋α,直线b⫋β,且a不与l垂直,b不与l垂直,则a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b'⊥l.∵平面α⊥平面β,∴b'⊥平面α,∴b'⊥a,又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.答案B4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.不确定解析如图所示,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=.∵平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD,∴AD⊥BD,∴AB=,∴∠ACB=60°.答案B5.下列命题错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析若平面α⊥平面β,则在平面α内与面的交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.故选D.答案D6.如图所示,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.解析∵AF⊥平面ABCD,AF∥DE,∴DE⊥平面ABCD,CD⫋平面ABCD.∴DE⊥CD.∵DE=AF=2,CD=3,∴CE=.答案7.已知直线m,n与平面α与β,若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则直线m,n的位置关系是.解析由α⊥β,n⊥β,得n⫋α或n∥α,又m∥α,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案相交、平行或异面8.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=.解析取AB的中点E,连接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=2,PE=,CE=,PC==7.答案79.(2018全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⫋平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊈平面PBD,OP⫋平面PBD,所以MC∥平面PBD.B组能力提升1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆解析平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⫋平面PAC.且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又BC⫋平面PBC,所以AC⊥BC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.答案D2.在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD解析因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.又AD⫋平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.答案C3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小D.有时变大,有时变小解析∵l⊥平面ABC,∴BC⊥l,∵BC⊥CA,AC∩l=A,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,即∠PCB=90°.答案C4.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α与β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.答案若①③④,则②(或若②③④,则①)5.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为cm.解析如图所示,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4,BD=12,∴AD==4(cm).又α⊥β,CA⊥AB,CA⫋α,∴CA⊥β,CA⊥AD.∴△CAD为直角三角形.∴CD==13(cm).答案136.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E 和F分别为CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形,∴BE∥AD,∵BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,∵BE∩EF=E,∴CD⊥平面BEF.∵CD⫋平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.7.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.求证:(1)DE⊥平面SBC;2EB.证明(1)∵SD⊥平面ABCD,∴BC⊥SD.又BC⊥BD,BD∩SD=D,∴BC⊥平面BDS.∴BC⊥DE.作BK⊥EC,K为垂足.∵平面EDC⊥平面SBC,故BK⊥平面EDC,BK⊥DE.又BK⫋平面SBC,BC⫋平面SBC,BK∩BC=B,∴DE⊥平面SBC.(2)由(1)知DE⊥SB,DB=AD=,∴SB=,DE=,EB=,SE=SB-EB=,∴SE=2EB.8.导学号91134024如图所示,在四棱锥P-ABCD中,G为AD的中点,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB;BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)证明如图所示,连接PG,则PG⊥AD,由(1)得BG⊥AD,又PG∩BG=G,BG⫋平面PBG,PG⫋平面PBG,∴AD⊥平面PBG.∵PB⫋平面PBG,∴AD⊥PB.(3)解当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF,则在△PBC中,EF为中位线,则EF∥PB.∵EF⫋平面DEF,PB⊈平面DEF,∴PB∥平面DEF.在菱形ABCD中易得GB∥DE.∵DE⫋平面DEF,BG⊈平面DEF,∴BG∥平面DEF.∵PB∩GB=B,∴平面DEF∥平面PGB.又侧面PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,而PG⫋平面PGB,∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF⊥平面ABCD.。

人教版高一数学必修2空间直线的垂直关系练习题（含答案详解）必修 2 空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1. 若斜线段 AB 是它在平面α上的射影的长的 2倍，则 AB 与平面α所成的角是( ).2. 直线l ⊥平面α，直线m? α，则 ( ).A.l ⊥mB.l ∥mC.l ，m 异面D.l ， m 相交而不垂直3. 如图所示，PO ⊥平面 ABC ，BO ⊥AC ，在图中与 AC 垂直的线段有 ( ). 4. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ). C.30 °D.120C.3条 D.4 条A. α∥γ B. α⊥γ C. α与γ相交但不垂直D.以上都有可能5. 已知长方体 ABCD 1AB 1C 1D 1，在平面 AB 1上任取一点 M ，作ME ⊥AB 于 E ，则( ).A.ME ⊥平面 ACB.ME ? 平面 ACC.ME ∥平面 ACD. 以上都有A.1 条B.2可能6. 如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).A. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B. 它们两两垂直C. 平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直二、填空题：7. _________________________________ 在正方体A1B1C1D1ABCD 中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心（如图），则EF与平面BB1O 的关系是 ______________________________ .8. 若a， b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有___ 个.①a⊥α，b∥α? a⊥b; ②a⊥α，a⊥b? b∥α；③a∥α，a⊥b? b⊥α；④a⊥α，b⊥α? a∥b.9. α、β是两个不同的平面，m、n 是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：① m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β. 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 __ .10. 如图，正方体ABCD1AB1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的三、解答题：π11. 如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO=6 ，斜边AB=4，Rt △AOC可以通过Rt △AOB 以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC 是直二面角，D是AB的中点.求证：平面COD⊥平面AOB.12. 如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=D，C E 是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1) 求证：PA∥平面EDB；(2) 求证：PB⊥平面EFD.综合提高1. 已知l ，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( ).A.n ∥αB.n ∥α或n? αC.n ? α或n 与α不平行D.n ? α2. 已知平面α⊥平面β，α∩β =l，点A∈α，A?l ，直线AB∥l ，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ).A.AB∥mB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AC ⊥β3. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ).A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 关系无法确定4. 如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3 重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥ SE；④EF⊥平面SEG. 其中成立的有( ).A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④5. 如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的心.6. 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1 与ABC底面所成的角的正弦值等于.7. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ ACD是等边三角形；③ AB与平面BCD成60°的角；④ AB与CD 所成的角为60°.其中真命题的编号是 _____ ( 写出所有真命题的编号).8. 如图，A、B、C、D为空间四点，在△ ABC中，AB=2，AC=BC= 2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD= .9. 如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD 所在的平面，过点 A 且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.10. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC，=1AB=2，AB∥DC，∠ BCD=9°0 .(1) 求证：PC⊥BC.(2) 求点A到平面PBC的距离.11. 如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E 为垂足.(1) 求证：PA⊥平面ABC；(2) 当 E 为△ PBC的垂心时，求证：△ ABC是直角三角形.12. （创新拓展）已知△ BCD中，∠BCD=9°0 ，BC=CD=，1AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，AE AFE，F 分别是AC，AD上的动点，且A AE C=A A F D=λ(0 <λ<1).(1) 求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2) 当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?参考答案基础篇1. 答案A；解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形. 如图所示，∠ABO OB1即是斜线AB与平面α所成的角，又AB=2BO，所以cos∠ABO=AB=2. 所以∠ ABO=60°. 故选 A.2. 答案A；解析无论l 与m是异面，还是相交，都有l ⊥m，考查线面垂直的定义，故选 A.3. 答案D；解析∵PO⊥平面ABC，∴ PO⊥AC，又∵ AC⊥BO，∴ AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直.4. 答案D；解析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选 D.5. 答案A；解析由于ME? 平面AB1，平面AB1∩平面AC=AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.6. 答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵ BC? 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB. 由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD?。

