思维特训(十一) 密度

人教版七年级上册思维特训（十一）古代问题1.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．其内容为：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”2.甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？(注：小半为四分之一的意思)诗的意思是：甲赶着一群羊在前面走，乙牵着一只羊跟在后面．乙问甲说：“你这群羊有一百只吗？”甲回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？3.我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九客一房空．请你仔细算一算，多少房间多少客？诗的意思是：我问开店的李三公：“有多少客人来住店？”李三公回答说：“一个房间内若住7个客人，则余下7人没处住；一个房间内若住满9人，则又空出一个房间．”求共有多少客房，多少客人？4.有一次，古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课，突然有旁人问：“先生，您能告诉我有多少人在听课吗？”毕达哥拉斯没有直接说出人数，而是是从十分风趣地答道：“在下面听课的学生当中，有一半是搞数学研究的，14是具体职业不清楚的，另外还有3名女性．”从毕达哥拉斯的事音乐工作的，17回答中，你能算出一共有多少学生正在听课吗？5.牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨)、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了．”(1)下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请填写下表(不必化简)：(2)你能求出商人原来有多少钱吗？6.《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是（）A.9x+11=6x−16B.9x−11=6x+16C.x−119=x+166D.x+119=x−1667.在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则该塔塔顶灯的个数是（）A.1B.2C.3D.78.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．(1)列方程求壶中原有多少升酒．(2)设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余a n升酒，如第一次饮酒后所余酒为a1=(2a0−5)升，第二次饮酒后所余酒为a2=2a1−5=[22a0−(22−1)×5]升，…①用含a n−1的式子表示a n=，再用含a0和n的式子表示a n=；②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．9.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？参考答案1.【答案】:解：设共有客人x人．根据题意，得1 2x+13x+14x=65，解得x=60.答：共有客人60人【解析】:解：设共有客人x人．根据题意，得1 2x+13x+14x=65，解得x=60.答：共有客人60人2.【答案】:解：设这群羊有x只．根据题意，得x+x+12x+14x+1=100，解得x=36.答：这群羊有36只.【解析】:解：设这群羊有x只．根据题意，得x+x+12x+14x+1=100，解得x=36.答：这群羊有36只3.【答案】:解：设有x间客房．由题意，得7x+7=9(x−1),解得x=8.则客人为7×8+7=63(人)．即有8间客房、63名客人.【解析】:解：设有x间客房．由题意，得7x+7=9(x−1),解得x=8.则客人为7×8+7=63(人)．即有8间客房、63名客人.4.【答案】:解：设有x名学生正在听课．由题意，得12x+14x+17x+3=x，解得x=28.答：一共有28名学生正在听课【解析】:解：设有x名学生正在听课．由题意，得12x+14x+17x+3=x，解得x=28.答：一共有28名学生正在听课5(1)【答案】解：表中从上到下依次填：(x−100)+13(x−100)−100，(x−100)+13(x−100)−100)+13[(x−100)+13(x−100)−100]，(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x【解析】:解：表中从上到下依次填：(x−100)+13(x−100)−100，(x−100)+13(x−100)−100\)+13[(x−100)+13(x−100)−100]，(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x(2)【答案】解：由(1)得(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x，解得x=400.答：商人原来有400镑钱.【解析】:解：由(1)得(x−100)+13(x−100)−100+13[(x−100)+13(x−100)−100]=x，解得x=400.答：商人原来有400镑钱.6.【答案】:B【解析】:利用鸡的价钱相等建立一元一次方程，如果每人出九钱，那么多了十一钱，所以鸡的价钱可以表示为9x−11;如果每人出六钱，那么少了十六钱，所以鸡的价钱还可以表示为6x+16，所以有9x−11=6x+167.【答案】:C【解析】:设塔顶有x盏灯．依题意，得x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=38(1)【答案】解：设壶中原有x升酒．．根据题意，得2[2(2x−5)−5]=5，解得x=358升酒.答：壶中原有358【解析】:考点分析：本题考查了一元一次方程的应用；思路分析：设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒列出关于x的一元一次方程解决问题；(2)【答案】①2a n−1−5，2n a0−(2n−1)×5②由题意，得a4=24a0−(24−1)×5=16a0−75=0，．解得a0=7516答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有75升酒.16【解析】:考点分析：本题主要考查了竖式规律型，一元一次方程的应用；思路分析：①根据a1、a2、a3的变化，找出变化规律a n=2a n−1−5=2n a0−(2n−1)×5；②令a n=2a n−1−5=2n a0−(2n−1)×5中n=4,a n=0得出关于a0的一元一次方程，解方程可解决问题.解题过程：①a1=2a0−5，a2=2a1−5=22a0−(22−1)×5，a3=2a2−5=23a0−(23−1)×5，…，∴a n=2a n−1−5=2n a0−(2n−1)×5.②由题意，得a4=24a0−(24−1)×5=16a0−75=0，．解得a0=7516升酒.答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有75169.【答案】:解：设快马x天可以追上慢马．由题意，得240x−150x=150×12，解得x=20.答：快马20天可以追上慢马【解析】:解：设快马x天可以追上慢马．由题意，得240x−150x=150×12，解得x=20.答：快马20天可以追上慢马。

