2022版高考数学一轮复习 第十章 概率(文)第三讲 几何概型(文)第六讲 几何概型学案(理,含解

第三节几何概型1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估量概率．2．了解几何概型的意义．学问点一几何概型1．定义：假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的______(______或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中全部可能消灭的结果(基本大事)有______个．(2)等可能性：每个基本大事消灭的可能性______．答案1．长度面积体积几何概型2．(1)无限多(2)相等1．推断正误(1)几何概型中，每一个基本大事都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的外形有关．( )(4)几何概型与古典概型中的基本大事发生的可能性都是相等的，其基本大事个数都有限．( )解析：(1)正确．依据几何概型的概念可知正确．(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等．(3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的外形无关．(4)错误．几何概型与古典概型中的基本大事发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本大事有有限个，而几何概型的基本大事有无限个．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×学问点二几何概型的概率公式P(A)＝______________________________________________.答案构成大事A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积2．(2022·新课标全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.34解析：由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.答案：B3．(必修③P140练习第1题改编)有四个玩耍盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的玩耍盘是( )解析：如题干选项中图，各种状况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.答案：A4．为了测算下图中阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估量阴影部分的面积是________．解析：正方形面积为36，则阴影部分面积约为200800×36＝9.答案：9热点一 与长度、角度有关的几何概型问题【例1】 (1)(2022·新课标全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替消灭，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才消灭绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310(2)如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________． 【解析】 (1)记“至少需要等待15秒才消灭绿灯”为大事A ，则P (A )＝2540＝58.(2)当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM <67.5°时，AM <AC ，所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5°90°＝34.【答案】 (1)B (2)34【总结反思】(1)假如试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建大事的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不行用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.(1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的2倍的概率是( ) A.34 B.12 C.13 D.35(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．解析：(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝MmC︵圆的周长＝12.(2)记大事A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.1题图 2题图 答案：(1)B (2)12热点二 与面积有关的几何概型问题 考向1 与一般几何图形面积有关的问题【例2】 在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916【解析】 记大事A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫△PBC 的面积大于S 4，基本大事是△ABC 的面积(如图)，大事A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE ∥BC 且AD AB ＝34)，由于阴影部分的面积是整个三角形面积的⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916，所以P (A )＝阴影部分的面积三角形的面积＝916.【答案】 D【总结反思】求与面积有关的几何概型的概率的方法(1)确定所求大事构成的区域图形，推断是否为几何概型；(2)分别求出Ω和所求大事对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解. 考向2 “会面型”几何概型【例3】 甲、乙两人商定在6时到7时之间在某处会面，并商定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【解】 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达商定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的全部可能结果是边长为60的正方形区域，而大事A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得P (A )＝S 阴影S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716. 考向3 随机模拟方法的应用【例4】 (2022·新课标全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n【解析】 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n，所以π＝4mn，故选C. 【答案】 C【总结反思】求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积，以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.(1)已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}，B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }．若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( )A ．1－π8B.π4C.π4－1 D.π8(2)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( )A.12 B.1532 C.1732D.3132(3)如右图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估量椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32解析：(1)集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}表示的区域是一正方形，其面积为4，集合B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }表示的区域为图中阴影部分，其面积为4－12×12×π.所以向区域A 内随机地扔一粒豆子，则豆子落在区域B 内的概率为4－12π4＝1－π8.(2)∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，∴a >b >0，a <2b .它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x2a2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×1＋3×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.(3)由随机模拟的思想方法可得，黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式可得，S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：(1)A (2)B (3)C热点三 与体积有关的几何概型问题【例5】 一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是平安的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是平安的概率为( )A.18B.116C.127D.38【解析】 由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是平安的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是平安的概率为103303＝127.【答案】 C【总结反思】对于以体积为度量的几何概型，要依据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：记“点P 到点O 的距离大于1”为大事A ，则大事A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π.∴所求大事概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的生疏，它只与大小有关，而与外形和位置无关，在解题时，要把握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机大事需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本大事，然后利用平面直角坐标系就能顺当地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机大事需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本大事，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．专题六 高考解答题鉴赏——概率与统计在全国卷高考中，概率与统计是每一年必考内容，分值12分，难度中等．解答题综合性较强，将概率、统计的有关学问(特殊是直方图、样本数字特征)有机地交融在一起，也有时仅考利用统计学问解决实际问题．【典例】 (2022·新课标全国卷Ⅰ，12分)某公司方案购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，假如备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【标准解答】 (1)当x ≤19时，y ＝3 800； 当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700， 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800， x ≤19，500x －5 700， x >19(x ∈N )．(4分)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(7分)(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．(12分)【阅卷点评】 本题易错点有两处：一是混淆了频率分布直方图与柱状图，导致全题皆错；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避开此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观看频率分布直方图与柱状图的区分，纵轴表示的意义．(2021·昆明两区七校调研)某校高三共有900名同学，高三模拟考之后，为了了解同学学习状况，用分层抽样方法从中抽出若干同学此次数学成果，按成果分组，并制成如下的频率分布表.组号 分组 频数 频率 第一组 [70,80) 6 0.06 其次组 [80,90) 4 0.04 第三组 [90,100) 22 0.22 第四组 [100,110) 20 0.20第五组 [110,120) 18b第六组 [120,130) a0.15 第七组 [130,140) 10 0.10 第八组[140,150) 50.05 合计c1(1)确定表中a ，b ，c 的值；(2)为了了解数学成果在120分以上的同学的心理状态，现打算在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名同学，在这6名同学中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名同学被抽到与心理老师面谈的概率；(3)估量该校本次考试的数学平均分．解：(1)由于频率和为1，所以b ＝0.18，由于频率＝频数/样本容量，所以c ＝100，a ＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名同学，第六、七、八组被抽取的样本数分别为3,2,1，将第六组、第八组被抽取的样本分别用A ，B ，C ，D 表示，第七组抽出的样本用E ，F 表示．从这6名同学中随机抽取2个的方法有AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF ，共15种．其中至少含E 或F 的取法有9种，则所求概率为35.(3)估量平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.。