北师大版高中数学必修第二册专题强化练9　空间中的垂直关系1.(2022河南南阳第一中学月考)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的是( )A.若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l⊥mB.若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥mA.37B.3+311C.6D.725.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆上异于A,B的任一点,则下列结论正确的是( )A.PC⊥BC B.AC⊥平面PCBC.D.面在四棱锥P-ABCD中,底面面答案与分层梯度式解析专题强化练9　空间中的垂直关系1.C　对于A,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行、相交或异面,A不正确;对于B,若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行或异面,B不正确;对于C,如图,过l作平面γ,γ∩β=l',∵l∥β,l⊂γ,γ∩β=l',∴l∥l',∵l⊥α,∴l'⊥α,又l'⊂β,∴α⊥β,C正确;对于D,当l⊂α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β时,α与β还可能平行或斜交,D不正确.故选C.2.D　∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,∴AC⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴动点C的运动轨迹是以AB为直径的圆(除去A,B两点).3.AC　对于A,由题意得PE⊥平面ABCD,连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,所以AE=EC,当E与H重合时,显然AE=EC,又PA=PE2+AE2,PC=PE2+CE2,所以PA=PC,A正确;对于B,PD=PE2+ED2,PB=PE2+EB2,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误;对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确;对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC 不垂直,D错误.故选AC.4.A　连接A1B,根据题意,得△CC1B为直角三角形,因为∠ACB=90°,所以∠A1C1B1=90°,即A1C1⊥B1C1,因为AA1⊥底面A1B1C1,CC1∥AA1,所以CC1⊥底面A1B1C1,所以CC1⊥A1C1,又即则当且仅当C,P,A1三点共线B=30°,又在22即∵又∴BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC,故A正确;∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC,故D正确;若AC⊥平面PCB,则AC⊥PC,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,与AC⊥PC矛盾,故B错误;过点C 作CD ⊥PB 于D,若平面PAB ⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,CD ⊂平面PBC,则CD ⊥平面PAB,又PA ⊂平面PAB,∴CD ⊥PA,又PA ⊥BC,CD∩BC=C,CD,BC ⊂平面PBC,∴PA ⊥平面PBC,∵PC ⊂平面PBC,∴PA ⊥PC,与PA ⊥AC 矛盾,故C 错误.故选AD.6.答案　63解析　在Rt △ABC 中,BC=33,∠BAC=π6,AC ⊥BC,则AB=233,因为平面ABC ⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC ⊥BC,BC ⊂平面ABC,所以BC ⊥平面α,因为CP ⊂平面α,所以BC ⊥CP,则CP=BP 2-BC 2=BP 2-13(在Rt △BCP 中,CP 最短,即BP 最短),设∠ABP=θ(0<θ<π),则S △ABP =12AB·BPsin θ,即33=12×233BP·sin θ,得BP=1sinθ,当sin θ=1,即θ=π2,即AB ⊥BP 时,BP 的长度取得最小值1,此时CP 的长度取得最小值,为12-13=63.7.解析　(1)当a=2时,BD ⊥平面PAC.证明如下:当a=2时,矩形ABCD 为正方形,则BD ⊥AC.∵PA ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴BD ⊥PA.又AC∩PA=A,AC,PA ⊂平面PAC,∴BD ⊥平面PAC.故当a=2时,BD ⊥平面PAC.(2)连接AM.∵PA ⊥平面ABCD,DM ⊂平面ABCD,∴DM ⊥PA,又PM ⊥DM,PA∩PM=P,PA,PM ⊂平面PAM,∴DM ⊥平面PAM,∵AM ⊂平面PAM,∴DM ⊥AM,∴点M 是以AD 为直径的圆和棱BC 的交点,∴圆的半径r=AD 2≥AB,即a≥4,∴a 的取值范围是[4,+∞).。

人教版高中数学必修第二册空间中的平行关系课后练习1.下列选项中，一定能得出直线m 与平面α平行的是()A．直线m 在平面α外B．直线m 与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m 与平面内的一条直线平行D．直线m 与平面α内的一条直线平行2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对3.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5.①若直线a 在平面α外，则a ∥α；②若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；③若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．36.已知l ，m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是________．7.平面α∥平面β，直线l ∥α，则直线l 与平面β的位置关系是________．8.已知平面α，β和直线a ，b ，c ，且a ∥b ∥c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，则α与β的关系是________．9.设a ，b 是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b ；②若α∥β，a ∥α，a ⊄β，则a ∥β；③若α∥β，A ∈α，过点A 作直线l ∥β，则l ⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是________．10.如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC .11.如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点，求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．12.已知如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．（1）当等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？（2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求的值．答案1.C2.C3.B4.B5.B6.α⊄l7.ββ⊂l l 或//8.相交或平行9.②③④．10.证明:如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接MO ，则MO 为△BDP 的中位线，∴PD ∥MO .∵PD ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD ∥平面MAC .11.证明：（Ⅰ）取BD 中点O ．连接OE ，OD1，则OE DC ，∴OE ∥D 1G∴四边形OEGD 1是平行四边形∴GE ∥D 1O ，又D 1O ⊂平面BDD 1B 1，且EG ⊄平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1，（4分）（Ⅱ）取BB 1中点M ，连接HM 、C 1M ，则HM ∥AB ∥C 1D 1，∴HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1，又MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面HB 1D 1，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，∴平面BDF ∥平面HB 1D 1．（8分）12.解：（1）如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1．由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1．又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1．∴＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1，（2）由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ．因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1．∴＝，＝．又∵＝1，∴＝1，即＝1．。

