思维特训(十九) 12n(n-1)的应用

小学三年级数学应用题（200题）1. 商店有4筐苹果,每筐55千克,已经卖出135千克,还剩多少千克苹果?2. 美术组有24人,体育组的人数是美术组的4倍,两个组共有多少人?3. 每盒粉笔1元3角4分,每瓶墨水6角2分,学校买了6盒粉笔5瓶墨水,共花多少钱?4. 有篮球9个，足球的个数是篮球的8倍，足球有多少个？5. 有足球72个，篮球9个，足球的数量是篮球的多少倍？6. 有足球72个，正好是篮球个数的8倍，篮球有多少个？7. 学校买来6箱图书，每箱50本，平均分给4个年级，每个年级分多少本？8. 在3千米长的公路一边，每隔5米种一棵树，一共要分多少段？9. 小明从家到学校要走200米长的路，如果他来回走2趟共行多少米？10. 商店有黄气球19个，红气球比黄气球少7个，花气球的个数是红气球的2倍，花气球有多少个？11. 同学们做习题，小华做了75道，小明做了85道，小青比小华和小明的总数少30道，小青做了多少道？12. 学校有14棵杨树，杨树的棵数是松树的2倍，柳树比松树多4棵，有多少棵柳树？13. 三年级(1)班有46人，其中21人是女生，男生比女生多多少人？14. 公园有7只大猴，小猴的只数比大猴多9只，公园一共养了多少只猴？15. 甲有140元，甲的钱数是乙的2倍，甲乙共有多少元？16. 一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。

问火车实际每小时行驶多少千米？ (15-5)*120=1200 1200/(10+2)=10017.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4时到达乙地。

但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？ (16-8)*60=480 480/(8+2)=4818 .小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。

回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？(7+5)/3=4 8/4=2 2*(7-4)=6 8-6=219.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳阳没有买。

思维特训(十二) 古代问题方法点津 ·1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中的一种．该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．2．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．它是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算．3．《算学启蒙》分上、中、下三卷，元大德己亥(1299年)朱世杰撰，共20门，凡259问．4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详．典题精练 ·类型一 《九章算术》1．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是( )A ．9x ＋11＝6x －16B ．9x －11＝6x ＋16C .x －119＝x ＋166D .x ＋119＝x －166类型二 《算法统宗》2．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首诗：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则该塔塔顶灯的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．73．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．(1)列方程求壶中原有多少升酒．(2)设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余a n升酒，如第一次饮酒后所余酒为a1＝(2a0－5)升，第二次饮酒后所余酒为a2＝2a1－5＝[22a0－(22－1)×5]升，…①用含a n－1的式子表示a n＝__________，再用含a0和n的式子表示a n＝________；②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．类型三《算学启蒙》4．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？类型四《孙子算经》5．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．其内容为：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”类型五其他古代问题6．甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？(注：小半为四分之一的意思)诗的意思是：甲赶着一群羊在前面走，乙牵着一只羊跟在后面．乙问甲说：“你这群羊有一百只吗？”甲回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？7．我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九客一房空．请你仔细算一算，多少房间多少客？诗的意思是：我问开店的李三公：“有多少客人来住店？”李三公回答说：“一个房间内若住7个客人，则余下7人没处住；一个房间内若住满9人，则又空出一个房间．”求共有多少客房，多少客人？8．有一次，古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课，突然有旁人问：“先生，您能告诉我有多少人在听课吗？”毕达哥拉斯没有直接说出人数，而是十分风趣地答道：“在下面听课的学生当中，有一半是搞数学研究的，14是从事音乐工作的，17是具体职业不清楚的，另外还有3名女性．”从毕达哥拉斯的回答中，你能算出一共有多少学生正在听课吗？9．牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨)、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了．”(1)下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请填写下表(不必化简)：(2)你能求出商人原来有多少钱吗？详解详析1．B[解析] 利用鸡的价钱相等建立一元一次方程，如果每人出九钱，那么多了十一钱，所以鸡的价钱可以表示为9x －11；如果每人出六钱，那么少了十六钱，所以鸡的价钱还可以表示为6x ＋16，所以有9x －11＝6x ＋16.2．C[解析] 设塔顶有x 盏灯．依题意，得x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x ＋32x ＋64x ＝381，解得x ＝3.3．解：(1)设壶中原有x 升酒．根据题意，得2[2(2x －5)－5]＝5，解得x ＝358. 答：壶中原有358升酒． (2)①a 1＝2a 0－5，a 2＝2a 1－5＝22a 0－(22－1)×5，a 3＝2a 2－5＝23a 0－(23－1)×5，…，所以a n ＝2a n －1－5＝2n a 0－(2n －1)×5.②由题意，得a 4＝24a 0－(24－1)×5＝16a 0－75＝0，解得a 0＝7516. 答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有7516升酒． 4．解：设快马x 天可以追上慢马．由题意，得240x －150x ＝150×12，解得x ＝20.答：快马20天可以追上慢马．5．解：设共有客人x 名．根据题意，得12x ＋13x ＋14x ＝65，解得x ＝60. 答：共有客人60名．6．解：设这群羊有x 只．根据题意，得x ＋x ＋12x ＋14x ＋1＝100，解得x ＝36.答：这群羊有36只．7．解：设有x 间客房．由题意，得7x ＋7＝9(x －1)，解得x ＝8.则客人为7×8＋7＝63(人)．即有8间客房、63名客人．8．解：设有x 名学生正在听课．由题意，得12x ＋14x ＋17x ＋3＝x ， 解得x ＝28.答：一共有28名学生正在听课．9．解：(1)表中从上到下依次填：(x －100)＋13(x －100)－100，(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]，(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]＝x. (2)由(1)得(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]＝x ， 解得x ＝400.答：商人原来有400镑钱．。