《密度 提高培优讲义》密度类计算题的解答，具有一定的探究性和灵活性，只有弄清原理，掌握方法，才能思路清晰，从容解答，触类旁通，举一反三。

因此，加强密度问题计算的训练和解法的研究，对于培养大家的开拓精神和创新意识，提高综合素质，具有十分重要的作用。

初中物理最常见的密度计算题的类型有以下几种：（以下几类题型一定要掌握，注意答题的规范性） 类型一：鉴别问题例1 有一只金戒指，用量筒测得其体积为0.24cm 3，用天平称出其质量为4.2g ，试问这只戒指是否是纯金制成的？（ρ金=⨯1931033./kg m ）解析：ρρ====⨯<m V g cm g cm kg m /./.././42024175175103333金，故这只戒指不是纯金制成的。

类型二：空心问题例2 一个铜球的质量是178g ，体积是403cm ，试判断这个铜球是空心的还是实心的？（ρ铜=⨯891033./kg m ） 解析：方法一：比较体积法V m g g cm cm V ===<球铜球//(./)ρ178892033，所以为空心球。

方法二：比较密度法ρρ===<m V g cm g cm 球球铜//./1784044533，所以为空心球。

方法三：比较质量法m V g cm cm g m ==⨯=>ρ铜球球894035633./，所以为空心球。

说明：本题最好采用方法一，因为这样既可判断该球是空心的，还可进一步求出空心部分的体积V V V 空球=-。

类型三：装瓶问题思路与方法：由于瓶子的容积一定，所以这类问题的解题关键在于求出V 瓶。

例3 一只玻璃瓶装满水时总质量为200g ，装满酒精时总质量为180g ，求这只瓶子的质量和容积分别为多少？（ρ酒精=⨯081033./kg m ）解析：由题意得m m m V g 瓶水瓶水瓶+=+=ρ200①m m m V g 瓶酒精瓶酒精瓶+=+=ρ180②联立①、②，将ρρ水酒精、代入，求得：V cm m g 瓶瓶，==1001003类型四：溢出问题思路与方法：首先求出溢出液体的体积，再根据V V 物溢=进行解答。

四年级数学上册《应用题综合（二）》思维特训案例班级：姓名：效果：例1.有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组，那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了几个小组？例2.四(2)班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果，如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元，已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅员老师带了（）元．例3.下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！”售货员：“同学，你好，想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本，”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好．再见，”根据这段对话元，则钢笔每支（）元，笔记本每本（）元。

例4.老师买了同样数目的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学1个田格本、3个横线本和5个练习本，这时横线本还剩24个，那么田格本和练习本共剩了（）个．例5.一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同，其中数学书和英语书共有16本，语文书和英语书共有17本．有一种书恰好有9本，这种书是（）书．例6.有9张纸牌，分别写着1～9.A、B、c、D四人取牌，每人取2张．已知A 取的两张牌之和是10;B取的两张牌之差是1;C取的两张牌之积是24;D取的两张牌之商是3．剩下的一张牌是（）。

例7.丁丁和爸爸、妈妈在公园里玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的丁丁和妈妈同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸坐的一端仍然着地；丁丁借来一个重量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果丁丁这一端着地．如果丁丁的体重是整数千克，那么丁丁的体重是（）千克．例8.猴王带领一群猴子去摘桃，下午收工后，猴王开始分配，若每只大猴分5个，每只小猴分3个，猴王可以留10个，若每只大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中（不笔括猴王），大猴比小猴多（）只．例9.小甜甜的妈妈给小甜甜买了一包糖，小甜甜每天都要吃掉一部分糖，每天都会吃掉比前一天多的糖，5天一共吃了31颗糖，若是第五天吃的糖是第一天吃的3倍，那么她第四千能吃（）颗糖。