线面平行问题一．选择题（共12小题）1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交2．A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①⇒a∥b ②⇒a∥b ③⇒α∥β④⇒α∥β ⑤⇒α∥a ⑥⇒α∥a其中正确的命题是（）A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④3．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形一定是平面图形D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行4．能保证直线与平面平行的条件是（）A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的某条直线不相交C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交5．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B． C． D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是（）A．BA1B．BD1C．BC1D．BB18．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G 分别是BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形9．在三棱锥S﹣ABC中，E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥面ABC，则（）A．EF与BC相交B．EF∥BC C．EF与BC异面D．以上均有可能10．如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是（）A．直线BE∥PFB．B．直线EF∥平面PBCC．平面BCE⊥平面PADD．D．直线PB与DC所成角为60°11．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD：DB=AE：EC，如图，则BC与α的位置关系是（）A．异面B．相交C．平行或相交D．平行12．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M 为线段A1C的中点，则在翻折过程中，有下列四个命题：①存在某个位置，使MB∥平面A1DE；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置使DE⊥A1C；④BM的长是定值，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二．解答题（共18小题）13．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；（Ⅱ）求证：BD⊥FG．14．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC与平面ABCD所成角是45°．F 是AD的中点，M是PC的中点，求证．DM∥平面PFB．15．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（1）求证：PQ∥平面SAD；（2）若SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点．求证：MN∥平面A1C1D．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（II）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，E，F分别为线段AD，PB的中点．（1）证明：PD∥平面CEF；（2）若PE⊥平面ABCD，PE=AB=2，求四面体P﹣DEF的体积．21．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE=AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．（1）求证：MN∥平面BEC；（2）求证：AH⊥CE．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点AB1∩A1B=O．（1）证明：C1O∥平面ABD；（2）已知AC⊥BC，△ABD的面积为，E为线段A1B上一点，且三棱锥C﹣ABE的体积为，求．23．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．24．如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点，（Ⅰ）求证；CE∥平面A1B1C1，（Ⅱ）求证：求二面角B1﹣AC1﹣C的大小．25．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AB=2，∠A1AB=∠A1AC=60°，M，N分別为AB，A1C1的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；（2）若MN=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．26．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F为CD，AA1中点．（1）求证：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为，求AA1的长．27．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；（Ⅱ）BC1⊥AB1．28．四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：BD⊥PC．29．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥平面A1BD；（2）求证：MD⊥AC．30．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC∥平面BEF；（2）求四面体BDEF的体积．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交故选：D．2．解：根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b可能相交或异面．对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内．故选：C．3．解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面∴A不正确；∵点在直线上时，不能确定平面，∴B不正确；∵梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，∴C正确；∵过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，∴D不正确．故选：C．4．解：A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交．C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．故选：D．5．解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．故选：D．6．解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．7．解：连结BD1，AC、BD，设AC∩BD=O，连结OE，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，∴O是BD中点，∴OE∥BD1，∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．故选：B．8．解：如图，由条件知，EF∥BD，，GH∥BD，且；∴EF∥HG，且；∴四边形EFGH为梯形；EF∥BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD；∴EF∥平面BCD；若EH∥平面ADC，则EH∥FG，显然EH不平行FG；∴EH不平行平面ADC；∴选项B正确．故选：B．9．证明：如图∵E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥面ABC，又∵EF⊂平面SBC，平面SBC∩平面ABC=BC，∴EF∥BC．故选：B．10．解：如图所示，连接EF，BE∥PF显然不正确，是异面直线；∵E、F分别为PA、PD的中点，∴EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴直线EF∥平面PBC，选项B正确；EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．选项C不正确；直线PB与DC所成角就是PB与AB所成角，不确定为60°，选项D不正确；故选：B．11．证明：∵AD：DB=AE：EC，∴DE∥BC，∵DE⊂平面α，BC⊄平面α，∴BC∥平面α．故选：D．12．解：对于①：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故①正确对于②：∵B是定点，∴M是在以B为球心，MB为半径的球上，故②正确，对于③：若③成立，则由DE⊥CE，可得DE⊥面A1EC∴DE⊥A1E，而这与DA1⊥A1E矛盾，故③错误．对于④：由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故④正确．故正确的命题有：①②④，故选：B．二．解答题（共18小题）13．证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，∴FG∥平面PBD…（6分）（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，∴BD⊥FG…（14分）14．证明：∵PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC与平面ABCD所成角是45°．F是AD的中点，M是PC的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），M（0，1，1），P（0，0，2），F（1，0，0），B（2，2，0），=（0，1，1），=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），设平面PFB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，﹣1，1），∵=0，DM⊄平面PFB，∴DM∥平面PFB．15．证明：（1）取CD中点G，连结PG、QG，∵在四棱锥S﹣ABCD中，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．∴PG∥SD，QG∥AD，∵PG∩QG=G，SD∩AD=D，∴平面PGQ∥平面SDA，∵PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面SAD．（2）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，SA=SD，SA=AB=2，∴SE⊥AD，SE=，∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，∴SE⊥平面ABC，∵S△ABC==，∴三棱锥S﹣ABC的体积V===1．16．证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，N为BC的中点，∴MN∥AC，又AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，又MN⊄面A1C1D，A1C1⊂面A1C1D，∴MN∥面A1C1D．17．证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，∵E是AC的中点，∴．18．解：解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（﹣1，0，2），M（0，1，2），（I）证明：∵是平面ACCA1的一个法向量，且，所以又∵MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1（II）设=（x，y，z）是平面AMN的法向量，因为，由得解得平面AMN的一个法向量=（4，2，﹣1）由已知，平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是解法二：（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D∵D，N分别是AC，BC的中点，∴又∵，∴，∴四边形A 1DNM是平行四边形∴A1D∥MN∵A1D⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1∴MN∥平面ACC1A1（II）如图，设AB的中点为H，连接MH，∴MH∥BB1∵BB1⊥底面ABC，∵BB1⊥AC，BB1⊥AB，∴MH⊥AC，MH⊥AB∴AB∩AC=A∴MH⊥底面ABC在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G连接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG∴∠MGH是二面角M﹣AN﹣B的平面角∵MH=BB1=2，由△AGH∽△BAC，得所以所以∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是19．证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．20．（1）证明：连接BE、BD，BD交CE于点O，∵E为线段AD的中点，AD∥BC，，∴BC∥ED，∴四边形BCDE为平行四边形，∴O为BD的中点，又F是BP的中点，∴OF∥PD，又OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF，∴PD∥平面CEF；（2）解：由（1）知，四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，∴AB=AE=BE，∴三角形ABE是等边三角形，∴，做BH⊥AD于H，则，∵PE⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，BH⊥AD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥平面PAD，∴点B到平面PAD的距离为，又∵F为线段PB的中点，∴点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半，即，又，∴=．21．证明：（1）取CD中点F，连结NF、MF，∵矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．∴NF∥BC，MF∥CE，∵NF∩MF=F，BC∥CE=C，NF、MF⊂平面MNF，BC、CE⊂平面BCE，∴平面BCE∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面BEC．（2）∵AE=AB，H为BE的中点，∴AH⊥BE．∵矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AH，∵BE∩BC=B，∴AH⊥平面BCE，∴AH⊥CE．22．证明：（1）取AB的中点F，连接OF，DF，∵侧面ABB1A1为平行四边形，∴O为AB1的中点，∴，又，∴，∴四边形OFDC1为平行四边形，则C1O∥DF．∵C1O⊄平面ABD，DF⊂平面ABD，∴C1O∥平面ABD．解：（2）过C作CH⊥AB于H，连接DH，∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB．又CH∩CD=C，∴AB⊥平面CDH，∴AB⊥DH．设BC=x，则，，，∴△ABD的面积为，∴x=2．设E到平面ABC的距离为h，则，∴h=1，∴E与O重合，．23．证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．24．（Ⅰ）证明：∵点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，∴AA1∥BB1∥CC1，取A1B1中点F，连接EF，FC，则EF∥A1A，EF=A1A，∵AA14，CC1=2，∴CC1∥A1A，CC1=A1A，∴CC1∥EF，CC1=EF，∴四边形EFC1C为平行四边形，∴CE∥C1F，∵CE⊄平面A1B1C1，C1F⊂平面A1B1C1，∴CE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，2），∴=（﹣2，2，0），=（0，0，2），=（﹣2，0，4），=（0，2，﹣2）．设平面ACC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，1，0）．同理可得平面AB1C1的法向量为=（2，1，1），∴cos＜，＞==．由图可知二面角B1﹣AC1﹣C为钝角，∴二面角B1﹣AC1﹣C的大小为150°．25．证明：（1）如图，取BC中点P，连接MP，C1P．∵M为AB的中点，∴MP∥AC，且MP=AC．又AC∥A1C1，AC=A1C1，且NC1=，∴NC1∥MP，且NC1=MP．∴四边形MNC1P为平行四边形，∴NM∥PC1．又PC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．…………（4分）解：（2）如图，作BH⊥A1A，交AA1于H，连接CH．∵AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，AH为公共边，∴△ABH≌△ACH，∴∠CHA=∠BHA．∴BH⊥AA1，⊥AA1．而BH∩CH=H，∴A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC．又A1A∥C1C，∴C1C⊥BC．在直角△C1CP中，CP==1，C1P=MN=，∴C1C=．在直角△ABH中，BH=ABsin60°=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积S=4×．……（12分）26．证明：（1）设G为AB1的中点，连EG，GF，因为FG，又DE，所以FG DE，所以四边形DEGF是平行四边形，所以DF∥EG又DF⊄平面B1AE，EG⊂平面B1AE，所以DF∥平面B1AE．解：（2）因为ABCD是菱形，且∠ABD=60°，所以△ABC是等边三角形取BC中点G，则AG⊥AD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AG，AA1⊥AD建立如图的空间直角坐标系，令AA1=t（t＞0），则A（0，0，0），，，D1（0，2，t），，，，设平面B1AE的一个法向量为，则且，取，设直线AD1与平面B1AE所成角为θ，则，解得t=2，故线段AA1的长为2．27．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1∩B1C=E，∴E是B1C的中点，∵AB1的中点为D，∴DE∥AC，∵AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，∴DE∥平面AA1C1C．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1，∴BC1⊥B1C，AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，∵AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1．28．证明：（1）连接AC，OE，则AC经过正方形中心点O，且O是AC的中点，又E是PC的中点，∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PO∩AC=O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．29．（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD．（2）证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC．又∵BD⊥AC，且BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D．而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC．30．证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，所以，OG∥DE，且OG=DE．因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，且OG=AF，从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2 所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=（12分）。