四年级数学上册《应用题综合（二）》思维特训案例班级：姓名：效果：例1.有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组，那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了几个小组？例2.四(2)班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果，如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元，已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅员老师带了（）元．例3.下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！”售货员：“同学，你好，想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本，”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好．再见，”根据这段对话元，则钢笔每支（）元，笔记本每本（）元。

例4.老师买了同样数目的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学1个田格本、3个横线本和5个练习本，这时横线本还剩24个，那么田格本和练习本共剩了（）个．例5.一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同，其中数学书和英语书共有16本，语文书和英语书共有17本．有一种书恰好有9本，这种书是（）书．例6.有9张纸牌，分别写着1～9.A、B、c、D四人取牌，每人取2张．已知A 取的两张牌之和是10;B取的两张牌之差是1;C取的两张牌之积是24;D取的两张牌之商是3．剩下的一张牌是（）。

例7.丁丁和爸爸、妈妈在公园里玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的丁丁和妈妈同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸坐的一端仍然着地；丁丁借来一个重量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果丁丁这一端着地．如果丁丁的体重是整数千克，那么丁丁的体重是（）千克．例8.猴王带领一群猴子去摘桃，下午收工后，猴王开始分配，若每只大猴分5个，每只小猴分3个，猴王可以留10个，若每只大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中（不笔括猴王），大猴比小猴多（）只．例9.小甜甜的妈妈给小甜甜买了一包糖，小甜甜每天都要吃掉一部分糖，每天都会吃掉比前一天多的糖，5天一共吃了31颗糖，若是第五天吃的糖是第一天吃的3倍，那么她第四千能吃（）颗糖。

四年级数学上册《数字谜》思维特训案例班级：姓名：效果：1.A、B、C各代表不同的数字，要使下面的式子成立，A=_________。

2.如下图所示的竖式中,相同图形表示相同数字．不同图形表示不同数字，则△+Ο+口_________。

3.在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，则其中四位数“我要参加”最大是________。

4.下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．如果：巧十解十数十字十谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是____________。