17 密度（一）4 课堂总结10分钟5 课后作业35分钟6 能力提升30分钟密度（一）知识梳理一、质量1、定义：物体所含_________________，用字母_______表示。

2、质量的国际单位：__________，质量的常用单位有_______、________和___________。

3、单位换算：1t=_________kg=_________g=_________mg。

4、质量是物体的一种______：对于一个给定的物体，它的质量是确定的，它不随物体的__________、__________、__________、__________的改变而改变。

例如：（1）1千克的冰熔化成水后，虽然从固态变成液态但是它质量仍是_______千克；（2）宇航员从月球取下的石块拿到地球上石块质量不变；2kg铁块烧热后压成球，它的质量仍然是_______kg。

5、托盘天平的使用方法（电子天平使用方法见2017考纲）（1）把托盘天平放在水平台上，将游码放在标尺零刻线处。

（2）调节______________，使指针指在分度盘的________，这时横粱平衡。

（3）把被测物体放在_________，用_______向_______盘加减砝码，并调节_______的位置，直到横梁重新恢复平衡。

（4）读数：这时物体的质量等于右盘中砝码总质量加上游码所对应的质量；（5）测量完毕，把被测物体取下，砝码放回盒中，游码移到标尺左端的零刻线处。

二、密度1、定义：_________________________________。

2、公式：_____________，可变形为：________、_________。

3、单位：国际单位是___________，读作____________________；常用单位是___________，读作____________________；这两个单位比较：___________单位大。

2023浙教版科学中考“高频考点”专题训练（十一）浮力1.放有适量水的烧杯置于水平桌面上。

将一木块浸没到水中一定深度后撤去外力，木块开始上浮，如图所示，最后漂浮，且有五分之二体积浸入水面。

下列叙述中，正确的是（）A. 在露出水面之前，木块所受浮力不变B. 在露出水面之前，木块所受浮力等于木块的重力C. 木块在浸没和漂浮两种情况下，水对烧杯底的压强相同D. 木块的密度为0.6克/厘米32.将质量相同的三个实心物体浸没在水中时，它们的状态如图所示，则下列说法中正确的是（）A. 上浮的物体最终漂浮，漂浮时受到的浮力比上浮时的小B. 下沉的物体所受到的重力最大C. 下沉的物体最终会沉底，沉底后的物体不受浮力D. 将悬浮的物体往下移一些，它将会下沉3.将体积不同、材料不同的甲乙两实心小球，分别轻轻放在水中，两球静止时如图所示，甲浮在水面，乙沉底，已知甲的体积比乙小，则下列说法正确的是（）A. 甲的质量比乙大B. 甲受到的浮力等于重力C. 甲的密度比乙大D. 乙受到的浮力等于重力4.小滨同学自制简易密度计并标记刻度。

他在粗细均匀的木棒底部缩绕一些细铜丝后（忽略铜丝的体积），把该密度计放入洒精中竖直漂浮，静止后露出液面的长度L1为6cm，于是他在木棒与酒精液面交界的刻度线上标记0.8g/cm3；小滨同学又把该密度计放入水中竖直漂浮，静止后露出液面的长度L2为8cm，则与水面相对应的刻度线上应标记 g/cm3。

密度计上标记1.25g/cm3的刻度线到密度计顶端的距离L3为 cm.该密度计的刻度线是否均匀？并说明理由 .5.在不打破鸡蛋的前提下，如何有效判断自然状态下保存的未知产出日期的鸡蛋新鲜度？小科进行了探究。