高一立体几何平行、垂直解答题精选2017.12.18 1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN. 2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由..3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，O 分别是1,A B BD 的中点的中点..（1）求证：//OM 平面11AA D D ； （2）求证：1OM BC ^.4．如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====. （1）求证：平面AFC ^平面CBF ；（2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由. 5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，2AB =，N 为棱AB 的中点．的中点． （1）求证：1AC 平面1NB C ．（2）求证：平面1CNB ^平面11ABB A ． （3）求四棱锥111C ANB A -的体积．的体积．6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，中，∠BCD=90°，BC=CD=1BC=CD=1BC=CD=1，AB⊥平面，AB⊥平面BCD BCD，∠ADB=60°，，∠ADB=60°，，∠ADB=60°，E E 、F 分别是AC AC、、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADl l ==<< （1）求证：不论l 为何值，总有平面BEF⊥平面ABC ABC；； （2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ? ACD ?7．如图，在菱形A B C D 中，60,A B C A CÐ=与BD 相交于点O ，AE ^平面A B C D ，//,2CF AE AB AE ==.（I ）求证：BD ^平面ACFE ；（II II）当直线）当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为1010时，求证：EF BE ^；（III III）在（）在（）在（II II II）的条件下，求异面直线）的条件下，求异面直线OF 与DE 所成的余弦值所成的余弦值..8．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，23AB =，090BAD Ð=，,M O 分别为CD 和AC 的中点，PO ^平面ABCD .（1）求证：平面PBM ^平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使用//ON 平面PAB ，若存在，求PNPM的值；如果不存在，说明理由的值；如果不存在，说明理由..9．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD N Ð=°是PB 的中点，过,,A D N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点，求证：的中点，求证：（1）//EN 平面PDC ； （2）BC ^平面PEB ； （3）平面PBC ^平面ADMN .10．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ^平面PAB ， AD //BC ，12BC CD AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PD 的中点的中点.. （Ⅰ）求证：CE ////平面平面PAB ； （Ⅱ）求证：PD ^平面CEF ；（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比的体积之比..（结论不要求证明）M 是PC 的中点的中点..（Ⅰ）求证：PA 平面BDM ；（Ⅱ）求证：平面PAC ^平面BDM ；（Ⅲ）求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小的所成角的大小..12．在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ^底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点. （Ⅰ）求证：AO CD ^. （Ⅱ）求证：平面AOF ^平面ACE . （Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP 平面AOF ？若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由. 1313．在四棱锥．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ^底面ABCD ，PD CD ^，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC Ð=，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：//BE 平面PAD ； （2）求证：BC ^平面PBD ；（3）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45？若存在？若存在,,求PQ PC的值；若不存在，请述明理由．述明理由．参考答案1．见解析．见解析【解析】试题分析：根据题目给出的P ，Q 分别是A 1B 1，BC 的中点，想到取AB 的中点G ，连接PG PG，，QG 后分别交BM BM，，BN 于点E ，F ，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GE EP =GF FQ =13，从而得到EF EF∥∥PQ PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；，然后利用线面平行的判定即可得证；，然后利用线面平行的判定即可得证； 试题解析：试题解析：如图，如图，如图，取取AB 中点G ，连接PG PG，，QG 分别交BM BM，，BN 于点E ，F ，则E ，F 分别为BM BM，，BN 的中点的中点..而GE∥12AM ，GE=12AM ，GF ∥12AN ，GF=12AN AN，且，且CN=3AN CN=3AN，所以，所以GE EP =13，GF FQ =AN NC =13，所以GE EP =GF FQ =13，所以EF∥PQ，又EF ⊂平面BMN BMN，，PQ ⊄平面BMN BMN，所以，所以PQ∥平面BMN.BMN.2．详见解析．详见解析..【解析】试题分析【解析】试题分析: : : 由正方体的特征及由正方体的特征及N 为BB 1的中点，可知平面A 1FC 与直线DD 1相交，且交点为DD 1的中点G .若过M ，E 的平面α与平面A 1FCG 平行，注意到EM ∥B 1D 1∥FG ，则平面α必与CC 1相交于点N ，结合M ，E 为棱C 1D 1，B 1C 1的中点，易知C 1N ∶C 1C ＝14.于是平面EMN 满足要求．满足要求． 试题解析试题解析::如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且与平面A 1FC 平行．平行．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H . ∵C 1N ＝C 1C ， ∴C 1N ＝C 1H . 又E 为B 1C 1的中点，的中点， ∴EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ， ∴EN ∥CF .又EN ⊄平面A 1FC ，CF ⊂平面A 1FC ， ∴EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ， ∴MN ∥A 1F .又MN ⊄平面A 1FC ，A 1F ⊂平面A 1FC ， ∴MN ∥平面A 1FC . 又EN ∩MN ＝N ， ∴平面EMN ∥平面A 1FC .点睛点睛::本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,,属于中档题属于中档题..直线和平面平行的判定定理定理::平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行; ; ; 平面与平面平行的判定定理：平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行． 3．（1）见解析（）见解析（22）见解析）见解析【解析】试题分析：（1）连接1A D ，1AD ，由M O ，分别是1A B ，BD 的中点可证OM ∥1A D ，即可证明OM ∥平面11AA D D ；（2）由11D C ∥AB 且11D C AB =可证11D C BA 为平行四边形，即可证1AD ∥1BC ，再根据11AD AD ^即可证明1OM BC ^. 试题解析：试题解析：（1）连接1A D ，1AD ，因为M O ，分别是1A B ，BD 的中点，的中点， 所以OM ∥1A D ，且1A D Ì平面11AA D D ，所以OM ∥平面11AA D D（2）由题意11D C ∥AB 且11D C AB =，所以11D C BA 为平行四边形，所以1AD ∥1BC ， 由（Ⅰ）OM ∥1A D ，且11A D AD ^，所以1OM BC ^4．（1）证明见解析；（2）存在，见解析；）存在，见解析；【解析】试题分析：（1）要证明平面AFC ^平面CBF ，只需证AF ^平面CBF ，则只需证AF CB ^, AF BF ^,再根据题目条件分别证明即可；（2）首先猜测存在CF 的中点M 满足//OM 平面ADF ，作辅助线，通过//OM AN ，由线面平行的判定定理，证明//OM 平面ADF 。