5.下面的乘法算式中，只知道一个数字“8”，请你补全，这个算式的积最小是_________。

6 .在算式+=2010中，不同的字母代表不同的数字，那么A+B+C+D+E+F+G=______。

7. 在下面的乘法竖式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，被乘数等于______。

8. 在下面的口里填上合适的数字后，所得的积是_______。

9.“我爱北京奥运”是个六位数，每个不同的汉字表示不同的数．符合下面竖式的这个六位数是________。

ABCD EFG10.在口内填人适当的数字，下列竖式成立，被除数等于_______。

11.下面竖式中，“学理科到学而思”的每个汉字表示0-9这10个数字中的一个，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，四位数“到学而思”的最大值是_______。

12.请在下图每个方框中填人一个不是8的数字，使乘法竖式成立．13 .在下图方框中填入适当的数字使竖式成立，其中较大的乘数为 ________。

14. 在下面的算式中，“a、b、c”分别代表0～9中的三个不同的数字，那么，数字b是b =15. 电子数字o～9如图1所示，图2是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将图2的电子数字恢复，并将它写成横式形式：__________。

16.下面的算式中，每个汉字代表O～9中的一个数字，不同汉字代表不同数字．相同汉字代表相同数字，美十妙十数十学十花十园=__________。

思维特训(十三) 因式分解的应用方法点津 ·因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，在这些方法的运用中还会涉及一些拆项、添项、整体看问题的思维方式，利用因式分解的一些思维方式及方法可解决一些求值及运算等问题．典题精练 ·类型之一 利用因式分解配方求值1．教科书中这样写道：“我们把多项式a 2＋2ab ＋b 2及a 2－2ab ＋b 2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值或最小值等．例如求式子2x 2＋4x －6的最小值.2x 2＋4x －6＝2(x 2＋2x －3)＝2(x ＋1)2－8.可知当x ＝－1时，2x 2＋4x －6有最小值，最小值是－8.根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)x 是实数，求多项式12x 2＋3x ＋152取得最小值时的x 的值； (2)当a ，b 为何值时，多项式a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18有最小值？并求出这个最小值；(3)当a ，b 为何值时，多项式a 2－2ab ＋2b 2－2a －4b ＋27有最小值？并求出这个最小值．2．已知x ，y 为实数，求u ＝5x 2－6xy ＋2y 2＋2x －2y ＋3的最小值和取得最小值时的x ，y 的值．类型之二 利用因式分解整体代入求值3．已知x 2＋5x －998＝0，试求x 3＋6x 2－993x ＋1021的值．4．已知x 2＋x －1＝0，求多项式21x 4－28x 3－70x 2＋49x ＋1的值．类型之三 利用因式分解简便运算5．计算：20202＋4×2020＋420203＋20202×2－2020×4－8.6．计算：（20172－2023）×（20172＋4031）×20182014×2016×2019×2020.类型之四 利用因式分解解释规律7．观察下列等式：12＋(1×2)2＋22＝9＝(12＋1＋1)2，22＋(2×3)2＋32＝49＝(22＋2＋1)2，32＋(3×4)2＋42＝169＝(32＋3＋1)2，42＋(4×5)2＋52＝441＝(42＋4＋1)2，52＋(5×6)2＋62＝961＝(52＋5＋1)2，…(1)根据以上运算，你发现了什么规律？用含有n(n为正整数)的等式表示该规律；(2)请用分解因式的知识说明你发现的规律的正确性．8．观察并验证下列等式：13＋23＝(1＋2)2＝9，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝36，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝100，(1)续写等式：13＋23＋33＋43＋53＝________．