【查阅资料】刚产出的鸡蛋密度相近，冷却后里面内容物收缩，会在蛋的一端形成气室。

一般的鸡蛋一端大(称为钝端)、一端小(称为尖端)。

蛋壳主要成分是碳酸钙，其表面有很多微小气孔，以便于蛋内外的气体交换，同时蛋内水分可通过气孔排出。

思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 ·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．一般有以下两种解法：1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）.典题精练 ·类型一 几何解法1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2.例2：已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.图11－S－1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：(1)|x－3|＝3；(2)|4x＋2|＝8；(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.类型二代数解法2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．例1：解方程|2x－1|＝3.我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝2是原方程的解．(2)当x ＝－1时，原方程的左边＝|2x －1|＝|2×(－1)－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝－1是原方程的解．综上可知，原方程的解是x ＝2或x ＝－1.例2：解方程x ＋2|x|＝3.解：当x ≥0时，方程可化为x ＋2x ＝3，解得x ＝1，符合题意；当x ＜0时，方程可化为x －2x ＝3，解得x ＝－3，符合题意．所以原方程的解为x ＝1或x ＝－3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x ＋3|x －1|＝7；(2)|x －12|－x ＝1.详解详析1．解：(1)由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的距离为3的点对应的数为0和6，即x ＝0或x ＝6.(2)由题意，得在数轴上与数－2对应的点之间的距离为8的点对应的数为6或－10，即4x ＝6或4x ＝－10，所以x ＝32或x ＝－52.(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数－4对应的点之间的距离之和为9的点对应的数，即为x 的值．在数轴上，数3和－4对应的点的距离为7，满足方程的x 在数轴上的对应点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x ＝4；同理，若x 对应的点在－4的左边，可得x ＝－5.故原方程的解是x ＝4或x ＝－5.2．解：(1)当x ＜1时，方程可化为x ＋3(1－x)＝7，即3－2x ＝7，解得x ＝－2，符合题意；当x ≥1时，方程可化为x ＋3(x －1)＝7，即4x －3＝7，解得x ＝52，符合题意．所以原方程的解为x ＝－2或x ＝52.(2)原方程可变形为|x －12|＝x ＋1，根据绝对值的意义，得x －12＝1＋x 或x －12＝－(1＋x)，解得x ＝－3或x ＝－13，经检验：x ＝－3不是原方程的解，x ＝－13是原方程的解．所以原方程的解是x ＝－13.。

思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系． 作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一 作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF. 图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E . (1)如图△，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB的值； (2)如图△，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB的值(用含a 的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB的值． 图11－S －4类型二 作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AF AE的值． 图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BM DM＝______； (2)若n ＝2，如图△，求证：BM ＝6DM ；(3)当n ＝________时，M 为BD 的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S －66．2019·朝阳 已知：如图11－S －7，在△ABC 中，点D 在AB 上，E 是BC 的延长线上一点，且AD ＝CE ，连接DE 交AC 于点F .(1)猜想证明：如图△，在△ABC 中，若AB ＝BC ，学生们发现：DF ＝EF .下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D 作DG △BC ，交AC 于点G ，可通过证△DFG △△EFC 得出结论；思路2：过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H ，可通过证△ADF △△HEF 得出结论． 请你参考上面的思路，证明DF ＝EF (只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图△)，过点D 作DM △AC 于点M ，试探究线段AM ，MF ，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图△，在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠ABC ＝2△BAC ，AB BC＝m ，请你用尺规作图在图△中作出AD 的垂直平分线交AC 于点N (不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FN AC的值． 图11－S －7类型三 作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BC AC； (2)若BC ＝6，AC ＝8， CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图△，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图△，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图△，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值，并说明理由． 图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF △CA ，求EF 的长；(3)如图△，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF的值． 图11－S －10详解详析1．解：如图，过点O 作OM △BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ，∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ， ∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b . ∵OM ∥BC ，∴△BEF ∽△MEO ，∴BF MO ＝BE ME ， 即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG △CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点，∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF . ∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AF BF . 3．解：(1)甲同学的想法：如图△，过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF .∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图△，过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG .∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13. ∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图△，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵DE EF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC . ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG .∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG △AF . 又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点，△EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA .∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°.又△△AMD ＝60°，∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝△BAC －△MAD ＝30°，即△BAE ＝△EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BE CE＝1. 在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)． ∵∠BAM ＝△ABM ＝30°，∴AM ＝BM ，∴BM DM＝2. (2)证明：△△AMD ＝△ABD ＋△BAE ＝60°，∠CAE ＋△BAE ＝60°，∴∠ABD ＝△CAE .又△BA ＝AC ，∠BAD ＝△ACE ＝60°，∴△BAD △△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF △BD 交AE 的延长线于点F ，∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②，由△×△得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM . (3)△M 为BD 的中点，∴BM ＝MD .∵△BAD ≌△ACE ，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ，△AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·ME BM④， 由△×△得CD ＝5－12DA ，∴n ＝5－12. 6．解：(1)思路1：如图△，过点D 作DG △BC ，交AC 于点G .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵DG ∥BC ，∴∠DGA ＝△BCA ，∠DGF ＝△ECF ，∴∠A ＝△DGA ，∴DA ＝DG .∵AD ＝CE ，∴DG ＝CE .又△△DFG ＝△EFC ，∴△DFG ≌△EFC ，∴DF ＝EF .思路2：如图△，过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵EH ∥AB ，∴∠A ＝△H .∵∠ECH ＝△BCA ，∴∠H ＝△ECH ，∴CE ＝EH .∵AD ＝CE ，∴AD ＝EH .又△△AFD ＝△HFE ，∴△DF A ≌△EFH ，∴DF ＝EF .(2)结论：MF ＝AM ＋FC .证明：如图△，由思路1可知：DA ＝DG ，△DFG ≌△EFC ，∴FG ＝FC .∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM .∵MF ＝FG ＋GM ，∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图△所示．连接DN ，过点D 作DG △CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2△BAC ，设△BAC ＝x ，则△B ＝△ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝△ADN ＝36°.∵∠ADG ＝△B ＝72°，∴∠NDG ＝△A ＝36°.又△△DGN ＝△AGD ，∴△GDN ∽△GAD ，∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG △FC ＝DG △DA ＝1△m .∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )， ∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1， ∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP △BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝△DPN ＝90°.又△△C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即△MDQ ＋△MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即△MDP ＋△NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝△NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQ DP. ∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN＝BC AC. (2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1，DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4. ∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43. 又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53. 8．解：(1)1△2 BD △BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD △AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ，∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE △AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ， ∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE △AF ＝OD △AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值是1.理由如下： 由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 9．解：(1)△将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝△BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5. (2)连接AM 交EF 于点O ，如图△，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝△MFE ，∴∠AEF ＝△AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ，∴四边形AEMF 为菱形．设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x .∵四边形AEMF 为菱形，∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ，∴CM CB ＝CE CA ＝EM AB， 即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103. ∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ， ∴EF ＝2×43×2094103＝4109. (3)如图△，过点F 作FH △BC 于点H ，∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ， ∴CN ∶NH ＝CE △FH ，即1△NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4△7. 设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH △AC ，即(4－7x )△3＝4x △4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.第11页/共11页 在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。