精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。

2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。

空间立体几何中的平行与垂直课后练习（解析版）1.如图，在多面体中，底面是梯形，且，直角梯形中，且，是锐角，且平面平面。

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论。

【答案】（Ⅰ）取中点，连结，因为底面是梯形，且，易证四边形为平行四边形，所以，所以，所以。

因为平面平面，且平面平面，所以平面，而平面，故。

（Ⅱ）平面，以下证明：取的中点，连结、。

在平面中，、，故。

在直角梯形中，且，故。

而、平面，，而平面，，故平面平面，而平面，从而平面。

【解析】本题主要考查直线与直线和直线与平面的位置关系。

（Ⅰ）利用题中所给线段关系先证明，又因为平面平面且交线为，所以平面，又平面，所以。

（Ⅱ）取中点，因为，所以；另外也有，进而可证得。

再根据四边形为直角梯形，且，可得。

再通过平面与平面平行的判定定理，证明平面平面；又平面，于是平面。

2.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，，分别是，的中点．已知，，，。

（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求直线与平面所成角的正弦值。

【答案】解：（1）取中点，连结，。

因为，分别是，的中点，底面为平行四边形，所以，，又因为平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以平面。

......${30.769231}分（2）作，垂足为，连结。

因为侧面底面，所以底面，所以。

又因为，所以，又因为，所以为等腰直角三角形，。

所以平面，所以。

......${61.538462}分（3）由（2）知，因为，所以。

由，，，得，，所以的面积，连结，得的面积。

设到平面的距离为，由，得，解得。

设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为。

......${100}分【解析】本题主要考查空间几何体及点线面之间的位置关系。

（Ⅰ）要证明平面，可以先证明平面平面，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）要证明，可用线线垂直的判定定理，即只需证平面即可；（Ⅲ）用等积法求出到平面的距离，再求出所成角的正弦值即可。

