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函数值域的求法求函数的值域是函数部分的重点，也是难点。
本文通过对函数值域的求法的归纳与总结，使学生对其求法有一个总的轮廓和了解，便于学生在解题过程中灵活应用（1） 观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。
例1． 求函数)1(,11≥++-=x x x y 的值域。
),2[+∞例2． 求函数1062++=x x y 的值域。
),1[+∞ （2） 最值法：对于闭区间上的连续函数，利用求函数的最大值和最小值来求函数的值域的方法。
例3． 求函数]2,2[,2-∈=x y x 的值域。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41 例4． 求函数6522++-=x x y 的值域。
]873,(-∞ （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。
例5． 求函数22122+-+=x x x y 的值域。
),21[)1,(+∞-⋃--∞（4） 反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。
例6． 求函数⎪⎭⎫⎝⎛≠-+=32,2332x x x y 的值域。
⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,3232,例7． 求函数⎪⎭⎫⎝⎛-≠≠++=c d x c d cx b ax y ,0,的值域。
⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a（5） 换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。
例8． 求函数x x y 21--=的值域。
提示：设x t 21-=，则0,212≥--=t t t y 且，…… ]21,(-∞ （6） 复合函数法：对函数)(),(x g u u f y ==，先求)(x g u =的值域充当)(u f y =的定义域，从而求出)(u f y =的值域的方法。
例9． 求函数()352log 221++-=x x y 的值域。
),849[+∞ （7） 利用基本不等式求值域：例10． 求函数xx y 1+=的值域。
不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。
例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，.② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62，. ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,所以此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62，④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元法，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域 解法一：分离变量法。
求三角函数值域的常用方法有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。
掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。
一、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c 再求值域. 例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型通过降幂转化为Asinx+Bcosx 再求值域.例2、（2011重庆高考）设a R ∈，2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-，满足()(0)3f f π-=，求函数11(),]424f x ππ在[上的最大值和最小值二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型令sinx=t 转化为二次函数再求值域.例3、（2011北京卷）已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-（1）求()3f π的值 （2）求()f x 的最大值和最小值2、形如y=asinx·cosx+b （sinx±cosx ）+c ，换元令sinx±cosx=t 转化为二次函数在]2,2[-上的值域问题三、根据代数函数的单调性求值域形如y=sint+t b sin ，令sint=x ，根据函数y=x+xb 的单调性求值域. 例6、θ∈(0,π)，则函数y=sin θ+θsin 2的值域为_________.形如y=d x c b x a ++cos cos 型，可用分离常数法转化为y=x+xb 再求值域. 例5、求函数y=1cos 21cos 2-+x x 的值域.。
2022-2023 高一数学上期末知识点总结和方法专练---函数的定义与表示一、 函数定义：函数是定义在两个非空数集A ，B 上的一种特殊对应关系，对于A 中每一个数x ，在B 中都有唯一的数与之对应（每一个x 对应唯一一个y ）。
函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点；当非空集合A 中有m 个元素，B 中有n 个元素时，则A 中每个元素在B 中的相都可以有n 种不同情况，故由A 到B 的函数共有n m 个．【例1】：下列图形可以表示函数y ＝f (x )图象的是( )【例2】：下列对应为A 到B 的函数的是( )A ．A R =，{|0}B x x =>，:||f x y x →= B ．A Z =，*B N =，2:f x y x →=C ．A Z =，B Z =，:f x y x →=D ．[1A =-，1]，{0}B =，:0f x y →=【例3】：已知集合P ＝{x|－4≤x≤4}，Q ＝{y|－2≤y≤2}，下列函数不表示从P 到Q 的函数的是( )A ．2y ＝xB ． y 2＝12(x ＋4)C ．y ＝14x 2－2 D ．x 2＝－8y【例4】：已知函数f (x )的定义域为，值域为，则满足条件的函数f (x )的个数为（ ）二、 同一函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备). 定义域、值域与解析式三个中只有一个不同就不是同一函数. 【例1】：f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋xx 2＋1C ．y ＝x 与y ＝(x )2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3【例2】：（多选）f (x )与g (x )表示同一函数的有( ) A ．32y x =-与2y x x =- B ．()2y x =与y x =C ．11y x x =+⋅-与()()11y x x =+- D ．()221f x x x =--与()221g t t t =--E. ()3f x x =-与2()69g x x x =-+；F. ()1f x x =-与2()21g t t t =-+； 三、定义域求法：(1)分式函数中分母不等于零，0指数幂的底数不为0． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R ． (4)对数的真数要大于0, 底数大于0且不等于1.(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R ． (6)y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }． (7)实际问题满足实际意义。
第29课三角函数的最值问题KAQGANG JlL XI1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最 值和值域.2.掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题1•阅读：必修 4第24〜33页、第103〜116页、第119〜122页. 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y = A si n( 3汁$ )(A>0,3 >0的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幕扩角公式是什么？必修 4第123页练习第4题怎么解？3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题. I…T 基础诊断 &Y* ----------------------1. 函数f(x) = sinx , x € g,手丿的值域为'1 1 __.2.函数 f(x) = sinx — cos[x + f 的值域为 [-羽，护].nQ 313\13解析：因为 f (x) =sinx — cos(x+ 6)= sinx — Tcosx+ 2sinx= 2sinx —T cosx所以函数f(x) = sinx — cos(x +》的值域为[—.3, ,3].3. 若函数 f(x) = (1 + . 3tan x) cosx , 0< x<n 贝U f(x)的最大值为 2 .解析：f(x) = (1 + J 3ta nx)cosx = cosx + J 3si nx = 2si n^ + •因为 0 < x<n ，所以詐 x + 才<|^所以 sin x +€ 土，1,所以当sin[j + ^;= 1时，f(x)有最大值2.4. 函数 y = 2sin 2x — 3sin2x 的最大值是，10+ 1.2形如y = asin x + bcosx + c 的三角函数的最值例 1 已知函数 f(x) = 2cos2x + sin 2x — 4cosx. (1) 求f nn 的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值.解析：(1) f [^；;= 2cos 2n+ sin^— 4cos n=— 1+ 3— 2 =—：2 2(2) f(x) = 2(2cos x — 1) + (1 — cos x) — 4cosx2=3cos x — 4cosx — 1课本KE SEN XI=.3sin(x — 6),范例导航考向？cf 2-\7 “=3 cosx — 3 — 3, x € R.因为 cosx € [ — 1, 1],所以当cosx =— 1时，f(x)取最大值6;2 7 当cosx =孑时，f(x)取最小值一3. 33已知s 4+汴貉A €6扌)(1) 求cosA 的值；5(2) 求函数 f(x) = cos2x + qs in As inx 的值域. 解析：⑴ 因为n <A<n,且Sin 》+才戶, 所以2<A +4<¥’cos$+护-密所以 cosA = cos [(A +n - n =cos+ U2 x _2 10 2 10 23 5.4(2)由(1)可得 sinA = 5,5 2f . 1 "f 3 所以 f(x) = cos2x + 2sinAsinx = 1 — 2sin x + 2sinx =— 2 sinx — + ?, x € R. 因为 sinx € [ — 1, 1],1 3所以当sinx =2时，f(x)取最大值§; 当sinx =— 1时，f(x)取最小值一3. 所以函数f(x)的值域为 一3, 3 1门考向？形如y = Asin( 3x+ © + k 的三角函数的最值例 2 已知函数 f(x) = 2cosxsin & + 寸一屆in 2x + sinxcosx + 1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时，x 的取值集合; (2) 当 x € 0, 1n 时，求 f(x)的值域.解析：(1)因为 f(x) = 2cosxsin x + 3 — - 3sin 2x + sinxcosx + 1A +=2cosx(?sinx + ycosx) — 3sin 2x + sinx •osx + 1 =2si nxcosx + 3cos 2x — 3si n 2x + 1 =si n2x + 3cos2x + 1 1 3=2/n2x + 〒cos2x) + 1n n n由 2x + 3 = 2k n+ ^, k € Z ,可得 x = k n+ 石，k € Z ,所以函数f(x )取得最大值时，x 的集合为{x|x = k n+-, k € Z}.12(2)由 x € o ,，'得2x+n n n ，所以 ~23<sin(2x + n )< 1, 所以•.3+ 1 w f(x)w 3, 故f(x)的值域为[,3 + 1, 3].【注】 对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如 y = Af (3x+ © + B 的形式，确定变量x 取值的集合通常由等式3x+ ©= 2k n+ 0, k € Z 解出x已知函数f(x)= sin 2 wx — 6 + 2cos 2 1( w >0)的最小正周期为 n.(1)求w 的值;2 n所以f(x)的最小正周期T = — = n,解得w= 1.(2)由(1)得 f(x)= sin 2x + 6 . 因为0w x w$,所以6w 2x +6w 莘所以当2x + 6= 2，即x = 6时，f(x)取得最大值为1;=2sin 2x +1.⑵求f(x)在区间気上的最大值和最小值.解析：(1)因为 f(x)= sin 2wx — o + 2cos wx — 1,3 1=~2"si n2 wx+ 2cos2 wx= sin当2x + n= 4n,即x = 1n 时f(x)取得最小值为一 弩.