(写出最后结果)(2)我们已经知道1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13＋23＋33＋…＋(n－1)3＋n3＝__________．(结果用因式乘积的形式表示)(3)利用(2)中得到的结论计算：①33＋63＋93＋…＋573＋603；②13＋33＋53＋…＋(2n－1)3.详解详析1． 解：(1)原式＝12(x 2＋6x ＋15)＝12(x 2＋6x ＋9＋6)＝12(x ＋3)2＋3， 可知当x ＝－3时，原式取得最小值．(2)∵a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18＝(a －2)2＋(b ＋3)2＋5，∴当a ＝2，b ＝－3时，多项式a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18有最小值，最小值是5.(4)∵a 2－2ab ＋2b 2－2a －4b ＋27＝a 2－2a (b ＋1)＋(b ＋1)2＋(b －3)2＋17＝(a －b －1)2＋(b －3)2＋17，∴当a ＝4，b ＝3时，多项式a 2－2ab ＋2b 2－2a －4b ＋27有最小值，最小值是17.2．解：u ＝5x 2－6xy ＋2y 2＋2x －2y ＋3＝x 2－2xy ＋y 2＋2x －2y ＋1＋4x 2－4xy ＋y 2＋2＝(x －y )2＋2(x －y )＋1＋(2x －y )2＋2＝(x －y ＋1)2＋(2x －y )2＋2.因为x ，y 为实数，所以(x －y ＋1)2≥0，(2x －y )2≥0，所以u ≥2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y ＝0时，u 有最小值2，此时x ＝1，y ＝2. 3．解：∵x 2＋5x －998＝0，∴x 2＋5x ＝998.原式＝x (x 2＋5x )＋x 2－993x ＋1021＝998x ＋x 2－993x ＋1021＝x 2＋5x ＋1021＝998＋1021＝2019.4．解：∵x 2＋x －1＝0，∴x 2＋x ＝1，∴21x 4－28x 3－70x 2＋49x ＋1＝21x 2(x 2＋x )－49x 3－70x 2＋49x ＋1＝21x 2－49x 3－70x 2＋49x ＋1＝－49x 3－49x 2＋49x ＋1＝－49x (x 2＋x )＋49x ＋1＝－49x ＋49x ＋1＝0＋1＝1.5．解：20202＋4×2020＋420203＋20202×2－2020×4－8＝（2020＋2）220202×（2020＋2）－4×（2020＋2）＝202222022×（20202－4）＝202222022×（2020＋2）×（2020－2）＝12018. 6．解：原式＝（20172－2017－6）×（20172＋2×2017－3）×20182014×2016×2019×2020＝（2017－3）×（2017＋2）×（2017＋3）×（2017－1）×20182014×2016×2019×2020 ＝2014×2019×2020×2016×20182014×2016×2019×2020＝2018.7．解：(1)规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.(2)n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝n 2＋n 2(n ＋1)2＋(n ＋1)2＝n 2(1＋n 2＋2n ＋1)＋(n ＋1)2＝n 2[n 2＋2(n ＋1)]＋(n ＋1)2＝n 4＋2n 2(n ＋1)＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.8．解：(1)225(2)14n 2(n ＋1)2 (3)①原式＝(3×1)3＋(3×2)3＋(3×3)3＋…＋(3×20)3 ＝27×13＋27×23＋27×33＋…＋27×203＝27×(13＋23＋33＋ (203)＝27×14×202×212 ＝27×44100＝1190700.②原式＝[13＋23＋33＋…＋(2n )3]－[23＋43＋63＋…＋(2n )3]＝14(2n )2(2n ＋1)2－8(13＋23＋33＋…＋n 3) ＝14×4n 2(2n ＋1)2－8×14n 2(n ＋1)2 ＝n 2(2n ＋1)2－2n 2(n ＋1)2＝n 2(2n 2－1)＝2n 4－n 2.。