1.证明方法(1)证明平行关系的方法：①证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.②证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.③证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.(2)证明空间中垂直关系的方法：①证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.②证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.③证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决. 2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB 和∠A ′O ′B ′中OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′且方向相同⇒∠AOB＝∠A ′O ′B ′易忽略“方向相同” 线面平行的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄α，b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α易丢掉“a ⊄α”或“b⊂α” 线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，a ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b易忽略“α∩β＝b ”直线和平面垂直的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a ，l ⊥b a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O⇒l ⊥α易忽略“a ∩b ＝O ”两个平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝c a ⊂α，a ⊥c ⇒a ⊥β易忽略“a ⊂α”面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，b ∥αa ⊂β，b ⊂βa ∩b ＝O ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”面面平行的判定定理的推论 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Oc ⊂β，d ⊂βc ∩d ＝O ′a ∥c ，b ∥d ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”或“c ∩d ＝O ′”【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( × )(2)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.(×)(3)若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(×)(4)α，β，γ为三个不同平面，α∥β，β∥γ⇒α∥γ.(√)(5)若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α⇒a∥b.(×)1.(教材改编)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，则直线AB与CD的位置关系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，则平面EBD 与平面FGA的位置关系为________.答案平行3.如图所示，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是________.①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′—FED的体积有最大值；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.答案④解析由题意知，DE⊥平面A′FG，又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，且它们的交线是AF ，过A ′作A ′H ⊥AF ，则A ′H ⊥平面ABC ，所以A ′在平面ABC 上的射影一定在线段AF 上，且平面A ′GF ⊥平面BCED ，故①②均正确；三棱锥A ′—EFD 的体积可以表示为V ＝13S △EFD ·A ′H ，当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，A ′H 最大，故三棱锥A ′—EFD 的体积有最大值，故③正确；连结CD ，EH ，当CD ∥EH 时，BD ⊥EH ，又知EH 是A ′E 在平面ABC 内的射影，所以BD ⊥A ′E ，因此异面直线A ′E 与BD 可能垂直，故④错误.4.已知点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为________. 答案 4 5解析 取BC 的中点D ，连结AD ，PD .∵AD ⊥BC ，P A ⊥BC ，且AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AD ，∴BC ⊥PD ， ∴在Rt △P AD 中，PD ＝82＋42＝4 5.5.(教材改编)如图，在三棱锥V —ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，则平面VBA 与平面VBC 的位置关系为_____________________________________________________.答案 垂直解析 ∵∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，VA ⊥AC ，VA ⊥AB ， 由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥AB VA ⊥AC ⇒VA ⊥平面ABC ， ∴VA ⊥BC ，由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥BC AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面VAB ∴BC ⊥AB ，又BC ⊂平面VBC ， ∴平面VBC ⊥平面VBA.题型一 线、面平行垂直关系的判定例1 (1)如图所示，在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 是AB 的中点，则AC 1与平面CDB 1的关系为________.①AC 1∥平面CDB 1； ②AC 1在平面CDB 1中； ③AC 1与平面CDB 1相交； ④无法判断关系.(2)已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥β，n ⊥β⇒m ∥n ； ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ∥n .其中正确的命题是________. 答案 (1)① (2)②③解析 (1)连结BC 1，BC 1与CB 1交于E 点，(如图)连结DE ，则DE ∥AC 1，又DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(2)对于①，n 可能在α内；对于④，m 与n 可能异面.易知②，③是真命题. 思维升华 对线面平行、垂直关系的判定：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，则SG与平面EFG的位置关系为________.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，从而SG⊥平面EFG.(2)已知三个平面α，β，γ.若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直线c⊂β，c∥b.①判断c与α的位置关系，并说明理由；②判断c与a的位置关系，并说明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α与β没有公共点.又∵c⊂β，∴c与α无公共点，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α与β没有公共点.又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D. 证明如图所示，连结AC交BD于点O，连结OE，则OE∥DC，OE＝12DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四边形D1FEO为平行四边形，∴EF∥D1O.又∵EF ⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD⊂平面A1BD，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四边形AEB1G是平行四边形，∴B1E∥AG.同理GF ∥AD .又∵GF ＝AD ， ∴四边形ADFG 是平行四边形，∴AG ∥DF ，∴B 1E ∥DF ，∴DF ∥平面EB 1D 1. 又∵BD ∩DF ＝D ， ∴平面EB 1D 1∥平面FBD . 命题点3 直线与平面垂直的证明例4 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 相交于点O ，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，点G 为BC 的中点.(1)求证：OG ∥平面EFCD ； (2)求证：AC ⊥平面ODE .证明 (1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， ∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD ， 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， ∴OG ∥平面EFCD .(2)∵BF ＝CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC . ∵平面BCF ⊥平面ABCD ， 平面BCF ∩平面ABCD ＝BC ， FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG ⊥AC ，∵OG ∥AB ，OG ＝12AB ，EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∴OG ∥EF ，OG ＝EF ，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO.∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝12AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ， 所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1. 命题点5 平行、垂直的综合证明例6 如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又BD ∩DE ＝D ，从而AC ⊥平面BDE .(2)如图，延长EF ，DA 交于点G .因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13.因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13，所以AM ∥GB .又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以AM ∥平面BEF .思维升华 (1)空间线面的位置关系的判定方法①证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.②证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形，寻求隐含条件.(2)空间面面的位置关系的判定方法①证明面面平行，需要证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.②证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.求证：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.证明(1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1⊂平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连结DF，EF.∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF ∥平面AB 1C .∵D ，F 分别为边A 1B 1，AA 1的中点，∴DF ∥AB 1. ∵DF ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴DF ∥平面AB 1C .∵EF ∩DF ＝F ，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ∥平面AB 1C .∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C .题型三 平行与垂直的应用例7 (2015·安徽)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1. 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连结BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝ANNC＝13.思维升华(1)利用平行关系可以转移点到面的距离，从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题.(2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径：途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝1，AB＝3，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面P AC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AF⊥EF；(3)求三棱锥B—AFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面P AC平行.证明如下：在△PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面P AC，而PC⊂平面P AC，∴EF∥平面P AC.(2)证明∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面P AD.又AF⊂平面P AD，∴AF⊥CD.∵P A＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF⊂平面PCD，∴AF⊥EF.即无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF .(3)解 作FG ∥P A 交AD 于G ，则FG ⊥平面ABCD ，且FG ＝12，又S △ABE ＝32，∴V B —AEF ＝V F —AEB ＝13S △ABE ·FG ＝312.∴三棱锥B —AFE 的体积为312.6.立体几何平行、垂直的证明问题典例 (14分)(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积. 规范解答(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥AB .[1分] 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，[2分] 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.[3分](2)证明 取AB 的中点G ，连结EG ，FG .[4分]因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .[6分]因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG .[8分]又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .[10分](3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.[12分]所以三棱锥E －ABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.[14分]证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线. 第二步：证明线线平行.第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行. 第四步：反思回顾.检测关键点及答题规范. 证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面.第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行； 第三步：证明所作平面与所证平面平行. 第四步：转化为线面平行. 第五步：反思回顾，检查答题规范. 证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线. 第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线.第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面.第四步：转化为面面垂直.第五步：反思回顾，检查答题规范.温馨提醒(1)证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线.(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.[方法与技巧]1.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.2.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意.口诀：线不在多，重在相交.4.面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线.注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么.A组专项基础训练(时间：45分钟)1.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α.其中真命题的序号是________.答案①③④解析①由α∥β，l⊂α知，l与β无公共点，故l∥β.②当m⊂α，n⊂α，m与n相交，m∥β，n∥β时，α∥β.③由l∥α知，α内存在l′，使得l′∥l.因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α内存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________.(填写所有真命题的序号)答案③④解析对于①，平面α与β可能相交，故①错；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则直线m 与n可能平行，可能相交，也可能异面，故②错；对于③，由面面垂直的判定可知③正确；对于④，由面面垂直的性质可知m⊥n，故④正确.因此真命题的序号为③④.3.在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足是________时，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中点解析 当M 是PC 中点时，连结AC ，BD 交于O ，由题意知，O 是AC 的中点，连结MO ，则MO ∥P A .∵P A ⊥平面ABCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面ABCD . 4.如图，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，且它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.答案m n解析 设AE ＝a ，EB ＝b ，由题意知，EF ∥AC ， 得EF ＝bm a ＋b ，同理EH ＝ana ＋b.因为EF ＝EH ，所以bm a ＋b ＝an a ＋b，所以a b ＝mn .5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可. 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得AC AF ＝A 1F A 1D ，即2a x ＝3a －x a ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .6.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，P A ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM .求证：(1)OM ∥平面P AD ； (2)OM ⊥平面PCD .证明 (1)连结AC .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点.在△P AC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥P A . 因为OM ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以OM ∥平面P AD .(2)连结PO .因为O 是BD 的中点，PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，从而PO ⊥CD . 因为CD ⊥PC ，PC ∩PO ＝P ， PC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以CD ⊥平面P AC .因为OM ⊂平面P AC ，所以CD ⊥OM .因为P A⊥PC，OM∥P A，所以OM⊥PC.因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.(1)证明如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥面ABB1A1.因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)证明：B1F∥平面A1BE；(3)若正方体棱长为1，求四面体A1—B1BE的体积.(1)证明如图，连结AB1.因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因为A1B ⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)证明如图，连结EF，DC1，OE，B1F.由已知条件得EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形，所以B1F∥OE.因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，(3)解 VA 1—B 1BE ＝VE —A 1B 1B ＝13S △A 1B 1B ·B 1C 1＝16. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)9.在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，给出下面三个结论： ①BC ∥平面PDF ；②DF ⊥平面P AE ；③平面PDF ⊥平面ABC .其中不成立．．．的结论是________.(填写所有不成立的结论的序号) 答案 ③解析如图，由题知BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF .∵四面体P —ABC 为正四面体，∴BC ⊥P A ，AE ⊥BC ，BC ⊥平面P AE ，∴DF ⊥平面P AE ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴①和②成立.设此正四面体的棱长为1，则P A ＝1，AM ＝34，PM 2＝PD 2－DM 2＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫142＝1116，∴P A 2≠AM 2＋PM 2，故③不成立.10.如图，过四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过点P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面ACC1A1.(1)解在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于E，F两点，则EF为所作的锯线.在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D，B1B＝D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.又EF∥B1D1，所以EF∥BD，故EF为截面BDEF与平面A1B1C1D1的交线，故EF为所作锯线.如图所示.(2)证明由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.又四棱柱的底面为菱形，所以BD⊥AC.因为AC∩A1A＝A，所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面A1C1CA.11.如图，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝P A＝2，CD＝22，E，F分别是AB，PD 的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PECF的体积.(1)证明设G为PC的中点，连结FG，EG.∵F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，∴FG 綊12CD ，AE 綊12CD ，∴FG 綊AE ， ∴四边形AEGF 为平行四边形，∴AF ∥GE . ∵GE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PCE .(2)证明 ∵P A ＝AD ＝2，∴AF ⊥PD .又∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD .∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .∵AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD .∵GE ⊂平面PEC ，∴平面PCE ⊥平面PCD .(3)解 由(2)知GE ⊥平面PCD ， 所以EG 为四面体PEFC 的高，又EG ＝AF ＝2，CD ＝22，S △PCF ＝12PF ·CD ＝2， 所以四面体PEFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝223.。