混合密度的计算例题 2019 呼和浩特王慧同学利用所学知识，测量一件用合金制成的实心构件中铝所占比例。

她首先用天平测出构件质量为 374 g ,用量杯测出构件的体积是 100 cm 3。

已知合金 由铝与钢两种材料合成，且铝的密度为2.7X 103 kg/m 3,钢的密度为7.9 x 103kg/m 3。

如果构 件的体积等于原来两种金属体积之和 ，求：(1) 这种合金的平均密度。

⑵这种合金中铝的质量占总质量的百分比。

［答案］(1)这种合金的平均密度：P= V = 3.74 g/cm 3= 3.74 x 103 kg/m 3。

(2) 设铝的质量为 m 铝，钢的质量为m 钢， 则m 铝+ m 钢=374 g ①；构件的体积等于原来两种金属体积之和，artm 铝 m 钢 即 2.7 g/cm 3* 7.9 g/cm 3联立①②式，解得m 铝=216 g 。

思维|集|训|1.有两个质量相等的球，其体积之比 V 1 : V 2= 1 : 5,密度之比p 1 : p 2= 4 : 1,其中 一个球是空心的，已知实心球的体积为 V ,则空心球的空心部分的体积为 ()A. 2V思维特训(九)密度匹=100 cm 3,p 钢100 cm 3②。

则这种合金中铝的质量占总质量的百分比为374~gX 100%& 57.8%。

B . V2•阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题 ，现有一个金和银做成的王冠 ，用排水法测量出其体积为 56.9 cm 3,右与王冠质量相冋的纯金块和纯银块的体积分别为52.5 cm 3和96.5 cm 3，则王冠中银的质量和金的质量之比为 （ ）A . 1 : 8B . 1 : 9C . 1 : 10 D.1 : 113. （多选）现有密度分别为 p 、p （ p< p ）的两种液体，质量均为m o ,某工厂要用它们按 体积比1 : 1的比例配制一种混合液（设混合前后总体积不变），且使所得混合液的质量最大 则（）A .这种混合液的密度为2 p 1 p 2p 1+ p B .这种混合液的密度为p 1+ p2C .按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为 1-二 m oD .按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为1-p - m op 14.如图9- TX - 1所示，A 、B 两个高度相等、底面积不同的薄壁圆柱形容器中 ，分别盛有质量相等的甲、乙两种液体。