思维特训(九)整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二 同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a ＝－3时，求整式7a 2－[5a －(4a －1)＋4a 2]－(2a 2－a ＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a ＝－3看成了a ＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.。

人教版七年级下册思维特训（十九）古代数学问题(355)1.被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集并且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．则雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题2.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”意思是:有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x个、y人，则可以列方程组．3.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．则绳长、井深各是多少尺？”4.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思如下：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间，房客多少人；(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间及以上，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？5.二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果各几个．”计算可得甜果、苦果的个数分别是（）A.648，352B.650，350C.657，343D.666，3346.《一千零一夜》中一段文字翻译如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多．”则树上、树下共有只鸽子7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．在《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．则木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺，则可列出方程组为8.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．9.下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．则共有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A.{8x−3=y，7x+4=y B.{8x+3=y，7x−4=yC.{y−8x=3，y−7x=4D.{8x−y=3，7x−y=410.《九章算术》是我国古代编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①②所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是{3x+2y=19，x+4y=23.类似地，图②所示的算筹图我们可以表述为．11.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术方程式．其中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，的钱给乙，则乙的钱数也为50，甲、乙二人各有则甲的钱数为50；而甲把其23多少钱？”请你解答以上问题参考答案1.【答案】:解：设雀、燕每只分别重x斤、y斤．根据题意，得{4x+y=5y+x，5x+6y=1，解得{x=219，y=338．答：雀、燕每只分别重219斤、338斤.2.【答案】:{x+y=100，3x+y3=1003.【答案】:解：设井深x尺，绳长为y尺．依据题意，得{y=3(x+4)，y=4(x+1)，解得{x=8，y=36.答：井深8尺，绳长36尺. 4(1)【答案】设该店有客房x间，房客y人，根据题意,得{7x+7=y,9(x−1)=y,解得{x=8,y=63.答：该店有客房8间，房客63人(2)【答案】若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320(钱)；若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8=288(钱)<320钱．答：若诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算5.【答案】:C【解析】:设甜果、苦果的个数分别是x和y．根据题意，得{x+y=1000，119x+47y=999，解得{x=657，y=343.则甜果、苦果的个数分别是657和3437.【答案】:{y−x=4.5，x−12y=18.【答案】:设鸡有x只，兔有y只．依题意，得{x+y=35,2x+4y=94,解得{x=23,y=12.答：鸡有23只，兔有12只.9.【答案】:A10.【答案】:{2x+y=11，4x+3y=27【解析】:第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程组为{2x+y=11，4x+3y=27.11.【答案】:解：设甲持钱数为x，乙持钱数为y．根据题意，得{x+y2=50，y+23x=50，解得{x=37.5，y=25.答：甲、乙二人原来分别持钱37.5,25.。

数学思维训练作用数学思维训练作用启发孩子的数学思维3-12岁是孩子思维能力发展的重要阶段，更深入的说，也是孩子智力发展的重要阶段。

所以，这一时期如果能够让孩子接受到数学思维训练，会让初中或者高中的学习都变得较为轻松。

并且，暑假时间充足，可以有针对性的、集中给孩子进行思维训练，这样在下一个学年开学的时候，孩子的学习能力就会有一个质的提升。

学习起来也就不觉得困难了。

变被动学习为主动学习如果孩子的思维发展不好，那么面对数学题，他们只会觉得一团乱麻，难以明白其中的原理。

而当孩子的思维能力得到提升以后，在他们看到题目时，就能发现其中设计的巧妙和解题的思路所在。

这会让孩子对数学产生极大的兴趣，把它当做一个挑战，当问题解答成功时，会有很大的成就感。

并且，精锐教育旗下的至慧学堂采用的还不是死板的数学思维训练方法，而是采用了哈佛商学院所用的哈佛案例教学法，这样让孩子在情境中学习，不但学习效率高，还能激发孩子对数学学习的兴趣。

补缺补漏、弯道超越暑期对孩子的学习来说是一个很好的缓冲期。

这一阶段家长要注意的，就是将孩子以往存在的数学学习难点给解决掉，并且再让孩子的数学能力有进一步的提升，能更好地迎接下一年级更难的数学知识。

而家长会说，如果单就书本知识学习的话，传统的补习班不也行吗?其实不然，一方面是因为题海战术治标不治本，孩子会了这一题，但是却不会做下一题，并且它对孩子的思维能力发展并没有好处，反而很容易让孩子形成定势思维。

而到了下一年级，孩子在数学学习上的领悟能力依旧很低，慢慢的成绩又会落下来。

进行思维训练的方法思维训练方法1.脑力激荡法脑力激荡法(Brainstorming)：脑力激荡法是最为人所熟悉的创意思维策略，该方法法是由Osborn早于1937年所倡导，此法强调集体思考的方法，着重互相激发思考，鼓励参加者于指定时间内，构想出大量的意念，并从中引发新颖的构思。

脑力激荡法虽然主要以团体方式进行，但也可于个人思考问题和探索解决方法时，运用此法激发思考。

奥数思维强化特训——归一问题班级：姓名：学号：一、知识点：归一问题：复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。