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【根底学问点】一、平行问题1．直线及平面平行的断定及性质定义断定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2. 面面平行的断定及性质断定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线及平面垂直1．直线与平面垂直的定义：直线l及平面α内的都垂直，就说直线l及平面α相互垂直．2．直线及平面垂直的断定定理及推论文字语言图形语言符号语言断定定理一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直推论假如在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线及平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线与平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，那么垂直于平面内随意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面及平面垂直1．平面及平面垂直的断定定理【典例探究】 类型一、平行及垂直例1、如图，三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

〔Ⅰ〕求证：DM ∥平面APC ；〔Ⅱ〕求证：平面ABC ⊥平面APC ；〔Ⅲ〕假设BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

F D C1B1A1C例2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.〔Ⅰ〕求证：CN ⊥平面11ABB A ； 〔Ⅱ〕求证：//CN 平面1AMB ；〔Ⅲ〕求三棱锥1B AMN -的体积．【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。

立体几何-平行与垂直练习题1. 空间四边形SABC中，SO⊥平面ABC，O为∆ABC的垂心，求证：（1）AB⊥平面SOC（2）平面SOC⊥平面SABO D CA2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证：（1）EM⊥平面A A1C1C; （2）平面A1EC⊥平面AA1C1C；EMA1B1C1ABC3. 如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,G为AC与BD的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.4. 设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图,（1）证明PQ∥平面AA1B1B；（2）求线段PQ的长.5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=．（Ⅰ）当主视图方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M 为PA 的中点，求证：DM //面PBC ．6. 已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点. 求证：（1）直线MF∥平面ABCD ；（2）平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.7. 如图，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN∥平面PAD ；（2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角P-DC-A=45°，求证：MN⊥平面PDC.8. 如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M ，N 分别是AB ，A1C 的中点．(1)求证：MN ∥平面BCC1B1；(2)求证：MN ⊥平面A1B1C ；(3)求三棱锥M－A1B1C的体积．9. 如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.求证：平面SAD⊥平面SBC.10. 如图所示，在直．三棱柱．．．ABC-A1B1C1中，AC⊥BC．(1) 求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2) 若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；(3) 若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．11. 如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC,（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C-BD-A的余弦值.12. 如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC 于M，E为AD的中点.（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.A1C D1B113．如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,PA⊥平面ABC,A在PB,PC上的射影分别为E,F,求证:PB⊥平面AFE.14．在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,DC=2,点E在PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PAD.(2)当PD∥平面AEC时,求PE∶EB的值.15. 如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点．(1)求证：PA∥平面CDM；(2)求证：SN⊥平面CDM.16. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．(1)求证：CM⊥平面FDM；(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．。

一、单选题1.m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）.A.α内有无数条直线与β平行B.α，β平行与同一个平面C.α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D.α，β垂直与同一个平面4.已知l ，m 是两条不同的直线，m //平面α，则（）.A.若l //m ，则l //αB.若l //α，则l //mC.若l ⊥m ，则l ⊥αD.若l ⊥α，则l ⊥m5.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）.A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面6.如果用m ,n 表示不同直线，α,β,γ表示不同平面，下列叙述正确的是（）.A.若m //α，m //n ，则n //αB.若m //n ，m ⊂α，n ⊂β，则α//βC.若α⊥γ，β⊥γ，则α//βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m //n7.如图1，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论：图1①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A 1P //平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的结论的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图2，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）.图2A.BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C.BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D.BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9.如下图所示的四个正方体中，A ,B 正方体的两个顶点，M ,N ,P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形的序号为（）.59A.①②B.②③C.③④D.①②③10.如图3，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，有下列命题：图3①||M1M的最小值为1；②M1N//平面CD1E；③存在某个位置，使M1E⊥DE；④无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE.其中正确命题的个数为（）.A.1B.2C.3D.4二、多选题11.已知α,β是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）.A.若m//n，m⊥α，则n⊥αB.若m//α，α⋂β=n,则m//nC.若m⊥α，m⊥β，则α//βD.若m⊥α,m//n,n⊥β，则α//β12.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD 相交于点O，将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（）.A.BD⊥CMB.存在一个位置，使△CDM为等边三角形C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°13.己知m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列说法正确的是（）.A.若m//α,n//β且α//β,则m//nB.若m//n,m⊥α,n⊥β,则α//βC.若m//n,n⊂α,α//β，m⊄β,则m//βD.若m//n,n⊥α,α⊥β，则m//β14.如图4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）.图4A.CM与PN是异面直线B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BDD1B1D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形15.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）.A.BM⊥平面PCDB.PA//面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M-ABCD的体积为6三、填空题16.如图5，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°.其中正确的有_______.(把所有正确的序号都填上)图517.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_______.18.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中真命题为______（填所有真命题的序号）.19.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同60，C⊥平面ABB.图622.如图7，在直三棱柱ABC为BC，AC的中点，AB=BC.（1）求证：A1B1∥平面DEC1；（2）求证：BE⊥C1E.23.如图8，在四棱锥P－ABCDPA，PD的中点.已知侧面PAD⊥是矩形，DA=DP.（1）求证：MN∥平面PBC；图8图9图11P-ABCD中，已知底BC=1，E，F分别是AB，；平面PDE.如图13，取PD中点G。