【变式题】 已知函数 f(x)= sin x ++ cosx.(1)求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x 的集合;,f a+ n = ，求 f(2a)的值.所以 f(2 a) = . 3sin 2a+ f1 3=.3?sin2 a+ —cos2 a=,3[2X 2sin acos a+ 手 x (2cos 2 a — 1)]厂1 4 3 V39 =3X [-x 2X x +亠x (2x — 1)] V L2 5 5 2 '25 刀=V 3x 险—也1=竺吐1Y辽5 50 丿 50.考向？ 三角函数最值问题常见的其他函数形式2例3 (1)已知x € (0, n,求函数y = sinx +的最小值;sinx⑵ 已知 灰(0, n ，求函数y =1 豐nA 的最大值; ⑶ 求函数y = (sinx — 2)(cosx — 2)的最大值与最小值.a€ 0,扌：解析: (1) f(x)= sin x ++ cosx=^sinx + 3cosx = ,3 1=%；3si nx + 3 , 所以 f(x)max =【?3.此时，x +n= 2k n+n ，k € Z ,即 x = 2k n+n , k € 乙3 2 61sin x + ~fcosx故当f(x)取得最大值3时，x 的集合为{x|x = 2k n+n k € Z}.6⑵ 由 f a+ n = . 3sin( a+ n = ¥ ,得sinn_ 32 = 5,所以 cos a= 3, sin54 a= 一, a 52解析：⑴设sinx= t（O<t w 1），则原函数可化为y = t + -，在（0, 1］上为减函数,故当t= 1时，y min= 3.⑵ 因为茨(0, n,所以sin茨(0, 1], y = 一卫一w 丿=1当且仅当si n B= 亦e+ 3sin e 21等号成立，故y max=刁(3)原函数可化为y= sinxcosx—2(sinx+ cosx) + 4，令sinx+ cosx = t(|t|w 2), nt t2— 1贝U sinxcosx =—,2t —1 1 2 3所以y=—2t+ 4=2(t—2) +2因为对称轴为直线t = 2?[ —2, 2]，且函数在区间[—2, 2]上是减函数，所以当t= 2,即x = 2k n+ n(k € Z)时, y min = 2 - 2.2；— 3 n 9 —当t=—2，即x= 2k n—~4（k€ Z）时，y max= 2 . 2.【注】（1）直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解.a（2）首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到（1）的步骤去解决.y= sinx+亦型三角函数求最值，当sinx>0, a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解.（3）含有"正、余弦三姐妹"，即含有sinx±sosx, sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx= t, |t|< 2,将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定.【变式题】(1)求函数y= 2—sinx的最小值;si nx+ 2n 1 1⑵ 若0<x<2,求函数y= (1+ cosx)(1 + 亦)的最小值・4 —2 —sinx 4 1解析：⑴y=—厂=s^zr1飞，1所以最小值为1⑵y=1+cosx1+si.sinx+ cosx+ 1=1 +sin xcosx令t= sinx+ cosx, t€ (1, .2],t2— 1贝U sinxcosx = 2 ,t + 1 t2+ 2t + 1 t+ 1 八2t2— 1 t2—1 t—1 t —T2由1<t W 2,得y》3 + 2 2, 所以函数的最小值为 3 + 2 2.自测反馈1.函数y= 2sin 3—x —cos 6 + x (x € R)的最小值是__—1解析：因为cos ¥+ x = sin n- x，所以y= 2sin n—x —cos 总+ x = 2sin 扌一x —sin n—x =—sin x —3 •因为x€ R,所以y min=—1.2.函数y= sin^在区间［0,b］上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是_ -2, ^7\解析：因为函数y= singe的周期为年=6，函数y= sin^x在区间［0,3b］上恰好取得2个最大值，则实数b满足5T W b<94-，解得乎三b<27.故实数b的取值范围为3.函数y=也cosx的值域是[—1 , 1].2 + sinx解析：2y+ ysinx = 3cosx, ysinx—3cosx = —2y,得y2+ 3sin(x + —2y—2y<^ = -yz^3，则匕齐^|W 1,解得—1W y W 1.■15 27).2，2 丿()))=—2y, sin(x +4.函数f(x) = sinx+ cosx+ sinx •osx 的值域是—1,x + n 则t € [ —^2^2], t2= 1 + 2sinxcosx,则sinxcosxt? —1 t?—1 12 1 2 —厂，贝U f(x) = sinx + cosx + sinxcosx = t + 厂=?(t + 2t —1) = ^(t + 1) — 1.因为一.2 解析：令t = sinx+ cosx = ■2sin xW t W 2 所以f(x) € [ —1 , 2 + 1.反思搐遺1.求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：①形如y = asin x + bcos x + c的三角函数化为y = Asin（3汁$卅k的形式，再求值域（最值）；②形如y = asin2x + bcos x + c的三角函数，可先设sin x= t，化为关于t的二次函数求值域（最值）;③形如y = asin xcos x + b（sin x ±os x）+ c的三角函数，可先设t = sin x ±os x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.2•你还有哪些体悟，写下来:。
十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
5. 利用数形结合 例： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：6、换元法例：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