这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。

有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。

解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。

二、精讲练习★1.甲、乙、丙三人合买了8根火腿肠,平分着吃,甲没带钱,乙就付了5根的钱,丙付了3根的钱。

之后,甲带来了他应付的8元钱,求乙和丙各应收回多少钱?★2.某水泥厂计划24天生产1080吨水泥，由于技术改进，平均每天比原计划多生产15吨，可比计划提前几天完成？★3.甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天。

一件工程，甲队单独做需经97天，乙队单独做需经75天。

好果两队合做，3月1日开工，那么几月几日可以完工？★★4.小明、小冬、小军三人去超市买笔,小明买了7支,小冬买了5支,小军没带钱。

回家后,三人平分了从超市买回的笔,小军拿出了应付的8元钱,他应付给小明多少钱?他应付给小冬多少钱?★★5.4辆大卡车5次运煤80吨,3辆小卡车8次运煤36吨.现在有煤77吨,用一辆大卡车和小卡车同时运多少次运完？★★6.某工程原计划42人12天（每天按8小时工作）完成，工作7天后因支援其他紧急任务调走了12人，那么剩下的工作还要几天才能完成？若要求按原定日期完工，那么每天得工作多少小时？★★7.3台拖拉机每天耕地5小时,6天可以耕地900公顷。

现有土地3000公顷,如果5台拖拉机用10天耕完,并且每天耕地量不变,每天要耕地几小时?★★★8.一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。

四年级数学上册《整数巧算》思维特训案例班级：姓名：效果：1.计算：28＋208＋2008＋20008=（）2.计算：（1＋3＋5＋…＋2011）－（2＋4＋ 6＋…＋2010）=（）3.计算：（99999＋9999＋999＋99＋9）÷9=（）4.计算：（6789＋7896＋8967＋9678）÷5=（）5.在下面四个算式中，得数最小的算式是（）①2002×1999－1999②2003×1998－1998②③2004×1997－1997④2005×1996－19966.计算：[2010＋2009×（2010＋1）]÷（2010×2011－1）=（）7.计算：2010×2011－2009×2012=（）8.计算：6×4444×2222＋3333×5555的得数中有（）个数字是奇数。

9.计算：20062007×2007－2006×20072007=（）10.计算：33×20102010－2010×330033=（）11.计算：9999×7777＋3333×6666=（）12.计算：2006×111111111111－1111×200620062006=（）13.计算：20092009×201020102010－20102010×200920092009=（）14.计算：999999×555555－222222×999999=（）15.计算：1234÷9＋3214÷9＋5100÷9＋451÷9=（）16.计算：17×47＋47×19＋19×6＋6×34=（）17.计算：98＋197＋2996＋39995＋499994＋5999993＋69999992＋799999991=（）18.计算：（1419＋14319＋143319＋1433319＋14333319）÷43=（）19.计算：201×891÷111＋201×73÷37=（）20.计算：12345×2345＋2469×38275=（）参考答案1.计算：28＋208＋2008＋20008=（）解：22252原式=（20＋8）＋（200＋8）＋（2000＋8）＋（20000＋8）=20＋200＋2000＋20000＋8×4=222522.计算：（1＋3＋5＋…＋2011）－（2＋4＋6＋…＋2010）=（）解：10061—2011中奇数1006个，偶数1005个，可以用竖式来表示这个算式：因此结果为10063.计算：（99999＋9999＋999＋99＋9）÷9=（）解：12345原式=9×（11111＋1111＋111＋11＋1）÷9=11111＋1111＋111＋11＋1=123454.计算：（6789＋7896＋8967＋9678）÷5=（）解：6666原式=1111×（6＋7＋8＋9）÷5=66665.在下面四个算式中，得数最小的算式是（）①2002×1999－1999②2003×1998－1998②③2004×1997－1997④2005×1996－1996解：④2002×1999－1999=2001×1999,2003×1998－1998=2002×1998,2004×1997－1997=2003×1997,2005×1996－1996=2004×1996.两个数的和一定，两个数越接近，它们的乘积越大，相反的，两个数越远离，它们的乘积越小，所以，得数最小的算式④。