高一数学（必修2）直线题组练习高一数学必修2 (平行与垂直的判断 )一、选择题1、直线 l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则 ab=1 是 l1||l2的A充要条件B充足不用要条件C必需不充足条件 D 既不充足也不用要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0相互平行的条件是A m=1B m=±1C m1n1D m 1 或n1m1n13、直线 xsinα+ycosα+1=0 与 xcosα-ysin α+2=0直线的地点关系是A平行B订交但不垂直C订交垂直D视α 的取值而定4、已知 P(a,b)与 Q(b-1,a+1)(a≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0相互垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线 3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0 所围成的三角形是A锐角不为 450的直角三角形B顶角不为 900的等腰三角形C 等腰直角三角形D等边三角形7、已知△ ABC 中， A（2,4），B（－ 6，－ 4），C（5，－ 8），则∠ C 等于A40 B -arctan40C arctan40D arctan2727278、直线 3x+3y+8=0 直线 xsinα+ycosα+1=0(4) 的角是2A B C3D54444二、填空题40 arctan271、与直线 2x+3y+5=0 平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3 的直线的方程为______＿＿；2、与直线 2x-y+4=0 的夹角为 450，且与这直线的交点恰幸亏x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点 A（1， 3 ) 且与直线x- 3 y=0成600的角，则直线的方程为＿＿3三、解答题1、直线过 P（1,2）且被两条平行直线 4x+3y+1=0 和 4x+3y+6=0 截得的线段长为 2 ，求这条直线的方程。

点、线、平面之间的位置关系一、平面的基本性质：1、平面的概念、画法及表示方法；2、平面的基本性质：（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．即：（2）公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面（不共线三点确定一平面）． 即： 公理2的推论： 推论1： 推论2： 推论3：（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．即：3、公理的应用：证明：“线共面”、“点共线”、“线共点”．二、空间点、线、面的位置关系：1、空间两直线的位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫没有公共点共面直线没有公共点有一个公共点：：：__________________2、空间直线与平面的位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫直线在平面外没有公共点有一个公共点有无数个公共点：：：_______________________________________ 3、空间两平面的位置关系：⎩⎨⎧没有公共有一条公共直线：：__________________________4三、空间平行、垂直位置关系的判定：12、平行、垂直性质定理：3、常于判定平行、垂直一些结论：4、平行、垂直关系的转化：空间平行与垂直综合练习一、选择题：1、如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面2、下列命题正确的是（ ）①平行于同一条直线的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行； A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 3、空间四边形ABCD 的四边相等，则它的对角线AC ，BD （ ） A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交D ．垂直但不一定相交4、a ，b 是两条异面直线，且a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α，β的关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．相交或平行D ．垂直5、P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，连结PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的是( )①面P AB ⊥面PBC ； ②面P AB ⊥面P AD ； ③面P AB ⊥面PCD ； ④面P AB ⊥面P AC ． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 6、设有直线a ，b ，c ，d 及平面α，β，下列条件能推出α∥β的是（ ）A ．a α⊂，b β⊂，a //b ，c α⊂，d β⊂，c //dB ．a α⊂，b β⊂，a //β，b //αC ．a ⊥α，b ⊥β，a //bD ．平面α内有三个不共线的点到β距离相等7、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 8、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 9、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β． 其中正确的两个命题是（ ） A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③10、如果直线l 、m 与平面α，β，γ满足：β∩γ=l ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ） A ．α⊥γ且l ⊥mB ．α⊥γ且m ∥βC ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β且α⊥γ二、填空题：11、如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么① AD MN ⊥；② //MN 面CDE ；③ //MN CE ；④ MN 、CE 异面．其中正确结论的序号是_____________．答案：①②③12、已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：①若α⊥m ，β⊥m ，则βα//；②若γα⊥，γβ⊥，则βα//；③若α⊂m ，β⊂n ，n m //，则βα//；④若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，则βα//，其中真命题是 ．答案：①④13、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．答案：FH M ∈14、如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__________时，平面MBD ⊥平面PCD （只要填写一个你认为是正确的条件即可）． 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)15、在正四棱锥P －ABCD 中，P A =23AB ，M 是BC 的中点，G 是△P AD 的重心，则在平面P AD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条． 答案：无数FEA DB CMN三、解答题：16、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥P A.连结DB.∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，∴D1B∥面P AO，QB∥面P AO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面P AO.17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：（1）直线EF∥平面ACD；（2）平面EFC⊥平面BCD．证明：（略）18、在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．（1）求证：平面SEF⊥平面ABCD；（2）若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l．证明：(1)由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB.由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC.ABCDEF又AB ∥DC ，∴AB ⊥SF . 又SF ∩SE ＝S ，∴AB ⊥平面SEF . 又∵AB ⊂平面ABCD ， ∴平面SEF ⊥平面ABCD . 证明：(2)∵AB ∥CD ，CD ⊂面SCD ，∴AB ∥平面SCD .又∵平面SAB ∩平面SCD ＝l ，根据直线与平面平行的性质定理得AB ∥l .19、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ．（1）证明P A ∥平面BDE ； （2）证明AC ⊥平面PBD ．证明：(1)设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分 ∠ADC ，所以H 为AC 的中点． 又由题设，E 为PC 的中点，故EH ∥P A . 又EH ⊂平面BDE 且P A ⊄平面BDE ， 所以P A ∥平面BDE .证明：(2)因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC . 由(1)可得，DB ⊥AC . 又PD ∩DB ＝D ， 故AC ⊥平面PBD .20、如图所示，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ； （2）求证：AE ⊥BE ．EA BCDN M F证明： (1)取DE 的中点P ，连结P A ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点， 所以PN ∥DC ，且PN ＝12DC ，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点， 所以AM ∥DC ，且AM ＝12DC ，所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ， 故四边形AMNP 是平行四边形， 所以MN ∥AP .而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ， 所以MN ∥平面DAE .证明：(2)因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ，又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， 所以AE ⊥BF ， 又BF ∩BC ＝B ， 所以AE ⊥平面BCE . 又BE ⊂平面BCE ， 所以AE ⊥BE .。