高中数学学案:三角函数的最值问题1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域．2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题.1. 阅读:必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题.基础诊断1. 函数f(x)＝sin x,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为3]__． 解析:因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6),所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]．3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__．解析:f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1, 所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2.4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x范例导航考向❶ 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值例1 已知函数f(x)＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2) 求f(x)的最大值和最小值．解析:(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－73,x ∈R. 因为cos x ∈[－1,1],所以当cos x ＝－1时,f (x )取最大值6；当cos x ＝23时,f (x )取最小值－73.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210,A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1) 求cos A 的值；(2) 求函数f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x 的值域．解析:(1) 因为π4<A <π2,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210, 所以π2<A ＋π4<3π4,cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210, 所以cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4 ＝－210×22＋7210×22＝35.(2) 由(1)可得sin A ＝45,所以f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32,x ∈R. 因为sin x ∈[－1,1],所以当sin x ＝12时,f (x )取最大值32；当sin x ＝－1时,f (x )取最小值－3.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 考向❷ 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的三角函数的最值例2 已知函数f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时,x 的取值集合；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时,求f(x)的值域． 解析:(1) 因为f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x(12sin x ＋32cos x)－3sin 2x ＋sin x·cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2(12sin 2x ＋32cos 2x)＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 由2x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,可得x ＝k π＋π12,k ∈Z,所以函数f (x )取得最大值时,x 的集合为{x |x ＝k π＋π12,k ∈Z}．(2) 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12,得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2, 所以32≤sin(2x ＋π3)≤1,所以3＋1≤f (x )≤3,故f (x )的值域为[3＋1,3]．【注】 对于三角函数最值问题,通常将表达式化为形如y ＝Af (ωx ＋φ)＋B 的形式,确定变量x 取值的集合通常由等式ωx ＋φ＝2k π＋θ,k ∈Z 解出x .已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12上的最大值和最小值． 解析:(1) 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2ωx cos π6－cos2ωx sin π6＋cos2ωx ＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6, 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π,解得ω＝1.(2) 由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为0≤x ≤7π12,所以π6≤2x ＋π6≤4π3,所以当2x ＋π6＝π2,即x ＝π6时,f (x )取得最大值为1；当2x ＋π6＝4π3,即x ＝7π12时,f (x )取得最小值为－32.【变式题】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x . (1) 求f (x )的最大值,并写出当f (x )取得最大值时,x 的集合；(2) 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝335,求f (2a )的值． 解析:(1) f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3, 所以f (x )max ＝ 3. 此时,x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,即x ＝2k π＋π6,k ∈Z.故当f (x )取得最大值3时,x 的集合为{x |x ＝2k π＋π6,k ∈Z}．(2) 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin(α＋π2)＝335, 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35, 所以cos α＝35,sin α＝45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 所以f (2α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2α＋32cos2α ＝3[12×2sin αcos α＋32×(2cos 2α－1)] ＝3×[12×2×45×35＋32×(2×925－1)]＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1225－7350＝243－2150. 考向❸ 三角函数最值问题常见的其他函数形式例3 (1) 已知x ∈(0,π),求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值；(2) 已知θ∈(0,π),求函数y ＝3sin θ1＋3sin 2θ的最大值； (3) 求函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值与最小值．解析:(1) 设sin x ＝t(0<t ≤1),则原函数可化为y ＝t ＋2t ,在(0,1]上为减函数, 故当t ＝1时,y min ＝3.(2) 因为θ∈(0,π),所以sin θ∈(0,1],y ＝31sin θ＋3sin θ≤323＝12,当且仅当sin θ＝33时等号成立,故y max ＝12.(3) 原函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x)＋4,令sin x ＋cos x ＝t(|t|≤2),则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝t 2－12－2t ＋4＝12(t －2)2＋32.因为对称轴为直线t ＝2∉[－2,2],且函数在区间[－2,2]上是减函数,所以当t ＝2,即x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时,y min ＝92－22；当t ＝－2,即x ＝2k π－3π4(k ∈Z)时,y max ＝92＋2 2.【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性,并直接利用基本不等式去求解．(2) 首先是对分数函数的一般的处理方式,然后回到(1)的步骤去解决．y ＝sin x ＋a sin x 型三角函数求最值,当sin x >0,a >1时,不能用均值不等式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解．(3) 含有“正、余弦三姐妹”,即含有sin x ±cos x ,sin x cos x 的函数的最值问题,常用的方法是令sin x ±cos x ＝t ,|t |≤2,将sin x cos x 转化为关于t 的函数关系式,从而转化为二次函数的最值问题,在转化过程中尤其要注意新变量t 的范围的确定．【变式题】(1) 求函数y ＝2－sin x sin x ＋2的最小值； (2) 若0<x <π2,求函数y ＝(1＋1cos x )(1＋1sin x )的最小值．解析:(1) y ＝4－2－sin x sin x ＋2＝4sin x ＋2－1≥13, 所以最小值为13.(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin x ＝1＋sin x ＋cos x ＋1sin x cos x ,令t ＝sin x ＋cos x ,t ∈(1,2],则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝1＋t ＋1t 2－12＝t 2＋2t ＋1t 2－1＝t ＋1t －1＝1＋2t －1, 由1<t ≤2,得y ≥3＋22,所以函数的最小值为3＋2 2.自测反馈1. 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值是__－1__．解析:因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ,所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.因为x ∈R,所以y min ＝－1. 2. 函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272__． 解析:因为函数y ＝sin π3x 的周期为2ππ3＝6,函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 满足5T 4≤b<9T 4,解得152≤b<272.故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272. 3. 函数y ＝3cos x 2＋sin x的值域是__[－1,1]__． 解析:2y ＋y sin x ＝3cos x,y sin x －3cos x ＝－2y,得y 2＋3sin (x ＋φ)＝－2y,sin (x ＋φ)＝－2y y 2＋3,则|－2y y 2＋3|≤1,解得－1≤y ≤1. 4. 函数f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x·cos x 的值域是⎦2． 解析:令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,则t ∈[－2,2],t 2＝1＋2sin x cos x,则sin x cos x ＝t 2－12,则f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ＝t ＋t 2－12＝12(t 2＋2t －1)＝12(t ＋1)2－1.因为－2≤t ≤2,所以f(x)∈[－1,2＋12]．1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式,再求值域(最值)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数,可先设sin x ＝t,化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数,可先设t ＝sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).2. 你还有哪些体悟,写下来:。
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
